Tài liệu gồm các đề ôn thi học sinh giỏi lớp 10. Tài liệu giúp các em học sinh có thêm bài tập để luyện tập, nhằm nâng cao khả năng học tập môn Toán, ôn thi HSG lớp 10 cấp tỉnh. Tài liệu cũng có thể là công cụ để các thầy cô tham khảo dạy bồi dưỡng HSG lớp 10
Trang 1ĐỀ SỐ 1 Câu I ( 7 điểm)
Cho biểu thức M(x) = (x 2 - 2x - 3)(x 2 - 2x + 2m + 3)
1 Giải bất phương trình M x ( ) 0 với m = 0.
2 Tìm m để phương trình M(x) = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
Câu II ( 6 điểm)
1 Giải bất phương trình:
3x 7x 3 x 3x4 x 2 3x 5x 1
2 Giải hệ phương trình:
153 8
Câu III ( 7 điểm)
1 Cho điểm C thuộc đoạn AB sao cho 1
2007
CA
CB Chứng minh rằng với S là
điểm bất kì ta luôn có 2007 1
2 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AA’ là đường cao xuất phát từ đỉnh A, H là trực tâm, G là trọng tâm của tam giác.
Chứng minh rằng HG // BC khi và chỉ khi tanB.tanC = 3.
Trang 2ĐỀ SỐ 2
Câu I (6 điểm)
Cho phương trình: 6x 2x2 4 x2 3x m
1 Giải phương trình khi m 2
2 Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt
Câu II (6 điểm)
1 Giải hệ phương trình:
2
2
3 4
3 4
y
x
2 Giải bất phương trình:
3 6
Câu III (6 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng :3x 4y 1 0và đường tròn ( ):C x2y28x 6y0 Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với đường thẳng và chắn trên đường tròn ( )C một dây cung có độ dài bằng 6
2 Cho tam giác ABC có diện tích bằng
2
1
và chu vi bằng 2
Chứng minh rằng: cotA + cotB + cotC + ab + bc + ca = 2
(với BC = a, AC = b, AB = c)
Câu IV (2 điểm)
Cho 3 số thực a, b, c thoả mãn a2b2c23 và P a b ( 1) b c( 1) c a( 1)
P
Trang 3ĐỀ SỐ 3
Bài 1: Giải các phương trình:
1) 2 1 2 132
x x
x
x
2)
2
7 ) 1 )(
3 4 ( ) 7 8
x
Bài 2:
Cho hệ phương trình:
m y x m y x
3 2
4 ,m là tham số
1) Giải phương trình khi m=-1
2) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm
Bài 3:
1) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
, 0
5 4
11 8 2 2
2
x x
x x y
2) Giải bất phương trình:
x 1 2 x 1 5 3x
Bài 4:
1) Tứ giác ABCD có diện tích S và có chu vi bằng 4 S Hãy xác dịnh dạng tứ giác đó
2) Cho tam giác ABC có BC=a ,CA=b,AB=c.Gọi (I) là đường tròn sao cho :
0 2 ) /(
2 ) /(
2 )
/( a P b P c
P A I B I C I ( P là phương tích của A,B,C đối với đường tròn (I)
a) Chứng minh I là trực tâm của tam giac ABC
b) Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam Giác ABC Tìm bán kính R1 của đường tròn (I) theo R
Bài 5: Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1.Chứng minh:
1327 2 2 2 21
a b c
ĐỀ SỐ 4
Trang 4Bài 1:
1) Giải phương trình:
2 4x2 (x 1 )(x 2 ) x(x 1 ) 2x
2) Giải bất phương trình:
) 8
1 ( 2 2
x
x x
Bài 2<
1) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
2
1 , 1 4 4
4
x x x y
2) Cho phương trình :ax2+bx+c=0 vô nghiệm vàa-b+c<0.Chứng minh :a 0 và c<0
Bài 3:
1) Cho tam giác ABC có diện tích S 23,A(2;-3),B(3;-2) trọngtâm G nằm trên đường thẳng d:3x-y-8=0.Tìm toạ độ đỉnh C
2) Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) Gọi M là trung điểm của BC Đường tròn (O1) ngoại tiếp tam giác AOM cắt đường thẳng BC tại điểm thứ hai E và đường tròn (O) tại D AD cắt BC tại F
Chứng minh EA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và đường tròn(O2) ngoại tiếp tam giác AMF
Bài 4: Tính các góc của tam giác ABC đồng thời thoả mãn:tan3A+cot3A=tanA+cotA
và sin2008B+(1-cosB)2008=sinB+2sin2 2
B
Bài 5: Cho x+y+z=0;x+1>0,y+1>0,z=4>0.tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
1 1 4
z
z y
y x
x A
ĐỀ SỐ 5
Trang 5Bài I: (4 điểm) Cho hàm số: 2
1 Tìm m để phương trình f x ( ) 0 có nghiệm
2 Tìm điều kiện của m để bất phương trình f x ( ) 0 có nghiệm 3
Bài II: (6 điểm)
1 Giải phương trình
a) 3 x 2 x 1 3
16 6 2
2 Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất
Bài III: (3 điểm) Cho hệ:
2
0
1 Giải hệ phương trình với m = 1
2 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất
Bài IV: (3 điểm) Cho điểm D nằm tong tam giác ABCsao cho:
Chứng minh rằng:
1 sin 3 sin(A )sin(B )sin(C )
2 cot cotA cotB cotC
Bài V: (2 điểm) Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn:
Chứng minh rằng: 2 2 2 3
2
b c a c a b
ĐỀ SỐ 6
Trang 6Câu 1 (5,0 điểm)
Cho phương trình x2 2m3x m 2 3 0 , m là tham số.
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x thoả mãn: 1, 2 1 2 2 1 2 1
2
x x x x
b) Khi phương trình có hai nghiệm x x1 , 2, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P x x x x
Câu 2 (4,0 điểm)
Giải phương trình: 4x12 4x7 6
Câu 3 (4,0 điểm)
Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi P, Q là hai điểm thoả mãn:
3PA 2PB0, QA 2QC 0
Chứng minh rằng ba điểm P, Q, G thẳng hàng.
Câu 4 (4,0 điểm)
Cho tam giác ABC, M là một điểm bất kỳ trên cạnh BC không trùng với B và
C
Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB.
Chứng minh rằng: a AM2 2 b BM2 2 c CM2 2 b2 c2 a BM CM2
Câu 5 (3,0 điểm)
Cho a,b,c là ba số thực đôi một khác nhau, chứng minh rằng:
2
ĐỀ SỐ 7
Trang 7Bài 1: ( 3 điểm)
a) Giải bất phương trình: 5 2x 1 5 4
2x 2
x
x
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y x2 x 1 x2 x 1
Bài 2: ( 3 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z ta có:
3
4
x y z
Bài 3: ( 3 điểm)
Cho tam giác ABC có đường cao CH, HAB Các điểm I, K lần lượt là trung điểm của các đoạn AB và CH Một đường thẳng d di động luôn song song với cạnh AB cắt cạnh
AC tại M và cạnh BC tại N.
Vẽ hình chữ nhật MNPQ với hai điểm P, Q thuộc cạnh AB Gọi J là tâm của hình chữ nhật MNPQ Chứng minh I, J, K thẳng hàng
Bài 4:( 1 điểm)
Số 3n 2009
, n là số nguyên dương, có chia hết cho 184 không? hãy chứng minh điều mà bạn khẳng định
ĐỀ SỐ 8
Trang 8Câu I: (5 điểm) Giải hệ phương trình:
1 4
x y xy y
y x y x y
x x x
Câu III: (6 điểm)
1 Cho tam giác ABC nhọn có các cạnh BC = a, CA = b, AB = c Các đường cao của tam giác là AA’, BB’, CC’ cắt nhau tại H Chứng minh rằng:
AH.AA’+ BH.BB’ + CH.CC’ =
2
a b c
2 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Gọi AA’, BB’, CC’ là ba đường trung tuyến của tam giác ABC, ba đường trung tuyến này lần lượt cắt đường tròn (O; R) tại A 1 , B 1 , C 1 Chứng minh:
Câu IV: (3 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: ab + bc + ca = abc.
Chứng minh rằng:
ab a b bc b c ca c a
Câu V: (2 điểm) Cho các số thực a, b, c sao cho phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm thuộc đoạn 0;1 (a ≠ 0)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2
P
a a b c
Trang 9ĐỀ SỐ 9 Câu I.(6 điểm)
Cho phương trình: (x 2) x 2 2mx 2m 2x23x 2
1 Giải phương trình với m = 4
2 Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt
Câu II (6 điểm)
1 Giải hệ phương trình:
8
2 Giải bất phương trình:
x x x x x x
Câu III.(6 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(1; 1), B(4; -3) Hãy tìm điểm C thuộc đường thẳng (d): x - 2y - 1 = 0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6
2 Trong mặt phẳng, cho góc xOy 600 M, N là hai điểm lần lượt thay đổi trên
2 tia Ox và Oy sao cho : 1 1 2009
2010
OM ON Chứng minh rằng: Đường thẳng
MN luôn cắt tia phân giác của góc xOy tại một điểm cố định
Câu IV.(2 điểm)
Cho x và y là hai số dương thoả mãn x y 2010
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P
Trang 10ĐỀ SỐ 10 Bài I ( 5,0 điểm)
1 Giải phương trình x2 2x 3 x 3
2 Giải hệ phương trình
2 4
Bài II ( 5,0 điểm)
1 Tìm tham số m để bất phương trình 2 1 1
x
có tập nghiêm là
2 Tìm tham số mđể hệ phương trình
2 2
2
x y
phân biệt
Bài III ( 2,0 điểm)
Tam thức f x( ) x2 bx c thỏa mãn ( ) 1
2
f x với x 1;1 Hãy tìm các hệ số
bvà c
Bài IV (2,0 điểm)
Cho x y z, , là ba số thực dương thỏa mãn xy yz zx 1 Chứng minh rằng ta luôn có:
2 2 2
3 2
Bài V ( 6,0 điểm)
1 Cho tam giác ABC trọng tâm G Các điểm M, N được xác định bởi 1
2
;
3 MA 4MB 0
a/ Chứng minh rằng ba điểm G, M, N thẳng hàng
b/ Đường thẳng MN chia tam giác CAN thành hai tam giác Tính tí số diện tích của
hai tam giác đó
2 Tam giác ABC có các đường phân giác trong AE, BF và CP Chứng minh rằng ta
luôn có:
EFP ( )(2 )( )
ABC
( với BC a AC b AB c ; ; )
Trang 11ĐỀ SỐ 11
1 Giải phương trình: 6x2 10x 5 (4x 1) 6x2 6x 5 0 (6)
2 Cho phương trình: x2 – 2(m+ 4) x + m - 6= 0
a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 thõa mãn x x1 2 =
88
b) Tìm nghiệm lớn nhất trong số các nghiệm của phương trình với m -1
3 Giải hệ phương trình:
5
xy x y
4 Cho hai tam giác vuông cân ABC; AB’C’ ( Như hình vẽ)
Gọi I; J lần lượt là trung điểm của BB’; CC”
Chứng minh rằng:
a) AI vuông góc với CC’;
BJ vuông góc với BB’
b) BC’ vuông góc với B’C
5 Cho tam giác ABC với AB= c; AC= b; BC= a;
số đo các góc đỉnh A, B, C là A, B, C
a) Chứng minh: a= b.cosC+c.cosB
b) Chứng minh: CotA+ CotB+ CotC= 2 2 2
4
S ( S là diện tích tam giác ABC).
6 Cho x, y thõa mãn: 36x2 +16y2- 9= 0 Tìm GTLN, GTNN của: T= y- 2x+ 5
B’ B
C
A
C’
Trang 12ĐỀ SỐ 12 Câu 1 (1 điểm) a) Tìm điều kiện để phương trình 2 2 2 ( 1 ) 1 0
m x x
nghiệm phân biệt
b) Tính koảng cách từ điểm )
3
5
; 2 (
A đến điểm ; 3 )
2
1 (
Câu 2 (2 điểm).
a Xét tính đồng biến, nghịch biến, tính chẵn lẻ và vẽ đồ thị hàm số: yx 2 1
b Với giá trị nào của m thì phương trình sau có 2 nghiệm: x 2 1 m 0
Câu 3 (2 điểm) Cho tam giác ABCvới các cạnh ABc,BC a,CAb
a Gọi CM là đường phân giác trong của góc C Hãy biểu thị vectơ CM theo các vectơ CA và CB
b Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng:
0
IA
a
Câu 4 (2 điểm) Giải hệ phương trình
8 2
15 3
2
2 2
2 2
y xy x
y xy x
ĐỀ SỐ 13
Trang 13Bài 1: Cho bất phương trình:
2 (1)
9 x 2 x
7mx 9
x 2 x
4)x (9m
( m là tham số)
a Giải bất phương trình với m = 28
b Tìm m để bất phương trình (1) có nghiệm
Bài 2: Giải hệ phương trình sau:
2009
2008 2009
2x 1 2x
1 2x 1
2009
2010 2009
2x 1 2x
1 2x 1
2009 2
1
2009 2
1
Bài 3: Cho đường tròn có bán kính cố định bằng R0, tam giác ABC nội tiếp đường tròn đó Gọi ma, mb, mc lần lượt là độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A, B, C của tam giác ABC Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
c m
C sin b
m
B sin a
m
A sin
Bài 4:Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn bán kính R.
a Chứng minh rằng: các đường thẳng đi qua trung điểm mỗi cạnh và vuông góc với cạnh đối diện cắt nhau ở một điểm ( điểm đó gọi là M)
b Chứng minh: MA2 +MB2 + MC2 + MD2 = 4R2