chuyên đề lý thuyết cơ bản về tương giao luyện thi đại học-đặng việt hùng

Do 1 là phương trình bậc ba nên có tối đa ba nghiệm, khi đó số giao điểm tối đa của hai đồ thị là 3.. Do 1 là phương trình bậc hai nên có tối đa hai nghiệm, khi đó số giao điểm tối đa củ

Trang 1

Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị f = f(x) và y = g(x) là f x( ) ( )=g x ⇔h x( )=0, 1( )

Số nghiệm của phương trình (1) thỏa mãn điều kiện tồn tại chính là số giao điểm của hai đồ thị đã cho

Việc biện luận số giao điểm của hai đồ thị quy về việc biện luận số nghiệm của phương trình (1)

Ví dụ Biện luận theo m số giao điểm của hai đồ thị cho dưới đây :

a)

3

2

 = − −





2 2

+



=

 = +



x y x

4 2 2

1







Hướng dẫn giải:

a)

3 3 2

2

 = − −



y m x

Phương trình hoành độ giao điểm: x3−3x− =2 m x( − ⇔2) (x−2) (x2+2x+ =1) m x( −2 , 1) ( )

2

=



x

Số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm của phương trình (1)

Do (1) là phương trình bậc ba nên có tối đa ba nghiệm, khi đó số giao điểm tối đa của hai đồ thị là 3

Hai đồ thị cắt nhau tại 1 điểm khi (1) chỉ có một nghiệm

Điều đó xảy ra khi (2) vô nghiệm, hoặc có nghiệm kép x = 2

Từ đó ta có điều kiện tương ứng

0

2

′

∆ <

∆ =′ 





o

m m

vn b

x a

Hai đồ thị cắt nhau tại 2 điểm khi (1) có hai nghiệm phân biệt

Điều đó xảy ra khi (2) có nghiệm kép khác x = 2, hoặc có hai nghiệm phân biệt và trong đó một nghiệm là x = 2

Ta có điều kiện

( )

0

0 2

2

9

′

∆ =



 = − ≠



∆ >′  >

 =  =



m b

x a m

m

Hai đồ thị cắt nhau tại 3 điểm khi (1) có ba nghiệm phân biệt

Điều đó xảy ra khi (2) có hai nghiệm phân biệt và đều khác 2

( )

′

∆ >





m

Kết luận:

+ Hai đồ thị cắt nhau tại một điểm khi m < 0

+ Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm khi m = 0 hoặc m = 9

+ Hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt khi m > 0 và m ≠ 9

b)

2

+



=

 = +



x

y

x

Điều kiện: x ≠−2

2

+

x

Số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm khác −2 của phương trình (1)

Do (1) là phương trình bậc hai nên có tối đa hai nghiệm, khi đó số giao điểm tối đa của hai đồ thị là 2

Hai đồ thị không cắt nhau khi (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x = −2

Tài liệu tham khảo:

03 LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ TƯƠNG GIAO

Thầy Đặng Việt Hùng

VINAMATH.COM

Trang 2

Ta có

2

0

6 2 6 2

∆ <

− < < +



∆ =

o

m

vn

a

Hai đồ thị cắt nhau tại một điểm khi (1) có nghiệm kép khác −2 hoặc có hai nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm

là x = −2

Ta có điều kiện:

2

6 2 6

2

6 2

4 2

2

6 2 6

3 0

 − + =  = ±



 = − ≠ − 

> +



=





o

m

m m

m b

x a

m

vn m

Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi (1) có hai nghiệm phân biệt và đều khác −2

Ta có điều kiện:

6 2 6

3 0



≠



m

Kết luận:

+ Hai đồ thị không cắt nhau khi 6−2 6< < +m 6 2 6

+ Hai đồ thị cắt nhau tại một điểm khi m= ±6 2 6

+ Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi 6 2 6

6 2 6

 > +



< −



m m

c)

4 2

2

1







Số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm của phương trình (1)

Do (1) là phương trình bậc bốn nên có tối đa bốn nghiệm, khi đó số giao điểm tối đa của hai đồ thị là 4

Đặt t=x2,(t≥ 0) →h t( )= +t2 mt+ −1 2m=0, 2( )

Hai đồ thị không cắt nhau khi (1) vô nghiệm, điều đó xảy ra khi (2) vô nghiệm, hoặc có nghiệm kép âm, hoặc có hai

nghiệm âm phân biệt

∆ < ⇔m − − m < ⇔m + m− < ⇔ m+ < ⇔ − − < < − +m

+ (2) có nghiệm kép âm khi

2

4 2 5



∆ =

−

 = < − <  >



m

a

+ (2) có hai nghiệm âm phân biệt khi

2

1 2

4 2 5

1

2

0

2

 > − +





 + < ⇔ − < ⇔ > →− + < <

 >  − > 





m m

m

t t

m

Hợp ba khả năng lại ta được điều kiện để hai đồ thị không cắt nhau là 4 2 5 1

2

− − < <m

Hai đồ thị cắt nhau tại một điểm khi (1) có một nghiệm, điều đó chỉ xảy ra khi nghiệm đó là x = 0

