các bài toán hình chọn lọc

c Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NOI nằm trên đường thẳng cố định khiO thay đổi... Chứng minh DE = BK Đường thẳng qua trung điểm của cạnh đối AB, CD của tứ giác ABCD cắt c

Bài 1: ( 4 điểm )

Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O và hai tiếp tuyến

MA, MB đến đường tròn (O), ở đây A, B là các tiếp điểm và C nằm giữa M, D

MD MO (1).

ta suy ra MHC và MDO đồng dạng (c–g –c)

  MHC =  MDO  Tứ giác OHCD nội tiếp

 CHA =  DHA  HA là phân giác của  CHD

a) Chứng minh E, F nằm trên 1 đường tròn cố định khi (O) thay đổi

b) Đường thẳng FI cắt (O) tại E’ Chứng minh EE’ // AB

c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NOI nằm trên đường thẳng cố định khi(O) thay đổi

D C

A

B

I

H K

Cho đờng tròn (o) với dây BC cố định và một điểm A thay đổi vị trí trên cung lớn BC sao cho

AC>AB và AC > BC Gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC Các tiếp tuyến của (O) tại D và

C cắt nhau tại E Gọi P, Q lần lợt là giao điểm của các cặp đờng thẳng AB với CD; AD và CE

a Chứng minh rằng DE// BC

b Chứng minh tứ giác PACQ nội tiếp

c Gọi giao điểm của các dây AD và BC là F

QE CE

a) Chứng minh Đ BMD = Đ BAC, từ đú => tứ giỏc AMHK nội tiếp

b) Chứng minh : HK // CD

c) Chứng minh : OK.OS = R2

Bài 5

Bài 6: Cho tam giác có các góc nhọn ABC nội tiếp đờng tròn tâm O H là trực tâm của tam giác.

D là một điểm trên cung BC không chứa điểm A

a, Xác định vị trí của điẻm D để tứ giác BHCD là hình bình hành

b, Gọi P và Q lần lợt là các điểm đối xứng của điểm D qua các đờng thẳng AB và AC Chứng minh rằng 3 điểm P; H; Q thẳng hàng

c, Tìm vị trí của điểm D để PQ có độ dài lớn nhất

Bài 6

APB = ACB Mặt khác:

Tứ giác APBH nội tiếp đợc đờng tròn nên PAB = PHB

Mà PAB = DAB do đó: PHB = DAB

Chứng minh tơng tự ta có: CHQ = DAC

H

O P

Q

D

C B

A

đạt giá trị lớn nhất  AP và AQ là lớn nhất hay  AD là lớn nhất

 D là đầu đờng kính kẻ từ A của đờng tròn tâm O

Bài 7: Từ điểm P nằm ngoài đờng tròn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA; PB Gọi H là

chân đờng vuông góc hạ từ A đến đờng kính BC

a) Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm E của AH

2 (

2PB

AH.CB 2PB

2 2

2 2 2

2 2

2 2

d

R d 2.R 4R

) R 4(d

R d 8R

(2R) 4PB

4R.2R.PB CB

4.PB

4R.CB.PB AH

ài 8 : Từ một đỉnh A của hình vuông ABCD kẻ hai tia tạo với nhau một góc 450 Một tia cắt cạnh

BC tại E cắt đờng chéo BD tại P Tia kia cắt cạnh CD tại F và cắt đờng chéo BD tại Q

a/ Chứng minh rằng 5 điểm E, P, Q, F và C cùng nằm trên một đờng tròn

 Q, P, C cùng nằm trên đờng tròn đờng kinh EF

b/ Từ câu a suy ra ∆AQE vuông cân

1 1

Q

P M

F

E

B A

b) Qua P kẻ đường thẳng vuụng gúc với MN cắt đường trũn (O) tại K

( K khụng trựng với P) Chứng minh rằng: MN2 + NK2 = 4R2

Cho tam giỏc ABC nội tiếp trũn tõm O cú độ dài cỏc cạnh BC = a, AC = b, AB = c.E là

