Các hàm đa thức, hàm hữu tỷ, hàm lượng giác liên tục trên tập xác định của chúng.. Nếu fx liên tục trên đoạn [a;b] và fa.fb..[r]
Trang 1MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ GIỚI HẠN HÀM SỐ
Bài 1 Tính các giới hạn sau (dạng vô định
0
0 mà tử số và mẫu số là các hàm đa thức)
1)
3 2 2 1
1 lim
x
x
4
1
1 lim
5 3 1
1 lim
1
x
x x
4)
3
lim
x
2 1
lim
(1 )
x
x
4
2
16 lim
2
x
x
7)
4 2
x 1
lim
2
x 3
lim
x 3x
9)
3 2 1 x 2
8x 1 lim
10) 0
(1 )(1 2 )(1 3 ) 1
lim
x
x
11)
2 1
lim
1
n x
x
x 1
lim
13)
3 4
x 1
lim
100 50
x 1
lim
n n
x a
lim
x a
Bài 2 Tính các giới hạn sau (dạng vô định
0
0 ;
; )
2.1 Nhân lượng liên hợp (có một căn bậc hai, căn bậc ba)
x
1 lim
2 1
x x
x
1 1
lim
2 0
3 4 lim 2
x
x
x
2
3 5 lim
2
x
x
x
6)
3 3 2 1
lim
1
x
x
7)
3 3
1
2 lim
x
3 2 2
lim
x
x
3
x 2
4x 2 lim
x 2
2.2 Nhân lượng liên hợp (có hai căn bậc hai, bậc ba)
x x
x
5 5
lim
0
x x
x x
1 3
1 lim
2
2 4
2 3 lim 2
2
x x x
x
x x x x
1 1
lim
2
0
0
lim
x
x
6)
3
2 1
lim
1
x
x
7)
x 1
lim
x 1
x 0
lim
2 3
x 1
lim
x 1
Trang 210) x 8 3
9 2x 5 lim
x 2
3 3
x 1
x 1 lim
x 2 1
3 3
x 1
x 1 lim
x 7 2
2.3 Nhân lượng liên hợp (có cả căn bậc hai và căn bậc ba)
x x
x
3 0
8 1
2
2)
2 3
2 4
2 3
x x x
7 5
3 2 3
x x x
5 7 lim
2 3
x x
x x
x
3 0
5 8 4 3
x x
x
7 1 2 1 lim3 0
7)
3 0
lim
x
x
8)
3 2 2
lim
x
3 2 0
lim
x
x
10)
3 0
lim
x
1 lim
2
3 1
x
3 2
x 7
lim
2.4 Nhân lượng liên hợp (giới hạn tại vô cực)
1)
2 2
lim
x
2)
2 lim
3)
2
4)
3
7) xlim x 1 x
xlim 3x x 1 x 3
xlim x x x 4
xlim 2x 1 x
xlim x 3x x 2x
x lim x 2x 4 x 2x 4
13)
lim
x
14)
2 2
2
3 lim
x
x
2
2
2 lim
x
16)
lim
x
2
2
lim
x
2
2
lim
1
x
x x
19)
2
2
lim
x
2
2
lim
x
lim
1
x
x
22)
6 2 x
x 3x lim
2x 1
6 2 x
x 3x lim
2x 1
24)
2
x
lim
3 x 17
Trang 32
x
lim
x 10
3x 1 lim
4
x
lim
x 4
xlim x 1 x
Bài 3 Một số dạng giới hạn khác và giới hạn một bên.
