Đề cương khóa luận Hình thức luận Bogoliubov trogn ngưng tụ Bose Einstein

đề cương nghiên cứu về hình thức luận Bogoliubov trong ngưng tụ Bose Einstein. Đề cương trình bày đầy đủ nội dung, ngắn gọn, rõ ràng, dễ hiểu. Giúp thầy cô và các bạn nhanh chong nắm bắt được vấn đề. Đặc biệt đây là một nội dung mới.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ

TRẦN THỊ HUẾ

HÌNH THỨC LUẬN BOGOLIUBOV TRONG

NGƯNG TỤ BOSE - EINSTEIN

Chuyên ngành: Vật lí lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS NGUYỄN VĂN THỤ

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Văn Thụ, người đãtận tình giúp đỡ, chỉ bảo và cung cấp cho tôi những kiến thức nền tảng để tôihoàn thành bài khóa luận này Thầy cũng là người giúp tôi ngày càng tiếp cận

và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc cùng thầy.Trong quá trình học tập, trưởng thành và đặc biệt là giai đoạn thực hiệnkhóa luận, tôi nhận được sự dạy dỗ ân cần, những lời động viên và chỉ bảocủa các thầy cô Qua đây, cho phép tôi bày tỏ sự biết ơn chân thành tới cácthầy cô trong tổ lý thuyết, khoa vật lý, trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2.Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến những người thân tronggia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho tôi trongsuốt quá trình học tập và hoàn thiện khóa luận này

Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Trần Thị Huế

LỜI CAM ĐOAN

Tên tôi là: Trần Thị Huế, sinh viên khóa 2010 – 2014 khoa Vật lý –Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Tôi xin cam đoan đề tài: “Hình thức luận Bogoliubov trong ngưng tụBose - Einstein”, là kết quả nghiên cứu, thu thập của riêng tôi Các luận cứ,kết quả thu được trong đề tài là trung thực, không trùng với các tác giả khác.Nếu có gì không trung thực trong khóa luận tôi xin hoàn toàn chịu tráchnhiệm trước hội đồng khoa học

Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Trần Thị Huế

M C L C ỤC LỤC ỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN

LỜI CAM ĐOAN

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích của đề tài 2

3 Đối tượng nghiên cứu 2

4 Phạm vi nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Bố cục của khóa luận 2

NỘI DUNG 3

CHƯƠNG 1: LÍ THUYẾT CHUNG VỀ NGƯNG TỤ BOSE - EINSTEIN 3

1.1 Hệ hạt đồng nhất 3

1.2 Làm lạnh nguyên tử 4

1.3 Ngưng tụ Bose - Einstein đối với khí boson lí tưởng 6

1.4 Quá trình thực nghiệm hình thành một ngưng tụ Bose - Einstein 10

CHƯƠNG 2: HÌNH THỨC LUẬN BOGOLIUBOV TRONG 11

NGƯNG TỤ BOSE - EINSTEIN 11

2.1 Khí boson đồng nhất 11

2.1.1 Phép biến đổi Bogoliubov 11

2.1.2 Các năng lượng kích thích ở trạng thái cơ bản 13

2.1.3 Sự suy giảm của ngưng tụ 14

2.1.4 Năng lượng ở trạng thái cơ bản 16

2.1.5 Các trạng thái với số lượng hạt xác định 18

2.2 Sự kích thích của khí bị bẫy 19

2.3 Nhiệt độ khác không 25

2.3.1 Gần đúng Hartree - Fock 26

2.3.2 Gần đúng Popov 30

2.3.3 Sự kích thích trong khối khí đồng nhất 31

2.3.4 Phép gần đúng bán cổ điển 32

KẾT LUẬN 36

TÀI LIỆU THAM KHẢO 37

M Đ U Ở ĐẦU ẦU

1 Lí do ch n đ tài ọn đề tài ề tài

Trên thế giới, vào năm 1995 đã xảy ra một đột biến mới trong công nghệ Đó

là việc tạo ra ngưng tụ Bose - Einstein (BEC) - một hiện tượng lượng tử kì lạ,được quan sát thấy ở pha loãng khí nguyên tử

Đầu thế kỉ 20 (1920) khi từ công thức lý thuyết trong ngưng tụ Bose Einstein dự đoán sẽ xuất hiện trạng thái BEC và mới chỉ nêu được tính chất

-cơ bản của nó Đó là một khối các hạt đồng nhất và có spin nguyên, chúngđều ở trong cùng trạng thái cơ bản như nhau Dừng lại ở đó cho tới khi chếtạo được BEC trong thực tế, một loạt tính chất quan trọng chưa từng biết đếntrước đây đã được phát hiện Đây là trạng thái của vật chất hoàn toàn mới,không giống với trạng thái vật chất nào mà con người được biết

