đề cương 11 hki S

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN.

ĐẠI SỐ

Chương I: Giới hạn

Dạng 1: Tính giới hạn:

1/ Giới hạn dãy: (lim u n )

Đặt nk với k là số mũ cao nhất làm nhân tử chung

VD: Tính giới hạn của dãy un với un= 4 n

6 +5 n3−2 n

Giải:

Limun= lim 4 n

6 +5 n3−2 n

(n3−2 n) (2 n3−3)= lim

n6

∗(4+(n53)−(n25) )

n3∗(1−(n22) )∗n3∗(2−(n33) )

=lim

4+(n53)−(n25)

(1−(n22) )(2−(n33) ) =

4+0−0 (1−0) (2−0) =2

2/ Giới hạn hàm số: limx→ a x n (1)

Các dạng của giới hạn dãy:

 Lim có dạng m/n với m,n xác định : Thay a ở (1) vào để tính giới hạn

 Lim có dạng m/0 : Giải thích 3 lí do:

+ lim tử có giá trị a âm (hay dương) (BẰNG BAO NHIÊU KHÔNG QUAN TRỌNG, QUAN TRỌNG LÀ NÓ ÂM HAY DƯƠNG)

+ lim mẫu bằng 0

+ Mẫu âm (hay dương) khi x→a

Từ các lí do trên, suy ra lim của cả biểu thức ( Thường chỉ là ± ∞)

 Lim có dạng 0/0: Rút nhân tử chung để rút gọn

 Lim có dạng limx→ ±∞ x n :Đặt xk với k là số mũ cao nhất làm nhân tử chung

 Lim có dạng ∞ ± ∞ phải nhân liên hợp để tính giới hạn

*Chú ý : Trường hợp lim có dạng 0/0 còn có thể tách để tính:

lim

x→ a

A+ B

C (00)=lim

x → a

A + D

B+ D C

VD: Tính các giới hạn sau:

a/ limx →3(3−4 x )2

Giải

(Ta thấy đây là dạng xác định nên thay x=3 vào)

lim

x →3(3−4 x )2

= (3-4*3)2=81

b/ lim

x→−∞

(2 x +3)

Giải

(Ta thấy đây là dạng tìm lim khi x→± ∞ nên sẽ đặt xk với k là số mũ cao nhất để giải )

Ta có: lim

x→−∞

(2 x+3)

√2 x2−3 = limx→−∞

x (2+3

x)

|x|√(2− 3

x2)

= lim

x→−∞

(2+3

x)

−√(2−3

x2)

(vì x→−∞)

−√2−0 = -√2

Dạng 2: C/m hàm số liên tục/ hàm số gián đoạn

 Hàm số f(x) liên tục tại điểm x0  limx→ x

0f (x) = f(x0)

 Hàm số f(x) gián đoạn tại điểm x0  limx→ x

0f (x) ≠ f(x0) hoặc không tồn tại limx→ x

0

f (x)

 Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a,b]

+∀ x0∈ (a , b) , lim

 + Tại a, x→ a+ ¿limf(x)=f(a) ¿

¿

+ Tại b, x→ b− ¿lim

¿

VD: Xét tính liên tục của f(x) tại điểm x=0 với f(x) = { x2v ớ i x <0

1−√x v ớ i x ≥ 0

Giải

Ta có:

lim

x→0+ (1− √ ¿ )=1 ¿ ¿ ¿¿

¿

lim

x→0− ¿ (x2 ) =0

¿ ¿¿

¿

x→ 0− ¿f ( x)¿

¿¿

¿

nên không tồn tại limx →0 f (x )

 Hàm số f(x) bị gián đoạn tại x=0

*Chú ý: Kinh nghiệm khi giải dạng toán này:

Khi cho hàm số f(x) có dạng nhánh như trên:

+ Nếu f(x) bao gồm những nhánh có dạng x=m và x≠m thì ta thiên về giải theo hướng:

 Tìm limx→ m f (x)

 So sánh 2 kết quả trên để rút ra kết luận

+ Nếu f(x) bao gồm những nhánh có dạng x>m, x<m và x=m thì ta thiên về giải theo hướng:

x→ m− ¿f (x)¿¿¿

¿

rồi suy ra limx→ m f (x)(có thể tồn tại hoặc không tồn tại)

 So sánh kết quả (Trường hợp limx→ m f (x) không tồn tại thì kết luận f(x) bị gián đoạn tại m)

*Trường hợp tìm điều kiện để hàm số f(x) liên tục tại điểm x 0 :

B1: Tính f(x0)

B2: Tính limx→ x

0f (x) : có thể tính trực tiếp hoặc dựa vào lim x→ x

0 + ¿

¿ hoặc limx→ x

0

− ¿

¿

B3: Lí luận: Để hàm số f(x) liên tục tại điểm x0 thì:

lim

x→ x0f (x )=f(x0)  x→ x0+ ¿ lim

x→ x−0¿f ( x)=f(x0 ) ¿ ¿

¿

VD: Tìm m để hàm số f ( x )={ √x +4−2

x

m ( x ≥ 0)

