Dãy lồi và một số ứng dụng

Hàm lồi, tập lồi và một số tính chất liên quan.. LỜI NÓI ĐẦUDãy số là một lĩnh vực khó và rất rộng, trong mỗi đề thi Olympic toántrong nước và quốc tế luôn có một bài toàn về dãy số.. Đi

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

HÀ NỘI - NĂM 2012

MỤC LỤC

Mở đầu 3

Chương 1 Hàm lồi, tập lồi và một số tính chất liên quan 5

1.1 Tập lồi 5

1.2 Một số tính chất của hàm lồi 8

1.3 Một số ký hiệu 16

Chương 2 Dãy lồi và dãy lồi logarit 20

2.1 Dãy lồi 20

2.1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản 20

2.1.2 Một số tiêu chuẩn nhận biết dãy lồi 26

2.2 Dãy lồi logarit 29

Chương 3 Một số ứng dụng 32

3.1 Ứng dụng vào các bài toán tìm phần nguyên 32

3.2 Ứng dụng vào các bài toán dãy số anzn+1 = bnzn+ cnzn−1 37

3.3 Ứng dụng vào các bài toán dãy số anzn+1 = bnzn− cnzn−1 40

3.4 Ứng dụng trong các bài toán bất đẳng thức đại số 43

3.5 Ứng dụng trong các bất đẳng thức lượng giác 48

Tài liệu trích dẫn 51

LỜI NÓI ĐẦU

Dãy số là một lĩnh vực khó và rất rộng, trong mỗi đề thi Olympic toántrong nước và quốc tế luôn có một bài toàn về dãy số Điều này cho thấy tầmquan trọng của mảng toán dãy số trong các đề thi học sinh giỏi toán Để giảiđược các bài toán về dãy số đòi hỏi người làm toán phải có kiến thức tổng hợp

về số học, đại số, giải tích Các vấn đề liên quan đến dãy số cũng rất đa dạng

và cũng có nhiều tài liệu viết về vấn đề này, các tài liệu này cũng thường viếtkhá rộng về các vấn đề của dãy số, các vấn đề được quan tâm nhiều hơn là cáctính chất số hoc và tính chất giải tích của dãy số

Là học viên cao học, công tác ở một trường trung học, nhằm đáp ứng chonhu cầu giảng dạy và học tập tôi chọn đề tài ” Dãy số lồi và áp dụng” Đây là

đề tài có ý nghĩa thực tiễn trong công tác giảng dạy, nó cho ta sự nhìn nhận sâuhơn, rộng hơn về các bài toán dãy số cơ bản trong giải tích

Nội dung của luận văn gồm các phần Lời nói đầu, Kết luận và được phânchia thành ba chương, đề cập đến các vấn đề sau

Chương 1 Hàm lồi, tập lồi và một số tính chất liên quan

Chương 2 Dãy lồi và dãy lồi logarit

Chương 3 Một số ứng dụng

Tác giả xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tới GS TSKHNguyễn Văn Mậu Thầy đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo cho học trò trong quátrình học tập, nghiên cứu và giúp đỡ tác giả hoàn thành được luận văn này.Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy giáo, cô giáo khoaToán - Cơ - Tin học và Seminar Phương pháp Toán sơ cấp của trường Đại họcKhoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã nhận xét góp ý cho bản luậnvăn này

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song trong suốt quá trình thực hiện không

tránh khỏi những sơ suất Vì vậy tác giả mong muốn được các thày cô giáo, cácbạn đồng nghiệp góp ý để bản luận văn được hoàn thiện hơn.