điểm nằm trờn cung BC khụng chứa điểm A sao cho cung EB bằng cung EC.AE cắt cạnh

BC tại D.

a.Chỳng minh:AD2 = AB.AC – DB.DC

b.Tớnh độ dài AD theo a,b,c

Hay AD2 = AD.AE - DB.DC=AB.AC – DB.DC (do (1))

4b)Theo tớnh chất đường phõn giỏc ta cú hay DC

Cho ABC vuông đỉnh A, đờng cao AH, I là trung điểm của Ah, K là trung điểm

của HC Đờng tròn đờng kính AH ký hiệu (AH) cắt các cạnh AB, AC lần lợt tại diểm M và N.

a) Chứng minh ACB và AMN đồng dạng

b) Chứng minh KN là tiếp tuýn với đờng tròn (AH)

F I

P

O

N K

M

E N

M

I

K H

C B

A

Ta có AH2 HB.HC  AH.2IH = HB.2HK  HA HK

HB HI

 HAK  HBI  HAKĐ ĐHBI

+ Có HAKĐ ĐEHK (chắn cung HE)

 ĐHBI EHKĐ  BI HE//

CóĐAEH 900 (AH là đờng kính)  BI AK

ABK có  BI AK và  BK AI  I là trực tâm ABK

Bài 12 Cho đường trũn tõm O bỏn kớnh R và một đường thẳng (d) cố định, (d) và đường trũn

(O;R) khụng giao nhau.Gọi H là chõn đường vuụng gúc kẻ từ O đến đường thẳng (d), M là một điểm thay đổi trờn (d) (M khụng trựng với H) Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường trũn (A,B là cỏc tiếp điểm ).Dõy cung AB cắt OH tại I

a) Chứng minh năm điểm O, A, B, H, M cựng nằm trờn một đường trũn

b) Chứng minh IH.IO=IA.IB

c) Ch ng mỡnh khi M thay ứng mỡnh khi M thay đổi trờn (d) thỡ tớch IA.IB khụng đổi đổi trờn (d) thỡ tớch IA.IB khụng đổi i trờn (d) thỡ tớch IA.IB khụng đổi trờn (d) thỡ tớch IA.IB khụng đổi i

Bài12

- c/ Lại cú OKI đồng dạng với

OHM (g.g) nờn OI.OH = OK.OM

Do đú OI.OH = R2 khụng đổi Bài 13

  mà Đ OBA OAB  Đ  MIA OAB Đ  Đ mà Đ OAB OIB  Đ ( cựng chắn cung OB)

 MIA OIB Đ  Đ  AIF BIF Đ  Đ ( cựng phụ hai gúc trờn) IF là phõn giỏc của gúc AIB

Do H là trựng điểm của AB nờn OH hay OF chớnh là trung trực hay pgiỏc của gúc AOB

Mà Đ AIB AOB  Đ ( cựng chắn cung AB)

Do đú Đ FIB FOB( FIA FOA)  Đ  Đ  Đ

 Tứ giỏc IOBF nội tiếp mà Đ FIO 90  0  FIO nội tiếp đường trũn đường kớnh OF

 Tứ giỏc IOBF nội tiếp đường trũn đường kớnh OF

Tương tự tứ giỏc IOAF nội tiếp đường trũn đường kớnh OF

Suy ra tứ giỏc AOBF nội tiếp đường trũn đường kớnh OF

Trong tam giác vuông AFH ta có: AH AF.sin AFH Đ AF AH Đ

Bài 16

Bài 16

N E

F

B A

à i 18 : Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O) và E là điểm chính giữa cung AB nhỏ Hai dây CE, ED cắt AB theo thứ tự tại P, Q Các dây AD và EC kéo dài cắt nhau tại I Các dây BC và ED kéo dài cắt nhau tại K Chứng minh rằng:

a) Tứ giác CDIK nội tiếp.

b) Tứ giác CDQP nội tiếp.