BEC được chế tạo từ các nguyên tử kiềm và từ các nguyên tử Hidro bằngcách làm lạnh và sau đó giam khối khí loãng nguyên tử trong một bẫy từmạnh Đây là một tập thể các nguyên tử đồng nhất, chúng có một trạng tháilượng tử, mô tả bằng cùng một hàm sóng, chúng có tính chất đồng bộ như cácphoton của một chùm laze Chính vì thế Gross - Pitaevskii chủ yếu nghiêncứu trạng thái dừng, dựa trên giả thuyết tất cả các nguyên tử nằm ở trạng thái

cơ bản Thực tế vẫn có một số lượng các nguyên tử không nằm ở mức cơ bản

mà nằm ở mức kích thích Nên để tính được ảnh hưởng của các nguyên tử ởmức kích thích người ta phải tính tới các dao động bề mặt Và Bogoliubov đãnghiên cứu các dao động bề mặt của ngưng tụ Bose - Einstein trên cơ sởphương pháp lượng tử hóa lần 2

Hướng đi này đã chế tạo ra BEC từ các nguyên tử Helli ở trạng tháikích thích và hứa hẹn mang lại nhiều triển vọng ứng dụng trong tương lai.Xuất phát từ việc tìm hiểu triển vọng ứng dụng BEC tôi lựa chọn đề tài

“Hình thức luận Bogoliubov trong ngưng tụ Bose - Einstein”

2 M c đích c a đ tài ục đích của đề tài ủa đề tài ề tài

Nghiên cứu hình thức luận Bogoliubov trong ngưng tụ Bose - Einsteinnhằm giới thiệu hình thức nghiên cứu của Bogoliubov trong ngưng tụ Bose -Einstein và những ứng dụng quan trọng của BEC

3 Đ i t ối tượng nghiên cứu ượng nghiên cứu ng nghiên c u ứu

Các nguyên tử không nằm ở mức cơ bản mà nằm ở mức kích thích, xét cácdao động bề mặt của ngưng tụ Bose - Einstein trên cơ sở phương pháp lượng

tử hóa lần 2

4 Ph m vi nghiên c u ạm vi nghiên cứu ứu

Đề tài nghiên cứu các nguyên tử ở mức kích thích và xét các dao động bề mặtcủa ngưng tụ Bose - Einstein

5 Ph ương pháp nghiên cứu ng pháp nghiên c u ứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận

- Sử dụng thống kê cổ điển, lượng tử và các phép tính giải tích toán học khác

- Đọc và tra cứu tài liệu

6 B c c c a khóa lu n ối tượng nghiên cứu ục đích của đề tài ủa đề tài ận

- Chương 1: Lí thuyết chung về ngưng tụ Bose - Einstein

- Chương 2: Hình thức luận Bogoliubov trong ngưng tụ Bose - Eienstein

N I DUNG ỘI DUNG

CH ƯƠNG 1: LÍ THUYẾT CHUNG VỀ NGƯNG TỤ BOSE NG 1: LÍ THUY T CHUNG V NG NG T BOSE ẾT CHUNG VỀ NGƯNG TỤ BOSE Ề NGƯNG TỤ BOSE Ư ỤC LỤC - EINSTEIN

Trong chương này sẽ giới thiệu về ngưng tụ Bose - Einstein, điều kiện để xuấthiện ngưng tụ Bose - Einstein, làm lạnh nguyên tử để có được ngưng tụ Bose-Einstein đối với khí boson lí tưởng và quá trình thực nghiệm hình thành mộtngưng tụ Bose - Einstein

1.1 H h t đ ng nh t ệ hạt đồng nhất ạm vi nghiên cứu ồng nhất ất

Ngưng tụ Bose - Einstein là một hiện tượng lượng tử kì lạ đã được quansát thấy ở pha loãng khí nguyên tử lần đầu tiên vào năm 1995 và bây giờ là đềtài chính trong lí thuyết và thực nghiệm

Einstein đã tổng quát hóa lí thuyết của Bose thành khí lí tưởng của hệ hạtđồng nhất nguyên tử hay phân tử, mà số lượng hạt được bảo toàn Cùng thờigian đó, dự đoán với nhiệt độ đủ thấp , các hạt sẽ nằm trong cùng trạng tháilượng tử thấp nhất của hệ Hiện tượng đó gọi là ngưng tụ Bose - Einstein(BEC), xảy ra đối với các hạt bốn có tổng số spin nguyên

Ngưng tụ Bose - Einstein và quá trình ngưng tụ đó được dự đoán cónhiều thuộc tính kì lạ và trong nhiều thí nghiệm đã cố gắng sản xuất ngưng tụBose - Einstein ở trong phòng thí nghiệm Cuối cùng vào năm 1995, nhómJILA ở một phòng thí nghiệm đã thu được bằng chứng thuyết phục cho ngưng

tụ Bose - Einstein trong khí loãng nguyên tử

Ở MIT đã xác minh được tính năng hấp dẫn mà ngưng tụ Bose Einstein nguyên tử giống như laser, hay lúc này sóng nguyên tử có tính kếthợp Trong nhiều năm thí nghiệm đã thành công trong việc quan sát sự kếthợp trực tiếp và đã giải thích bước đầu “nguyên tử laser” tạo ra một chùmnguyên tử tử kết hợp, tương tự photon phát ra bởi laser quang học