(x <0) liên tục tại x=0

Giải:

+Ta có f(0)=m

+ limx→ 0+ ¿

¿=x→ 0lim+ ¿

(m¿ ) ¿ ¿

¿=m

+ limx→ 0− ¿

¿=

lim

x →0− ¿ ( √x+ 4−2) ( √x+4 +2 ) x(√x+ 4+ 2) = lim

x → 0−¿x+ 4−22

x (√x +4+2)= lim

x → 0− ¿

( √x +4+ 2)= 2+2=1 1

¿ ¿

¿ ¿

¿ ¿¿

¿

+Để hàm số f(x) liên tục tại x=0 thì: limx →0 f ( x )=f (0 )≤¿ lim

x→0− ¿f ( x)=f

( 0 )≤¿m=14=m¿ ¿

¿

Vậy m=1/4

Dạng 3: Chứng minh một phương trình có nghiệm trên khoảng (a,b)

*Phương pháp:

C/m 2 ý sau:

+ f(a).f(b)<0

+ f(x) liên tục trên đoạn [a , b]

 Phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a,b)

VD: C/m phương trình: x3

+1000 x2+0,1=0 có ít nhất một nghiệm âm?

Giải: Ta có f(x) liên tục trên R nên suy ra: f(x) liên tục trên [-10000,0]

Ta có f(-10000)f(0)<0

Từ 2 ý trên suy ra pt f(x)=0 có ít nhất một nghiệm x thuộc (-10000,0) hay pt đã cho có ít nhất một nghiệm âm (đpcm)

*Mở rộng cho trường hợp chứng minh pt có 2 ng o hoặc 3 ng o

*Trường hợp chứng minh pt f(x)=0 có 2 nghiệm trái dấu

C/m theo hướng sau:

 C/m pt f(x)=0 có ít nhất một ngiệm thuộc khoảng (a,b) sao cho a<b<0

 C/m pt f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (c,d) sao cho 0<c<d

 Phương trình f(x)=0 có ít nhất 2 ng0 trái dấu

*Trường hợp chứng minh pt f(x)=0 có 2 nghiệm cùng dấu:

C/m theo hướng sau:

 C/m pt f(x)=0 có ít nhất một ng0 thuộc khoảng (a,b) sao cho a<b<0 (hoặc 0<a<b)

 C/m pt f(x)=0 có ít nhất một ng0 thuộc khoảng (c,d) sao cho c<d<0 (hoặc 0<c<d)

 Phương trình f(x)=0 có ít nhất 2 ng0 cùng dấu

*Trường hợp c/m pt f(x)=0 có 2 nghiệm nhỏ hơn hoặc lớn hơn số m cho trước:

Xét trường hợp c/m pt f(x)=0 có 2 nghiệm nhỏ hơn m:

Phương pháp c/m:

 C/m pt f(x)=0 có ít nhất một ng0 x1 thuộc khoảng (a,b) sao cho a<b<m

 C/m pt f(x)=0 có ít nhất một ng0 x2 thuộc khoảng (c,d) sao cho c<d<m

 Phương trình f(x)=0 có ít nhất 2 ng0 nhỏ hơn m

Trường hợp c/m pt f(x)=0 có 2 ng 0 lớn hơn m làm tương tự

VD: C/m pt : x3-6x2-9x+10=0 có ít nhất 2 ng0 x1,x2 thỏa mãn: x1 , x 2 trái dấu

Giải:

Ta có: f(1)=-4, f(0)=10

Như vậy, ta có: f(1)f(0)<0

f(x) liên tục trên (0,1) (vì f(x) liên tục trên R)

 Pt f(x)=0 có ít nhất một ng0 x1 thuộc khoảng (0,1) (1)

Ta có: f(-2)=-4, f(0)=10

Như vậy, ta có: f(-2)f(0)<0

f(x) liên tục trên khoảng (-2,0) (vì f(x) liên tục trên R)

 Pt f(x)=0 có ít nhất một ng0 x2 thuộc khoảng (-2,0) (2)

Từ (1) và (2) => pt f(x)=0 hay pt đã cho có ít nhất 2 ng0 x1, x2 t/m x1>0>x2 (đpcm)

Chương II: ĐẠO HÀM

Dạng 1: Tính đạo hàm theo công thức:

*Cần nắm vững các công thức sau:

Cộng trừ: (u±v)’= u’±v’

Nhân: (u.v)’= u’.v+u.v’

Đặc biệt: (ku)’=k.u’

v)'=( u ' v −u v '

v2 )

Đặc biệt: (k v)'=(−k v '

v2 )

*Mẹo nhớ : Nhân cộng, chia trừ

* Đạo hàm phức tạp:

¿)’= u '

2√u

(un)’= n.un-1.u’

*Đạo hàm lượng giác:

(sin(x))’=cos(x) => (sin(u))’= u’ cos(u)

(cos(x))’= -sin(x) => (cos(u))’= -u’ sin(u)

(tan(x))’= 1

¿ ¿ ¿ => (tan(u))’= u '

¿ ¿ ¿

(cot(x))’= −1

¿ ¿ ¿ => (cot(u))’=−u '

