b sin x2 là một nguyên hàm của sin 2x... PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM PHƯƠNG PHÁP 1 : Đổi biến số.. Dấu hiệu nhận biết khi dùng phương pháp đổi biến số.. Công thức của từng phần : udvu
Trang 1A NGUYÊN HÀM
ĐỊNH NGHĨA: Cho hàm số y f x xác định trên K, hàm số yF x được gọi là nguyên hàm của hàm số y f x trên K khi và chỉ khi:
K x
, ta có: F x' f x
Kí hiệu: f x dx F x
Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của hàm số sau: yx4x
Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số sau: y2sinx
Bài tập 1 (trang 100 SGK Giải tích 12): Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là nguyên hàm của
hàm số còn lại?
a) ex và ex; b) sin 2x và sin x2 ; c)
2
2
x
4
1 ex x
Có bao nhiêu cách để giải bài tập 1?
Có hai cách :
- Tính nguyên hàm
- Đạo hàm
Giải:
a) ex và exlà nguyên hàm của nhau
b) sin x2 là một nguyên hàm của sin 2x
1 ex
x
là một nguyên hàm của
2
2
x
Bài tập 2 ( trang 100, 101 SGK Giải tích 12): Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
f x
x
; b) ( ) 2 1
x
x
f x
e
sin cos
f x
d) f x ( ) sin 5 cos3 ; x x
LÝ THUYẾT NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
Trang 2e) f x ( ) tan2 x; h) 1
( ) (1 )(1 2 )
f x
g) f x ( ) e3 2 x
a, Đưa về hàm số chứa các lũy thừa của biến x,
F(x) = x5 / 3 x7 / 6 x2 / 3 C
2
3 7
6 5
3
-2 cot 2 sin x cos x dx sin 2 x dx x C
sin x cos x dx sin x cos x dx
d, Biến đổi thành tổng:
1 ( ) sin 5 cos 3 sin 8 sin 2 ;
2
F(x) = cos 8 x cos 2 x ) C
4
1
(
4
1
b, Biến đổi thành tổng các tích phân:
2 ln 2 1
(ln 2 1)
x
x
x
x
C
C e
cos
x
( ) tan -
g, Biến đổi vi phân, F(x) = e3 2x C
2 1
Trang 3
h, C
x
x
1
1
ln
3
1
hướng dẫn câu h:
3 / 2
; 3 / 1 0
2
1
) 2 1 )(
1 (
) 2 ( ) (
) 2 1
)(
1
(
) 1 ( )
2
1
(
2 1 1
) 2
1
)(
1
(
1
B A
B
A
B
A
x x
B A B
A x
x
x B x
A
x
B x
A x
x
ĐỊNH LÍ 1: Nếu hàm số yF x là nguyên hàm của hàm số y f x thì hàm số yF x c
cũng là nguyên hàm của hàm số y f x
Khi đó ta có: f x dx F x c với c là hằng số
ĐỊNH LÍ 2: Cho các hàm số uu x v , v x xác định trên K Khi đó ta có:
1 uv dx udxvdx
2 kvdxk vdx , với k là hằng số
Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp
1
a
1
axb
1
1
2 axb
1
ax b c
Trang 41
sin
1
axb 1tana
a x b c
2
1
cos
1
x
a
x
ln
x
ln
x
a
Trong đó: c là hằng số
PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
PHƯƠNG PHÁP 1 : Đổi biến số
Dấu hiệu nhận biết khi dùng phương pháp đổi biến số
1 f x g x dx , trong đó : g x' f x Đặt t g x
2 f u x v x dx , trong đó : u x' v x Đặt tu x
3 f x ,m f x dx , đặt tm f x
x
,
f x a x dx
, đặt xasint hoặc xacost
,
f x x a dx
sin
a x
t
,
f x x a dx
PHƯƠNG PHÁP 2 : Từng phần
Khi không có dấu hiệu nào của đổi biến số, ta dùng công thức từng phần
Công thức của từng phần : udvuvvdu
Một số dấu hiệu cơ bản khi dùng phương pháp từng phần
1 f x sinxd x, đặt
sin x
u f x
dx
2 f x cosxd x, đặt
cos x
u f x
dx
Trang 53 x
f x e dx
x
u f x
dv e d x
4 sin
x
d
e x x
sin
x
xdx
u e dv
5 excosx x d , đặt
cos
x
xdx
u e dv
x
dx
e x
x
dv e dx
7 f x ln xd x
ln
dv f x dx
B TÍCH PHÂN
Công thức Newton – leibnizt: b b
a a
f x dxF x F b F a
Tích phân từng phần: b b b
a
udv uv vdu
Định lí quan trọng: b c b
f x dx f x dx f x dx
b a
f x dx f x dx
BÀI TẬP VẬN DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT
Các bài toán sau đòi hỏi HS phải thuộc bảng nguyên hàm và các tính chất của nguyên hàm để vận dụng vào giải bài tập
Ngoài ra những kiến thức bổ trợ để giải bài tập dạng này là: công thức lượng giác, hàm số mũ – hàm
số logarit, bảng đạo hàm của các hàm số lượng giác, hàm số mũ – hàm số logarit
1 2x42 3
f x
x
2 2
2 2
1
x
f x
x
3 1 32
f x
4 2
si 2 2
f x 5 2
tanx cotx
f x 6 cos 22 2
f
x
7 f x 2sin 3 cx os 2x 8 2 2
cos
x
f x e
x
9 f x 2a x 3x
10 2 2
1
f x
x
11 2 5
f x
12 f x sin 7 cos5 cosx x x
Trang 616 2
2
1
x
f x
x
17 x3 1
f x
x
18 2
tan
19 2
cos
f x x 20 2 1 2
f x
21 f x sin 3x
21 f x 2sin 3 cos 2x x 22 f x e e x x 1 23 3x 1
f x e
Bài tập 2: Tìm nguyên hàm F x của hàm số f x thỏa mãn điều kiện:
1 2 7
3
f x x F 2 f x 4 xx F, 4 0
3 3 2
f x x x F 4 3 23 2 3 1 1