Từ đó ta được kiện 1 2 0 1

2

− m= ⇔ =m

Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm khi phương trình (1) có hai nghiệm, điều đó xảy ra khi (2) có nghiệm kép dương,

hoặc có hai nghiệm trái dấu

VINAMATH.COM

Trang 3

+ (2) có nghiệm kép dương khi

2

4 2 5



∆ =

−

 = > − >  <



m

a

+ (2) có hai nghiệm trái dấu khi 1 2 0 1 2 0 1

2

< ⇔ − < ⇔ >

Hợp hai khả năng lại ta được điều kiện để hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm là

4 2 5 1 2

 = − −



 >



m m

Hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm khi (1) có ba nghiệm, điều đó xảy ra khi (2) có một nghiệm t = 0 và một nghiệm t > 0

Điều đó xẩy ra khi ( )

1 2

1

2

0 0

0



− >

+ >

o

vn m

t t

m Vậy không có giá trị nào của m để hai đồ thị cắt nhau tại 3 điểm

Hai đồ thị cắt nhau tại bốn điểm khi (1) có bốn nghiệm, điều đó xảy ra khi (2) có hai nghiệm phân biệt, và hai

nghiệm đều dương

Điều đó xẩy ra khi

2

1 2

4 2 5

0

2

 > − +





∆ > + − >



 + > ⇔ − > ⇔ < → < − −





m m

m

t t

m

Kết luận:

+ Hai đồ thị không cắt nhau khi 4 2 5 1

2

− − < <m

+ Hai đồ thị cắt nhau tại một điểm khi 1

2

=

m

+ Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi

4 2 5 1 2

 = − −



 >



m m

+ Hai đồ thị cắt nhau tại bốn điểm phân biệt khi m< − −4 2 5

VINAMATH.COM

Trang 4

Xét các hàm số y f x( ) ax3 bx2 cx d có đồ thị là (C) và đường thẳng d : y = mx + n

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị đã cho

DẠNG 1 BÀI TOÁN TÌM SỐ GIA O ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ

DẠNG 2 CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH CHẤT GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ

Loại 1: Các bài toán về hoành độ giao điểm

Ví dụ 1:Cho hàm số y x3 3(m 1)x2 3mx 2 và đường thẳng d y: 5x 1

Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt

a) có hoành độ dương

b) có hoành độ lớn hơn 2

c) có hoành độ x x x thỏa mãn1; 2; 3 x12 x22 x32 21

………

Ví dụ 2:Cho hàm số 3 2 3 3 3 2 y x mx x m và đường thẳng d y: 5x 1 Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt a) có hoành độ lớn hơn –1 b) có hoành độ x x x thỏa mãn1; 2; 3 x12 x22 x32 15 ………

Tài liệu bài giảng:

04 TƯ Ơ NG GI AO HÀM BẬ C BA – P2

Thầ y Đặ ng Việ t Hùng

VINAMATH.COM

Trang 5

………

Ví dụ 3:Cho hàm số y x3 3mx2 (m 1)x m 1 và đường thẳng d y: 2x m 1 Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn hoặc bằng 1. ………

………

Ví dụ 4 * :Cho hàm số 3 2 2 2 3 3( 1) ( 1) y x mx m x m Tìm m để đồ thị (C) cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương. ………

………

VINAMATH.COM

Trang 6

………

BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1 (Trích đề thi ĐH khối A – 2010)

Cho hàm số y = x3– 2x2+ (1 – m)x + m

Tìm m để đồ thị cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3thỏa mãn x12 x22 x32 4

Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho 2 2 2

8

Đ/s m 1 Gợi ý Đoán nghiệm x m

Tìm m để (C m) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ là x x x thỏa mãn1, 2, 3 x12 x22 x32 4

Bài 4 Cho hàm số y = x3– 6x2+ mx.

Tìm m để đường thẳng y = 2x cắt đồ thị hàm số đã cho tại 3 điểm phân biệt, trong đó có hai điểm có hoành độ

dương

Bài 5 Cho hàm số y = x3– 3x – 2, có đồ thị là (C).

Gọi A là điểm thuộc đồ thị và có hoành độ x A = 0, (d) là đường thẳng đi qua A và có hệ số góc k.

VINAMATH.COM

Trang 7

a) Xác định k để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt.

b) Xác định k để d và (C) cắt nhau tại ba điểm phân biệt trong đó có hai điểm có hoành độ nhỏ hơn 1.