¿ ¿ ¿

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C tại điểm có hoành độ x0:

*Phương pháp giải:

 Bước 1: Tìm x0 Có thể đề bài cho sẵn x0 hoặc có thể cho các gợi ý sau đây:

Cho tung độ y0 => x0

Cho hệ số góc k => f ’(x0) =k => x0

Cho biết một điểm A(m,n) thuộc tiếp tuyến => thay m,n vào pt tiếp tuyến=> xo

 Bước 2: Tại điểm có hoành độ x0, tính f(x0) và f ‘(x0)

=> pt tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0: y= y’(x0)(x-x0)+y(x0)

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Chương I: QUAN HỆ VUÔNG GÓC

Dạng 1: C/m đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:

a ⊥ ( P) ⟺{a a⊥ c , c ⊂(P) ⊥ b , b ⊂(P)

b ⋂ c ≠ Φ

Dạng 2: C/m 2 mặt phẳng vuông góc

( P) ⊥(Q)⟺{a a ⊥ (Q ) ⊂(P)

a/ BC⊥ (SAB)

b/ (SAB)⊥ (SAD )

Giải:

a/ Ta có: {BC ⊥ SA , SA ⊂( SAB)(SA ⊥ ( ABCD) , BC ⊂( ABCD)) BC ⊥ AB , AB⊂( SAB)( ABCDlà hình vuông)

SA ⋂ AB=A

 BC⊥(SAB) (đpcm)

b/ Ta có BC//AD, mà BC⊥ (SAB)(cmt) => AD ⊥(SAB)

Như vậy: {AD AD ⊥(SAB) ⊂(SAD) => (SAB)⊥ (SAD ) (đpcm)

*Một số ứng dụng của 2 mặt phẳng vuông góc:

{ A A ∈ (P ) ∈ a

( P) ⊥ (Q)

a ⊥ (Q)

=¿a ⊂( P)

{( P) ⋂(Q )= ( P) ⊥(Q ) △

a ⊥ △ , a ⊂( P)

=¿a ⊥ (Q)

{( P)⋂ (Q )=a

( P) ⊥ ( R)

(Q ) ⊥ (R )

=¿a ⊥ ( R)

Chương II: KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC

Dạng 1: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

*Phương pháp: muốn tính góc giữa đường thẳng a và mp(P), ta đi tìm đường thẳng b là hình

chiếu của a lên mp(P) Khi đó, (a,(P))=(a,b)

VD: Cho S.ABCD, ABCD là hình vuông, SA vuông góc mặt đáy Xác định và tính góc giữa SC

và mp(SAB)?

Giải:

(Bước 1) Đi c/m BC⊥ (SAB) tại B

(Bước 2) => B là hình chiếu của C lên mp(SAB)

S là hình chiếu của S lên mp(SAB)

Như vậy SB là hình chiếu của SC lên mp(SAB)

(Bước 3) => (SC,(SAB))=(SC,SB)

Dạng 2: Tính góc giữa 2 mp (P) và (Q)

*Có thể tính theo các cách sau:

 Cách 1: {a⊥ △ ,a ⊂( P) △=(P )⋂(Q)

b ⊥ △ , b ⊂(Q)

=¿((P) , (Q ))=(a , b )

Không cần quan tâm a và b có cắt nhau hay không!!!

 Cách 2: Tìm mp thứ 3

{△=( P) ⋂(Q) △⊥ ( R)

( P)⋂ ( R)=a

(Q ) ⋂ ( R)=b

=¿(( P) ,(Q))=(a , b)

 Cách 3: Áp dụng công thức: Shc=Sbđ* cos α với α là góc giữa 2 mp

Dạng 3: Tính khoảng cách:

1/ Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:

*Có thể tính theo các cách sau:

 Cách 1: d(A,(P))=AH với AH⊥ (P )tại H

 Cách 2:

 Vì d vuông góc với (P) nên AH vuông góc với (P) tại H

Ta có: { (P ) ⊥ (Q) với (Q) chứa A

( P) ⋂ (Q )=a

Kẻ AH ⊥ a tại H=¿AH ⊥( P) tại H

=¿d(A , (P ))=AH

2/ Khoảng cách giữa 2 đường thẳng bằng đoạn vuông góc chung:

*TH1: a và b có quan hệ vuông góc:

 B1: C/m: a ⊥ ( P)tại I(¿)với ( P) ⊃b

 B2: Trong (P), kẻ IJ vuông góc với b tại J (1)

 IJ vuông góc với a tại I (2)

 B3: Từ (1) và (2) => IJ là đoạn vuông góc chung của a và b

 Khoảng cách : d(a,b)=IJ

*TH2: a và b không vuông góc:

 B1: Tìm mp phụ và dựng đoạn vuông góc chung giả IJ

 B2: Kẻ đoạn vuông góc chung thật EF//IJ

3/ Khoảng cách giữa 2 đt bằng phép quy đổi:

 B1: Tìm (P) sao cho: a//(P) và (P) chứa b

 B2: => d(a,b)=d(a,(P))=d(A,(P)) với A thuộc đt a