Hình thành năng lực giải toán cho học sinh qua việc phát triển các bài toán từ bài toán ban đầu

HÌNH THÀNH NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH QUA VIỆC PHÁT TRIỂN CÁC BÀI TOÁN TỪ BÀI TOÁN BAN ĐẦU Nâng cao chấc lượng giáo dục trong trường THCS và nhiệm vụ số một vàcũng là mục tiêu phấn

HÌNH THÀNH NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH

QUA VIỆC PHÁT TRIỂN CÁC BÀI TOÁN

TỪ BÀI TOÁN BAN ĐẦU

Nâng cao chấc lượng giáo dục trong trường THCS và nhiệm vụ số một vàcũng là mục tiêu phấn đấu của mỗi giáo viên Ngày nay sự phát triễn của tất cả cácnghành khoa học, các nghành công nghệ then chốt như viễn thông, hàng không…đều không thể thiếu toán học hơn nữa việc bùn nổ công nghệ thông tin như hiệnnay thì việc ứng dụng toán học đem lại kết quả to lớn trong mọi lĩnh vực của đờisống xã hội

Ngày nay sự phát triển của một đất nước không phụ thuộc nhiều ở tài nguyênthiên nhiên mà phụ thuộc và trình độ dân trí Toán học có vị trí đặc biệt trong việcnâng cao và phát triễn dân trí Góp phần tạo nên nguồn chất xám, nguồn tài nguyênquý nhất cuả đất nước toán học không những cho con người kĩ năng tính tóan cầnthiết, mà còn rèn luyện cho con người một khả năng tư duy logíc…

Đối với học sinh cấp II, toán là môn học khó, trước một khối lượng kiến thứccác em thường có cảm giác “bị gợp”, chỉ có một bộ phận học sinh khá giỏi, những

em có óc tưởng tượng phong phú, tư duy nhạy bén là tỏ ra thích thú khi học toán

Số học sinh còn lại thường rơi vào tình trạng “né tránh” nếu có thể

Để có thể phát triển khả năng tư duy và sáng tạo trong việc học toán và giảitoán, thì việc tìm ra kết quả một bài toán chưa thể coi là kết thúc được, mà phải tiếnhành khai thác, “mổ sẽ” và phân tích bài toán

Trong quá trình dạy học toán nói chung cũng như quá trình dạy học giải toánnói riêng người thầy cần phải tạo ra cho học sinh một thói quen là: sau khi tìm ralời giải của bài toán dù đơn giản hay phức tạp, cần phải tiếp tục suy nghỉ, lật lại vấn

đề tìm điểm đặc trưng của từng bài để khai thác bài toán tìm ra bài toán mới dựatrên cơ sở bài toán đã có.

Hơn nữa hệ thống các câu hỏi bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập tuy đãđược biên soạn rất công phu, phù hợp với trình độ kiến thức và năng lực của họcsinh Tuy nhiên sách giáo khoa và sách giáo viên là tài liệu dùng chung cho cảnước Vì vậy để có bài tập phù hợp với đối tượng học sinh của mình, phù hợp vớihoàn cảnh thực tế địa phương Đăc biệt trong các đề kiểm tra thường xuyên, kiểmtra học kỳ…thì đề toán phải vừa đáp ứng yêu cầu kiểm tra vừa đảm bảo tính kháchquan, công bằng bí mật thì đề kiểm tra này không nằm trong bấtkỳ tài liệu nào đã

có Do đó khi dạy học giải toán ngoài việc khai thác bài toán một cách triệt để mỗigiáo viên cần phải tự mình biên soạn thêm câu hỏi và bài tập mới sau khi giảiquyết được bài toán mới học sinh sẽ hiểu sâu, nhớ lâu, và vận tốt nội dung bài toán

để giải các bài toán tiếp theo bênh cạnh đó gúp các em được sự tự tin khi gặp mộtdạng toán mới

Nhằm giúp cho học sinh rèn luyện phương pháp suy luận, biết phân tích, kháiquát tổng hợp, lật ngược vấn đề quy lạ về quen, có thói quen dự đoán, tìm tòi, cónăng lực phát hiện vấn đề Giúp học sinh hiểu sâu kiến thức cơ bản vận dung kiếnthức để giải quyết các bài toán mới vấn đề mới và những vấn đề thực tiễn Cungcấp cho học sinh phương pháp tự học, tự đưa ra vấn đề và giải quyết vấn đề Từ đógiúp các em chủ động, tự tin và sáng tạo trong học toán

Chính vì lí do trên tôi chọn đề tài: “ Hình thành năng lực giải toán cho học

sinh qua việc phát triển các bài toán từ bài toán ban đầu”.