Bài 6 Cho hàm số y = x3+ mx2– x – m

Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt và hoành độ các giao điểm lập thành một cấp số

cộng

Bài 7 Cho hàm số y = 2x3– 3x2– 1, có đồ thị là (C).

Gọi (d k ) là đường thẳng đi qua A(0; –1) và có hệ số góc bằng k Tìm k để đường thẳng d k cắt (C) tại

a) 3 điểm phân biệt.

b) 3 điểm phân biệt, trong đó hai điểm có hoành độ dương.

Bài 8 Cho hàm số y = x3– (2m + 1)x2– 9x

Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.

VINAMATH.COM

Trang 8

Xét sự tương giao của hàm phân thức bậc nhất ( )

( )

: :

+



=



+





ax b

cx d

0 ( ) 0, 1

+ = + ⇔ + + = ⇔ = +

ax b

Trong đó g(x) = 0 là một phương trình bậc hai

Số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm x≠ −d

c của phương trình (1)

DẠNG 1 BÀI TOÁN TÌM SỐ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ

Ví dụ 1: Cho hàm số 3

2 1

+

=

−

x y

x và đường thẳng d y: = − +x m.

Tìm m đểđường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt

DẠNG 2 BÀI TOÁN VỀ TÍNH CHẤT GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Loại 1 : Các bài toán về hoành độ giao điểm

Ví dụ 2: Cho hàm số 2 3

1

+

=

−

x y

x và đường thẳng d y: = −mx+2.

Tìm m đểđường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương

1

− +

=

−

x y

x và đường thẳng d y: =2x+m .

Tìm m đểđường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2

1

+

=

−

x y

x và đường thẳng d y: =3mx+1.

Tìm m đểđường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị

1

−

= +

x y

Viết phươn trình đường d đi qua ( 1;1)I − sao cho d cắt (C) tại M, N và I là trung điểm của MN

3

− +

= +

mx y

x và đường thẳng d y: =(m+1)x+2.

Tìm m đểđường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt có hoành độ âm

05 TƯƠNG GIAO HÀM PHÂN THỨC – P1

VINAMATH.COM

Trang 9

2 1

+

= − + =

−

x

x Tìm giá trị của tham số m để

a) hai đồ thị không cắt nhau

b) hai đồ thị cắt nhau tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của đồ thị

4

+

−

x

x Tìm giá trị của tham số m để

a) hai đồ thị không cắt nhau

b) hai đồ thị cắt nhau tại 2 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 1

2

−

x

x Tìm giá trị của tham số m để hai đồ thị hàm

số cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn x12+x22 =10

VINAMATH.COM

Trang 10

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số

( )

: :

+



=



+





ax b

cx d

0 ( ) 0, 1

+ = + ⇔ + + = ⇔ = +

ax b

Số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm x d

c

≠ − của phương trình (1)

Loại 2 : Các bài toán về tọa độ giao điểm

2

x y x

−

= và đường thẳng d y: = − +x m

Tìm m đểđường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho ABmin

1

x y x

−

= + và đường thẳng d y: =2x+m.

Tìm m đểđường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB= 5

x y x

+

=

− và đường thẳng d y: = +x m

Tìm m đểđường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho 2 2 37,

2

OA +OB = với O là gốc tọa

độ

1

x y x

+

= + Tìm các giá trị của tham số k sao cho đường thẳng d y: =kx+2k+1 cắt đồ

thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho các khoảng cách từ A và B đến trục hoành là bằng nhau

1

x y x

=

− Tìm m đểđường thẳng d y: =mx− +m 2 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao

cho độ dài AB ngắn nhất

Đ/s: m = 1

Bài 2: Cho hàm số y x 1

−

= + (1).Tìm các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng (d): y= +x 2 cắt đồ

VINAMATH.COM

Trang 11

thị hàm số (1) tại hai điểm A và B sao cho AB=2 2

Đ/s: m = 7

2

x y x

−

= + (1).Tìm các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng (d): y= +x m cắt đồ

thị hàm số (1) tại hai điểm A và B sao cho AB=2 2

Đ/s: m = 7; m = –1

1

x

+

= =

− Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng (d): y= +x m cắt (C) tại 2

điểm phân biệt M, N sao cho diện tích tam giác IMN bằng 4 (với I là tâm đối xứng của (C))

Đ/s: m = 3; m = –1

1

x y x

+

=

− có đồ thị là (C) Tìm các giá trị m đểđường thẳng ∆:y= − +3x m cắt (C) tại A

và B sao cho trọng tâm của tam giác OAB thuộc đường thẳng d x: −2y− =2 0 (với O là gốc tọa độ)

Đ/s: 11

5

m= −

VINAMATH.COM

Trang 12

( )

: :

+



=



+





ax b

cx d

0 ( ) 0, 1

+ = + ⇔ + + = ⇔ = +

ax b

Số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm x d

c

≠ − của phương trình (1)

Loại 2 : Các bài toán về tọa độ giao điểm (tiếp theo)

Ví dụ 1: Cho hàm số

1

x y

x

=

− và đường thẳng d y: =mx− −m 1.