Các hành vi động lực học của một chất khí ở nhiệt độ phòng không bịảnh hưởng, bởi thực tế một nguyên tử không thể phân biệt với nguyên tử

khác, phù hợp với nguyên lí bất định Heisenberg, vị trí nguyên tử được đánh

dấu bởi bước sóng De Broglie

2 2

Vì khi khí được làm lạnh, sự nhòe tăng lên và có nhiều hơn một nguyên

tử ở mỗi hình lập phương kích thước  Các hàm sóng của nguyên tử liềndB

kề sau đó chồng chất , các nguyên tử mất đi sự giống nhau và hành vi của khíđược chi phối bởi thống kê lượng tử Thống kê Bose - Einstein tăng đột ngộttạo cơ hội tìm nhiều hơn một nguyên tử trong cùng trạng thái, và chúng ta cóthể nghĩ sóng vật chất trong khí boson như “dao động điều hòa” Kết quả làngưng tụ Bose - Einstein là sự chiếm đóng vĩ mô ở trạng thái cơ bản của khí.Quá trình ngưng tụ không có tương tác làmột mô hình quan trọng của thống

kê cơ học lượng tử Sự phân bố mật độ ngưng tụ được miêu tả bởi hàm sóngđơn vi mô với biên độ và pha được xác định rõ, như một lĩnh vực cổ điển

1.2 Làm l nh nguyên t ạm vi nghiên cứu ử

Ngưng tụ Bose - Einstein như một hiện tượng quan trọng trong nhiều lĩnhvực vật lí, nhưng cho đến gần đây chỉ có bằng chứng cho ngưng tụ với Hêlisiêu lỏng Trường hợp của Hêli siêu lỏng, tương tác mạnh tồn tại trong chấtlỏng làm thay đổi bản chất của quá trình chuyển đổi, với mục đích là đạt đượcBEC trong khí nguyên tử loãng, khó khăn là làm mát khí tới nhiệt độ xungquanh hoặc dưới 1µK, đồng thời ngăn chặn nguyên tử ngưng tụ trở thành

nguyên tử Hydro đầu tiên được làm lạnh trong tủ lạnh thành pha loãng, sau đó

bị giam giữ bởi một từ trường và tiếp tục làm mát bằng bay hơi, cách làm này

đã tiến rất gần tới quan sát BEC, nhưng bị giới hạn bởi sự tương tác tái tổ hợpcủa từng nguyên tử với các phân tử cùng dạng và bị giới hạn bởi tính hiệu quảcủa việc phát hiện ngưng tụ

Những kĩ thuật làm mát bằng laser, làm mát phân cực gradient và bẫy

từ tính quang học đã được phát hiện để làm lạnh và bẫy nguyên tử Những kĩthuật này đã làm thay đổi sâu sắc bản chất làm lạnh Nguyên tử ở nhiệt độdưới mK hiện nay thường được sử dụng trong một loạt các thí nghiệm,nguyên tử kiềm rất thích hợp với các phương pháp dựa trên laser Các conđường thành công để có ngưng tụ Bose - Einstein là sự kết hợp hài hòa của

sự phát triển kĩ thuật làm lạnh cho Hydro và kiềm, một kim loại kiềm bốc hơilần đầu tiên làm lạnh và sau đó làm lạnh bằng bay hơi, làm mát bằng bay hơinguyên tử, năng lượng cao thoát ra khỏi mẫu nguyên tử vì vậy năng lượngtrung bình của nguyên tử còn lại giảm Sự va chạm đàn hồi làm phân bố nănglượng giữa các nguyên tử thay đổi, phân bố vận tốc của các nguyên tử nàytuân theo hình thức Maxwell - Boltzmann nhưng ở nhiệt độ thấp hơn, cácmẫu nguyên tử được làm lạnh bởi nhiều bậc cường độ và số lượng các nguyên

tử bị giam giữ giảm Với kim loại kiềm, khi làm mát thì làm thế nào mật độnguyên tử trong khi làm mát không thay đổi hoặc thay đổi không đáng kể,phương pháp quang học làm việc tốt nhất ở mức độ thấp, nơi mà ánh sánglaser không hấp thụ hoàn toàn mẫu nguyên tử Mặt khác đòi hỏi phải có mật

độ nguyên tử cao để đảm bảo làm mát nhanh chóng, yêu cầu tỉ lệ va chạm đànhồi cao, điều này phải đạt được trong một buồng chân không kéo dài tuổi thọcủa các khí bị giam giữ

Cho bay hơi và làm mát thì nguyên tử mất đi phải được cách li nhiệt từmôi trường xung quanh, điều này phải được thực hiện với các lĩnh vực điện,

vì ở nhiệt độ cực lạnh nguyên tử dính ở tất cả các bề mặt, phương pháp tốtnhất cho chất kiềm là giam bằng từ trường Sau khi nguyên tử bị giam giữ vàlàm lạnh bằng laser, tất cả ánh sáng được tắt và xây dựng xung quanh nguyên

tử một điện thế Điều này hạn chế các nguyên tử chỉ ở trong một khu vực nhỏcủa không gian Nguyên tử chỉ có thể làm mát bằng bay hơi nếu thời gian cầnthiết là ngắn hơn nhiều so với thời gian sống của một nguyên tử trong bẫy, đòihỏi một cái bẫy giam kín chứa mật độ cao Các thí nghiệm lần đầu tiên quansát BEC là sử dụng bẫy cực từ tuyến tính