II THỰC TRANG VẤN ĐỀ

1 Thực trạng:

Thực tế phần lớn một số giáo viên chưa nhật thức đầy đủ ý nghĩa của việc dạygiải toán Hầu hết trong một tiết học thời gian quá ngắn nên giáo viên chỉ chú ý đếnviệc giải toán mà chưa cho học sinh làm toán Trong quá trình giải toán ít quan tâmđến việc rèn luyện các thao tác tư duy , suy luận thông thường giáo viên giải đến

đâu vấn đáp đến đó và coi việc giải xong một bài toán là kết thúc hoạt động chưagúp cho học sinh phương pháp, kĩ năng, kinh nghiệm để thực hiện tiếp các bài toánmới.

Mặt khác cho thấy hiện nay năng lực giải toán của học sinh ở địa phương cònrất yếu đặt biệt là quá trình vận dụng các kiến thức đã học vào bài tập, thực tiễn,vào bài tập mới Tỉ lệ học sinh yếu kém còn quá cao, đặc biệt là các em đầu cấp.các em luôn cho ràng học toán khó hơn các môn học khác và chỉ có những bạn khágiỏi mới học được tình trạng phổ biến là học sinh làm toán không chiệu nghiêncứu kĩ bài toán Không chiệu khai thác huy động kiến thức để làm bài Chỉ làmđược khi có sự hướng dẫn của giáo viên, nhưng khi đưa ra một bài toán mới mặt dùchỉ tương tự bài toán ban đầu thì học sinh không thể làm được và cho rằng bài toánnày khó hơn bài trước mặt dù đó là bài toán đơn giản

Để thống kê năng lực giải toán của học sinh tôi áp dụng nhiều hình thức trắcnghiệm rút ra một hiện tương nổi bật học sinh trả lời mang tính học vẹt chấp hànhđúng nguyên bản, nhưng khi đưa ra bài tập tương tự học sinh lúng túng không làmđược

Trước thực trạng trên tôi đã điều tra qua nhiều biện pháp kết quả cho thấy.

2 Một số nguyên nhân tác động:

+ Mất kiến thức căn bản: (một trong những yếu tố quan trọng để học sinh học

tốt môn toán) Ta đã biết hệ thống các kiến thức cũng như chương trình học của bộ

môn toán đã được biên soạn sắp xếp một cách công phu theo một trình tự mắt xích

nhất định Để hiểu rõ một nội dung kiến thức mới đòi hỏi học sinh phải nắng vữngnhững kiến thức cũ đã học một cách rõ ràng Vận dụng rất nhiều kiến thức đã học

để đi đến kiến thức mới Chi cần thiếu sót một kiến thức nhỏ thì hệ thống các kiếnthức tiếp theo sẽ không tiếp thu được Do ở các lớp tiểu học phần đông các em họcyếu môn toán Giáo viên còn ít quan tâm đến việc thực hành giải toán cho các em.Nên khi lên bậc trung học cơ sở học sinh không khỏi bở ngỡ bởi một khối lượngkiến thức quá lớn, quá mới mẽ đối với các em Một số em không thể nắm vữngnhững nội dung kiến thức lâu dần tạo thành những lổ hổng kiến thức làm cho các

em sợ toán Đặc biệt trong việc giải toán học sinh không nắm rõ nội dung lí thuyếthoặc nắm lí thuyết theo lối học vẹt không thể áp dụng lí thuyết vào làm bài tập.trong giờ giải bài tập chỉ trông chờ giáo viên giải để chép vào vở mà ít chịu suynghĩ tìm tòi lời giải