Tìm m đểđường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho AM2+AN2 đạt giá trị nhỏ nhất

với ( 1;1).A −

1

x y x

−

=

− và đường thẳng d y: = +x m.

Tìm m đểđường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O, với O

là gốc tọa độ

Ví dụ 3: (Trích đề thi tuy ể n sinh Đạ i h ọ c kh ố i B n ă m 2010)

Cho hàm số 2 1

1

x y

x

+

= + và đường thẳng d y: = − +2x m.

Tìm m đểđường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho S∆OAB = 3

x y x

−

=

− và đường thẳng d y: = +x m.

a) Chứng minh rằng d luôn cắt đồ thị hàm số (C) tại hai điểm phân biệt M, N với mọi m

b) Gọi P, Q là giao điểm của d và các tiệm cận của (C) Chứng minh rằng MP = NQ.

1

x y x

−

=

− Viết phương trình đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O và cắt (C) tại hai điểm phân

biệt A, B sao cho O là trung điểm của AB

Đ/s: y = –2x

VINAMATH.COM

Trang 13

Bài 2: Cho hàm số

1

x y x

=

− Tìm m để đường thẳng y = − +x m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B

sao cho tam giác OAB có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2 2

OAB

OA OB AB

R

6

m

OA OB

m

= −



=



Bài 3: Cho hàm số

1

=

−

x y

x có đồ thị (C) Tìm các giá trị của m đểđường thẳng y= − +x m cắt đồ thị (C)

tại hai điểm phân biệt A và B sao cho góc giữa hai đường thẳng OA và OB bằng 600 (với O là gốc tọa độ).

Đ/s: m = 6

2

x y x

+

=

− có đồ thị (C) Xác định m đểđường thẳng d y: = +x m cắt đồ thị (C) tại hai

điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 2 3 (với O là gốc tọa độ)

2

x y x

+

= + có đồ thị (C) Tìm m để đường thẳng d y: = − + +x m 1 cắt (C) tại hai điểm

phân biệt A, B sao cho góc AOB tù

2

x y x

+

=

− Gọi (d) là đường thẳng qua M(2; 0) có hệ số góc k Tìm k để (d) cắt (C) tại hai

điểm phân biệt A, B sao cho MA= −2MB

VINAMATH.COM

Trang 14

Xét phương trình hoành độ giao điểm

4 2

1

2

ax

( ) 0

ax

 + + − =

= + − + − =

h x

trong đó h1 (x), h 2 (x) là các hàm trùng phương

Ởđây, ta chỉ xét một phương trình đại diện là 4 2 ( )

1( )= + + − =0, 1

Số giao điểm của hai đồ thị chính là số nghiệm của phương trình (1)

Tương tự như tương giao của hàm bậc ba đã xét, chúng ta cũng có hai dạng toán cơ bản với hàm trùng

phương

1

y x mx m Tìm m đểđồ thịđã cho cắt trục Ox

a) tại hai điểm phân biệt

b) tại bốn điểm phân biệt

Ví dụ 2: Cho hàm số y=x4−2m x2 2+m4+2m

Chứng minh rằng đồ thị luôn cắt Ox tại ít nhất hai điểm với mọi m < 0

Ví dụ 3: Cho hàm số 4 2 2

y x m x (C) và đường thẳng d : y = x + 1

Chứng minh răng d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt

DẠNG 2 BÀI TOÁN VỀ TÍNH CHẤT GIAO ĐIỂM





y x m x m , với m là tham số

Tìm m đểđường đồ thị cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt có hoành độ x1; x2; x3; x4 thỏa mãn

a) x14+ + +x24 x34 x44 =16

b) x1 + x2 + x3 + x4 =4 2

Bài 1: Cho hàm số y = x4 + 2(1 + m)x2− 1, (C) và đường cong (P) : y = −2x2

Tìm giá trị của tham số m để

a) (C) và (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt

b) (C) và (P) cắt nhau tại 4 điểm phân biệt

Bài 2: Tìm m đểđồ thị các hàm số

a)



=



y m cắt nhau tại bốn điểm phân biệt

b) y=x4−m m( +1)x2+m c3 ắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt

06 TUƠNG GIAO HÀM TRÙNG PHƯƠNG – P1

VINAMATH.COM

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	3,66 MB