1.3 Ng ng t Bose ư ục đích của đề tài - Einstein đ i v i khí boson lí t ối tượng nghiên cứu ới khí boson lí tưởng ưởng ng

Theo công thức của thống kê Bose - Einstein, số hạt trung bình có nănglượng trong khoảng từ  đến  d là bằng

trong đó dN( ) là số các mức năng lượng trong khoảng từ  đến  d

Ta đi tìm dN( ) Theo quan điểm lượng tử, các hạt boson chứa trong

thể tích Vcó thể xem như các hạt sóng dừng De Broglie Vì vậy có thể xác

định dN( ) bằng cách áp dụng công thức

2 2

Bởi vì các hạt có thể định hướng spin khác nhau, nên số trạng thái khả

dĩ ứng với cùng giá trị của spin s của hạt g = 2s + 1 Do đó, số các mức năng

lượng trong khoảng  đến  d bằng

3

2 3

2( )

 0. (1.11) Thực vậy, hạt trung bình dn( ) chỉ có thể là một số dương, do đó theo(1.9), điều kiện đó chỉ thỏa mãn khi mẫu ở (1.9) là luôn luôn dương (nghĩa là

khi   , để cho 0 exp

2 0

0

0

2 0

exp

.exp

1

d d

Do đó, khi nhiệt độ hạ xuống có thể tăng từ một giá trị âm đến giá trị lớnhơn (nhưng vẫn âm) và có thể đạt tới giá trị cực đại bằng không (= 0), từphương trình (1.10)

3 2 0

4

He , ngay cả đối với khối lượng riêng của chất lỏng Hêli vào cỡ 120kg/m3 ta

được T0 = 2,19 K.

Khi nhiệt độ đó khác không và vì vậy sẽ tồn tại một khoảng nhiệt độ nào

đó thấp hơn nhiệt độ tới hạn T0, nghĩa là

0 0, (1.16)Trong khoảng nhiệt độ đó hiển nhiên   Nhưng khi đó, với 0  0điều

kiện (1.10) chỉ có thể thỏa mãn khi số hạt NN Thực vậy, với  0 và0

  điều kiện (1.10) có dạng phương trình (1.14), từ đó

Do số hạt trong hệ được bảo toàn, vì vậy kết quả vừa thu được phải được

chấp nhận Điều mà NN khi  0 chỉ ra rằng số hạt toàn phần N chỉ có một phần số hạt N có thể phân bố theo mức năng lượng một cách tương ứng

với công thức (1.1) tức là

đó nằm trên mức năng lượng thấp nhất, nghĩa là chúng nằm ở một pha khác

mà người ta quy ước gọi là pha ngưng tụ.

Như vậy ở nhiệt độ thấp hơn T0 một phần các hạt của khí boson sẽ nằm ở

mức năng lượng thấp nhất (năng lượng không) và các hạt còn lại sẽ đượcphân bố trên các mức khác theo định luật

tuyệt đối (T = 0) tất cả các hạt của khí boson sẽ nằm ở mức không.

1.4 Quá trình th c nghi m hình thành m t ng ng t ực nghiệm hình thành một ngưng tụ ệ hạt đồng nhất ột ngưng tụ ư ục đích của đề tài Bose - Einstein

Quá trình ngưng tụ Bose - Einstein là quá trình chuyển pha: từ một hệ không

có dao động nhiệt (chỉ có dao động lượng tử) ở nhiệt độ T0 > 0K nào đó.

Có thể được diễn tả như sau: Xét một hệ khí boson lý tưởng tức là các hệ cóspin nguyên và không tương tác lẫn nhau Khi nhiệt độ của hệ khá lớn so với0K thì tất cả các hạt của hệ đều ở mức năng lượng lớn hơn 0 Giảm dần nhiệt

độ của hệ thì các hạt trong hệ cũng dần ở những mức năng lượng thấp hơn

Giảm dần nhiệt độ T0 nào đó thì bắt đầu có những hạt (phải) có năng lượng

bằng 0 tăng dần và khi tới nhiệt độ 0K thì toàn bộ số hạt của hệ đều nằm ởmức có năng lượng bằng 0.Quá trình này là quá trình chuyển pha từ pha

chuyển động nhiệt về pha không có chuyển động nhiệt Đó chính là quá trìnhngưng tụ Bose - Einstein

Việc tạo ra ngưng tụ đó được tiến hành cụ thể như sau: Người ta giảm nhiệt

độ bằng cách làm lạnh Sử dụng cách làm lạnh cho bay hơi các nguyên tử cònnóng, sau đó cho khối khí loãng nguyên tử này giam trong một bẫy từ mạnh