Kẻ tia tiếp tuyến Ay của đờng tròn (AQD), ta

có Đ BAy  IDK Đ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây

cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AQ)

Từ đó Đ BAy  EAB Đ Bởi vậy Ay trùng với AE,

hay AE là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp

tam giác AQD.

O

Q PE

I

K

B

C D

a) Chửựng minh tớch BD CE khoõng ủoồi

b)Chửựng minh DM laứ tia phaõn giaực cuỷa ĐBDE

c) Tớnh chu vi cuỷa AED neỏu ABC laứ tam giaực ủeàu

c) ABC laứ tam giaực ủeàu neõn suy ra CME cuỷng laứ tam giaực

Cho tam giaực ABC, trung tuyeỏn AM Qua ủieồm D thuoọc caùnh

BC, veừ ủửụứng thaỳng song song vụựi AM, caột AB, AC taùi E vaứ F

a) chửựng minh DE + DF khoõng ủoồi khi D di ủoọng treõn BC

b) Qua A veừ ủửụứng thaỳng song song vụựi BC, caột FE taùi K

Chửựng minh raống K laứ trung ủieồm cuỷa FE

A

K F

E

D M

C B

A

Cho hình thoi ABCD cạnh a có Đ 0

A = 60 , một đường thẳng bất kỳ qua C cắt tia đối của các tia

BA, DA tại M, N

a) Chứng minh rằng tích BM DN có giá trị không đổi

b) Gọi K là giao điểm của BN và DM Tính số đo của góc BKD

Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn AC,tia

Dx cắt SC, AB, BC lần lượt tại I, M, N Vẽ CE vuông

góc với AB, CF vuông góc với AD, BG vuông góc với AC Gọi K là điểm đối xứng với D qua

C B

D

C

B

Từ CD // AN  CI ID

AIIN (2)Từ (1) và (2) suy ra IMID= INID hay ID2 = IM IN

KN ID AD CB (4)Từ (3) và (4) suy ra KM = DM

KN DN

Bài 23 Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Gọi I là điểm bất kỳ trên cạnh BC Đường thẳng qua I song song với AC cắt AB ở K; đường thẳng qua I song song với AB cắt AC, AM theo thứtự ở D, E Chứng minh DE = BK

Đường thẳng qua trung điểm của cạnh đối AB, CD của tứ giác

ABCD cắt các đường thẳng AD, BC theo thứ tự ở I, K Chứng

I M

E

K

CB

A

F

E

I K

Cho ĐxOy, các điểm A, B theo thứ tự chuyển động trên các tia Ox, Oy sao cho

Qua O kẻ đường thẳng song với AB cắt CM, DM theo thứ tự

ở I và K Theo định lí Talét ta có:

Cho tam giác ABC (AB < AC), phân giác AD Trên AB

lấy điểm M, trên AC lấy điểm N sao cho BM = CN, gọi

giao điểm của CM và BN là O, Từ O vẽ đường thẳng

song song với AD cắt AC, AB tại E và F

Chứng minh rằng: AB = CF; BE = CA

G

P OK I

N

D Q

C B

M

A

F E

Q

P

F

K I

H G

M O

B A

A

Cho hình chữ nhật ABCD có M, N thứ tự là trung điểm của

AD, BC Gọi E là một điểm bất kỳ thuộc tia đối của tia DC,

K là giao điểm của EM và AC

Chứng minh rằng: NM là tia phân giác của ĐKNE

Bài 29

Gọi H là giao điểm của KN và DC, giao điểm của AC và MN là I thì IM = IN

ENH cân tại N  NC là tia phân giác của ĐENH mà NC MN (Do NM BC – MN // AB) Bài 30:

Trên cạnh BC = 6 cm của hình vuông ABCD lấy điểm E

sao cho BE = 2 cm Trên tia đối của tia CD lấy điểm F sao

cho CF = 3 cm Gọi M là giao điểm của AE và BF Tính

ĐAMC

I K N

M

Q

P H

C B

H

M

G F

E

B A

Bài 30

Gọi giao điểm của CM và AB là H, của AM và DF là G

BAE = BCH (c.g.c)  BAE = BCH Đ Đ mà BAE + BEA Đ Đ = 900  ĐAMC = 900

Bài 31

Cho tứ giác ABCD Qua điểm E thuộc AB, H thuộc AC vẽ các đường thẳng song song với BD,cắt các cạnh còn lại của tứ giác tại F, G

a) Có thể kết luận gì về các đường thẳng EH, AC, FG

b) Gọi O là giao điểm của AC và BD, cho biết OB = OD Chứng minh rằng ba đường thẳng

EG, FH, AC đồng quy

Bài 31

a) Nếu EH // AC thì EH // AC // FG

Nếu EH và AC không song song thì EH, AC, FG đồng quy

b) Gọi giao điểm của EH, HG với AC

EG, FH, AC đồng quy tại O

Bài 32.

đường trịn (O) Gọi D, E, F theo

thứ tự là tiếp điểm trên các cạnh

BC, AB, AC Gọi H là chân đường

vuơng gĩc kẻ từ D đến EF Chứng

minh rằng:

Tam giác AEF cân tại A nên

Ta cĩ ΔBEI ΔCFK (g-g) BEI ΔBEI ΔCFK (g-g) CFK (g-g)

Bài 33

Cho đường tròn tâm O điểm k nằm ngoài đường tròn Kẻ các tiêp tuyến

KA , kB với đường tròn (A, B 0 là các tiếp điểm Kẻ đường kính AOC ,Tiếp tuyến của đường tròn O tại C cắt AB tại E , Chứng Minh rằng :

a) Các tam giác KBC và OBE đồng dạng

b) CK vuông góc với OE

Hướng dẫn : KBC OBE (cgc)

Bài 34 : Cho hai đường tròn ở ngoài nhau (O) và (O’) kẻ tiếp tuyến chung ngoài

AB chung trong EF A,E (O) , B,F (O’) Gọi M là giao điểm của AB và EF Chứng minh a) AOM BOM’

b) EF luôn tiếp xúc với đường tòn cố định

c) Diện tích tam giác AMN bằng diện tích tứ giác MNFE

a) Chứng minh MD luôn đi qua một điểm cố định E

b) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AMB Chứng minh rắng A,B,C,I cũng thuộc một đường tròn

c) Chứng minh rằng đường thẳng CD luôn đi qua một điểm cố định

O

B

A K

H N

Bài 37:Cho hình vuông cố định PQRS Xét một điểm M thay đổi ở trên cạnh PQ (M P,

M Q) Đường thẳng RM cắt đường chéo QS của hình vuông PQRS tại E Đường tròn ngoại tiếp tam giác RMQ cắt đường thẳng QS tại F (F Q) Đường thẳng RF cắt cạnh SP của hình vuông PQRS tại N.

1 Chứng tỏ rằng: Đ ERF QRE + SRF  Đ Đ

2 Chứng minh rằng khi M thay đổi trên cạnh PQ của hình vuông PQRS thì đường tròn ngoại tiếp tam giác MEF luôn đi qua một điểm cố định.

3 Chứng minh rằng: MN = MQ + NS.

đường tròn ngoại tiếp tam giác MEF đi qua điểm P.

