CÁC BÀI TOÁN KHÓ CHỌN LỌC TỪ CÁC ĐỀ THI 2010– 2011_2 potx

Trớc hết ta chứng minh bất đẳng thức phụ... Với tụi, * là hằng đẳng thức rất thỳ vị... Bây giờ, chúng ta đến với một vài ứng dụng của * và hai hệ quả trên.. Vấn đề sẽ khó hơn khi ta hướn

ĐỀ THI 2010 – 2011

Bài 5: (1,0 điểm)

Gọi x , x 1 2 là hai nghiệm của phương trình:

x  2(m 1)x   2m  9m  7  0

(m là tham số)

Chứng minh rằng : 1 2

1 2

2



Bài 5: PT : 2 2

x  2(m 1)x   2m  9m  7  0 (1)

+ PT (1) có hai nghiệm x , x 1 2   / 0   m2  7m  6  0  m2  7m  6  0

(m + 1)(m + 6)0; Lập bảng xét dấu    6 m   1

(*)

+Với đ/k (*), áp dụng đ/l vi ét: 1 2

2

1 2







1 2

1 2

  2(m 2  8m 16) 14    32  182(m + 4) 2

+ Với   6 m   1 thì 2

18  2(m  4)  0 Suy ra 182(m + 4) 2 182(m + 4) 2

18 2(m + 4) 18 Dấu “=” xảy ra khi m  4  0  m   4

(tmđk (*))

Vậy : 1 2

1 2

2



  (đpcm)

Bài 5: (1,0 điểm)

Cho x, y >0 và x  y 1  Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2

A



Bài 5: V i a  0, b  0; Ta cú :

x  y ; b = 2xy ; ta cú:

(x y) 2 (x y) (x y) 2 (x y)

x  y 1   0  (x  y)  1]; minA = 6 khi x = y = 1

2d

câu 4: (1,5điểm)

Giả sử x và y là 2 số thoả mãn x > y và xy=1

2 2

y x

y x





Bài 5: Cho hai số dương x; y thoả mãn: x + y  1

Tìm giá trị nhỏ nhất của: A =

xy y x

501 1

2



Câu I : Tính giá trị của biểu thức:

A =

5

3

1

 +

7 5

1

9 7

1

99 97

1



B = 35 + 335 + 3335 + + 

3 99 35

3333

số

Câu 1 :

1) A =

5 3

1

 +

7 5

1

9 7

1

99 97 1

=

2

1

( 5  3+ 7  5+ 9  7+ + 99  97) =

2

1 ( 99  3) 2) B = 35 + 335 + 3335 + + 

3 99 35

3333

số

=

=33 +2 +333+2 +3333+2+ + 333 33+2

= 2.99 + ( 33+333+3333+ +333 33)

= 198 +

3

1

( 99+999+9999+ +999 99)

198 +

3

1

( 102 -1 +103 - 1+104 - 1+ +10100 – 1) = 198 – 33 +









27

10

10 101 2

+165

Câu 3 : Cho x 1 , y 1 Chứng minh

xy y

x    

2 1

1 1

1

2 2

Câu 3 : Chuyển vế quy đồng ta được

  

1 1  0

1













xy y

y x y xy

x

x y x

   2  1 0

Câu 5: Cho x,y,z; xy + yz + zx = 0 và x + y + z = -1

Hãy tính giá trị của:

B =

x

xyz y

zx z

xy





Câu 5: Biến đổi B = xyz 













2

1 1 1

z y

xyz xyz



Bài 5 : Cho các số dương x, y thỏa mãn điều kiện x2

+ y2  x3 + y4 Chứng minh:

x3 + y3  x2 + y2  x + y  2

Bài 5 (1đ):

Ta có (y2 - y) + 2  0  2y3  y4 + y2

 (x3 + y2) + (x2 + y3)  (x2 + y2) + (y4 + x3)

mà x3 + y4  x2 + y3 do đó

x3 + y3  x2 + y2 (1) + Ta có: x(x - 1)2  0: y(y + 1)(y - 1)2  0

 x(x - 1)2 + y(y + 1)(y - 1)2  0

- 2x2 + x + y4 - y3 - y2 + y  0

 (x2 + y2) + (x2 + y3)  (x + y) + (x3 + y4)

mà x2 + y3  x3 + y4

 x2 + y2  x + y (2)

và (x + 1)(x - 1)  0 (y - 1)(y3 -1)  0

x3 - x2 - x + 1 + y4 - y - y3 + 1  0

 (x + y) + (x2 + y3)  2 + (x3 + y4)

