Phân phối ổn định và một số ứng dụng trong thống kê

so với các dự đoán theo mô hình xây dựng theo giả thiết phân phối chuẩn.Xem xét các dữ liệu liên quan đến diễn biến của các chỉ số lợi nhuận, nếu ápdụng các tính toán dựa trên giả thiết

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn: PGS TS Hồ Đăng Phúc

Hà Nội - 2012

Mục lục

1 Một số kiến thức cơ sở về phân phối ổn định 7

1.1 Định lý giới hạn trung tâm 7

1.1.1 Định lý giới hạn trung tâm cổ điển 8

1.1.2 Định lý giới hạn trung tâm suy rộng 9

1.2 Phân phối ổn định 15

1.2.1 Định nghĩa 15

1.2.2 Hàm đặc trưng của phân phối ổn định 17

1.3 Các cách tham số hóa khác đối với phân phối ổn định 22

1.4 Ý nghĩa các tham số của phân phối ổn định 23

1.5 Mômen của phân phối ổn định và các tính chất 25

1.6 Phép biến đổi tuyến tính của các biến ngẫu nhiên ổn định 26

1.7 Hàm mật độ xác suất và hàm phân phối của biến ngẫu nhiên ổn định 27 1.7.1 Các phân phối ổn định đặc biệt 27

1.7.2 Các tính chất giải tích của phân phối ổn định 28

1.7.3 Khai triển dạng chuỗi của hàm mật độ ổn định 29

1.7.4 Vấn đề tính số 32

1.7.5 Mô phỏng 33

2 Ước lượng các tham số của phân phối ổn định 34 2.1 Phương pháp phân vị 34

2.2 Phương pháp dựa trên hàm đặc trưng 36

2.3 Phương pháp hợp lý cực đại 38

2.4 Kiểm định đánh giá dáng điệu đuôi của phân phối ổn định 40

3 Mô hình thống kê đối với phân phối ổn định 42 3.1 Mô hình tuyến tính với nhiễu ổn định 42

3.2 Mô hình hồi quy đối với các sai số α− ổn định không chuẩn 43

3.3 Mô hình ARMA 46

4 Áp dụng mô hình ARMA với sai số phân phối ổn định 48 4.1 Công ty cổ phần Xuyên Thái Bình và cổ phiếu PAN 48

4.2 Mô hình ARMA đối với mã cổ phiếu PAN 50

4.3 Ước lượng các tham số phân phối ổn định của phần dư 56

4.4 Kiểm định tính phù hợp với phân phối ổn định của sai số 57

4.4.1 Sử dụng kiểm định Kolmogorov-Smirnov 57

4.4.2 Sử dụng kiểm định Khi bình phương 58

Tài liệu tham khảo 61

so với các dự đoán theo mô hình xây dựng theo giả thiết phân phối chuẩn.

Xem xét các dữ liệu liên quan đến diễn biến của các chỉ số lợi nhuận, nếu ápdụng các tính toán dựa trên giả thiết phân phối chuẩn, ta có thể kì vọng một thua

lỗ lớn hơn bốn lần độ lệch chuẩn (4σ) chỉ xuất hiện một lần trong 126 năm Mặcdầu vậy, chỉ trong 21 năm, thua lỗ lớn hơn 4 sigma trên chỉ số tổng lợi nhuậncủa FTSE100 đã được ghi nhận ở 11 trường hợp của các ngày 22/10/1987 (58%),30/11/1987 (4.4%), 11/9/2001 (5.9%), 15/7/2002 (5.6%), 19/7/2002 (4.7%), 22/7/2002 (5.1%), 1/8/2002 (4.9%), 30/9/2002 (4.9%), 12/ 3/2003 (4.6%) và 21/1/2008(5.6%) Chúng ta phải kết luận rằng có vấn đề liên quan đến sự phù hợp của phânphối chuẩn đối với lợi nhuận của FTSE100

Vấn đề đó cũng có thể thấy khi vào năm 2008 Lehman Brothers đưa ra danhsách các ngân hàng bảo hộ phá sản với số tiền nợ 613 tỷ dolar, vượt quá 150 tỷdolar trái phiếu nợ; Merill Lych đồng ý bán tài sản của mình cho ngân hàng của

