Một số bài toán khó trong đề thi đại học

Tuyển tập gồm nhiều bài toán khó trong các đề thi và có lời giải chi tiết. Đây là tài liệu thích hợp cho các em học sinh tham khảo để luyện tập câu lấy điểm 9, 10 trong đề thi THPT Quốc gia, đồng thời là tài lại thích hợp cho các thầy cô giảng dạy.

MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÓ TRONG ĐỀ THI

Bài 1 Cho x, y, z thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 2 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức P = x3 + y3 + z3 – 3xyz

LG

+ Ta có

2 2 2

2 2 2

(x y z) x y z

2

+ Đặt x + y + z = t, t  6 Bunhiacopxki , ta được: 1 3

P(t) 3t t

2

  Xét hàm số P(t) trên đoạn  6; 6

Có P '(t) 0  t 2, P( 6) = 0; P( 2)2 2; P( 2) 2 2

+ Vậy MaxP 2 2; MinP 2 2

Bài 2 Cho a, b, c dương và a + b + c = 1 Chứng minh rằng

2

LG

+ Ta có VT =

A B

+ Có A 3 1(a b) (b c) (c a) 1 1 1 9 Suy ra A 3

Từ đó ta có VT 3 1 2 VP

2 2

    Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1/3

a b 1 b c 1 c a 1        

LG

+ Ta có a b 3a3 b 3a2  3ab3 b23ab3a3b

3

3 3 3

;

b c 1   a b c c a 1   a b c

a b 1 b c 1 c a 1         Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

Bài 4 Cho x, y, z thoả mãn x2 xy y 2 1 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

4 4

2 2

P



LG

+ Từ giả thiết suy ra:

2

1 (x y) 3xy 3xy

Từ đó ta có 1 xy 1

3

+ Lại có x2 xy y 2  1 x2y2  1 xy  x4y4 x y2 22xy 1

+ Đặt t = xy Bài toán trở thành tìm GTLN, GTNN của

2

t 2t 2

P f (t)

t 2

3

  

1

3 6

3









Do hàm số liên tục trên 1;1

3



  nên so sánh giá trị của f ( 1)

3

 , f ( 6 2) , f (1) ta được:

MaxP f ( 6 2) 6 2 6    , min P f ( 1) 11

3 15

Bài 5 Cho a, b, c dương và a b c 3   Chứng minh rằng 3(a2b2c ) 4abc 132  

LG

+ Đặt f (a, b,c) 3(a2 b2 c ) 4abc 13; t2 b c

2



+ Trước hết ta chứng minh f (a, b, c) f (a, t, t) Thật vậy:

Do vai trò của a, b, c như nhau nên ta có thể giả thiết a b c   3a a b c 3    hay a1

Có f (a, b,c) f (a, t, t) 3(a2b2c ) 4abc 13 3(a2    2t2t ) 4at2  213 = 2 2 2 2

3(b c  2t ) 4a(bc t ) 

=

=

2

2 3(b c)

a(b c) 2



2 (3 2a)(b c)

0 2

 do a1 + Ta chứng minh f (a, t, t) 0 với a + 2t = 3

Ta có f (a, t, t) 3(a 2t2t ) 4at2  213 = 3((3 2t) 2t2t ) 4(3 2t)t2   213

= 2(t 1) (7 4t) 0 2   do 2t = b + c < 3

+ Dấu “=” xảy ra t 1 a b c 1

b c







Bài 6 Cho tam giác nhọn ABC, tìm GTNN của biểu thức S cos3A 2cos A cos 2B cos 2C   

LG

+ Ta có S cos3A 2cos A cos 2B cos 2C    = cos3A 2cos A 2cos(B C) cos(B C)   

cos3A 2 cos A 1 cos(B C)    

+ Do cos A 0 ,1 cos(B C) 0    nên S cos 3A , dấu “=” xảy ra khi cos(B C) 1  hay

0

B C

2



+ Mà cos3A1, dấu “=” xảy ra khi 3A 180 0 hay A = 60 0

+ Vậy minS = 1, xảy ra khi tam giác ABC là tam giác đều

Bài 7 Cho hệ phương trình

3 3



 

 Tìm m để hệ có 3 nghiệm phân biệt (x1; y1); (x2; y2); (x3; y3) sao cho x1; x2; x3 lập thành cấp số cộng Đồng thời có hai số xi thỏa mãn x > 1.i

LG

+ Ta có

3 3



 





2 2 (x y)(x y xy m) 0



 





2

1

x y

2



 





 









     



 + Để hệ phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình (x) = 0 phải có 2 nghiệm phân biệt x1; x2

khác 1

2

 Điều kiện là

3 m

 

   