để các nguyên tử không thể va chạm vào thành bình mà chỉ quanh quẩn ở khutrung tâm Để cho các nguyên tử còn nóng có thể bay thoát khỏi bẫy,người tadùng một từ trường yếu hoặc một sóng điện từ yếu tác động lên khối cácnguyên tử Khi đó chỉ còn lại khối các nguyên tử chuyển động rất chậm, tức

là nhiệt độ khối nguyên tử đã hạ xuống rất rất thấp vào khoảng vài chục phần

tỉ kenvil cách 0K Như thế là ta tạo ra được ngưng tụ Bose - Einstein với khốikhí đó

CH ƯƠNG 1: LÍ THUYẾT CHUNG VỀ NGƯNG TỤ BOSE NG 2: HÌNH TH C LU N BOGOLIUBOV TRONG ỨC LUẬN BOGOLIUBOV TRONG ẬN BOGOLIUBOV TRONG

Trong chương này sẽ giới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thíchng này sẽ gi i thi u v khí boson đ ng nh t, s kích thíchới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ề khí boson đồng nhất, sự kích thích ồng nhất, sự kích thích ất, sự kích thích ự kích thích

c a khí khi b b y và ng ng t Bose - Einstein v i nhi t đ khác không.ị bẫy và ngưng tụ Bose - Einstein với nhiệt độ khác không ẫy và ngưng tụ Bose - Einstein với nhiệt độ khác không ư ụ Bose - Einstein với nhiệt độ khác không ới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ộ khác không.Các h t boson tuân theo th ng kê Bose - Einstein Đ i v i mô hình khí líống kê Bose - Einstein Đối với mô hình khí lí ống kê Bose - Einstein Đối với mô hình khí lí ới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích

tư ng (không có tương này sẽ giới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thíchng tác gi a các boson) Khi nhi t đ đ t g n đữa các boson) Khi nhiệt độ đạt gần độ ệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ộ khác không ần độ ộ khác không.không tuy t đ i thì t t c các boson t n t i cùng m t tr ng thái lệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ống kê Bose - Einstein Đối với mô hình khí lí ất, sự kích thích ả các boson tồn tại ở cùng một trạng thái lượng ồng nhất, sự kích thích ộ khác không ượngng

t v i năng lới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ượngng th p nh t Đó chính là ng ng t Bose - Einstein Trongất, sự kích thích ất, sự kích thích ư ụ Bose - Einstein với nhiệt độ khác không

trư ng h p m t h khí lí tợng ộ khác không ệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ư ng ba chi u t n t i nhi t đ chuy n pha màề khí boson đồng nhất, sự kích thích ồng nhất, sự kích thích ệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ộ khác không ển pha mà

h khí sẽ ng ng t nhi t đ th p h n nhi t đ này Đ i v i h khíệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ư ụ Bose - Einstein với nhiệt độ khác không ệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ộ khác không ất, sự kích thích ơng này sẽ giới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ộ khác không ống kê Bose - Einstein Đối với mô hình khí lí ới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ệu về khí boson đồng nhất, sự kích thíchboson có tương này sẽ giới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thíchng tác (mô hình khí th c), theo lí thuy t có t n t i nhi t đự kích thích ết có tồn tại nhiệt độ ồng nhất, sự kích thích ệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ộ khác không.chuy n pha mà khí boson có th ng ng t ngay trong các h hai chi uển pha mà ển pha mà ư ụ Bose - Einstein với nhiệt độ khác không ệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ề khí boson đồng nhất, sự kích thích(Bogoliubov - Pitaevskii)

2.1 Khí boson đ ng nh t ồng nhất ất

2.1.1 Phép bi n đ i Bogoliubov ến đổi Bogoliubov ổi Bogoliubov

Xét h đệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ượngc mô t b i Hamilton ả các boson tồn tại ở cùng một trạng thái lượng

hˆ 0(a a b bˆ ˆ ˆ ˆ) 1(a a baˆ ˆ ˆˆ),

v i ới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích  và 0  là nh ng 1 ữa các boson) Khi nhiệt độ đạt gần độ c - s Các toán t ống kê Bose - Einstein Đối với mô hình khí lí ˆa

và ˆa l n lần độ ượngt là toán t sinh và

h y boson trong tr ng thái v i xung lới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ượngng p, toán t ˆb

và ˆb tương này sẽ giới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thíchng ngứng

c a tr ng thái v i xung lới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ượngng –p

Các giá tr riêng và tr ng thái riêng c a hàm Hamilton này có th thuị bẫy và ngưng tụ Bose - Einstein với nhiệt độ khác không ển pha mà

đượngc b ng cách th c hi n phép bi n đ i kinh đi n Phằng cách thực hiện phép biến đổi kinh điển Phương pháp này đã ự kích thích ệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ết có tồn tại nhiệt độ ổi kinh điển Phương pháp này đã ển pha mà ương này sẽ giới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thíchng pháp này đã