Tác giả xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, năm 2012Học viên

Nguyễn Ngọc Văn

CHƯƠNG 1

HÀM LỒI, TẬP LỒI VÀ MỘT SỐ TÍNH

CHẤT LIÊN QUAN

1.1 Tập lồi

Định nghĩa 1.1 (xem[2]) Tập Ω ⊂Rn được gọi là lồi nếu như với mọi x, y ∈ Ω

thì λx + (1 − λ)y ∈ Ω với mọi λ ∈ [0, 1]

Ví dụ 1.1 Trong R2, hình tròn hay hình tam giác là các tập lồi đơn giản nhất

Ví dụ 1.2 Xét hệ bất phương trình tuyến tính Ax ≤ b, ở đây A là ma trậnvuông cấp n (n ∈ N∗) và b ∈ Rn, x là véctơ ẩn Gọi Ω là tập hợp nghiệm của hệbất phương trình trên Khi đó Ω là tập lồi

Chúng ta có một số tính chất cơ bản sau đây

1 Giao tùy ý các tập lồi là một tập lồi

2 Cho Ω1, Ω2 là các tập lồi trong Rn cònA là phép biến đổi tuyến tính trong

Rn Khi đó Ω1+ Ω2, λΩj, AΩj cũng là các tập lồi

Định lý 1.1 Giả sử D là tập trong Rn Khi đó D là tập lồi khi và chỉ khi vớimọi số nguyên dương n, với mọi x1, x2, , xn ∈ D, với mọi λj ≥ 0, j = 1, 2, , n

Đảo lại giả sửDlà tập lồi Ta phải chứng minh (1.1) đúng Thật vậy, ta sẽ chứngminh bằng quy nạp Hiển nhiên n = 1, 2 đúng Giả sử (1.1) đúng với n = k Xéttrường hợp n = k + 1 Lấy x 1 , x 2 , , xk, xk+1 ∈ D, λ j ≥ 0, j = 1, 2, , k + 1,

Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp Nếu m = n + 1 định lý trên hiểnnhiên đúng Giả sử định lý đúng đến m = k > n + 1 Xét trường hợp m = k + 1.Theo giả thiết quy nạp thì

Bây giờ xét tiếp điểm

Định nghĩa 1.4 Giả sửf : D → R là hàm số được xác định trên tập lồiD ∈Rn.Hàm số này được gọi là lõm trên D nếu như với mọi x1, x2 ∈ D và λ ∈ [0, 1] taluôn có

Bất đẳng thức cuối cùng này hiển nhiên đúng

Nhận xét 1.1 Bằng kỹ thuật chứng minh hoàn toàn tương tự, ta thu được

f (x1, x2, , xn) =

vuut

Ví dụ 1.4 Giả sửa > 0 và b2− 4ac ≤ 0, khi đó hàm số f (x, y) = ax2+ 2bxy + cy2

lồi trên toàn bộ R2

Bất đẳng thức này luôn đúng do ∆ = b2− 4ac ≤ 0 và a > 0.

Định lý 1.3 Cho D là tập lồi trong Rn Giả sử fj(.), j = 1, 2, , k là các hàmlồi xác định trên D Giả sử λ j ≥ 0, j = 1, 2, , k khi đó hàm số

Định lý 1.4 (Bất đẳng thức Jensen) Cho D là tập lồi trong Rn và f : D → R

là hàm số xác định trên D Khi đó f lồi trên D khi và chỉ khi với mọi m ∈ N∗

và mọi x1, x2, , xm ∈ D, với mọi λj ≥ 0,

f là hàm lồi trên D Bây giờ chúng ta chứng minh chiều ngược lại Giả sử f

lồi trên D Ta chúng minh khẳng định (1.2) đúng bằng quy nạp Thật vậy với

m = 1, 2 thì hiển nhiên điều này đúng Giả sử (1.2) đúng đến m = k ≥ 2 Chúng

Nhận xét 1.2 Cho D là tập lồi trong Rn và f : D →R là hàm số lồi trên D.Khi đó ta có đánh giá

n

X

j=1

f (xj).

Định lý 1.5 (Điều kiện đủ cho tính lồi của hàm một biến) Cho hàm một biến

f xác định trên [a, b] và có đạo hàm cấp hai tại mọi điểm x ∈ (a, b) Nếu như

f ”(x) > 0 với mọi x ∈ (a, b) thì f lồi trên [a, b]

Chứng minh Lấyx 1 , x 2tùy ý thuộc[a, b], ta có thể giả sử rằnga ≤ x 1 ≤ x 2 ≤ b.Chọn λ1, λ2≥ 0, λ1+ λ2 = 1 Ta phải chỉ ra rằng

củax0 sao chof (x) ≥ f (x0)với mọi x ∈ D ∩ V Sử dụng phản chứng, giả sử f đạtcực tiểu toàn cục trên D tại x1 ∈ D, ngoài ra f (x1) < f (x0) Với mọi λ ∈ (0, 1),

Định lý 1.7 Cho D là tập lồi trong Rn và f : D → R là hàm lồi trên D Gọi

D∗ là tập các điểm cực tiểu địa phương của f trên D Khi đó D∗ là lồi

Chứng minh Theo định lý trên thì mọi điểm cực tiểu địa phương đều là điểmcực tiểu toàn cục Lấy x1, x2∈ D∗ và λ ∈ [0, 1] Suy ra

Định nghĩa 1.6 Cho D ∈ Rn và f : D →R Khi đó ta định nghĩa tập trên đồ

thị

epif := {(x, y) ∈D×R: f (x) ≤ y}

Định lý 1.8 Hàm f lồi trên D khi và chỉ khi epif lồi trong Rn+1

Chứng minh Giả sử f lồi trên D Lấy (xj, yj) ∈ epif, j = 1, 2 và λ ∈ [0, 1].Theo định nghĩa thì

Định lý 1.9 Cho D là tập lồi trong Rn và fj : D → R là các hàm lồi trên D

với mọi j = 1, 2, , k Xét hàm số sau trên D,

f (x) = max {f1(x), , fk(x)}

Khi đó f cũng là hàm lồi trên D

Chứng minh Lấy (x1, y1), (x2, y2) ∈ epif và λ ∈ [0, 1] Ta có xj ∈ D và yj ≥

Điều này tương đương với việc

Định nghĩa 1.8 Với hai phần tử x = (x1, , xn), y = (y1, , yn) trong Rn, ta

ký hiệu x ≺ y nếu như hai điều kiện sau thỏa mãn

Ký hiệuS là không gian tuyến tính các hàm thực trên các điểmxj Nếuα0, , αn

là n + 1 số thực, chúng ta xây dựng hàm A : S →R như sau

Định lý 1.13 (Bất đẳng thức Pôpviciu) 1 Nếu A bằng 0 với mọi đa thức

có bậc ≥ 1 khi và chỉ khi tồn tại các hằng số α0, , αn−2 sao cho

xk+2− xk .

2 Nếu tồn tại chỉ số k ∈ {0, , n − 2} sao cho αk 6= 0 thì A(f ) ≥ 0 với mọihàm lồi f khi và chỉ khi αj ≥ 0

CHƯƠNG 2 DÃY LỒI VÀ DÃY LỒI LOGARIT

2.1 Dãy lồi

2.1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản

Định nghĩa 2.1 Dãy {aj} được gọi là lồi nếu như

2a j ≤ a j−1 + a j+1 , với mọi j ∈ {2, 3, , n − 1}.Định nghĩa 2.2 Dãy {aj} được gọi là lõm nếu như

2aj ≥ aj−1+ aj+1, với mọi j ∈ {2, 3, , n − 1}

Bổ đề 2.1 Cho {aj} n

j=1 là dãy lồi Khi đó {Aj} n

j=1 cũng là dãy lồi, trong đó

Ak =

Pk j=1 a j

Chứng minh Đặt

f (k) := k(k + 1)(k − 1)(2Ak− Ak−1− Ak+1), k = 2, 3, , n − 1.

Suy ra

2σk(x1, x2, , xn)

≤ 2



n k

σk−1(x1, x2, , xn)

≤ 2



n k

Định lý 2.1 Cho {a j }nj=1 là dãy lồi và ψ là hàm liên tục, lồi, tăng trên Ω Gọi

φ : [1, n] → I ⊂ Ω được xác đinh bởi công thức

an−1+ (an− an−1)(x − n + 1), n − 1 ≤ x ≤ n.

(2.1)

Khi đó ψ(φ(x)) là hàm liên tục lồi trên [1, n]

Nếu ψ liên tục, lõm, giảm trên Ω Khi đó ψ(φ(x)) là hàm liên tục, lõm trên[1, n].Chứng minh Rất dễ để kiêm tra rằng ψ(φ(x)) là hàm liên tục Bây giờ ta sẽchứng minh nó là hàm lồi Xét hai số bất kỳx1, x2∈ [1, n] Không mất tính tổng

quát giả sử x1 < x2 Khi đó tồn tại các số tự nhiên k, l, m, 1 ≤ k ≤ l ≤ m ≤ n − 1

x1+ x22

không âm trên miền (0, ∞) Khi đó ta có

f (a1) + f (an) + 1

a2− a1

3an−1−an−2 2

Z

a1+a2 2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi f là hàm tuyến tính và aj − aj−1 = const Nếu

{aj}nj=1 là dãy lõm và f là hàm lõm thì dấu bất đẳng thức trên đổi chiều.Chứng minh Từ bất đẳng thức Hermite-Hadamard, ta có

aj−1+aj 2

Z

an−2+an−1 2

Z

aj−1+aj 2

Z

an−2+an−1 2

Z

aj−1+aj 2

f (x)dx

= f (a1) + f (an) + 1

a2− a1

3an−1−an−2 2

Z

a1+a2 2

f (x)dx.

Phần còn lại của định lý được chứng minh hoàn toàn tương tự

Hệ quả 2.1 Cho a ≥ 0, d > 0, n ≥ 3 và f là hàm lồi, không âm trên miền

(0, ∞) Khi đó ta có

f (a + d) + f (a + nd) + 1

d

2a+2nd−d 2

Z

2a+3d 2

a+dn

Z

a+d

f (x)dx.

Nếu f là hàm lõm thì dấu bất đẳng thức trên đổi chiều

2.1.2 Một số tiêu chuẩn nhận biết dãy lồi

Định lý 2.3 Cho {aj} n

j=1 ⊂ I là dãy lồi và ψ là hàm lồi, liên tục, tăng trên

I Khi đó với bất kỳ (p1, p2, , pk) ≺ (q1, q2, , qk), 1 ≤ pi, qj ≤ n, pjqj ∈ N,

j = 1, 2, 3, , k, k ≥ 2 ta luôn có đánh giá sau

ψ(ap1) + ψ(ap2) + ψ(apk) ≤ ψ(aq1) + ψ(aq2) + ψ(aqk). (2.2)Nếu ψ là hàm lõm thì dấu bất đẳng thức (2.2) đổi chiều

Chứng minh Định nghĩa hàm φ như trong (2.1), suy ra ψ(φ(x)) liên tục lồitrên [1, n] Sử dụng kết quả trên ta có

j=0 ajxj (với điều kiện P

a2j > 0) có nghiệm bội hai nên chúng ta kýhiệu các hệ số bj và cj như sau

đa thức (2.6) có nghiệm bội hai x = 1 và các hệ số cj ≥ 0.

Chứng minh Điều kiện đủ được suy ra từ Định lý 2.5 Ta chứng minh điềukiện cần như sau Các dãy {1}, {−1}, {k} và {−k} là lồi Do đó

Gọi f : [0, 1] →R là đường chéo đa giác với các đỉnh là



k

n, uk

, k = 0, 1, , n.Dãy {u j }nj=0 lồi khi và chỉ khi f là hàm lồi Đặt

o Dễ thấy

2.2 Dãy lồi logarit

Định nghĩa 2.3 Dãy dương {aj} được gọi là lồi logarit nếu như

aj ≤√aj−1aj+1.

Định nghĩa 2.4 Dãy dương {aj} được gọi là lõm logarit nếu như

cũng là dãy lồi logarit

Chứng minh Chúng ta sẽ chứng minh bằng quy nạp

Hệ quả 2.3 Phép biến đổi nhị thức zn := Pn

k=0 Cnkxk bảo toàn tính chất lồilogarit

Định nghĩa 2.5 Số cách phân hoạch tập hợp nphần tử thành k tập con khôngrỗng gọi là số Stirling loại II, ký hiệu S(n, k) Nói cách khác, số Stirling loại II

là số cách phân phối n quả bóng phân biệt vào k hộp giống nhau mà không có

bảo toàn tính chất lồi logarit.

Chứng minh Giả sử {xj} là dãy lồi, ta cần chứng minh băng quy nạp rằng

Ký hiệu c(n, k) là số Stirling loại I, khi đó ta có tính chất sau

Mệnh đề 2.3 Phép biến đổi Stirling loại I

bảo toàn tính chất lồi logarit

Chứng minh Chứng minh tương tự như Mệnh đề 2.2

CHƯƠNG 3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG

3.1 Ứng dụng vào các bài toán tìm phần nguyên

(n − l)Aλm ≤ (m − l)Aλn+ (n − m)Aλl, n > m > l. (3.6)

Từ các đánh giá (3.5) và (3.6) ta có thể suy ra được các bất đẳng thức cần chứngminh

Mệnh đề 3.2 Cho {fj}mj=1 là các hàm dương khả tích trên [a, b], n, m ∈ N,

Điều này có nghĩa là {Ik} n

k=1 là dãy lồi Rất dễ để chứng minh được rằng

Với bất đẳng thức cuối này chúng ta suy ra được điều phải chứng minh

Hệ quả 3.1 Với f là hàm dương khả tích trên [a, b], n ∈ N, n ≥ 3 ta luôn có

Mệnh đề 3.4 Cho a ≥ 0, d > 0, n ≥ 3 Với λ < 0 hoặc λ > 1, ta luôn có



(a + nd)λ+1− (a + d)λ+1.

Chứng minh Áp dụng Hệ quả 3.1 cho hàm f (x) = xλ, x > 0 Rõ ràng f làhàm lồi ngặt, dương trên miền (0, ∞) với λ < 0 hoặc λ > 1 Còn trong trườnghợp λ ∈ (0, 1), hàm f lõm, dương trên miền (0, ∞)/

5 Sử dụng mệnh đề trên ta thuđược

6 Chúng ta thu được

3054.4653 < S < 3054.4860.

Khi đó [S] = 3054

3.2 Ứng dụng vào các bài toán dãy số anzn+1 = bnzn+

cnzn−1

Xét dãy số dương {zj} thỏa mãn điều kiện

a n z n+1 = b n z n + c n z n−1 , n ≥ 1, (3.8)trong đó an, bn, cn là các số dương Xét phương trình đặc trưng

Điều kiện x n ≥ x n−1 tương đương với việc x n−1 ≤ λ n hoặc x n ≥ λ n Do đó {x j }

tăng tương đương với việc

x0 ≤ λ1 ≤ x1≤ λ2 ≤ ≤ λn ≤ xn ≤ (3.9)Định lý 3.1 Giả sử z0, z1, z2, z3 là lồi logarit và bất đẳng thức

đúng với n ≥ 2 Khi đó dãy {zj} lồi logarit

Chứng minh Chúng ta chứng minh bằng quy nạp (3.9) đúng Do điều kiện

z0, z1, z2, z3 là lồi logarit, nên ta có đánh giá

Hệ quả 3.2 (Dãy Fine) Cho dãy số {fj} được xác định bởi

Do đó {fj} là dãy lồi logarit

Định lý 3.2 Giả sử {µj} là dãy số thỏa mãn các điều kiện sau

1 µn ≤ λn, n ≥ 1,

2 z1 ≤ µ1z0 và z2≤ µ2z1,

3 a n µ n−1 µ n+1 ≥ b n µ n−1 + c n, n ≥ 2

Khi đó {zj} là dãy lồi logarit

Chứng minh Chúng ta sẽ chứng minh bằng quy nạp rằng

x0≤ µ1 ≤ x1 ≤ µ2≤ ≤ µn ≤ xn ≤ (3.11)Điều kiện thứ 2 tương đương với việcx0 ≤ µ1 và x1 ≤ µ2 Tuy nhiên µ1 ≤ λ1 Từ