Mỹ với giá 50 tỷ dolar, chỉ bằng 1/3 giá trị của nó trong 52 tuần cao nhất; cổ phiếu

của AIG rơi từ 52 tuần cao nhất của 70.13 dolar vào 9/10/2007 đến mức thấp nhất1.25 dolar vào 16/9/2008 khi Quỹ Dự trữ Liên bang Mỹ công bố một khoản vay 85

tỷ dolar, theo điều khoản và điều kiện được thiết kế để bảo vệ lợi ích của chính phủ

Mỹ và người nộp thuế

Chính độ lớn của các giá trị cực biên như trên sẽ dẫn đến sự xuất hiện của biến

cố phá sản Một hệ thống đo lường rủi ro tốt có thể đưa ra một ước lượng hợp lýcủa xác suất xảy ra của các sự kiện cực biên không biết trước Các thí dụ trên đâycho thấy ước lượng của xác suất xảy ra sự kiện cực biên đưa ra bởi phân phối chuẩn

là sai lầm Từ đó ta thấy sử dụng giả thiết phân phối chuẩn có thể dẫn đến rất nhiềukết luận sai về việc suất hiện các giá trị cực biên trong tài chính Bằng chứng trênđây khiến người ta phải kết luận rằng không nên sử dụng phân phối chuẩn trongđánh giá rủi ro Điều này đặt ra một câu hỏi về hiệu lực của giả thiết phân phốichuẩn và đòi hỏi tìm kiếm một giả thiết thay thế

Một cách giải quyết do nhiều tác giả đề xuất trong thời gian gần đây và đượctrình bày một phần trong luận văn là thay thế phân phối chuẩn bằng phân phối ổnđịnh Mục đích của luận văn này là thử nghiệm sử dụng phân phối α ổn định trongphân tích dữ liệu chuỗi thời gian tài chính bằng mô hình tự hồi quy trung bình trượt(ARMA)

Ngoài phần Mở đầu, Luận văn gồm 4 chương và phần Kết luận Chương 1 trình

bày một số kiến thức cơ sở của phân phối ồn định Chương này nêu cụ thể các địnhnghĩa, các tính chất của phân phối ổn định, hàm đặc trưng của phân phối ổn định,các cách tham số hóa đối với phân phối ổn định, các phân phối ổn định đặc biệt,khai triển dạng chuỗi của hàm mật độ ổn định

Chương 2giới thiệu một số phương pháp ước lượng các tham số của phân phối

ổn định như phương pháp phân vị được đưa ra bởi McCulloch (1986); phươngpháp hàm đặc trưng của Press (1972), Paulson, Holcomb và Leitch (1975); phươngpháp ước lượng hợp lý cực đại do DuMouchel (1975), John Nolan(2002), Mittnik,Rachev, Doganoglu và Chenyao (1999) đề xuất

Chương 3 giới thiệu một số mô hình thống kê đối với phân phối ổn định như

mô hình tuyến tính với nhiễu ổn định, mô hình hồi quy đối với các sai số α- ổnđịnh không chuẩn, mô hình tự hồi quy trung bình trượt ARMA.

Chương 4 trình bày việc thử nghiệm áp dụng mô hình tự hồi quy trung bìnhtrượt ARMA với sai số phân phối ổn định cho số liệu chuỗi thời gian của mã chứngkhoán PAN của Công ty cổ phần Xuyên Thái Bình Chương này lần lượt đưa ra cácnội dung phân tích thống kê để xây dựng mô hình ARMA cho số liệu của mã chứngkhoán PAN, ước lượng các tham số phân phối ổn định cho sai số của mô hình đóbằng ba phương pháp đã trình bày ở Chương 2 và kiểm định tính phù hợp với phânphối ổn định của sai số Trong chương này, việc ước lượng các tham số cho phânphối ổn định của sai số được thực hiện với sự hỗ trợ của phần mềm stable.exe, việcđưa ra kết luận về sự phù hợp của số liệu với phân phối chuẩn hay phân phối ổnđịnh được tiến hành dựa trên phương pháp kiểm định Phương pháp Kolmogorov-Smirnov và phương pháp Khi-bình phương có sử dụng phần mềm thống kê R

Phần Kết luận tổng kết lại những kết quả cơ bản của Luận văn và đưa ra một số

ý kiến về khả năng ứng dụng của phân phối ổn định cùng hướng nghiên cứu tiếpcủa vấn đề này