+ Đối với giáo viên thì lại gặp khó khăn vì bài tập đa dạng phong phú Không

có thời gian và phương pháp lựa chọn thích hợp làm cho học sinh hiểu nhầm nhìnphiến diện Cho rằng bài tập quá dễ rồi xem thường hay khó quá làm cho học sinhmất lòng tin chán nản từ đó chỉ chú ý vào thủ thuật mà không chú ý tới việc rènluyện tư duy Hơn nữa đôi khi giáo viên áp đặt gò bó các em phải làm thế này phảithế kia Mà chưa đưa ra được các phương pháp tư duy tìm ra điểm giống cũng nhưkhác nhau của từng bài toán Dẫn đến nhiều học sinh tự đặt câu hỏi tại sao phải làmnhư vậy? tại sao phải tìm cái này trước mà không phải là cái kia trước? dẫn đếnkhông hiểu vấn đề hay hiểu mơ hồ, khi gặp bài toán mới học sinh hiểu nhầm nộidung rồi làm theo rập khuôn, máy móc

+ Thái độ học tập không đúng: Do gia đình ít quan tâm đến việc học tập củacác em, phó mặt việc giáo dục con em mình cho nhà trường học sinh thiếu sự đônđốc từ gia đình mà thời gian tự học đối với môn toán là rất quan trọng Khi giáoviên yêu cầu học bài hay làm bài ở nhà thì bản thân các em lại lười biến không họchoặc học the lối đối phó, làm bài tập thì sơ sài cẩu thả, ít chiệu đầu tư suy nghĩ tìmtòi Mà đây là yếu tố quyết định năng lực giải toán cũng như các bộ môn khác Dù

cho giáo viên có cố gắng tới đâu thì cũng bằng thừa Ở đây ta thấy rõ yếu tố bảnthân học sinh là qua trọng nhất

+ Thiếu phương pháp: (Đối với một số học sinh khá giỏi cũng lâm vào tình

trạng này) Học sinh có khả năng tiếp thu bài tốt nhưng vẫn không làm được bài tập

mới hoặc làm không chính xát lời giải không rõ ràng, thiếu thuyết phục Vì lí dokhông có phương pháp phân tích, khái quát hoá không thể so sánh được sự tươngquan giữa bài đã làm và bài tập mới Không tìm ra được điểm chung và riêng củamỗi bài Khi làm bài thì hiểu nhầm giữa các kiến thức hay hiểu một cách mơ hồ.không biết bắt đầu từ đâu kết quả là gì

II GIẢ PHÁP VÀ KẾT QUẢ

1 Các biện pháp thực hiện:

- Về lí thuyết: cần cho học sinh lặp đi lặp lại nhiều lần những nội dung lí

thuyết cần thiết để vận dụng giả một bài tập cơ bản, cũng như lặp đi lặp lại nhiềulần những bước tiến hành giải toán Nhằm để hình thành cũng cố kĩ năng, kĩ xảo.sau đưa ra những phân tích cụ thể các yếu tố để tạo ra bài toán mới cho học sinhthấy rõ vấn đề Chỉ ra sự tương quan giữa bài cũ và bài mới định hướng cách giảibài mới, đem so sánh các bước thực hiện giữa hai bài

- Muốn thực hiện được vấn đề đặt ra thì người giáo viên phải có khả năng tựđặt ra các đề toán mới, biết nội dung kiến thức mới nào cần được bổ sung, kỷ năngnào cần rèn luyện, bài tập nào khó, bài tập nào dễ, bài tập nào trọng tâm có thể pháttriển trí lực cho từng học sinh của mình Phải biết kiến thức, kĩ năng cụ thể của họcsinh mình ở mức độ nào Từ đó biên soạn bài toán mở rộng ra sao cho phù hợp vớimực độ nhận thức đó Hệ thống câu hỏi và yêu cầu phải hợp lí sao cho cả ba đốitượng học sinh đều phải tích cực suy nghĩ, tích cực tham gia giải toán Thôngthường nên tinh giản những bài toán SGK kết hợp với phương pháp sáng tạo saocho học sinh không thấy nặng nề khi làm bài Từ đó nâng dần lên với mức độ vừaphải ( nếu không khéo việc mở rộng bài toán lại làm cho học sinh cảm thấy bị đènăng, hay nhàm chán thì đi ngược lại mục đích ban đầu của mình), tiếp tục hướng

dẫn học sinh tự đặt ra các đề toán cho mình Chú ý không phải giải nhiều dạng bàitập là hoàn toàn tốt, mà quan trọng là phải làm cho học sinh nắng vững nội dungthật trọng tâm trước đã rồi mới nghĩ tới các vấn đề khác Đặc biệt là đối với nhữnglớp có số lượng học sinh trung bình trở xuống nhiều, tránh tình trạng một dạng yêucầu học sinh về nhà làm các bài tương tự việc này dễ làm cho học sinh học vẹt,làm bài máy móc không có tư duy sáng tạo.