đó x0 ≤ λ1 và x1 ≥ λ1 ≥ µ1 Do đó µ1 ≤ x1 ≤ µ2 Giả sử rằng µn−1 ≤ xn−1 ≤ µn.Điều kiện leqxn−1 ≤ µn suy ra với đánh giá xn ≥ µn Mặt khác xn−1 ≥ µn−1 Suyra

Hệ quả 3.3 Cho dãy số {dn} được xác định bằng công thức truy hồi sau:

dn+1 = n(dn+ dn−1), d0= 1, d1= 0.

Khi đó dãy số {dn} là dãy số lồi

Chứng minh Đặt zn = dn+2 Khi đó chúng ta nhận được công thức truy hồi

zn+1 = (n + 2)(zn+ zn1), z0= 1, z1= 2, z2= 9.

Chúng ta có

λn = (n + 2) +

√ n2 + 8n + 12

µ n−1 µ n+1 − (n + 2)µ n−1 − (n + 2) = 2n + 1

4 ≥ 0.

Do đó dãy là lồi

Hệ quả 3.4 Cho dãy số được xác định bởi

(n + 1)An+1 = 2(n + 1)An+ 3(n − 1)An−1, A0= 1 = A1.

Khi đó dãy số trên là lồi logarit

4n 2n + 2 ≥ 1 + 4n − 1

2n + 1 =

6n 2n + 1.

Đặt

µn := 6n2n + 1.

Hoàn toàn tương tự chúng ta có

Định lý 3.3 Giả sử z0, z1, z2, z3 là lồi logarit và bất đẳng thức

đúng với n ≥ 2 Khi đó dãy {zj} lõm logarit

an an+1

bn bn+1

xn+

cn cn+1

an an+1

=

α1n + α0 α1 α0

β1n + β0 β1 β0

γ 1 n + γ 0 γ 1 γ 0

Định lý 3.5 Cho dãy {zj} được xác định bởi công thức truy hồi sau

(α1n + α0)zn+1= (β1n + β0)zn+ (γ1n + γ0)zn−1,

trong đó α1n + α0, β1n + β0, γ1n + γ0 là các số dương Giả sử rằng z0, z1, z2 làlõm logarit Dãy {z j } lõm logarit khi và chỉ khi một trong số các điều kiện sauthỏa mãn

lõm logarit (lồi logarit)

Chứng minh Từ công thức truy hồi

azn+1= bzn+ czn−1, n ≥ 1,

chúng ta thu được

a2zn+2 = (b2+ 2ac)zn− c2zn−2

với n ≥ 2 Không khó để kiểm tra được rằng

a2(z0z4− z22) = b2(z0z2− z21)

và

a3(z1z5− z32) = b2c(z12− z0z2).

Từ đây chúng ta thu được điều cần chứng minh

Ví dụ 3.6 Dãy{F2n+1}, {L2n}, {P2n+1}là lồi logarit, còn {F2n}, {L2n+1}, {P2n}

là lõm logarit Trong đó {F j } là dãy Fibonacci

Chứng minh Nếu tồn tại ak = 0 thì hiển nhiên bất đẳng thức Cauchy đúng

Do đó chúng ta chỉ cần xét trường hợp aj > 0 với mọi chỉ số j Xét hàm số

với số< small>n... γ0 số dương Giả sử z0, z1, z2 làlõm logarit Dãy {z j } lõm logarit số điều kiện sauthỏa... cần chứng minh

Ví dụ 3.6 Dãy< small>{F2n+1}, {L2n}, {P2n+1}là lồi logarit,