Mặc dù đã rất cố gắng trình bày vấn đề một cách mạch lạc và cô đọng nhưngchắc chắn luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy, tác giả mong nhậnđược sự nhận xét, đánh giá và góp ý của quý thầy cô và các bạn để luận văn đượchoàn thiện

Chương 1

Một số kiến thức cơ sở về phân phối ổn định

1.1 Định lý giới hạn trung tâm

Định lý giới hạn trung tâm là một trong những nền tảng của suy luận thống kê.Dạng cơ bản của định lý này, do Lindeberg và Lévy đưa ra, nói rằng cho trước một

dãy n biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối với phương sai hữu hạn, tổng của chúng hội tụ đến một phân phối chuẩn khi n tăng đến ∞ Quy luật này rất quantrọng trong suy luận thống kê bởi hai lý do sau:

• Hầu hết các thống kê mẫu được xây dựng bằng cách thêm dần các biến ngẫunhiên độc lập cùng phân phối tương ứng với các cá thể mới được đưa thêmvào mẫu;

• Một số hiện tượng được quan tâm trong thống kê có thể được coi là tổng hợpđóng góp của nhiều thành phần nhỏ

Do vậy, phân phối chuẩn được dùng khá phổ biến trong cả suy luận thống kê

và trong mô hình hóa thống kê Ví dụ, chúng ta đưa ra giả thiết nhiễu trong hồiquy và các mô hình chuỗi thời gian là kết quả của một số lớn các hiệu ứng nhỏ vớiphương sai hữu hạn, dẫn tới phân phối của chúng là chuẩn Từ đó các ước lượngthực nghiệm thường được coi là có phân phối gần giống phân phối chuẩn Tính chất

lý thuyết của phân phối chuẩn như một luật giới hạn phù hợp với bằng chứng thựcnghiệm Hai khía cạnh trên đây hỗ trợ và khuyến khích sử dụng rộng rãi phân phốichuẩn trong các suy luận thống kê

1.1.1 Định lý giới hạn trung tâm cổ điển

Phần dưới đây trình bày và chứng minh định lý giới hạn trung tâm cổ điển, đây

là một kết quả nổi tiếng nên nhắc lại để so sánh với một vài kết quả sẽ được trìnhbày trong phần tiếp theo

Định lý 1.1 (Lindeberg-Lévy) Cho một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng

phân phối {X i }, i = 1, , n, với trung bình µ và phương sai σ2 < ∞ Khi đó đại lượng

hội tụ theo phân phối tới luật chuẩn tắc N (0, 1).

Chứng minh Trước hết ký hiệu Z i là biến chuẩn hóa của X i, có trung bình 0 và

Bởi vậy hàm đặc trưng của tổng S n là

Đây là hàm đặc trưng của phân phối chuẩn N (0,1)

Định lý Lindeberg-Lévy là một trong rất nhiều các phiên bản của định lý giớihạn trung tâm, được trình bày trong luận văn này như một bước đệm để xây dựngđịnh lý giới hạn trung tâm tổng quát, sẽ được nghiên cứu trong phần tiếp theo

1.1.2 Định lý giới hạn trung tâm suy rộng

Trong định lý giới hạn trung tâm cổ điển trên đây, các biến ngẫu nhiên X i đượcgiả thiết là có phương sai hữu hạn Khi phương sai của các thành phần đó bằng vôcùng, thì chúng ta phải giải quyết như thế nào? Câu hỏi đó sẽ được trả lời trongphần tiếp theo Định lý giới hạn trung tâm suy rộng, nới lỏng giả thiết về tính hữuhạn của phương sai, xác định một họ phân phối mới, mà phân phối chuẩn là mộttrường hợp đặc biệt, chắc chắn phù hợp hơn với điều kiện thực tế

Trước tiên ta đưa ra khái niệm về tính ổn định của phân phối xác suất như sau:

Định nghĩa 1.1 (Tính ổn đinh, Gnedenko và Komogrov 1954) Hàm phân phối

F (x) được gọi là ổn định nếu với bất kỳ các số dương c1, c2 và các số thực d1, d2đều tồn tại các số c > 0 và d sao cho

Kết quả này do Lévy (1924) đưa ra và được phát biểu chính thức trong định lýsau đây:

Định lý 1.2 (Lévy) Hàm phân phối F(x) là ổn định khi và chỉ khi nó là phân phối

giới hạn của

Sn=X1+X2+ · · · +Xn

với một dãy {Xi } các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối nào đó.

