SOLITON TRONG NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN

Các tính chất thống kê lƣợng tử của các hệ hạt không thể phân biệt về cơ bản được xác định bởi spin của các hạt. Boson là các hạt có spin nguyên và đƣợc mô tả bởi hàm sóng đối xứng ngược lại các hạt có spin bán nguyên (fecmion) chúng được mô tả bởi hàm sóng phản đối xứng. Mặc dù trong giới hạn cổ điển đặc biệt khi ở nhiệt độ cao, sự khác biệt giữa các hạt là rất nhỏ. T0 Tuy nhiên trong giới hạn ở nhiệt độ cực thấp sự khác biệt mang tính thống kê càng rõ ràng hơn.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ -

DƯƠNG ĐÌNH LỊCH

SOLITON TRONG NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI - 2014

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ -

DƯƠNG ĐÌNH LỊCH

SOLITON TRONG NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN

Chuyên ngành : Vật lý lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học: Tiến sĩ Nguyễn Văn Thụ

HÀ NỘI - 2014

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên cho tôi bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc nhất tới TS Nguyễn Văn Thụ - người thầy đã luôn tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi nhất cho tôi trong suốt thời gian thực hiện khóa luận tốt nghiệp này Nhân dịp này tôi xin được bày tỏ tấm lòng biết ơn tới các thầy cô, bạn bè

và những người thân đã động viên giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua Qua đây cho phép em bày tỏ sự biết ơn chân thành tới các thầy cô trong tổ lý thuyết, khoa vật lí trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã tao điều kiện thuận lợi nhất cho tôi dành thời gian hoàn thành khóa luận này

Cuối cùng xin chân thành cảm ơn các bạn trong nhóm chuyên đề: “Ngưng

Tụ Bose – Einstein”, những người đã cùng tôi san sẻ kiến thức, hun đúc

quyết tâm và cộng tác hiệu quả trong quá trình thực hiện khóa luận

Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà nội, ngày 09 tháng 05 năm 2014

Tác giả khóa luận

Dương Đình Lịch

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận là những nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn tận tình, nghiêm

khắc của thầy Tiến Sĩ Nguyễn Văn Thụ Bên cạnh đó tôi cũng nhâ ̣n được sự

quan tâm, tạo điều kiện của các thầy, cô giáo trong khoa vật lý trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2

Vì vậy tôi xin cam đoan nội dung của đề tài: “Soliton Trong Ngưng Tụ

Bose – Einstein” không có sự trùng lặp với các đề tài khác

Hà nội, ngày 09 tháng 05 năm 2014

Tác giả khóa luận

Dương Đình Lịch

MỤC LỤC

Trang LỜI CẢM ƠN

LỜI CAM ĐOAN

DANH MỤC BIỂU TƯỢNG

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT

MỞ ĐẦU 1

1.Lý do chọn đề tài 1

2.Mục đích nghiên cứu 2

3.Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4.Đối tượng nghiên cứu 3

5.Phương pháp nghiên cứu 3

6.Cấu trúc khóa luận 3

Chương 1 TỔNG QUAN VỀ NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN 4

1.1 Giới thiệu 4

1.2. Boson – và các thành phần chính 6

1.3 Thống kê Bose – Einstein 7

1.4. Ngưng tụ Bose – Einstein đối với khí lí tưởng 8

1.5 Lượng tử hóa lần 2 11

1.6 Một số kết quả cơ bản của thuyết tán xạ 13

1.7 Mô hình trường thế tương tác 14

1.8 Phương trình Gross – Pitaevskill (GPE) 15

1.9 Phương trình Srodinger n - hạt với thế hóa hàm - tương tác 17

Chương 2.SOLITON SÁNG TRONG MỖI NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN

2.1 Lịch sử soliton 21

2.2 Soliton quang 23

2.2.1 Vận tốc nhóm tán xạ 23

2.2.2 Sự tự điều pha 25

2.2.3 Soliton – loại sáng và tối 26

2.3 Soliton của phương trình GPE – 1D 28

2.3.1 Phương trình GPE – 1D 28

2.3.2 Các nghiệm Soliton 30

KẾT LUẬN 32

TÀI LIỆU THAM KHẢO 34

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT

BEC Bose - Einstein Condensates

GPE The Gross-Pitaevskii equation

1D Một chiều

2D Hai chiều

FOCK Không gian Fock

NLSE Nonlinear Schodinger – equation

Một hệ quả trực tiếp của tính đối xứng đề cập ở trên như trong trường hợp của các hạt fecmion, hai fecmion không thể chiếm cùng một trạng thái lượng

tử (bị chi phối bởi nguyên lý loại trừ Pauli) Áp dụng cho các boson nguyên lý này không có hiệu lực Sau này tính chất quan trọng của các boson sẽ được đề cập trong ngưng tụ Bose – Eistein (BEC), là một trạng thái của vật chất của một chất khí loãng boson làm lạnh đến nhiệt độ rất gần với độ không tuyệt đối (có nghĩa là, rất gần 0K hay -273,15°C [1]).Trong điều kiện như vậy các boson chiếm đóng ở trạng thái cơ bản sẽ là vô hạn Đặc điểm đáng chú ý này được đưa ra trong năm 1924 – 1925 bởi Satyendra Nath Bose và Albert Einstein [2], [8] kết quả là một hình thức mới của vật chất

Năm 1995 ngưng tụ khí đầu tiên thu được bởi Eric Cornell và Carl Wieman tại Đại học Colorado tại Boulder của NIST - JILA phòng thí nghiệm, sử dụng khí nguyên tử rubidium được làm lạnh tới 170 nano Kelvin (NK) [4] (1,7 × 10 -7 K) Vào năm 2001, Eric Cornenll Wolfgang Ketterle và Carl Wieman nhận giải Nobel về vật lí do thực hiện được về mặt thực nghiệm của họ đối với ngưng tụ Bose – Einstein Trong tháng 11 năm

2

2010 photon đầu tiên BEC đã được quan sát [3] Năm 2012 lý thuyết của

photon BEC được phát triển [5], [7]

Nghiên cứu về soliton nằm trong vật lý chất ngưng tụ là một trong những nghành khoa học lớn nhất của vât lý hiện đại Về mặt lịch sử ngành này mới phát triển gần đây Vật lý chất ngưng tụ nghiên cứu các tính chất vĩ mô của vật

chất, đặc biệt nó xét đến các pha “ngưng tụ’’ xuất hiện bất cứ khi nào số hạt

trong hệ là rất lớn và tương tác giữa chúng là mạnh Những pha ngưng tụ kì lạ bao gồm trạng thái siêu lỏng và ngưng tụ Bose –Einstein xuất hiện trong những

hệ nguyên tử cụ thể ở nhiệt độ rất thấp gần nhiệt độ tuyệt đối Khi nghiên cứu

về “soliton trong ngưng tụ Bose – Einstein” ta thu được một số tính chất mới

của vật chất bởi vì trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein (BEC) là một hệ trong

đó có số lượng tử lớn các hạt boson (các hạt có spin nguyên) cùng tồn tại trong cùng một trạng thái cơ bản Điều này có ý nghĩa to lớn cho việc nghiên cứu các hiệu ứng lượng tử

Trên cơ sở đó tôi chọn đề tài “soliton trong ngưng tụ Bose – Einstein”, này

nhằm tìm hiểu sâu sắc hơn về ngưng tụ Bose – Einstein theo thuyết lượng tử Mặt khác, tôi muốn tổng hợp kiến thức từ nhiều tài liệu khác nhau nhằm tích lũy kiến thức cho bản thân và mong muốn đây là tài liệu bổ ích cho các bạn sinh viên

2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học và thực hiện khóa luận tốt nghiệp

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu một cách tổng quan nhất về ngưng tụ Bose –Einstein

Tìm hiểu về các soliton trong ngưng tụ Bose –Einstein

3

4 Đối tượng nghiên cứu

Soliton trong ngưng tụ Bose – Einstein

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lý luận

Sử dụng thống kê cổ điển, lượng tử và các phương pháp giải tích toán học khác

Phương pháp gần đúng trường trung bình

6 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu kết luận danh mục tài liệu tham khảo, nội dung của khóa luận gồm 2 chương:

Chương 1 Tổng quan về ngưng tụ Bose – Einstein

Chương 2 Soliton trong mỗi ngưng tụ Bose – Einstein

4

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN

Trong chương này giới thiệu phần lý thuyết để mô tả ngưng tụ Bose – Einstein Đầu tiên một số khái niệm về thống kê bose được trình bày trên cơ

sở khí bose lí tưởng trong đó khuôn khổ của môn cơ học lượng tử hai sẽ được

áp dụng để sử lí và áp dụng cho hệ thống tương tác nhiều hạt Cùng với đó ta đưa ra một mô hình trường thế đầy đủ để mô tả các tương tác trong hệ khí loãng Sau đó phương trình Gross – Pitaevskill (GPE) cho ta một cách diễn tả ngưng tụ trong giới hạn và từ một phương trình schrôdinger có thể đưa

ra phương trình hàm sóng của hệ hạt Cả hai phương trình giúp ta đưa ra được các nghiệm soliton mà ta sẽ nghiên cứu sau

1.1 Giới thiệu

Năm 1924, nhà vật lí học người Ấn độ Satyendia Nath Bose đã gửi Einstein một bài báo trong đó ông bắt nguồn từ định luật Planck trong bức xạ của photon như khí của hệ hạt đồng nhất Einstein đã tổng quát hoá lý thuyết của Bose thành khí lí tưởng của hệ hạt đồng nhất nguyên tử hay phân tử mà số hạt được bảo toàn và trong cùng năm đó ông dự đoán rằng ở nhiệt độ đủ thấp, các hạt sẽ nằm trong cùng một trạng thái lượng tử gọi là ngưng tụ Bose – Einstein xảy ra đối với các hạt boson có spin nguyên

Ngưng tụ Bose – Einstein và quá trình ngưng tụ đó được dự đoán là c ó nhiều thuộc tính kì lạ Trong nhiều năm thí nghiệm, vào năm 1995, nhóm JILA ở một phòng thí nghiệm được điều hành bởi viện quốc gia về tiêu chuẩn

và công nghệ, đại học Clorado ở Boulder và viện công nghệ Massachusetts

Ta biết rằng các hành vi động lực học của một chất khí ở nhiệt độ phòng không bị ảnh hưởng bởi thực tế một nguyên tử không thể phân biệt với nguyên tử khác, phù hợp với nguyên lý bất định Heisenberg Vị trí nguyên tử được đánh dấu bởi bước sóng De Broglie

2 2

trong đók B là hằng số Boltzman, m là khối lượng nguyên tử, T là nhiệt độ khí

ở nhiệt độ phòng Bước sóng De Broglie nhỏ hơn rất nhiều so với khoảng cách trung bình giữa các nguyên tử Điều này có nghĩa là sóng vật chất của các nguyên tử riêng lẻ là không tương quan với nhau hoặc bị rối vào nhau và chúng có thể được mô tả bởi thống kê Boltzman

Khi khí được làm lạnh thì sự nhoè tăng lên và có nhiều hơn một nguyên tử ở mỗi hình lập phương kích thước dB Các hàm sóng của các nguyên tử liền kề chồng chất, các nguyên tử mất đi sự giống nhau hoặc bị rối vào nhau và hành

vi của khí được chi phối bởi thống kê lượng tử Do số lượng nguyên tử tăng đột ngột tạo cơ hội tìm thấy nhiều hơn một nguyên tử ở trong cùng một trạng thái

Chúng ta có thể suy nghĩ sóng vật chất trong khí bose như“dao động điều

hoà”, kết quả là ngưng tụ Bose – Einstein là sự chiếm đóng vĩ mô ở trạng thái

cơ bản của các nguyên tử khí Einstein đã miêu tả quá trình này như ngưng tụ không có tương tác và làm cho nó là một mô hình quan trọng của thống kê cơ học lượng tử

6

1.2 Boson – Các thành phần chính

Các hạt cơ bản có thể được phân loại thành hai nhóm cụ thể là boson và fecmion Các hạt đó có thể là các hạt cơ bản như các electron và các quark hoặc là các hạt phức hợp như proton hoặc hạt nhân nguyên tử, mỗi vật thể

hoặc là boson hoặc là fecmion

Việc mỗi vật thể như vậy là một boson hay là fecmion phụ thuộc vào một

tính chất gọi là spin nội tại Trong cơ học lượng tử , spin bị lượng tử hóa , các

hạt đó được gọi là boson – mang tên nhà vật lí Satyendia Nath Bose người Ấn

Độ, có spin nội tại là một số nguyên: các boson có thể có spin nội tại bằng 0,1,2,3…

Các fecmion mang tên của nhà vật lí Enrico người Ý, spin của nó có các

giá trị bán nguyên 1 3, ,

2 2 Mặc dù có những giá trị kỳ lạ của các giá trị bán nguyên của spin của fecmion, neutron, proton, và electron đều là các fecmion

với spin - 1

2 Bản chất của fecmion của hầu hết các hạt cơ bản xác định nhiều

tính chất của các vật xung quanh chúng ta Đặc biệt, nguyên lý loại trừ Pauli nói rằng: “hai fecmion cùng loại không bao giờ được tìm thấy tại cùng một vị

trí” Nguyên lý loại trừ quy định quy định cấu trúc của nguyên tử mà hóa hoc

dựa vào đó, do đó các electron với cùng spin không thể ở cùng một vị trí nên chúng nằm trên các quỹ đạo khác nhau bởi vậy vật chất không bị suy sụp Các boson thì thể hiện hoàn toàn trái ngược với các fecmion chúng có thể tìm thấy tại cùng một vị trí Ánh sáng được cấu tạo từ các photon là các boson, hai chùm sáng có thể chiếu sáng chính xác lên cùng một vị trí Thực vậy laser hoạt động dựa trên điều đó: các boson chiếm giữ cùng môt trạng thái cho phép laser có thể tạo ra các chùm sáng kết hợp mạnh của chúng Các chất siêu lỏng và các chất siêu dẫn cũng được cấu tạo từ các boson

1.3 Thống kê Bose – Einstein

Như ta đã biết boson có khả năng chiếm các trạng thái lượng tử Năm 1924, nhà vật lí người Ấn Độ Satyendia Nath Bose đã đưa ra một định luật thay thế

về bức xạ của vật đen của Planck, trong đó ông áp dụng cơ học vật lí thống kê

và coi các phần tử như các hạt không thể phân biệt (Bose – 1924)

Khí bose là những hạt không thể phân biệt được mô tả bởi hàm sóng đối xứng và không chịu sự chi phối của nguyên tử nguyên lí loại trừ Pauli; lí thuyết này sau đó được Anbert Einstein để tạo thành thống kê lượng tử mô tả các boson được gọi là thống kê Bose – Einstein cho biết sự chiếm đóng trung bình của hạt thứ  với năng lượng  là

8

lượng tiến tới  và trong trạng thái cơ bản là các trạng thái có mức năng lượng thấp nhất; số lượng boson chiếm ở các trạng thái cơ bản sẽ là vô hạn Bởi vậy khi năng lượng của boson giảm, boson có xu hướng chiếm ở các trạng thái cơ bản nhiều hơn cho tới khi tất cả các boson trong mẫu đều nằm ở trạng thái cơ bản Do đó phân bố là sự dự đoán sự tồn tại của sự chuyển pha đến một trạng thái ngưng tụ cơ bản của ngưng tụ Bose – Einstein một trạng thái hoàn mới của vật chất

1.4 Ngưng tụ Bose – Einstein đối với khí lí tưởng

Để xác định ( n) khi T 0, trong biểu thức (1.1) thì thế hóa học phải nằm trong giới hạn có giá trị nhỏ hơn so với năng lượng của trạng thái cơ bản (   o) Tổng số hạt trong hệ được xác định bởi công thức

   

3 2

2 3

2

4

   trong giới hạn cổ điển (z1khi 0) mật độ ngưng tụ

  3  3 .

2

dB

  (1.6) Khi dB dB( )T điều này tương ứng với một nhiệt độ tới hạn T cho quá c

trình chuyển đổi pha Bose – Einstein

10

 

3 2

2

,3

 Trường thế ngoài: tất cả các thí nghiệm với các loại khí loãng là sử dụng các bẫy thế ngoại Ta có thể thấy trường thế ngoài này có ảnh hưởng tới dạng cụ thể của các biểu thức (1.4) đến (1.8) nhưng sự tồn tại của giai đoạn chuyển pha BEC không hề bị ảnh hưởng

 Chiều không gian: ta có thể hiển thị trong không gian hai chiều một quá trình chuyển pha BEC của các boson ở trong bẫy ở một nhiệt độ tới hạn nằm trong giới hạn nhiệt động lực học (trong trường hợp này T c 0) Một thay đổi bất kì nào với bẫy thế có thể làm thay đổi toàn bộ tình trạng của hệ; nhưng hệ không gian hai chiều của boson trong bẫy cho thấy một quá trình thay đổi

11

nhiệt độ tới hạn T c 0; tuy nhiên trong hệ một chiều của các boson trong bẫy không có sự chuyển pha BEC khi chúng ở nhiệt độ tới hạn

 Boson không có khối lượng: cho  ck như là một mối quan hệ giữa

độ phân tán và nhiệt độ tới hạn, các photon là những ví dụ điển hình cho nguyên lý của tia laze

Cần lưu ý rằng trong quá trình chuyển pha BEC là một hiệu ứng lượng tử thực sự không như sự chuyển pha động lực học Rắn  lỏng khí ở đây tương tác hạt đóng vai trò chủ yếu Tuy nhiên trong thực tế giữa các phân tử khí tồn tại sự tương tác với nhau và điều này cho chúng ta thấy rằng chỉ với

mô hình khí lý tưởng là không đủ cho một lí thuyết miêu tả những tương tác

đã đưa ra ở trên, ở phần sau chúng ta sẽ nghiên cứu ảnh hưởng của tương tác trong BEC; qua đó chỉ ra rằng từ tính chất phi tuyến dẫn đến sự tồn tại của soliton được suy ra trực tiếp từ tương tác hạt

1.5 Lượng tử hóa lần 2

Trong công thức lượng tử hóa lần hai của hệ hạt tương tác trong một trường thế ngoài V extchúng được mô tả bởi hàm Hamiltonian có dạng như sau

là các toàn tử sinh cặp, hủy cặp tạo ra và hủy một hạt ở vi trí

r và V r r, Vr r  là trường thế tương tác của hai hạt khi nói đến trường thế tương tác giữa hai hạt là ám chỉ nói tới một xấp xỉ gần đúng nhất, áp dụng cho các hệ khí nguyên tử như tương tác bậc cao (ví dụ với tương tác do nhiều hạt gây ra) là không đáng kể cho các hệ như vậy

12

Các tính chất của các boson của hệ được thể hiện bởi toán tử, ta có mối liên

hệ giao hoán cho các trường toán tử như sau

là các toán tử tương ứng cho sự sinh hay hủy một phương trình hàm sóng của boson (một boson ở trong trạng thái α)

Các toán tử này được tìm thấy trong không gian FOCK như sau

 các toán tử sinh, hủy có thể biểu diễn qua biểu thức

của toán tử trường chúng đóng vai trò quan trọng về sau

1.6 Một số kết quả cơ bản của thuyết tán xạ

Để đơn giản hơn ta bỏ qua thế năng ngoài, chuyển động tương đối của hai

nguyên tử xác định xác định bởi Hamiltonian

khối lượng Như ta đã biết trong cơ học lượng tử cho một hố thế hữu hạn (V(r

>b) =0) các hàm sóng là nghiệm của phương trình Srodinger

,

rel

H   Enghiệm này có thể viết dưới dạng như sau

tán xắc phụ thuộc vào

'

r n r

 Trong khu vực tìm cận nó được cho bởib,

r  2

kb cùng với thế tán sắc V kết hợp vào hàm sóng thành một biểu thức