Phép chiếu xuống tập lồi và một số ứng dụng

ii Phần tử x của không gian Hilbert X được gọi là trực giao với một tập M nếu x trực giao với tất cả các phần tử của M.. Ngược lại, bất kỳ phiếm hàm song tuyến tính liên tục f x, y nào t

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại Học Khoa Học - Đại HọcThái Nguyên Tác giả xin bầy tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tớithầy GS.TSKH Lê Dũng Mưu (Viện Toán học), thầy đã trực tiếp hướngdẫn tận tình và động viên tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu và viếtluận văn vừa qua

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán - Tin,Phòng Đào tạo khoa học và Quan hệ quốc tế, các bạn học viên lớp caohọc Toán K4 trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên đã tạođiều kiện thuận lợi, động viên tác giả trong quá trình học tập và nghiêncứu tại trường

Tác giả cũng xin bầy tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thân đãluôn khuyến khích và động viên tác giả trong suốt quá trình học cao học

và viết luận văn

Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót

và hạn chế Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy

cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn Xin chân thành cảm ơn

Thái nguyên, ngày 10 tháng 10 năm 2012

Tác giả

Vũ Ánh Tuyết

Mục lục

1.1 Kiến thức cơ bản về không gian Hilbert 6

1.1.1 Không gian Hilbert thực 6

1.1.2 Khai triển trực giao và hệ trực chuẩn 8

1.1.3 Phiếm hàm tuyến tính và song tuyến tính 11

1.1.4 Toán tử đối xứng hoàn toàn liên tục 12

1.2 Kiến thức cơ bản về tập lồi 13

1.2.1 Các tính chất cơ bản về tập lồi 14

1.2.2 Các tính chất cơ bản về hàm lồi 17

2 Phép chiếu xuống tập lồi đóng 25 2.1 Kiến thức cơ bản về phép chiếu xuống tập lồi 25

2.1.1 Phép chiếu xuống tập lồi 25

2.1.2 Tính chất 26

2.1.3 Hình chiếu của một điểm xuống một số tập quen thuộc 28 2.2 Một số ứng dụng của phép chiếu 31

2.2.1 Định lý tách tập lồi 31

2.2.2 Sự tồn tại dưới vi phân 34

2.2.3 Giải bài toán bất đẳng thức biến phân 39

hx, yi = xTy : tích vô hướng của hai vectơ x và y

coA : bao lồi đóng của A

coneA : bao nón lồi của A

coneA : bao nón lồi đóng của A

af f (A) : bao affine của tập A

ri(A) : tập điểm trong tương đối của tập A

V (A) : tập các điểm cực biên (đỉnh) của A

re(A) : nón lùi xa của A

intA : tập hợp các điểm trong của A

domf : tập hữu dụng của f

epif : trên đồ thị của f

∂f (x): dưới vi phân của f tại x

f0(x, d) : đạo hàm theo hướng d của f tại x

Mở đầu

Giải tích lồi là bộ môn cơ bản của giải tích hiện đại, nghiên cứu về tậplồi và hàm lồi cùng những vấn đề liên quan Bộ môn này có vai trò quantrọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học ứng dụng, đặc biệt làtrong tối ưu hóa, bất đẳng thức biến phân, các bài toán cân bằng,

Một trong những vấn đề quan trọng của giải tích lồi đó là phép chiếulên một tập lồi đóng Đây là một công cụ sắc bén và khá đơn giản để chứngminh nhiều định lý quan trọng như định lý tách, định lý xấp xỉ tập lồi,định lý về sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân, Những cáchchứng minh dựa vào phép chiếu thường mang tính chất kiến thiết, gợi mởđến nhiều vấn đề khác

Trong luận văn này, tác giả tập trung vào việc trình bầy định nghĩa,tính chất cùng những ứng dụng quan trọng của phép chiếu Luận văn baogồm 2 chương

Trong chương 1, trình bầy một số kiến thức cơ sở về không gian Hilbert,

về tập lồi và hàm lồi Chúng là những công cụ cơ bản nhất cho nhữngnghiên cứu được trình bầy trong luận văn Chương 2 là chương chính củaluận văn Trong chương này, tác giả trình bầy về khái niệm, tính chất cơbản của phép chiếu Trong quá trình nghiên cứu chúng ta biết rằng hìnhchiếu vuông góc của một điểm lên tập lồi đóng, khác rỗng trong khônggian Hilbert luôn tồn tại và duy nhất Dựa vào đó, tác giả đề cập đếnnhững ứng dụng của nó, cụ thể là chứng minh định lý tách, chứng minh

sự tồn tại dưới vi phân của hàm lồi, giải bài toán bất đẳng thức biến phântrong không gian Hilbert

Chương 1

Một số kiến thức cơ bản

Trong chương này, ta sẽ trình bày những kiến thức cơ bản về khônggian Hilbert, tập lồi và hàm lồi Các kiến thức này được lấy từ các tài liệu[1,2,4,5]

1.1 Kiến thức cơ bản về không gian Hilbert

Trong phần này ta sẽ xét X là một không gian Hilbert thực Sau đây

ta nhắc lại một số kiến thức liên quan

1.1.1 Không gian Hilbert thực

Định nghĩa 1.1 Cho X là một không gian tuyến tính trên trường số thực

R Một tích vô hướng trong X là một ánh xạ được kí hiệu

Khi đó, không gian tuyến tính X h., i được gọi là không gian tiền Hilbert

Ví dụ 1.1 Không gian C[a,b] gồm tất cả các hàm liên tục trên đoạn [a, b]

với các phép toán thông thường và với tích vô hướng cho bởi:

là một không gian tiền Hilbert

Định nghĩa 1.2 Không gian đầy đủ là không gian mà mọi dãy Cauchyđều hội tụ

Ví dụ 1.2 i) Không gianC[a,b] với chuẩn kxk1 = max |x(t)| là không gianđầy đủ

ii) Không gian C[a,b] với chuẩn kxk2 =

không là khônggian đầy đủ

Định nghĩa 1.3 Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là không gianHilbert

Ví dụ 1.3 i) Không gian L2[a,b] với chuẩn kxk2 =

là mộtkhông gian Hilbert

ii) Không gian l2 với chuẩn kxk =

< +∞, x = (ξ1, , ξn)

là một không gian Hilbert

Nhận xét 1.1 i) Không gian tiền Hilbert là không gian định chuẩn vớichuẩn kxk = hx, xi1/2

ii) Không gian tiền Hilbert luôn có bất đẳng thức Schwars:

1.1.2 Khai triển trực giao và hệ trực chuẩn

Định nghĩa 1.4 i) Hai vectơ x và y của một không gian Hilbert X đượcgọi là trực giao với nhau nếu hx, yi = 0 và được kí hiệu là x⊥y

ii) Phần tử x của không gian Hilbert X được gọi là trực giao với một tập

M nếu x trực giao với tất cả các phần tử của M

iii) Tập tất cả các vectơ trực giao với tập M làm thành một không giancon đóng của X Kí hiệu: M⊥ = {x ∈ X |x⊥M } và được gọi là phần bùtrực giao của M

Từ định nghĩa trên ta có thể suy ra một số tính chất đơn giản sau:Tính chất 1.1 Nếu x⊥y thì y⊥x Ta có x⊥x khi và chỉ khi x = 0 Vectơ

0 trực giao với mọi vectơ x

Chứng minh Thật vậy, x⊥y ⇔ hx, yi = 0 Suy ra: hy, xi = 0 ⇔ y⊥x.+) x⊥x ⇔ hx, xi = 0 ⇔ x = 0∀x ∈ X

n→∞(x, yn) = 0 Do X làkhông gian Hilbert nên tích vô hướng là một hàm liên tục hai biến Do đó,

(x, y) = lim

n→∞(x, yn) = 0 nên x⊥y.Tính chất 1.4 Nếu x⊥y thì kx + yk2 = kxk2 + kyk2 (định lý Pytago).Chứng minh Thật vậy, do x⊥y nên (x, y) = 0 Do đó,

kx + yk2 = (x + y, x + y) = (x, x) + 2 (x, y) + (y, y) = kxk2 + kyk2

Bằng quy nạp ta chứng minh tổng quát hơn, nếu các vectơ x1, x2, , xn

đôi một trực giao với nhau và x =

Tính chất 1.5 Nếu {xn} là một hệ trực giao (nghĩa là các vectơ trựcgiao từng đôi một) thì chuỗi

Sn0 − Sm0

Vì không gian Hilbert là không gian đủ nên từ kSn − Smk → 0 ta suy ra

{Sn} hội tụ khi và chỉ khi

n

Sn0o hội tụ

Định lý 1.1 Cho M là một không gian con đóng của một không gianHilbert X Bất kỳ phần tử x nào của X cũng có thể biểu diễn một cáchduy nhất dưới dạng

x = y + z, y ∈ M, z ∈ M⊥ (1.1)trong đó y là phần tử của M gần x nhất tức là kx − yk ≤ kx − uk với mọi

là sự tồn tại của phân tích (1.1)

Ta nhận xét rằng: Trong trường hợp riêng X = R2 và M là một đườngthẳng thì định lý nói lên một sự kiện quen thuộc

Trong trường hợp tổng quát ta đặt:

≥ 4d2 vì 12 (un + um) ∈ M

Vậy, khi n, m → ∞ thì kun − umk → 0, do đó un dần tới một giới hạn y

nào đó Ta có y ∈ M vì M đóng và kx − yk = lim

n→∞kx − unk = d.Bây giờ ta đặt z = x − y và tìm cách chứng minh z ∈ M⊥ Muốn thế,xét một phần tử u bất kỳ của M Ta có, với mọi số thực α:

(z − αu, z − αu) = kzk2 − 2α (z, α) + α2kuk2

Mày+αu ∈ M nên(z − αu, z − αu) = kz − αuk2 = −kx − (y + αu)k2 ≥

Rõ ràng, P là một toán tử tuyến tính liên tục vì kP xk ≤ kxk

Định nghĩa 1.5 Một hệ {en} các phần tử của không gian Hilbert X đượcgọi là hệ trực chuẩn nếu (ei, ej) = δij trong đó δij = 1 nếu i = j và δij = 0

Định lý 1.2 Cho {en} là một hệ trực chuẩn, ζn = (x, en) là các hệ sốFourier của x đối với en Các mệnh đề sau là tương đương:

P

i=1

ζi2∀x ∈ X.4) (x, y) =

1.1.3 Phiếm hàm tuyến tính và song tuyến tính

Ta có dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên khônggian Hilbert như sau:

Định lý 1.4 ( Riesz ) Với mỗi vectơ a cố định thuộc một không gianHilbert X, hàm số f (x) = (a, x) xác định một phiếm hàm tuyến tính liêntục f (x) trên không gian X với kf k = kak

Ngược lại, bất kỳ phiếm hàm tuyến tính liên tục f (x) nào trên không gianHilbert X cũng đều có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng f (x) =(a, x) trong đó a là một vectơ của X thỏa mãn điều kiện kf k = kak

Từ định lý trên ta suy ra hệ quả như sau:

Hệ quả 1.1 Mỗi toán tử tuyến tính liên tục A trong không gian Hilbert

X xác định f (x, y) = (Ax, y) một phiếm hàm song tuyến tính liên tục

f (x, y) nghiệm đúng kf k = kAk

Ngược lại, bất kỳ phiếm hàm song tuyến tính liên tục f (x, y) nào trên mộtkhông gian Hilbert X cũng đều có thể biểu diễn một cách duy nhất dướidạng f (x, y) = (Ax, y) trong đó A là một toán tử tuyến tính liên tục trên

X thỏa mãn điều kiện kf k = kAk

1.1.4 Toán tử đối xứng hoàn toàn liên tục

Cho một toán tử tuyến tính liên tục A trong không gian Hilbert X

Ta có (Ax, y) là một phiếm hàm song tuyến tính liên tục, cho nên có mộttoán tử tuyến tính liên tục duy nhất A∗ sao cho: (Ax, y) = (x, A∗y) Tagọi toán tử A∗ là toán tử liên hợp của toán tử A và

Một toán tử tuyến tính liên tục A gọi là đối xứng nếu với mọi x, y ta có

(Ax, y) = (x, Ay) Khi đó A = A∗ nên A được gọi là toán tử tự liên hợp

Ta nói một số λ là trị riêng của toán tử A nếu phương trình Ax = λx cónghiệm x không tầm thường Khi ấy, nghiệm x này gọi là một vectơ riêngcủa A ứng với trị riêng λ

iv) Tập hợp tất cả các vectơ riêng của toán tử tuyến tính liên tục A ứngvới cùng một trị riêng λ cùng với phần tử 0 làm thành một không giancon đóng của X bất biến đối với A Không gian con này gọi là không giancon riêng ứng với trị riêng λ

v) Nếu A là một toán tử đối xứng thì các vectơ riêng của A ứng với haitrị riêng khác nhau bao giờ cũng trực giao với nhau

vi) Nếu A là một toán tử đối xứng thì phần bù trực giao của mọi khônggian con bất biến đối với A cũng bất biến đối với A

Tiếp theo là khái niệm toán tử hoàn toàn liên tục

Định nghĩa 1.6 Nếu A là một toán tử tuyến tính liên tục trong khônggian Hilbert X thì

kxk ≤ K ⇒ kAxk ≤ kAk K

nghĩa là A biến mỗi tập bị chặn thành một tập bị chặn.

Một toán tử tuyến tính A trong không gian Hilbert X là hoàn toàn liên tụcnếu nó biến một tập bị chặn thành một tập hoàn toàn bị chặn

iii) Nếu toán tử A hoàn toàn liên tục và kAN − Ak → 0 thì các toán tử

AN cũng hoàn toàn liên tục

Ta xét một toán tử A vừa đối xứng vừa hoàn toàn liên tục trong khônggian Hilbert X Khi đó, ta có các tính chất sau:

i) Một toán tử đối xứng hoàn toàn liên tục Abao giờ cũng có một trị riêng

λ với kλk = kAk

ii) Tập các trị riêng của một toán tử đối xứng hoàn toàn liên tục cùng lắm

là đếm được Nếu là đếm được thì tập đó làm thành một dãy hội tụ đến

trong đó mỗi ej là một vectơ riêng ứng với một trị riêng khác 0 và Az = 0

Do đó mọi phần tử có dạng Ax đều có thể phân tích ra được theo các vectơriêng tương ứng với các trị riêng khác 0:

Từ định lý trên ta suy ra hệ quả như sau:

Hệ quả 1.2 Trong không gian Hilbert tách được, mọi toán tử đối xứnghoàn toàn liên tục đều có một hệ trực chuẩn đầy đủ vectơ riêng

1.2 Kiến thức cơ bản về tập lồi

Giải tích lồi đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu, phân tích

và xây dựng các thuật toán giải bài toán cân bằng Trong phần này ta

nhắc lại một số kiến thức về giải tích lồi.

Định nghĩa 1.7 Xét dãy {xn}n≥0 và x thuộc không gian Hilbert thực X.Khi đó:

i) Dãy {xn} được gọi là hội tụ mạnh tới x, ký hiệu là xk → x nếu

iii) Điểm x được gọi là điểm tụ mạnh (yếu) của dãy {xn} nếu từ dãy này

có thể trích ra một dãy con hội tụ mạnh (yếu) tới x

Mệnh đề 1.1 i) Nếu dãy {xn} hội tụ mạnh tới x thì cũng hội tụ yếu tới

v) Nếu {xn}n≥0 là một dãy bị chặn trong không gian Hilbert X thì ta trích

ra được một dãy con hội tụ yếu

vi) Nếu{xn}n≥0 là một dãy bị chặn trong không gian Hilbert hữu hạn chiều

X thì ta trích ra được một dãy con hội tụ mạnh

Tiếp theo ta nhắc lại một số định nghĩa và kết quả cơ bản về tập lồi vàhàm lồi

1.2.1 Các tính chất cơ bản về tập lồi

Định nghĩa 1.8 i) Một đường thẳng nối hai điểm (hai vectơ) a và b trongkhông gian Hilbert X là tập hợp tất cả các vectơ x ∈ X có dạng

{x ∈ X| x = (1 − λ) a + λb, λ ∈ R}

ii) Đoạn thẳng nối hai điểm (hai vectơ) a và b trong không gian Hilbert X

là tập hợp tất cả các điểm (vectơ) x ∈ X có dạng

{x ∈ X| x = (1 − λ) a + λb, 0 ≤ λ ≤ 1}

iii) Một tập M được gọi là tập affine (đa tạp affine) nếu nó chứa đườngthẳng đi qua hai điểm bất kỳ của nó, tức là ∀x, y ∈ M, ∀λ ∈ R ⇒ λx +(1 − λ)y ∈ M

Nhận xét 1.2 i) NếuM là tập affine thì a + M = {a + x | x ∈ M } cũng

là một tập affine với ∀a ∈ Rn

ii) M là tập affine chứa gốc khi và chỉ khi M là không gian con

iii, Tập affine là trường hợp riêng của tập lồi

Định nghĩa 1.9 i) Thứ nguyên (hay chiều) của không gian con song songvới tập affine M được gọi là thứ nguyên (hay chiều) của một đa tạp affine

M và được kí hiệu là dimM

ii) Siêu phẳng trong không gian HilbertX là một tập affine có số chiều bằng(n-1), hay chính là tập có dạng {x ∈ X | aTx =α} trong đó 0 6= a ∈ X và

α ∈ R Vectơ a được gọi là vectơ pháp tuyến của siêu phẳng

Trong trong không gian Hilbert X, siêu phẳng {x ∈ X | aTx =α} với

0 6= a ∈ X và α ∈ R chia X thành hai nửa không gian đóng

ii) Bao lồi của tập C là tập lồi nhỏ nhất chứa C, ký hiệu là CoC, đây

chính là giao của tất cả các tập lồi chứa C.

iii) Cho hai tập A, B bất kỳ trong không gian Hilbert X, tổ hợp lồi củacác tập A và B là tập các điểm thuộc không gian Hilbert X có dạng x =

trong đó U là một lân cận mở của x

Định nghĩa 1.12 i) Một tập hợp là giao của một số hữu hạn các nửakhông gian đóng được gọi là tập lồi đa diện (khúc lồi)

Như vậy, dạng tường minh của một tập lồi đa diện D được cho như sau

Một diện có thứ nguyên bằng 0 được gọi là đỉnh hay điểm cực biên Cạnh

là một diện có thứ nguyên bằng 1

iii) Đối với một tập C bất kỳ, một điểm x ∈ C được gọi là điểm biên của

C nếu không tồn tại a, b ∈ C, 0 < λ < 1 sao cho x = λa + (1 − λ)b vàđoạn thẳng [a, b] ⊂ C Với một tập lồi đa diện, một đỉnh của diện cũngchính là đỉnh của tập đó

iv) Một tập C được gọi là nón nếu ∀x ∈ C, t ≥ 0 thì tx ∈ C

v) Một tập C được gọi là nón lồi nếu ∀x, y ∈ C thì x + y ∈ C và tx ∈ C

với mọi t ≥ 0

Định nghĩa 1.13 i) Cho C là một tập lồi trong không gian Hilbert X,một vectơ y 6= 0 được gọi là hướng lùi xa của C nếu mọi tia xuất phát từmột điểm bất kỳ của C theo hướng y đều nằm trọn trong C, tức là y 6= 0

là hướng lùi xa khi và chỉ khi x + λy ∈ C, ∀x ∈ C, ∀λ ≥ 0

ii) Tập tất cả các hướng lùi xa của C cùng với điểm gốc được gọi là nónlùi xa của C, ký hiệu là reC

iii) Cho C là một tập lồi trong không gian Hilbert X và x ∈ C, tập hợp

là FC(x) và gọi là nón chấp nhận được của C tại x

1.2.2 Các tính chất cơ bản về hàm lồi

Từ phần này trở đi, nếu không nói gì thêm, ta luôn xét hàm thực, nhậngiá trị hữu hạn, xét trong không gian Hilbert X

Định nghĩa 1.14 i) Cho C ⊆ X là tập lồi và f : C → R∪ {+∞} Ta

ký hiệu

domf := {x ∈ C | f (x) < +∞}

và gọi là miền hữu dụng của f

Nếu domf 6= ∅ và f (x) > −∞ thì f được gọi là hàm lồi chính thường

ii) Tập

epif := {(x, µ) ∈ C ×R | f (x) ≤ µ}

được gọi là trên đồ thị của hàm f

Định nghĩa 1.15 Cho ∅ 6= C ⊆ X là một tập lồi và f : X → R∪ {+∞}

i) Ta nói f là hàm lồi xác định trên C nếu

v) Hàm f được gọi là hàm tựa lõm trên C nếu −f là hàm tựa lồi trên C

Ví dụ 1.5 1) Trong không gian Hilbert thực X, ta có khai triển:

2) Hàm affine: f (x) = aTx + α, trong đó α ∈ X, α ∈ R Dễ dàng kiểm tra

được rằng f là một hàm vừa lồi vừa lõm trên toàn không gian Khi α = 0

thì hàm này được gọi là hàm tuyến tính.

3) Hàm chỉ: Cho C 6= ∅ là một tập lồi Đặt

δC(x) =



0 nếu x ∈ C+∞ nếu x /∈ C

Ta nói δC là hàm chỉ của C Do C lồi nên δC là một hàm lồi

4) Hàm mặt cầu: Cho S := {x ∈ X| kxk = 1} là một mặt cầu và h : S →

R+ là môt hàm bất kỳ Định nghĩa hàm f như sau:

Hàm này được gọi là hàm mặt cầu Dễ thấy rằng f là một hàm lồi trên X

mặc dù h là một hàm không âm bất kỳ trên mặt cầu S

Lớp các hàm lồi là đóng đối với phép lấy tổ hợp tuyến tính không âm

và phép lấy max, cụ thể:

Định lý 1.7 Cho f là hàm lồi trên tập A và g là hàm lồi trên tập B Khi

đó các hàm sau là lồi trên tập A ∩ B:

Tiếp theo ta nêu các khái niệm liên quan đến tính liên tục và tính khả

vi của hàm số:

Định nghĩa 1.16 Xét hàm f : X → R Khi đó:

i) Một hàm f xác định trên tập X được gọi là nửa liên tục dưới tại điểm

x0 thuộc X nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0, sao cho f (x) ≥ f (x0) − ε,với mọi x ∈ X thỏa mãn x − x0 < δ.

ii) Hàm f được gọi là nửa liên tục trên tại x0 nếu−f nửa liên tục dưới tại

Phần tử f0(x) được gọi là đạo hàm của f tại điểm x

ii) Hàm f được gọi là khả vi trên X nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc X.Lớp các hàm lồi là đóng đối với phép lấy tổ hợp tuyến tính không âm

và phép lấy max, cụ thể:

Định lý 1.9 Đối với một hàm lồi chính thường trên Rn vàx0 ∈ int(domf ),các khẳng định sau đây là tương đương:

(i) f liên tục tại điểm x0

(ii) f bị chặn trong một lân cận của x0

(iii) int(epif ) 6= ∅

(iv) int(domf ) 6= ∅ và f liên tục trên tập int(domf )

Mệnh đề 1.2 Xét hàm f : X → R Khi đó:

i) Nếu f liên tục thì f nửa liên tục dưới

ii) Nếu f khả vi thì f liên tục và

Chứng minh i) Hiển nhiên

ii) Giả sử f khả vi Xét x khác y bất kỳ thuộc X Ta có:

f (y) − f (x) = ky − xkf (y) − f (x) − hf

0(x) , y − xi

0(x) , y − xi

Suy ra điều phải chứng minh.

Mệnh đề sau cho ta mối quan hệ giữa hệ số lồi của một hàm và đạohàm của nó:

Mệnh đề 1.3 Xét hàm f : X →R∪ {+∞} khả vi Khi đó ba điều kiệnsau đây là tương đương:

Chứng minh i) ⇒ ii): Giả sử f lồi mạnh với hệ số η Với mọi x, y ∈ X

z = (1 − t)x + ty Khi đó: y = z + (1 − t)(y − x) và x = z + (−t)(y − x)

Áp dụng ii) ta được

f (x) ≥ f (z) + hf0(z) , −t (y − x)i + η2t2kx − yk2 (1)

f (y) ≥ f (z) + hf0(z) , (1 − t) (y − x)i + η2(1 − t)2kx − yk2 (2)

Nhân hai vế của (1) với (1 − t) > 0 và nhân hai vế của (2) với t > 0 sau

đó cộng lại ta thu được:

(1 − t) f (x) + tf (y) ≥ f ((1 − t) x + ty) + η

2t (1 − t) kx − yk

2

Điều này đúng với mọi x, y nên ta suy ra f lồi mạnh với hệ số η

ii) ⇒ iii): Giả sử có ii), với mọi x, y ∈ X ta có

Hàm f lồi có thể coi là lồi mạnh với hệ số 0 Do đó, ta có hệ quả sau:

Hệ quả 1.3 Với hàm f : X → R ∪ {+∞} khả vi Khi đó các điều kiệnsau đây là tương đương:

là cực đại toàn cục hay cực đại tuyệt đối của f trên C

Định lý 1.10 i) Mọi điểm cực tiểu địa phương của một hàm lồi trên mộttập lồi đều là điểm cực tiểu tuyệt đối

ii) Nếu x∗ là điểm cực tiểu của hàm lồi f trên tập lồi C và x∗ ∈ intC thì

0 ∈ ∂f (x∗)

iii) Cực đại của một hàm lồi (nếu có) trên một tập lồi có điểm cực biênbao giờ cũng đạt tại một điểm cực biên

Mệnh đề 1.4 Cho f : Rn → R∪ { + ∞} là hàm lồi Khi đó mọi điểmcực tiểu địa phương của f trên một tập lồi đều là cực tiểu toàn cục Hơnnữa tập hợp các điểm cực tiểu của f là một tập lồi Nếu f lồi chặt thìđiểm cực tiểu nếu tồn tại sẽ là duy nhất.

Mệnh đề 1.5 i) Giả sử f : Rn → R ∪ { + ∞} là một hàm lồi chínhthường và C ⊆ Rn là một tập lồi trên đó f hữu hạn Khi đó nếu f đạt cựcđại tại một điểm trong tương đối của C thì f là hằng số trên C

ii) Nếu f là một hàm lồi, chính thường trên Rn và bị chặn trên trong mộttập affine, thì nó là hằng số trên tập này

Hệ quả 1.4 Nếu một hàm lồi đạt cực đại trên một tập lồi có điểm cựcbiên, thì cực đại sẽ đạt được tại một điểm cực biên của tập lồi đó

1.2.1 Các tính chất tập lồi

Định nghĩa 1.8 i) Một đường thẳng nối hai điểm (hai vectơ) a b trongkhông gian Hilbert X tập hợp tất... hàm lồi X

mặc dù h hàm không âm mặt cầu S

Lớp hàm lồi đóng phép lấy tổ hợp tuyến tính khơng âm

và phép lấy max, cụ thể:

Định lý 1.7 Cho f hàm lồi tập A g hàm lồi tập. .. lồi mộttập lồi điểm cực tiểu tuyệt đối

ii) Nếu x∗ điểm cực tiểu hàm lồi f tập lồi C x∗ ∈ intC

0 ∈ ∂f (x∗)

iii) Cực đại hàm lồi (nếu có) tập