đượngc ch ng minh là r t hi u qu và đứng ất, sự kích thích ệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ả các boson tồn tại ở cùng một trạng thái lượng ượngc s d ng r ng rãi trong líụ Bose - Einstein với nhiệt độ khác không ộ khác không.thuy t siêu d n và t tính cũng nh trong các lĩnh v c khác.ết có tồn tại nhiệt độ ẫy và ngưng tụ Bose - Einstein với nhiệt độ khác không ừ tính cũng như trong các lĩnh vực khác ư ự kích thích

Các toán t sinh và h y boson tuân theo các h th c giao hoán sauệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ứng

d ng(2.2) ta th y ụ Bose - Einstein với nhiệt độ khác không ất, sự kích thích u và v ph i th a mãn đi u ki n:ả các boson tồn tại ở cùng một trạng thái lượng ỏa mãn điều kiện: ề khí boson đồng nhất, sự kích thích ệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích

vi c bi n đ i ngh ch đ o tệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ết có tồn tại nhiệt độ ổi kinh điển Phương pháp này đã ị bẫy và ngưng tụ Bose - Einstein với nhiệt độ khác không ả các boson tồn tại ở cùng một trạng thái lượng ương này sẽ giới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thíchng ng v i (ứng ới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích 2.3) là

b ng cách ch n ằng cách thực hiện phép biến đổi kinh điển Phương pháp này đã ọn u và v đ h sển pha mà ệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ống kê Bose - Einstein Đối với mô hình khí lí

c a nó b ng khôngằng cách thực hiện phép biến đổi kinh điển Phương pháp này đã

và ˆ



, cho  là th c, và ự kích thích 0  1.

N u ết có tồn tại nhiệt độ 0  1 , năng lượngng kích thích có s bi n đ i, tự kích thích ết có tồn tại nhiệt độ ổi kinh điển Phương pháp này đã ương này sẽ giới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thíchng ng v i m tứng ới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ộ khác không

s b t n đ nh c a h ự kích thích ất, sự kích thích ổi kinh điển Phương pháp này đã ị bẫy và ngưng tụ Bose - Einstein với nhiệt độ khác không ệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích

2.1.2 Các năng l ượng kích thích ở trạng thái cơ bản ng kích thích tr ng thái c b n ở trạng thái cơ bản ạng thái cơ bản ơ bản ản

S d ng các k t qu ph n trụ Bose - Einstein với nhiệt độ khác không ết có tồn tại nhiệt độ ả các boson tồn tại ở cùng một trạng thái lượng ần độ ưới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thíchc đó ta đ a Hamiltonư

trong đó aˆptương này sẽ giới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thíchng ng v i ứng ới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ˆa trong các mô hình đ n gi n, ơng này sẽ giới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ả các boson tồn tại ở cùng một trạng thái lượng aˆp

tương này sẽ giới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thíchng ngứng

Ph năng lổi kinh điển Phương pháp này đã ượngng trên cho k t q a chính xác tết có tồn tại nhiệt độ ương này sẽ giới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thíchng ng v i k t qu đã tìmứng ới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ết có tồn tại nhiệt độ ả các boson tồn tại ở cùng một trạng thái lượng

ra Cho p nh , năng lỏa mãn điều kiện: ượngng là  p sp, khi đó

p p

p p

Vì thế, hệ sẽ được biểu hiện như một tập hợp các boson không tương tác

với năng lượng tuân theo phổ Bogoliubov Trong gần đúng bậc 3, bậc 4 của ˆ và ˆcó

trong Hamilton, các kích thích được hạ xuống và thay đổi các mức năng lượng có liên quan đến phổ Bogoliubov (2.17).

2.1.3 S suy gi m c a ng ng t ự suy giảm của ngưng tụ ản ủa ngưng tụ ư ụ

Số hạt được cho bởi phương trình

0 ( 0)

bi u th c này ta có th nói r ng s h ng đ u tiên chính là s nguyên tển pha mà ứng ển pha mà ằng cách thực hiện phép biến đổi kinh điển Phương pháp này đã ống kê Bose - Einstein Đối với mô hình khí lí ần độ ống kê Bose - Einstein Đối với mô hình khí lítrong tr ng thái ng ng t S h ng th 2 bi u di n s thi u h t c aư ụ Bose - Einstein với nhiệt độ khác không ống kê Bose - Einstein Đối với mô hình khí lí ứng ển pha mà ễn sự thiếu hụt của ự kích thích ết có tồn tại nhiệt độ ụ Bose - Einstein với nhiệt độ khác không

ng ng t do các tư ụ Bose - Einstein với nhiệt độ khác không ương này sẽ giới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thíchng tác khi không có m t kích thích th c nào tr ngộ khác không ự kích thích "thái c b n c a khí không tơng này sẽ giới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ả các boson tồn tại ở cùng một trạng thái lượng ương này sẽ giới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thíchng tác, không ph i t t c các h t đ u cóả các boson tồn tại ở cùng một trạng thái lượng ất, sự kích thích ả các boson tồn tại ở cùng một trạng thái lượng ề khí boson đồng nhất, sự kích thíchxung lượngng b ng không vì tằng cách thực hiện phép biến đổi kinh điển Phương pháp này đã ương này sẽ giới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thíchng tác gi a các c p h t pha tr n v i cácữa các boson) Khi nhiệt độ đạt gần độ ặc ộ khác không ới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thíchnguyên t các tr ng thái khác Do đó xác su t c a m t nguyên t đangất, sự kích thích ộ khác không.trong tr ng thái có momen xung lượngng b ng không gi m Cu i cùng làằng cách thực hiện phép biến đổi kinh điển Phương pháp này đã ả các boson tồn tại ở cùng một trạng thái lượng ống kê Bose - Einstein Đối với mô hình khí lí

đi u ki n tề khí boson đồng nhất, sự kích thích ệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ương này sẽ giới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thíchng ng v i s suy gi m c a ng ng t do s có m t c aứng ới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ự kích thích ả các boson tồn tại ở cùng một trạng thái lượng ư ụ Bose - Einstein với nhiệt độ khác không ự kích thích ặc

m t kích thích th c Đ i v i các toán t có tr ng thái riêng c a Hamiltonộ khác không ự kích thích ống kê Bose - Einstein Đối với mô hình khí lí ới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích

(2.16) thì giá tr trung bình c a ị bẫy và ngưng tụ Bose - Einstein với nhiệt độ khác không  ˆ ˆp p

 



và liên h p Hermit c a nó bi nợng ết có tồn tại nhiệt độ

m t và do đó các toán t tất, sự kích thích ương này sẽ giới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thíchng đương này sẽ giới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thíchng có th đển pha mà ượngc vi t làết có tồn tại nhiệt độ

0

0 0

  

vùng xung l" ượngng l n, sới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ống kê Bose - Einstein Đối với mô hình khí lí

h t tương này sẽ giới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thíchng ng v i kích thích có chi u hứng ới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ề khí boson đồng nhất, sự kích thích ưới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thíchng ti n đ n b ng đ n v , vì cácết có tồn tại nhiệt độ ết có tồn tại nhiệt độ ằng cách thực hiện phép biến đổi kinh điển Phương pháp này đã ơng này sẽ giới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ị bẫy và ngưng tụ Bose - Einstein với nhiệt độ khác không.kích thích cho các h t t do, trong khi s h t hi u d ng phân kì có xungự kích thích ống kê Bose - Einstein Đối với mô hình khí lí ệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ụ Bose - Einstein với nhiệt độ khác không

lượngng nh là ỏa mãn điều kiện: ms/p.

S suy gi m c a tr ng thái c b n nhi t đ không đự kích thích ả các boson tồn tại ở cùng một trạng thái lượng ơng này sẽ giới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ả các boson tồn tại ở cùng một trạng thái lượng ệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ộ khác không ượngc tính b ng cáchằng cách thực hiện phép biến đổi kinh điển Phương pháp này đãxét s h ng th hai trong phống kê Bose - Einstein Đối với mô hình khí lí ứng ương này sẽ giới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thíchng trình (2.22) và th y s h t trên m iất, sự kích thích ống kê Bose - Einstein Đối với mô hình khí lí ỗi

đ n v th tích trong tr ng thái kích thích ơng này sẽ giới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ị bẫy và ngưng tụ Bose - Einstein với nhiệt độ khác không ển pha mà

là m t đ các h t không ng ng t trong không gian ập có ộ khác không ư ụ Bose - Einstein với nhiệt độ khác không.

3

, v i ới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích  là đ dàiộ khác không

t ng h p S suy gi m này có th thu đổi kinh điển Phương pháp này đã ợng ự kích thích ả các boson tồn tại ở cùng một trạng thái lượng ển pha mà ượngc b ng cách s d ng k t quằng cách thực hiện phép biến đổi kinh điển Phương pháp này đã ụ Bose - Einstein với nhiệt độ khác không ết có tồn tại nhiệt độ ả các boson tồn tại ở cùng một trạng thái lượng

(2.18) v i các ới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích

2 0

c a ng ng t là nh và bi u th c (2.25) ch đư ụ Bose - Einstein với nhiệt độ khác không ỏa mãn điều kiện: ển pha mà ứng ỉ số ượngc tính đ n khi kho ngết có tồn tại nhiệt độ ả các boson tồn tại ở cùng một trạng thái lượngcách gi a các h t l n h n so v i chi u dài tán x ữa các boson) Khi nhiệt độ đạt gần độ ới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ơng này sẽ giới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ề khí boson đồng nhất, sự kích thích

2.1.4 Năng l ượng kích thích ở trạng thái cơ bản ng tr ng thái c b n ở trạng thái cơ bản ạng thái cơ bản ơ bản ản

Vi c tính các giá tr b c cao c a năng lệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ị bẫy và ngưng tụ Bose - Einstein với nhiệt độ khác không ập có ượngng đòi h i ph i vỏa mãn điều kiện: ả các boson tồn tại ở cùng một trạng thái lượng ượngt qua đượngc

g n đúng b c không, trong đó tần độ ập có ương này sẽ giới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thíchng tác hi u d ng đệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ụ Bose - Einstein với nhiệt độ khác không ượngc thay b ngằng cách thực hiện phép biến đổi kinh điển Phương pháp này đã

Khi đó p2 đượngc tìm b ng cách xét các bi u th c năng lằng cách thực hiện phép biến đổi kinh điển Phương pháp này đã ển pha mà ứng ượngng

E0 tr ng thái c b n, đó là m t trong nh ng k t qu thu đơng này sẽ giới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ả các boson tồn tại ở cùng một trạng thái lượng ộ khác không ữa các boson) Khi nhiệt độ đạt gần độ ết có tồn tại nhiệt độ ả các boson tồn tại ở cùng một trạng thái lượng ượng ừ tính cũng như trong các lĩnh vực khác ển pha màc t bi u

M t cách hình th c thì phép l y t ng có giá tr vào b c ộ khác không ứng ất, sự kích thích ổi kinh điển Phương pháp này đã ị bẫy và ngưng tụ Bose - Einstein với nhiệt độ khác không ập có

2 0

U

, ta có th th yển pha mà ất, sự kích thích

b ng cách m r ng t ng cho ằng cách thực hiện phép biến đổi kinh điển Phương pháp này đã ộ khác không ổi kinh điển Phương pháp này đã p l n Trong lí thuy t nhi u lo n, s tới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ết có tồn tại nhiệt độ ễn sự thiếu hụt của ự kích thích ương này sẽ giới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thíchngtác sẽ đượngc đ a vào quá trình chuy n đ i sang tr ng thái trung gian, khiư ển pha mà ổi kinh điển Phương pháp này đãhai h t tương này sẽ giới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thíchng tác tùy ý có xung lượngng cao Đ tính đển pha mà ượngc giá tr phù h pị bẫy và ngưng tụ Bose - Einstein với nhiệt độ khác không ợng

c a năng lượngng tr ng thái c b n ngơng này sẽ giới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ả các boson tồn tại ở cùng một trạng thái lượng ư i ta ph i s d ng m t tả các boson tồn tại ở cùng một trạng thái lượng ụ Bose - Einstein với nhiệt độ khác không ộ khác không ương này sẽ giới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thíchng tác

hi u d ng ệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ụ Bose - Einstein với nhiệt độ khác không U(pc), trong đó có tính đ n các tr ng thái trung gian v i xungết có tồn tại nhiệt độ ới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích

lượngng l n h n ới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ơng này sẽ giới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích pc Do đó năng lượngng tr ng thái c b n làơng này sẽ giới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ả các boson tồn tại ở cùng một trạng thái lượng

, cho năng l ng ượng E và cho các giá trị bẫy và ngưng tụ Bose - Einstein với nhiệt độ khác không.

pc nh thu đỏa mãn điều kiện: ượng ừ tính cũng như trong các lĩnh vực khác.c t

tri t tiêu khi ệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích E=0 Tương này sẽ giới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thíchng tác hi u d ng khi choệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ụ Bose - Einstein với nhiệt độ khác không pc nh và năng lỏa mãn điều kiện: ượngng

b ng không đằng cách thực hiện phép biến đổi kinh điển Phương pháp này đã ượngc cho b i

2 0

N u chúng ta ch n gi i h n trên c a xung lết có tồn tại nhiệt độ ọn ới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ượng plà l n so v i ng ới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ms nh ngư

l i nh so v i ỏa mãn điều kiện: ới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích a

, thì k t qu không ph thu c vào ết có tồn tại nhiệt độ ả các boson tồn tại ở cùng một trạng thái lượng ụ Bose - Einstein với nhiệt độ khác không ộ khác không pc và s d ng đi uụ Bose - Einstein với nhiệt độ khác không ề khí boson đồng nhất, sự kích thích

S h ng đ u tiên ch ra th t đ l n c a s thay đ i năng lống kê Bose - Einstein Đối với mô hình khí lí ần độ ỉ số ứng ự kích thích ộ khác không ới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ự kích thích ổi kinh điển Phương pháp này đã ượngng, là sống kê Bose - Einstein Đối với mô hình khí lí

lượngng c a các toán t v i s sóng nh h n nhi u đ dài k t h p, đây làới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ống kê Bose - Einstein Đối với mô hình khí lí ỏa mãn điều kiện: ơng này sẽ giới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích ề khí boson đồng nhất, sự kích thích ộ khác không ết có tồn tại nhiệt độ ợng

k t qu mong đ i l n đ u tiên thu đết có tồn tại nhiệt độ ả các boson tồn tại ở cùng một trạng thái lượng ợng ần độ ần độ ượng ừ tính cũng như trong các lĩnh vực khác.c t Lee và Yang

2.1.5 Các tr ng thái v i s l ạng thái cơ bản ới số lượng hạt xác định ố lượng hạt xác định ượng kích thích ở trạng thái cơ bản ng h t xác đ nh ạng thái cơ bản ịnh

Các Hamilton ban đ u ần độ