Chứng minh. Ta sẽ chứng minh điều kiện cần của Định lý, còn điều kiện đủ có thểtham khảo trong [Limit Distributions for Sums of Independent Random VariablesGnedenko, B & Kolmogorov, A (1954), Addison-Wesley, Reading (trang163)]

Giả sử S n hội tụ đến một phân phối giới hạn xác định F (x) Ta sẽ chỉ ra F (x) là ổn

định Theo bổ đề được trình bày trong [Limit Distributions for Sums of dent Random Variables Gnedenko, B & Kolmogorov, A (1954), Addison-Wesley,

Indepen-Reading (trang146)], nếu X có phân phối không suy biến, thì đại lượng vô hướng

Vì S n hội tụ đến F (x), nên hai số hạng trên hội tụ (Định lý 2, trang 42, Limit

Distri-butions for Sums of Independent Random Variables Gnedenko, B & Kolmogorov,

A (1954), Addison-Wesley, Reading ), tương ứng đến F c−1

1 x + d1

và

F c−12 x + d2
Nói một cách khác, vì phân phối giới hạn của tổng chuẩn hóa (1.3)

là F (x), do đó

F (x) = F c−11 x + d1

.F c−12 x + d2

Bởi vậy (1.2) được thỏa mãn và F (x) là ổn định.

Theo định lý trên, nếu phân phối giới hạn của (1.3) tồn tại, thì nó phải là ổnđịnh Tuy nhiên, định lý đó không cung cấp thông tin về điều kiện cho sự tồn tại

như vậy, trừ trường hợp các X i có phương sai hữu hạn, phân phối chuẩn tắc là phânphối giới hạn duy nhất

Kết quả trình bày tiếp sau đây sẽ hoàn thiện phiên bản suy rộng của Định lýgiới hạn trung tâm Trước tiên ta giới thiệu khái niệm về miền hút

Định nghĩa 1.2 (Miền hút) Nếu tổng chuẩn hóa (1.3), với các số thực C n và D n được lựa chọn phù hợp, hội tụ dến phân phối giới hạn S, thì X i (hoặc phân phối của

nó) được gọi là bị hút bởi S; miền hút của S là tập hợp tất cả các phân phối được

hút bởi S

Từ định nghĩa trên và từ Định lý giới hạn trung tâm cổ điển, rõ ràng rằng mọiphân phối với phương sai hữu hạn đều được hút bởi luật chuẩn Định lý sau đâycho thấy khi thay thế điều kiện phương sai hữu hạn bằng một điều kiện nhẹ hơn vềdáng điệu của phân phối ỏ phần đuôi, tổng chuẩn hóa (1.3) sẽ có một phân phốigiới hạn, và theo kết quả của định lý đã nêu phía trên, phân phối giới hạn đó phải

là ổn định

Định nghĩa 1.3 (Hàm biến đổi chậm) Hàm không âm l (x) được gọi là một hàm

biến đổi chậm ở vô cực, nếu ∀x > 0

Định lý 1.3 Ký hiệu u(x) = Rx

−x

t2dF (t) Lúc đó hàm phân phối F (x) thuộc miền

hút của một phân phối ổn định nếu và chỉ nếu

a) v2(x) =

+x

R

−x tdF (t)

2

= o [u (x)] ;

b) lim

n→ ∞nt

2dF n (t) =Ω{dt}, vớiΩlà một độ đo nói chung,

c) n[1 − F (η) + F (−η)] <ε, cho mọi n ∈ N vớiη đủ lớn

Chúng ta bắt đầu bằng điều kiện a

Nếu đồng thời lim

x→ ∞v (x) hữu hạn và lim

x→ ∞u (x) bằng∞, khi đó điều kiện (a) đượcthỏa mãn

Nếu cả hai giới hạn trên đều hữu hạn, ta chỉ cần tìm một hằng số quy tâm thích hợp

để đưa vế trái của biểu thức về 0, do đó lim

x→ ∞v (x) = 0.

Nếu cả hai giới hạn trên đều không tồn tại, thì điều kiện 1 được đảm bảo nếu

u (x) tiến ra vô cùng nhanh hơn v2(x) Theo bất đẳng thức Schwarz ta có:

[v (x) − v (a)]2 ≤ u(x)[1 − F (a) + F (−a)]

với x > a Do đó điều kiện là được thỏa mãn với

lim

x→ ∞u (x) =∞.Điều kiện c là dễ dàng suy ra từ (1.4) Như vậy chỉ còn kiểm tra điều kiện b, theo

giả thiết 1 có thể chọn C n sao cho

Và lập luận tương tự như phần trên, ta có kết quả riêng cho u+(x) và u−(x).

Như vậy chúng đã chứng minh tổng chuẩn hóa hội tụ tới một giới hạn Theo định

lý (1.2), phân phối giới hạn phải là ổn định Chứng minh đã được hoàn thành

Ghi chú 1.1 Khi giới hạn (1.4) bằng 0, ta có α = 2, tương ứng với phân phốiGauss, và điều kiện

lim

x→ ∞

x2[1 − F (x) + F (−x)]

Có thể được dùng như một sự nới lỏng giả định phương sai hữu hạn trong định lýgiới hạn trung tâm cổ điển.

Ví dụ 1.1 Ta đưa ra ví dụ minh họa, về một phân phối không thỏa mãn các định

lý giới hạn trung tâm cổ điển nhưng thỏa mãn các điều kiện miền hút của luật ổnđịnh Đó là phân phối Cauchy được định nghĩa là

Hệ quả sau của đinh lý (1.3), Gnedenko và Kolmogorov (1954) đã đưa ra kết

quả sau, mô tả các đăc tính cần thiết của các hằng số chuẩn hóa C n và D n trong(1.3)

Hệ quả 1.1 Các đại lượng vô hướng C n và D n của (1.3) phải có dạng:

1.2 Phân phối ổn định

Kết quả phần trước chỉ ra tầm quan trọng của phối ổn định: Mặc dù miền hútcủa của luật chuẩn là khá rộng và bao gồm tất cả các phân phối với phương sai hữuhạn, khi xử lý các hiện tượng với phương sai vô hạn cũng có thể tồn tại một phânphối giới hạn, miễn là các giả thiết của Định lý (1.3) được thỏa mãn, và giới hạnnày thuộc loại phân phối ổn định Phần tiếp theo tiến hành mô tả các thuộc tínhchính và đặc điểm chính của phân phối ổn định

1.2.1 Định nghĩa

Mặc dù những tính ổn định đã được xác định trong (1.3), ta sẽ cung cấp thêmmột vài định nghĩa tương đương có tính minh họa nhiều hơn, theo phương pháptiếp cận của Samorodnitsky và Taqqu (1994)

Định nghĩa 1.4 (Tính chia được vô hạn) Một biến ngẫu nhiên X được gọi là chia

được vô hạn nếu và chỉ nếu mọi n ∈ N, nó có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của n biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối, nghĩa là

X = X n,1+ X n,2+ + X n ,n (1.6)

Từ định nghĩa trên, điều kiện đủ của chia được vô hạn là hàm đặc trưng của X được viết bằng lũy thừa bậc n của một số hàm đặc trưng khác phụ thuộc vào n Ví

dụ: phân phối chuẩn, Poisson, Cauchy tất cả đều có tính chia được vô hạn

Ví dụ 1.2 Tất cả các phân phối chuẩn là chia được vô hạn.

Nếu xét một biến ngẫu nhiên X ∼ N µ,σ2
, có thể viết dưới dạng tổng của hai

biến ngẫu nhiên X1và X2 với phân phối N µ/2,σ2/2
Tổng quát cho bất kỳ n, X có

thể được viết dưới dạng tổng của n biến ngẫu nhiên X ivới phân phối N µ/n,σ2/n

.

Có thể chứng minh được rằng (xem Gnedenko, B & Kolmogorov, A (1954), LimitDistributions for Sums of Independent Random Variables, Addison-Wesley, Read-

ing.) hàm đặc trưng của luật chia được vô hạn phải có dạng

/2 Sau đây là một địnhnghĩa tương đương với tính chia được vô hạn, đôi khi được gọi là công thức Lévy.Đặt

Tiếp đây là định nghĩa trực quan hơn của phân phối ổn định

Định nghĩa 1.5 (Tính ổn định, Samorodnitsky và Taqqu 1994) Một biến ngẫu

nhiên X được gọi là có phân phối ổn định nếu và chỉ nếu cho các số dương bất kỳ

c1, c2, tồn tại một số dương c và một số thực d sao cho

cX + d = c1X1+ c2X2, (1.9)

với X1và X2độc lập và có cùng phân phối với X Nếu d = 0, X được gọi là ổn định

chặt

Chú ý định nghĩa trên là tương đương với (1.3) đã sử dụng trong phần trước.Một định nghĩa khác tương đương và trực quan hơn, được bắt nguồn từ (1.9).

Định nghĩa 1.6 (Ổn định) Một biến ngầu nhiên X được gọi là có phân phối ổn

định nếu và chỉ nếu cho một số tự nhiên bất kỳ n ≥ 2, tồn tại nột số dương C n và

D n sao cho

X = X1+ X2+ + X n

X i là bản sao độc lập của X Nếu D n = 0, X được gọi là ổn định chặt.

Như vậy, một biến ngẫu nhiên là ổn định nếu nó có thể được chia nhỏ ra thànhmột loạt các biến ngầu nhiên giống hệt nhau thông qua các hằng số chuẩn hóa

Từ định nghĩa (1.10), phân phối ổn định đại diện cho trường hợp đặc biệt chia

được vô hạn Trái với (1.6), những số hạng X i trong (1.10) có phân phối giống X sau khi điều chỉnh tỉ lệ theo hằng số C n

Ví dụ 1.3 Phân phối chuẩn là ổn định Thật vậy xét biến ngẫu nhiên X ∼ N µ,σ2
.

Tổng của n bản sao độc lập của X có phân phối N nµ, nσ2
Vì vậy thiết lập

C n=√

n và D n = (n − 1)µ, khi đó X = X1+X2+ +X n

C n − D n

Định nghĩa 1.7 (Ổn định, miền hút) Một biến ngẫu nhiên X được gọi là ổn định

nếu nó có một miền hút khác rỗng, tức là nếu có một dãy các biến ngẫu nhiên Y i

độc lập, cùng phân phối sao cho

1.2.2 Hàm đặc trưng của phân phối ổn định

Cách đơn giản nhất để mô tả phân phối ổn định là đưa ra dạng hàm đặc trưngcủa nó

Định lý 1.4 Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên ổn định S1(α,β,γ,δ1) có dạng

với 0 <α62,−1 6β 61,γ > 0 vàδ ∈ R Ngược lại nếu một biến ngẫu nhiên có

hàm đặc trưng dạng (1.11) thì biến ngẫu nhiên đó có phân phối ổn định.

Chứng minh. Chú ý định nghĩa ổn định (1.2) có thể hiểu dưới dạng hàm đặc trưng

Vì biểu diễn trên có tính duy nhất, nên

c phụ thuộc vào n, và c = c(n) Theo lập luân (trang 166, Gnedenko, B &

Kol-mogorov, A (1954), Limit Distributions for Sums of Independent Random

Vari-ables, Addison-Wesley, Reading.) N thỏa mãn

λN (u) = N [γ(λ)u] ∀λ > 0, (1.16)

γ(λ) là hàm giảm và liên tục Trừ trường hợp N(u) là hàm đồng nhất bằng 0, còn lại N(u) khác 0 ở khắp mọi nơi Vì vậy từ (1.15) suy ra N(u) có đạo hàm liên tục với mọi u, ký hiệu N′(u) là đạo hàm cấp một của N(u),

với k2 là số dương Từ các kết quả liên quan tới phân phối chia được vô hạn, N(u)

phải thỏa mãn hai yêu cầu:

Điều kiện (1.13) và (1.14) được thỏa mãn bởi vì N(u) = 0 và M(u) = 0, kéo theo

k1= k2= 0, và bởi vì σ > 0, c−2 = 2, nên α = 2 Trong trường hợp này phươngtrình (1.19) trở thành

Đến đây, thực hiện một vài phép biến đổi đại số đơn giản ta thu được (1.11)

Ghi chú 1.2 Chú ý khi α = 1, hàm đặc trưng (1.11) chứa số hạng ln |t| Đây là

nguyên nhân cần xử lý riêng cho trường hợpα = 1.

1.3 Các cách tham số hóa khác đối với phân phối ổn

định

Hàm đặc trưng (1.11) có biểu thức khá dễ sử dụng và có thể đưa ra thêm một

số kết quả phân tích trực tiếp thú vị Nhưng tiếc rằng nó không thuận tiện cho việcước lượng và rút ra các suy luận thống kê, vì nó không liên tục đối với các tham số,

, với điều kiện làα 6= 1.

Một cách tham số hóa khác (do Zolotarev 1986 đưa ra), đôi khi được sử dụng,

Tuy nhiên trong trường hợp này, hàm mật độ không liên tục với α và có điểm kỳ

dị tạiα = 1 Một đặc tính không hay của cách biểu diễn hàm đặc trưng này là tham

số đối xứng β thay đổi theo giá trị củaα; Khiα ∈ (0, 1),β đối xứng lệch trái Với

trong đó δ và α không thay đổi.

1.4 Ý nghĩa các tham số của phân phối ổn định

Theo kết quả đã trình bày ở phần trước, định nghĩa họ phân phối ổn định đượcthể hiện với ba biểu diễn giải tích khác nhau phụ thuộc vào bốn tham số: α ∈

]0, 2] , β[−1, 1], γ ∈ R+, δ ∈ R, sử dụng ký hiệu viết tắt là S k(α,β,γ,δ), k biểu

thị lựa chọn tham số (0, 1, hoặc 2) Phần tiếp theo là mô tả các tính chất của phânphối ổn định bằng cách phân tích chính xác ý nghĩa của mỗi tham số Xin nhắc lại

sự khác biệt của mỗi tham số 0 và 1 nằm trong tham số δ, do đó những tính chấtđối với các tham số khác được giữ nguyên trong cả hai trường hợp

Ta bắt đầu bằng cách đánh giá tham số β để làm việc với tính chất đối xứng củaphân phối

tự, khi β = −1 phân phối lệch hoàn toàn về phía trái, hàm mật độ nhận giá trị 0

trên nửa trục bên phải

Kết quả sau đây cho thấyα là tham số thể hiện độ "nặng đuôi":

Tính chất 1.2 (Dáng điệu đuôi) Cho X ∼ S0(α,β,γ,δ) vàα < 2 Khi đó

Từ kết quả trên có thể thấy rằng

1) Theo (1.28), khiα tăng đuôi trở nên nhẹ hơn;

2) Đối với phân phối ổn định, dáng điệu tiệm cận của phần đuôi có dạng hàm mũ;3) Khiβ > 0, mật độ đuôi phải lớn hơn mật độ đuôi trái Ngược lại, khiβ > 0, mật

độ đuôi trái lớn hơn mật độ đuôi phải

Tiếp theo ta chuyển sangγ vàδ, chúng đại diện tương ứng cho tham số tỷ lệ vàtham số định vị của phân phối

Tính chất 1.3 (Chuẩn hóa biến ngẫu nhiên) Cho Z ∼ S1(α,β, 1, 0) Khi đó

1.5 Mômen của phân phối ổn định và các tính chất

Bốn tham số: định vị, tỷ lệ, độ lệch, và độ nhọn của phân phối ổn định quan

hệ chặt chẽ với nhau Có một số quan hệ gần gũi giữa chúng và những mômen lýthuyết Nhưng thật không may, bằng cách khai thác dáng điệu đuôi ta thấy rằng;những mômen có cấp lớn hơn α không tồn tại khiα < 2

Tính chất 1.4 Cho S k(α,β,γ,δ) Khi đó E (|x| r) <∞nếu và chỉ nếu 0 < r <α.

Chứng minh Ký hiệu f (x) là hàm mật độ của X, xét đại lượng R∞

k là một hằng số hữu hạn phụ thuộc vào các tham số của phân phối Tích phân này

hội tu khi và chỉ khi r <α

Trừ trường hợp phân phối Gauss, phương sai và mômen cấp cao không bao giờtồn tại, trong khi phân phối có kỳ vọng với α > 1 Thực tế có mối quan hệ gần gũigiữa trung bình và tham số định vị, được thể hiện trong các tính chất sau đây:

Tính chất 1.5 Cho X ∼ S1(α,β,γ,δ) vớiα > 1 Khi đó

1.6 Phép biến đổi tuyến tính của các biến ngẫu nhiên

1.7.1 Các phân phối ổn định đặc biệt

1 Phân phối Gauss

Khiα= 2, phân phối ổn định trùng với phân phối chuẩn với trung bìnhδ và phươngsaiγ2 Tham số độ lệch β không suất hiện trong trường hợp này

Chứng minh. Bởi vì tanπ = 0, hàm đặc trưng (1.11) được viết lại

Do đó hàm đặc trưng được viết làφ(t) = e iδt− γ|t| Thayα = 1 vàβ = 0 vào (1.11),

số hạng thứ hai trong dấu ngoặc biến mất và ta thu được biểu thức đúng bằng hàmđặc trưng trên đây

3 Phân phối Lévy Khi α = 12 và β = ±1, phân phối ổn định trùng với phân

phối Lévy với tham số vị tríδ và tỷ lệγ

Chứng minh. Trong (1.11) đặt α = 12 vàβ = 1 ta thu được

1.7.2 Các tính chất giải tích của phân phối ổn định

Tính chất 1.8 (Tính liên tục) Mỗi phân phối ổn định là liên tục và hàm mật độ

xác suất khả vi vô hạn.

Tính chất 1.9 (Giá) Giá của phân phối ổn định là toàn bộ đường thẳng thực khi

|β| 6= 1 vàα >1.

Trong các trường hợp còn lại giá phụ thuộc vào cách tham số hóa:

Trong trường hợp tham số hóa 1 của (1.11),

a) Nếuβ = 1 vàα < 1 thìgiá của hàm mật độ là

b) Nếuβ = −1 vàα < 1 thì giá của hàm mật độ là

Trong trường hợp tham số hóa 0 của (1.23),

a) Nếuβ = 1 vàα < 1 thì giá của hàm mật độ là

Tính chất 1.10 (Mốt) Phân phối ổn định có một mốt Khi phân phối ổn định đối

xứng với 1 < α 62, mốt trùng với (1.31) hoặc (1.32) Trong các trường hợp khác

mốt không có dạng hiển và cần một số xấp xỉ để xác định mốt.

1.7.3 Khai triển dạng chuỗi của hàm mật độ ổn định

Vấn đề không tồn tại dạng hiển của hàm mật độ xác suất gây ra một cản trở lớncho việc sử dụng phân phối ổn định Tuy nhiên, với năng lực của máy tính ngàycàng mạnh hơn, vấn đề này được khắc phục bằng phương pháp tính số gần đúng

Ý tưởng đầu tiên là dùng phép biến đổi ngược hàm đặc trưng để xác định hàmmật độ

Biểu thức ở trên có thể ước lượng bằng phép biến đổi Fourier nhanh (Mittnik,Doganoglu và Chenyao 1999), nhưng chỉ thu được một tập hợp các tọa độ rời rạcliên quan đến mật độ Tiếp đó hàm mật độ trên có thể được tái tạo bằng cách dùnghàm nội suy

Sau đây, sẽ trình bày hai phương pháp thay thế được dùng cho việc tính toánhàm mật độ

Dáng điệu tiệm cận của hàm mật độ, khi x → +∞hoặc khi x → 0+ được xác định

từ khai triển tiệm cận của Bergstrøm (1952), cho bởi công thức sau:

K(α) =α+βmin(α, 2 −α)

Biểu thức đầu là khai triển tiệm cận khi x → +∞vớiα ∈ (1, 2) và chuỗi đó hội tụ

tuyệt đối ∀x > 0 khi α ∈ (0, 1) Biểu thức sau là khai triển tiệm cận khi x → 0+ với

α ∈ (0, 1) và chuỗi là hội tụ tuyệt đối ∀x > 0 khiα ∈ (1, 2).

Chú ý rằng biểu thức ở trên không xử lý được khi x mang giá trị âm Tuy nhiên,

trong trường hợp này hàm mật độ tính toán đơn giản bằng cách sử dụng tính chấtphản chiếu,

f (x;α,β) = f (−x;α, −β) Biểu thức trên không áp dụng được khi α = 1 Trong trường hợp đó, cho β > 0 tacó