Hai tam giác vuông DRM và QRM bằng nhau,

a Chứng minh : KA.IH =HK.IA

b Chứng minh PI là phân giác của góc APH

a) Ta có

MA

MHIA

PA

 AOM MOH 

OH

OPMH

MAOH

PAMH

MA



  PI là phân giác HPA

Bài 39: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm (O) Các cạnh đối AB và CD kéo dài

cắ nhau tại E các cạnh đối AD và BC cắt nhau tại F Phân giác góc DFC cắt AB tại P cắt

DC tại Q

a Chứng minh tam giác PQE cân

b Chứng minh EF 2 = FA.FD +EA.EB

EBM EFA

FBA FDC

FBM FCB

D H N

A

N I

F

D

C B

A

Q

Bài 40 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O

(AB<AC).Các tiếp tuyến tại B và c cắt nhau tại N Vẽ dây cung AM // BC Đường thẳng MN cắt đường tròn tại điểm thứ hai là P

a Cho biết

16

111

Lấy điểm I sao cho IB=CM

M A

F E

D

C B

A

M I

Bài 44 Chứng minh rằng trong một tam giác , trọng tâm G, trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là O Thì H,G,O thẳng hàng

trong tam giác ABC H là trực tâm, G là

Trọng tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp

Bài 45 Câu 5 (2 điểm ) : Trong tam giác ABC lấy điểm P sao cho

PAC = PBC Từ P dựng PM vuông góc với BC PK vuông góc với CA Gọi D là trung điểmcủa AB Chứng minh : DK=DM

Bài 1: ( 4 điểm )

Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O và hai tiếp tuyến

MA, MB đến đường tròn (O), ở đây A, B là các tiếp điểm và C nằm giữa M, D

M

D

C B

A

F

d) Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O) Chứng minh A,

B, K thẳng hàng

Bài 1:

a) Xét hai tam giác MAC và MDA có:

–  M chung–  MAC =  MDA (= 1 sđAC»

* I là trung điểm dây CD nên  MIO = 900

Do đó:  MAO =  MBO =  MIO = 900

 5 điểm M, A, O, I, B cùng thuộc đường tròn đường kính MO

c)  Ta có MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) và OA = OB = R(O) Do đó MO là trung trực của AB  MO  AB

Trong MAO vuông tại A có AH là đường cao  MA2 = MH.MO Mà MA2 = MC.MD (do a)) MC.MD = MH.MO  MH MC

MD MO (1).

Xét  MHC và MDO có:

M chung, kết hợp với (1) ta suy ra MHC và MDO đồng dạng (c–g –c)

  MHC =  MDO  Tứ giác OHCD nội tiếp

 Ta có: + OCD cân tại O   OCD =  MDO

+  OCD =  OHD (do OHCD nội tiếp)

Do đó  MDO =  OHD mà  MDO =  MHC (cmt)   MHC =  OHD

 900 –  MHC = 900 –  OHD   CHA =  DHA  HA là phân giác của  CHD hay AB làphân giác của  CHD

d) Tứ giác OCKD nội tiếp(vì  OCK =  ODK = 900)

  OKC =  ODC =  MDO mà  MDO =  MHC (cmt)

  OKC =  MHC  OKCH nội tiếp

a) Chứng minh E, F nằm trên 1 đường tròn cố định khi (O) thay đổi

b) Đường thẳng FI cắt (O) tại E’ Chứng minh EE’ // AB

c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NOI nằm trên đường thẳng cố định khi(O) thay đổi

Bài 2.

O M

D C

A

B

I

H K

a) Vì AF là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên ta có:

Xét AFB và , ta có:

FAB= FAC

Suy ra AFB

Suy ra:

Suy ra E, F là các điểm nằm trên đường tròn (A, )

b) Vì AF là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên ta có:

(1)

Mặt khác:

(2)

Và:

(4 điểm A, E, I, F cùng nằm trên đường tròn đường kính AO) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra được: Suy ra EE’ // AB (Theo dấu hiệu góc đồng vị của

hai đường thẳng song song)

A

B

C D

b Chøng minh tø gi¸c PACQ néi tiÕp

c Gäi giao ®iÓm cña c¸c d©y AD vµ BC lµ F

 CAQ =  CDE (cïng ch¾n cung DC)