 + Xảy ra ba trường hợp sau đây theo thứ tự lập thành cấp số cộng

Trường hợp 1: 1

2

 ; x1; x2

Trường hợp 2: x1; x2; 1

2



Trường hợp 3: x1; 1

2

 ; x2

Vì x1x2 1 nên trường hợp 1; 2 không thỏa mãn

+ Xét trong trường hợp 3: Để x1; 1

2

 ; x2 lập thành cấp số cộng thì x1x2 1 (đúng theo Viet) Đồng thời

có hai số xi thỏa mãn x > 1 nêni x2 1 4m 3 1 4m 3 3 m 3

2

       Vậy m > 3

27

LG

+ Ta có ab bc ca 2abc a(b c) (1 2a)bc a(1 a) (1 2a)bc          

+ Đặt t = bc, ta có

(b c) (1 a)

0 t

   Xét hàm số f(t) = a(1 – a) + (1 – 2a)t trên đoạn

2 (1 a) 0;

4

Có f(0) = a(1 – a)

2

 

2 2

với mọi a0;1

+ Vậy ab bc ca 2abc 7

27

    Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1/3

1 a (b c) 1 b (c a) 1 c (a b) abc        

LG

+ Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dương ta có: 3 ab bc ca 3 (abc)    3 2  abc 1 Dấu “=” khi a = b = c = 1

Do đó 1 a (b c) abc a (b c) a(ab bc ca) 3a2 2 21 1 (1)

1 a (b c) 3a

+ Tương tự ta có: 2 2

1 b (c a)  3b 1 c (a b)  3c Cộng (1), (2), (3) vế với vế ta được: 21 21 21 1 1 1 1 ab bc ca 1

+ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b c 1  

Bài 10 Cho a, b, c thoả mãn a b c 3.   Tìm GTNN của M 4a9b16c  9a 16b4c  16a 4b9 c

LG

+ Đặt u 2 ;3 ; 4 , va b c 2 ;3 ; 4 , wc a b  2 ;3 ; 4b c a Mu  v  w

+ Ta có M  u v w    2a2b2c 2 3a3b3c 2 4a4b4c2

+ Theo BĐT Côsi ta có a b c 3 a b c

    Dấu “=” khi a = b = c = 1

Tương tự: 3a 3b 3c 3 33 a b c   9

    , 4a 4b 4c 3 43 a b c  12

    Dấu “=” khi a = b = c = 1

+ Vậy M 3 29. Dấu “=” xảy ra khi a b c 1.  

Bài 11 Cho x, y, z không âm và x2y2z2 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 3 3

3

P

x y z



LG

+ Ta có 3 3 x y3

4



   4 x y x    2 xy y 2x y 3  3 x y   2 x y 0 (đúng)

Vậy  3 3  3

4 x y  x y Dấu "=" khi x = y hoặc x + y = 0

+ Đặt x + y + z = a Khi đó    

3 3

a, 0 t 1  ) + Xét hàm số f(t) = (1 – t)3 + 64t3 với t0;1 Ta có 2  2 1  

f '(t) 3 64t 1 t ,f '(t) 0 t 0;1

9

Mà f 0  1;f 1  64;f 1 64

 

t 0;1

64 min f t

81

  , đạt được khi t 1

9



+ Vậy GTNN của P là 16

81 đạt được khi x = y = 4z.

xy z  Chứng minh rằng

1 2x y z x 2y z x y 2z        

LG

+ Ta chứng minh 1 1 1 1

   với a, b dương Thật vậy 1 1 1 1 a b2 4ab

+ Cộng các bất đẳng thức cùng chiều ta được 1 1 1 1 4 4 4

2x y z x 2y z x y 2z 16 x y z

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x y z 3

4

Bài 13 Cho a, b, c dương và a2 + b2 + c2 = 3 Tìm GTNN của biểu thức

P

LG

+ Ta có

3

3



Dấu "=" xảy ra khi

2 2 2

16





3

3



Dấu "=" xảy ra khi

2 2 2

16





3

3



Dấu "=" xảy ra khi

2 2 2

16



 + Cộng 3 bất đẳng thức cùng chiều, ta được a2 b2 c2 9 3 2 2 2

P 2

+ Vậy GTNN của P là 3

2 khi a = b = c = 1.

Bài 14 Cho a2b2c2 65 Tìm GTLN, GTNN của hàm số y a b 2.sin x c.sin 2x   với x 0;

2



  

LG

y  a b c 1 2sin x sin 2x  65 1 2sin x sin 2x 

65 1 2sin x sin 2x  65 1 2sin x 4sin x.(1 sin x)   =  4 2 

65 4sin x 6sin x 1   + Đặt sin x t, t2  0;1 Xét hàm số g(t) = 2

4t 6t 1

   trên đoạn 0;1 

Có g ' t  8t 6;g ' t  0 t 3

4

     Lại có g 0  1;g 1  3;g 3 13

 

  nên Max g(t) 13 khi t 3

0;

0;

2 2

Max y ; min y

 

 

 

+ Dấu “=” xảy ra khi x

3



 và 1 2 sin x sin 2x

Kết hợp với 2 2 2

a b c 65 ta được

a 2 5

 













hoặc

 













LG

(1 a)(1 b) (1 c)(1 a) (1 c)(1 b)

+ Do a, b, c dương và a + b + c = 1 nên a, b, c thuộc khoảng (0; 1) , suy ra 1 – a, 1 – b, 1 – c dương Áp dụng