mà x2 + y3  x3 + y4

 x + y  2

Từ (1) (2) và (3) ta có:

x3 + y3  x2 + y2  x + y  2

bài 2: a) Tìm x, y nguyên dơng thoã mãn phơng trình

3x2 +10 xy + 8y2 =96

b)tìm x, y biết / x - 2005/ + /x - 2006/ +/y - 2007/+/x- 2008/ = 3

Bài 3: a Cho các số x, y, z dơng thoã mãn

x

1

+

y

1 +

z

1

= 4

Chứng ming rằng:

z y

x  2

1 +

z y

x 2 

1 +

z y

1



2

2006 2

x

x

x  

(với x  0)

Bài 2 a 3x2 + 10xy + 8y2 = 96

< > 3x2 + 4xy + 6xy + 8y2 = 96

< > (3x2 + 6xy) + (4xy + 8y2) = 96

< > 3x(x + 2y) + 4y(x +2y) = 96

< > (x + 2y)(3x + 4y) = 96

Do x, y nguyên dơng nên x + 2y; 3x + 4y nguyen dơng và 3x + 4y >

x + 2y  3

mà 96 = 25 3 có các ớc là: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24; 32; 48; 96 đợc biểu

diễn thành tích 2 thừa số không nhỏ hơn 3 là: 96 = 3.32 = 4.24 = 6 16 =

8 12

Lại có x + 2y và 3x + 4y có tích là 96 (Là số chẵn) có tổng 4x + 6y

là số chẳn do đó















24 4 3

6 2

y x

y x

Hệ PT này vô nghiệm

Hoặc















16 4 3

6 2

y x

y x













1

4

y x

Hoặc















12 4 3

8 2

y x

y x

Hệ PT vô nghiệm Vậy cấp số x, y nguyên dơng cần tìm là (x, y) = (4, 1)

b ta có /A/ = /-A/  A A

Nên /x - 2005/ + / x - 2006/ = / x - 2005/ + / 2008 - x/

3 / 3 / / 2008 2005

mà /x - 2005/ + / x - 2006/ + / y - 2007/ + / x - 2008/ = 3 (2)

Kết hợp (1 và (2) ta có / x - 2006/ + / y - 2007/  0 (3)

(3) sảy ra khi và chỉ khi



























2007

2006 0

/ 2007 /

0 / 2006 /

y

x y

x

Bài 3

a Trớc hết ta chứng minh bất đẳng thức phụ

b Với mọi a, b thuộc R: x, y > 0 ta có   (*)

y x

b a y

b x

a









< >(a2y + b2x)(x + y)ab2xy

a2y2 + a2xy + b2 x2 + b2xy  a2xy + 2abxy + b2xy

a2y2 + b2x2  2abxy

a2y2 – 2abxy + b2x2  0

(ay - bx)2  0 (**) bất đẳng thức (**) đúng với mọi a, b, và x,y > 0

x  y

áp dung bất đẳng thức (*) hai lần ta có

16

       

       

2 16

Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có:

.4 1

         

Vì 1 1 1 4

x y z 

B x 2x2 2006x 0

x

Ta có:

x

x x

B x

x x

B

2006

2006 2006

2 2006 2006

2

2













2006

2005 2006

2005 2006

2005 2006

2 2 2

2 2

















x

x x

x x

B

Vì (x - 2006)2  0 với mọi x

x2 > 0 với mọi x khác 0

2 2

x

x



Bài 5: (1đ)

Cho ba số a, b , c khác 0 thoã mãn: 1  1  1  0

c b

2

2

2

b

ac

a

bc

c

ac





Bài 5Đặt x = 1/a; y =1/b; z = 1/c  x + y + z = 0 (vì 1/a = 1/b + 1/c = 0)

 x = -(y + z)

+ y3 + z3 – 3 xyz = -(y + z)3 + y3 – 3xyz

-( y3

+ 3y2 z +3 y2z2 + z3) + y3 + z3 – 3xyz = - 3yz(y + z + x) = - 3yz 0 = 0

Từ x3 + y3 + z3 – 3xyz = 0  x3 + y3 + z3 = 3xyz

 1/ a3

+ 1/ b3 + 1/ c3 3 1/ a3 .1/ b3 .1/ c3 = 3/abc

Do đó P = ab/c2 + bc/a2 + ac/b2 = abc (1/a3 + 1/b3+ 1/c3) =

abc.3/abc = 3

nếu 1/a + 1/b + 1/c =o thì P = ab/c2 + bc/a2 + ac/b2 = 3

Bài 5: Cho các số dương a, b, c Chứng minh rằng:

2













a c

c c b

b

b

a

a

Bài 5:Ta có:

c b a

a



 <

a b

a

 <

c b a

c a







(1)

c b a

b



 <

c b

b

 <

c b a

a b





 (2)

c b a

c



 <

a c

c

 <

c b a

b c





 (3) Cộng từng vế (1),(2),(3) :

1 <

b a

a

 +

c b

b

 +

a c

c

 < 2

Bài 5: Cỏc số a, b, c   1; 4 thoả món điều kiện a  2b  3c  4

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Bài 5: Do -1a,b,c 4 Nờn a +1 0 a – 4  0

Suy ra : ( a+1)( a - 4)  0  a2 3.a +4

Tương tự ta cú : b2  3b +4  2.b2  6 b + 8 3.c2  9c +12

Suy ra: a2+2.b2+3.c2 3.a +4+6 b + 8+9c +12 a2+2.b2+3.c2 36 ( vỡ

a +2b+3c  4 )

MỘT HẰNG ĐẲNG THỨC THÚ VỊ

Với mọi số thực a, b, c, ta cú : (a + b)(a + c) = a2 + (ab + bc + ca) =

a(a + b + c) + bc (*)

Với tụi, (*) là hằng đẳng thức rất thỳ vị Trước hết, từ (*) ta

cú ngay :

Hệ quả 1 : Nếu ab + bc + ca = 1 thỡ a2 + 1 = (a + b)(a + c)

Hệ quả 2 : Nếu a + b + c = 1 thì a + bc = (a + b)(a

+ c)

Bây giờ, chúng ta đến với một vài ứng dụng của (*) và hai hệ quả trên

Bài toán 1 : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1

Hãy tính giá trị của biểu thức :

Lời giải : Theo hệ quả 1 ta có

a2 + 1 = a2 + (ab + bc + ca) = (a + b)(a + c) ; b2 + 1 = b2 + (ab +

bc + ca) = (b + a)(b + c) ;

c2 + 1 = c2 + (ab + bc + ca) = (c + a)(c + b) Suy ra

Vì vậy A = a(b + c) + b(c + a) + c(a +

b)

= 2(ab + bc + ca) = 2

Vấn đề sẽ khó hơn khi ta hướng tới việc đánh giá các biểu thức

Bài 5: (2,0 điểm)

Hãy tìm tất cả các bộ số (a ; b ; c) gồm các chữ số hệ thập

phân a , b, c đôi một

b) Cho tam giác có số đo một góc bằng trung bình cộng của

số đo hai góc còn lại

và độ dài các cạnh a, b, c của tam giác đó thoả mãn: a + b - c =

a + b - c

Chứng minh rằng tam giác này là tam giác đều

Hãy tìm tất cả các bộ số (a ; b ; c) gồm các chữ số a , b, c khác nhau và khác 0 sao

Viết lại (1): (10a + b)c =(10c + a)b ⇔ 2.5.c(a – b) = b(a – c)

Suy ra: 5 là ước số của b(a – c)

Do 5 nguyên tố và 1 ≤ a, b, c ≤ 9; a ≠ c nên:

hoặc c - a = 5

Suy ra: 2a -9 = 3 ; 9 (a ≠ 5, do a ≠ c)

Trường hợp này tìm được: (a; b; c) = (6; 5; 2), (9; 5; 1)

lại: 2b = 2c + 9 -

Suy ra: 2c + 1 = 3 ; 9 (c ≠ 0)

Trường hợp này tìm được: (a; b; c) = (6; 4; 1), (9; 8; 4)

Viết lại : 2b = 2a +19 + Suy ra: b > 9, không xét + Vậy:

Các bộ số thỏa bài toán: (a ; b ; c) = (6 ; 5 ; 2), (9 ; 5 ; 1),

(6; 4 ; 1), (9 ; 8 ; 4)

Từ giả thiết số đo một góc bằng trung bình cộng của số đo hai góc còn lại, suy ra

tam giác đã cho có ít nhất một góc bằng 60o

đó A = 60o

Từ a + b - c = a + b - c (*), suy ra tam giác đã cho là

tam giác cân

Thật vậy, bình phương các vế của (*):

a + b - c = a + b + c + 2 ab - 2 cb - 2 ac ⇒ c c - a

+ b a - c = 0

⇒ a - c b - c = 0

Vì vậy tam giác này có a = c hoặc b = c

0,25