Suy ra  CPQ =  CDE => DE// PQ

QE CE FC

DE PQ DE

a) Chứng minh Đ BMD = Đ BAC, từ đó => tứ giác AMHK nội tiếp

b) Chứng minh : HK // CD

c) Chứng minh : OK.OS = R2

Bài 5

Xet MHKA: là tứ giác nội tiếp, ĐAMH 900 (góc nt

chắn nửa đờng tròn)  HKA Đ 1800 900 900 (đl)

Bài 6: Cho tam giác có các góc nhọn ABC nội tiếp đờng tròn tâm O H là trực tâm của tam giác.

D là một điểm trên cung BC không chứa điểm A

a, Xác định vị trí của điẻm D để tứ giác BHCD là hình bình hành

b, Gọi P và Q lần lợt là các điểm đối xứng của điểm D qua các đờng thẳng AB và AC Chứng minh rằng 3 điểm P; H; Q thẳng hàng

c, Tìm vị trí của điểm D để PQ có độ dài lớn nhất

Vậy AD là đờng kính của đờng tròn tâm O

Ngợc lại nếu D là đầu đờng kính AD

của đờng tròn tâm O thì

tứ giác BHCD là hình bình hành

b) Vì P đối xứng với D qua AB nên APB = ADB

nhng ADB =ACB nhng ADB = ACB

Do đó: APB = ACB Mặt khác:

AHB + ACB = 1800 => APB + AHB = 1800

Tứ giác APBH nội tiếp đợc đờng tròn nên PAB = PHB

Mà PAB = DAB do đó: PHB = DAB

Chứng minh tơng tự ta có: CHQ = DAC

Vậy PHQ = PHB + BHC + CHQ = BAC + BHC = 1800

Ba điểm P; H; Q thẳng hàng

c) Ta thấy  APQ là tam giác cân đỉnh A

Có AP = AQ = AD và PAQ = 2BAC không đổi nên cạnh đáy PQ

đạt giá trị lớn nhất  AP và AQ là lớn nhất hay  AD là lớn nhất

 D là đầu đờng kính kẻ từ A của đờng tròn tâm O

Bài 7: Từ điểm P nằm ngoài đờng tròn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA; PB Gọi H là

chân đờng vuông góc hạ từ A đến đờng kính BC

H

O P

Q

D

C B

A

a) Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm E của AH

EH

 ; (1) Mặt khác, do PO // AC (cùng vuông góc với AB)

=> POB = ACB (hai góc đồng vị)

=>  AHC   POB

Do đó:

OB

CH PB

AH

Do CB = 2OB, kết hợp (1) và (2) ta suy ra AH = 2EH hay E là trug điểm của AH

b) Xét tam giác vuông BAC, đờng cao AH ta có AH2 = BH.CH = (2R - CH).CH

Theo (1) và do AH = 2EH ta có

)

2 (

2PB

AH.CB 2PB

2 2

2 2 2

2 2

2 2

d

R d 2.R 4R

) R 4(d

R d 8R

(2R) 4PB

4R.2R.PB CB

4.PB

4R.CB.PB AH

ài 8 : Từ một đỉnh A của hình vuông ABCD kẻ hai tia tạo với nhau một góc 450 Một tia cắt cạnh

BC tại E cắt đờng chéo BD tại P Tia kia cắt cạnh CD tại F và cắt đờng chéo BD tại Q

a/ Chứng minh rằng 5 điểm E, P, Q, F và C cùng nằm trên một đờng tròn

 Q, P, C cùng nằm trên đờng tròn đờng kinh EF

b/ Từ câu a suy ra ∆AQE vuông cân

S = ( 2 )2 hay SAEF = 2SAQP

c/ Để thấy CPMD nội tiếp, MC=MD và APD=CPD

1 1

Q

P M

F

E

B A