H uỳnh Vài bài Toán hay với định lí về giới hạn Trong đại số và giải tích ta đã biết định lí nổi tiếng về giới hạn là định lí Weierstrass Vây-ơ-stra-xơ: "Nếu một dãy số đơn điệu và bị ch
Trang 1H uỳ
nh
Vài bài Toán hay với định lí về giới hạn
Trong đại số và giải tích ta đã biết định lí nổi tiếng về giới hạn
là định lí Weierstrass (Vây-ơ-stra-xơ): "Nếu một dãy số đơn điệu và
bị chặn thì nó có giới hạn" Sau đây là một vài ứng dụng của định
lý về giới hạn của một dãy số
Ví dụ 1: Chứng minh rằng dãy số (an) trong đó
an =
r
a+
q
a+ · · · +√avới a > 0
là hội tụ và tính giới hạn của nó
Giải:
Ta biết rằng
√
a < pa+ √
a <
q
a+pa+√a < , tức là dãy số (a
n) tăng Ta tìm: a2
n = a +pa+ · · · +√a = a + an −1 < a+ an
Từ bất đẳng thức a2
n − an − a < 0 (với a > 0 và an > 0) ta có
an < 1 +√
1 + 4a
2 , tức là dãy số (an) bị chặn Như vậy dãy số (an) hội tụ
Dùng một lần nữa đẳng thức an = a + an −1 (1)
Nếu lim
n →∞an = x thì lim
n →∞an −1 = x Chuyển (1) sang giới hạn và dùng định lí về giới hạn tổng và tích các hàm số ta được:
x2 = lim
n →∞a2n = lim
n →∞an −1 = a + x Suy ra x = 1 ±√1 + 4a
2 Vì giới hạn của dãy số tăng với số hạng dương không thể là số âm nên x = lim
n →∞an = 1 +
√
1 + 4a
Đặc biệt với a = 1 thì
lim
n →∞
r
1 +
q
1 + · · · +√1 = 1 +
√ 5
2 (3)
Ví dụ 2: Số nào lớn hơn trong hai số x =
r
2 +
q
2 +p2 + · · · +√2
và y =
r
1 +
q
2 +p3 +√
4 + · · · Giải:
Mới thoạt nhìn ta thấy y > x vì để có y ta phải lấy tất cả các số
tự nhiên nhưng để cho x ta chỉ lấy số 2 Nhưng nếu xem ở ví dụ 1 thì có thể tính x theo công thức (2) khi a = 2 là:
x = 1 +
√
1 + 4.2
Trang 2H uỳ
nh
Ta nhận xét rằng:
y <
v
u
u
t1 +
s
2 +
r
2 +
q
22 +p24 + · · · =
s
1 +√
2 · 1 +
√ 5
2 < 2 Vậy y < x
Ví dụ 3: Giải phương trình
q
x+px+ √
x+ · · · = 7 Giải: Theo ví dụ 1, phương trình đã cho có thể viết:
1 +
√
1 + 4x
2 = 7 Từ đó
√
1 + 4x = 13, x = 42
Có thể giải theo cách khác bằng cách bình phương hai vế ta được:
x+
q
x+ √
x+ · · · = 49
Do số hạng thứ hai trùng với vế trái của phương trình đã cho nên ta có ngay x + 7 = 49, x = 42
Ví dụ 4: Giải phương trình
v u u u
t1 +
v u u
tx +
s
1 +
r
x+
q
1 +√
x+ · · · = 3
Giải: Ta hãy bình phương hai vế của phương trình:
1 +
q
x+p1 + √x + · · · = 9 Từ đó qx+p1 + √x + · · · = 8 Lại bình phương một lần nữa hai vế được:
x+
q
1 +√
x+ · · · = 64
Do số hạng thứ hai bằng 3 nên x + 3 = 64, từ đó x = 61
Vậy
r
1 +
q
61 +p1 +√
61 + · · · = 3
Ví dụ 5: Vẽ đồ thị hàm số y =
q
x+px+√
x+ · · · với x ≥ 0 Giải:
Nếu x = 0 thì y = 0, nếu x > 0 thì
y = 1 +
√
1 + 4x
Do đó với x → 0 thì y → 1 Ta có
đồ thị
1 2
1 2 3
x y
f
Ví dụ 6: Giải các phương trình:
Trang 3H uỳ
nh
a) 2 = 3
r
1 +
q
x+ 3
p1 + √x + · · · b) 2 =
r
1 + 3
q
y +p1 +√3
y + · · ·
Giải:
Ta có:
a) 8 = 1 +
q
x+ 3
p1 +√x+ · · ·, hay 49 = x + 3
p1 +√x+ · · ·
49 = x + 2 Vậy x = 47
b) 4 = 1+3
r
y +
q
y +p1 +√3
y + · · ·, hay 27 = y+p1 +√3
y + · · ·;
27 = y + 2 Vậy y = 25