(1 a)(1 b) (1 c)(1 a) (1 c)(1 b)



+ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b c 1

3

Bài 16 Cho a, b, c dương và a + b + c = 3

P

LG

+ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương: (x y z) 1 1 1 9 1 1 1 9

 

+ Lại có

3

  Do đó P 3

+ Vậy P đạt GTNN là 3 khi

3

a b c 4

4

a 3b b 3c c 3a 1



  







Bài 17 Cho x, y, z dương và xyz = 1 Tìm GTNN của biểu thức

6 3 3 6 6 3 3 6 6 3 3 6

P

LG

+ Đặt a = x3, b = y3, c = z3 (a, b, c dương và abc = 1) Khi đó

P

+ Ta có

(a b)



Tương tự:

P (a b c) 2 abc 2

3

     (Theo bất đẳng thức Côsi)

+ Vậy GTNN của P là 2, khi a = b = c = 1 hay x = y = z = 1

Bài 18 Cho x, y lớn hơn 1 Tìm GTNN của x3 y3 x2 y2

P

(x 1)(y 1)



LG

+ Đặt t = x + y ta có t > 2 và

2 t xy 4

 Khi đó

3 2

t t xy(3t 2) P

xy t 1



+ Do 3t – 2 > 0 và

2 t xy

4

  nên ta có

2

3 2

2 2

t (3t 2)

4 P

t 1 4



 



  + Xét hàm số

2 t

f (t)

t 2

 trên khoảng 2;  Ta có 

2 2

t 4t

(t 2)



 f’(t) = 0  t = 0 hoặc t = 4

+ Lập bảng biến thiên

t 2 4 +

f’(t) - 0 + f(t)

8

+ Vậy min P = (2;min f (t)) = f(4) = 8 đạt được khi x y 4 x 2



LG

+ Do x, y dương và x + y = 1 nên tồn tại a 0;

2



  

  sao cho x cos a; y sin a 2  2 Khi đó cos a sin a2 2 cos a sin a3 3 sin a cos a 1 sin a.cos a  

T

sin a cos a sina.cos a sin a.cos a



+ Đặt

2

t 1

t sin a cos a 2 sin a , có sin a.cos a

2



Ta có

3

2

t 3t

T

t 1

 



 ; Xét hàm số  

3 2

t 3t

f t

t 1

 



 trên 1; 2 

Có  

t 1

 





 + Vậy minT =t 1; 2min f t   f 2 2



 

2

 

Bài 20 Cho a, b, c không âm và a2b2c2  Tìm GTNN của biểu thức 3

P

LG

+ Ta có

P



4 2



4 2



(a b c )

2 2

2 2 2

P 2

+ Vậy min P 3

2

 khi a = b = c = 1

xy z  Tìm GTLN của biểu thức A = (x – 1)(y – 1)(z – 1).

LG

+ Ta có 1 1 1 2

xy z  nên

       Dấu "=" xảy ra khi y = z

Tương tự ta có 1 1 1 1 1 x 1 z 1 2 (x 1)(z 1)

       Dấu "=" xảy ra khi x = z

1 1 1 1 1 x 1 y 1 2 (x 1)(y 1)

       Dấu "=" xảy ra khi x = y

+ Nhân vế với vế của ba bất đẳng dương cùng chiều ta được (x 1)(y 1)(z 1) 1

8

+ Vậy GTLN của A là 1

8, đạt được khi

3

x y z

2

Bài 22 Cho x, y, z dương và x + y + z = 3 Tìm GTNN của biểu thức P 3(x 2 y2z ) 2xyz.2 

LG

P 3 (x y z)     2(xy yz zx)    2xyz 3 9 2(xy yz zx)     2xyz 27 6x(y z) 2yz(x 3)    

2



+ Xét hàm số f (x)x315x2 27x 27 , với 0 < x < 3

f ' x 3x 30x 27; f' x 0

x 9





x   0 1 3 

y’ + 0

y

14

+ Từ bảng biến thiên suy ra MinP = 7, đẳng thức xảy ra khi x y z 1  

x y 1 y z 1 z x 1        

LG

+ Đặt x = a3, y = b3, z = c3 ta có a, b, c dương và abc = 1

+ Có a3 + b3 = (a + b)(a2 + b2 – ab)  (a + b)ab, do a + b > 0 và a2 + b2 – ab  ab

Suy ra a3 + b3 + 1  (a + b)ab + abc = ab(a + b + c) > 0 hay

3 3

a  b 1 ab a b c  

+ Tương tự ta có

3 3

b  c 1 bc a b c   ,

3 3

c  a 1 ca a b c   + Cộng theo vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được:

3 3

1

a  b 1 + 3 13

b  c 1 + 3 13

c  a 1  

a b c ab bc ca

1

c a b 1

a b c    

x y 1 y z 1 z x 1         Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1

1 xy 1 yz 1 zx

LG

+ Ta có (1 xy) (1 yz) (1 zx) 1 1 1 9

1 xy 1 yz 1 zx

P

+ Suy ra P 9 3

  Vậy GTNN của P là 3

2 khi x = y = z = 1