Muốn rèn luyện cho học sinh có khả năng tự đặt ra các đề mới theo những yêucầu nào đó, bản thân giáo viên phải có ý thức rèn luyện cho mình khả năng này

Cơ sở khoa học: Khi tạo ra bài toán mới từ bài toán ban đầu.

- Bài toán mới ở đây có thể là bài toán hoàn toán mới, cung có thể là sự mởrộng, đào sâu những bài toán đã biết Thức chất khó có thể tạo một bài toán hoàntoàn không có quan hệ gì về nội dung hoặc về phương pháp với bài toán đã có

Vì vậy để tạo ra một bài toán từ bài toán ban đầu thì phải tuân theo các conđường sau:

4 Bớt một số yếu tố rồi khái quát hoá

- Những giải pháp tiến hành: xuất phát từ một bài toán khai thác thành bàitoán khác

Sau đây xin trình bày một số ví dụ minh hoạ:

Bài toán 1: Tính x, biết rằng

3 , 2 7

Ở bài này đối với học sinh trung bình, yếu không thể làm được Ta có thể tinhgiản đưa về dạng đơn giản hơn mà ở đó học sinh chỉ cân đọc SGK là làm được bài.

Ta có bài toán mới

+Phân tích: ta thấy 2 , 3  2 , 3 và - 2,3  2 , 3 nên khi x  2 , 3

thì x = 2,3 hoặc x = -2,3

Từ bài toán 1.1 ta thêm yếu tố (-1,7) vào giá trị tuyêt đối cho học sinh nhìnthấy sự giống nhau hai bài toán

3 , 2 2,3 - và 3 , 2 3 ,

+Phân tích: Từ bài toán trên ta thấy trong dạng toán này yếu tố quan trọng củabài toán không phụ thuộc nhiều vào biểu thức trong ngoặc ta chỉ cần thay vế phảibằng hai giá trị đối nhau từ đó cho ta đề suất bài toán tương tự

thêm một vài yếu tố cho bài toán 1 ta được

bài toán 1.3: tìm x, biết rằng:

3 , 2 2 , 3 7 ,

x ( -

1,7 x 0 1,7 - nêu x , 1

x

* x – 1,7 = 2,3 => x = 2,3+ 1,7=4

* -(x – 1,7) = 2,3 => x-1,7 = -2,3 => x = -2,3 + 1,7 = -0,6Tới đây ta có thể đề xuất bài toán đặc biệt hơn Đòi hỏi học sinh phải hiểu rõ nộidung định nghĩa giá trị tuyệt đối có phương pháp suy luận tốt ta có bài toán mởrộng

Bài toán 1.4: tìm x, biết: x x21

Phân tích: trong trường hợp này ta phải xét từng trường hợp dấu của biểu thứctrong dấu giá trị tuyệt đối

Giải

 Nếu x 0thì x x và x xxx 2x12 x41

 Nếu x 0thì x  x và x x xx 0x21 không thoả mãn

Vậy x14

Lưu ý: dễ thấy x > 0 vì nếu x < 0 thì x +x = 0

Từ việc cần phải xét dấu biểu thức trong giá trị tuyệt đối ta đề xuất thêm bài toántương tự

Bài toán 1.5 tính giá trị của biểu thức:

Khai thác trong bài toán trên ta phải xét dấu trong giá trị tuyệt đối với một giátrị của x vậy với những bài có nhiều dấu giá trị tuyệt đối thì ta cũng xét tương tự.đối với bài toán chưa cho giá trị của x trước ta sẻ xét từng trường hợp một của x ta

có đề xuất bài toán mới như sau:

Bài toán 1.6 tìm x , biết: 2. x 17  x  36

x khi x x khi x

0 ) 17 ( 17 17

x khi x

x khi x

x

Do đó ta cần phải xét dấu đầy đủ hai giá trị tuyệt đối trong từng trường hợp cụ thể

Vì khi x ≥ 0 trong đó còn trường hợp x < 17

Bài toán được giải như sau:

* Khi x < 0 thì |x| = - x và x – 17 <0 nên |x – 17|= -(x – 17) = -x + 17 suy ra

2.|x – 17| + |x| = 36 2(-x +17) – x = 36 -2x + 34 – x = 36 -3x = 2

* Khi x ≥ 17 thì |x| = x và |x – 17| = x – 17 suy ra

2.|x – 17| + |x| = 362( x – 17) + x = 362x – 34 + x = 36

3 70

Từ đây cho phép ta lập bài toán tương tự.

Bài toán 2.1 Viết các số sau dưới dạng số thập phân: ;99994

999

3

; 99 2

Tương tự cách giải trên ta có:

Theo quy tắc trên cho ta bài toán đảo:

Bài toán 2.2: Viết các số sau dưới dạng số thập phân tối giản: 0,(4); 0,(05); 0,(006);0,(33)

Ta cung có thể áp dụng quy tắc trên để dự đoán kết quả

Giải

 0,(4) = 4.0,(1)= 4.91 94

1000 1000 1000 …

0,001001…

 0,(05) =5 0,(01) = 5 991 995

 0,(006) = 6 0,(001) = 6 9991 9996 3332

 0,(33) = 33.0,(01) = 33 991 993313

* Phân tích: ta thấy chu kỳ của một số bắc đầu ngay dấu phẩy, khi đổi số thập phân

vô hạn tuần hoàn này ra phân số ta được phân số có:

+ tử là chu kỳ

+ mẫu là lột số gồm các chữ số 9 số chữ số 9 bằng số các số có trong chu kỳ

Khai thác: trong trường hợp số thập phân vô hạn tuần hoàn mà chu kỳ không bắcđầu ngay dấu phẩy ta làm như thế nào? Ta có ví dụ sau:

Bài toán 2.3: viết phân số 0,1(25) dưới dạng số thập phân tối giản

Phân tích: ta thấy 0.1(25) = 0,1 + 0,0(25) Số 1 trong số thập phân được gọi là phầnbất thường một số thập phân như vậy gọi là số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp Dựavào đây

Giải0,1(25) =

990

2510

199

25.10

110

1)25(,0.10

110

1)25(0,010

1

125990

251

100990

25)1100(

1990

2599

Bài toán 2.4: viết số sau dưới dạng phân số tối giản 0,2(16); 0,63(84)

0.2(16)=

495

107990

214990

2

; 0,63(84)=63849900 639900632133002107

Từ bài toá trên có thể đề xuất bài toán sau

Bài toán 2.5 tìm x, biết

) 2 (

0 ) 6 ( 1 , 1 )

0 )

105 90

11 116 ) 6 ( 1 , 1

; 3

1 9

3 ) 3 ( , 0

; 6

1 90

15 90

1 16 )

(

,

0

) 3 (

0 ) 6

3



Ví dụ 3: chúng ta bắt đầu từ bài toán sau:

Bài toán 3: Cho a,b  Z, b > 0 So sánh hai số hữu tỉ và ba 20012001





b a

(bài 9, trang 4 SGK tóan 7)

Bài toán này chúng ta đã có lời giải sau

- Tương tự, nếu a< b thì ba 20012001







b a

Bài 3 1Cho a,b  Z, b > 0 So sánh hai số hữu tỉ và ba 20092009





b a Đến đây chúng ta cũng lập bài toán tương tự.

Bài 3.2 Cho a,b  Z, b> 0, n  N* So sánh hai số hữu tỉ và ba nn





b a

GiảiXét tích a( b + n) = ab + an, b(a + n) = ab + bn

Từ lời giải này chúng ta lại có bài toán mới

Bài 3.3: Cho a,b  Z, b > 0 và n  N* chứng minh rằng:

n a b

a thì 1

b) chứng minh tương tự câu a)

Áp dụng điều này cho ta đề xuất tiếp bài toá thực tế

Bài 3.4: So sánh hai phân số: