nguyên hàm tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối

TÍCH PHÂN CỦA HÀM CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI I.. PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Bài toán 1.

TÍCH PHÂN CỦA HÀM CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

I PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Bài toán 1 Tính tích phân: I = ∫ | |

Phương pháp: ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xét dấu biểu thức f(x,m) trên [a, b]

Từ đó phân được đoạn [a, b] thành các đoạn nhỏ, giả sử:

[a,b] = [a, c1] ∪[c1,c2] ∪…∪[ck b] mà trên mỗi đoạn f x m có 1 dấu

Bước 2: Khi đó I = ∫ | | ∫ | | ∫ | |

Chú ý: Phương pháp trên được mở rộng tự nhiên cho bài toán tổng quát:

I = ∫ | | | | | |]

Ví dụ 1 Tính tích phân I = ∫ | |

Ta đi xét dấu hàm sồ f(x) = x2 - x trên -1;4] ta được:

Khi đó I = ∫ ∫ ∫ )dx

= 19/2

Ví dụ 2 Tính tích phân I = ∫ | | | |

Ta đi xét dấu x+2 và x – 2 trên [-3;5], được:

x

F(x)

Khi đó:

I = - ∫ 4 ∫ ∫ 4

= - 4x| | 4 | =

Chú ý : Với các bài toán chứa tham số cần chỉ ra được các trường hợp riêng biệt của tham số để

khéo léo chia được khoảng cho tích phân, ta xét 2 dạng thường gặp trong phạm vi phổ thông sau:

Dạng 1: Với tích phân I = ∫ | |

Phương pháp

Khi với x ] cần xét các trường hợp:

TH1 Nếu thì:

I = ∫ = ( ) | =

TH2: Nếu a < < b thì:

I = ∫ ∫ = | + ( |

=

TH3: Nếu thì:

I= ∫ = ( ) | =

Dạng 2: Với tích phân

I = ∫ | |

Khi đó với x ] cần xét các trường hợp

TH1: Nếu = 4 thì:

I = ∫

TH2: Nếu thì = có 2 nghiệm phân biệt x1 < x2

+ Nếu x1 < x2 hoặc b x1 < x2 thì:

I = ∫

+ Nếu x1 x2 thì:

I = - ∫

+ Nếu x1 x thì:

I = - ∫ + ∫

+ Nếu thì :

I = ∫ - ∫

+ Nếu thì :

I = ∫ -∫ ∫

Chú ý : Với bài toán cụ thể thường thì các nghiệm x1; x2 có thể được so sánh tự nhiên với các cận a, b để giảm bớt các trường hợp cần xét và đây là điều học sinh cần lưu tâm

Ví dụ Tính tích phân:

I = ∫ | |

Giải:

Ta đi xét các trường hợp sau:

TH1: Nếu 1 thì:

I = - ∫ = ∫ = ( ) | =

TH2: Nếu 0 < a < 1 thì:

I = - ∫ ∫