x 2
x lim x 2
2
x 1
x
3) xlim x 2 x 13
x
3x 1 lim 1 2x
3
5 2 x
2x x lim x
7) x 2 2
lim
4 x
x 2
x 2 x lim
9)
2
x 2
4 x
lim
2 x
10)
2
2
x 3
lim
9 x
11)
2
5 4
x 1
lim
2
2
x 2
lim
13) x 1 2 3
1 x x 1 lim
3
2
x 1
lim
lim
16) x 1 2
2x 3
x 1
MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Bài 5 Tính các giới hạn sau (sử dụng biểu thức liên hợp để tính các giới hạn)
1) limn 1 n2n
2)
2
3 2 3
3) limn 9n2 n 4n22n
4)
lim 3n 1 n 27n
5)
8 lim
6)
lim n 2n2 n 8n 3 n n
7) lim n2 n n22 8) lim3 2n n 3 n 1 9) lim 1 n2 n43n1
Trang 41 lim
1
2
12)
2
3 lim
5
Bài 6 Tính các giới hạn sau (biến đổi đơn giản u n để tính các giới hạn)
2 1
lim
n
n
2
4 2
n n
n n
2 1 lim 3
2 2
2
n n
n
) 1 2 (
3 1 lim 2
n n
n n
1 2
lim
3
n
1.2 2.3 n n( 1)
n n
1 2.3 6 lim
n n
3)
3
1 lim
1
4)
2
lim
lim
( 1)( 2)
6)
2 2
lim
MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ LIÊN TỤC
A KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b) Hàm số được gọi là liên tục tại điểm x 0 (a;b) nếu:
Điểm x0 mà tại đó f(x) không liên tục gọi là điểm gián đoạn của hàm số.
2 f(x) xác định trên khoảng (a;b) liên tục tại điểm x 0 (a;b)
0
x x
3 f(x) xác định trên khoảng (a;b) được gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc
khoảng ấy
4 f(x) xác định trên khoảng [a;b] được gọi là liên tục trên khoảng [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b)
và
lim
lim
x a
x b
5 Các hàm số f(x) và g(x) liên tục tại x 0 thì:
f x g x f x g x g x
g x
cũng liên tục tại x 0
6 Các hàm đa thức, hàm hữu tỷ, hàm lượng giác liên tục trên tập xác định của chúng.
7 Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0 thì tồn tại ít nhất một điểm c(a;b) sao cho f(c) = 0 Tức là phương trình f(x) =0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).
B BÀI TẬP
Bài 8 Xét tính liên tục của các hàm số tại điểm đã chỉ ra:
Trang 51) f(x) =
¿
x3− x − 6
x2− x − 2 khi x ≠2
11
3 khi x=2
¿{
¿
tại xo = 2
2) f(x) =
2 2
khi x 1
x khi x 1 2
3)
1 2 3 x 2 2
1 x 2
x
tại x0 = 2
4) f(x) = 3
3
2
x 1 1
khi x 0
1 x 1
tại xo = 0
5)
3 2 2
khi x 3
f (x) x 4x 3
khi x
Bài 9 Cho hàm số
2x 1 x 5
khi x 4
f (x) x 4
a 2 khi x 4
Bài 10 Cho hàm số
3 3x 2 2
khi x 2
Bài 11 Tìm a để hàm số
33x 2 2
khi x 2
x 2
f (x)
1
ax khi x 2 4
Bài 12 Tìm a để hàm số
2 khi x 1 ( ) ax b khi 1 x 3
4 x khi x 3
x
f x
Bài 13 Chứng minh rằng các phương trình sau có nghiệm:
1) x3 – 2x – 7 = 0 2) x5 + x3 – 1 = 0
3) x3 + x2 + x + 2/3 = 0 4) x3 – 6x2 + 9x – 10 = 0
5) x5 + 7x4 – 3x2 + x + 2 = 0 6) cosx – x + 1 = 0
Bài 14 Chứng minh rằng phương trình
1) x3 – 3x2 + 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3) 2) 2x3 – 6x + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 2;2)
3) x3 + 3x2 – 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 3;1) 4) x3 – 3x2 + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3) 5) x5 – 5x4 + 4x – 1 = 0 có 3 nghiệm trong [0;5] 6) 4x42x2 x 3 0 có ít nhất hai nghiệm phân
Trang 6biệt thuộc khoảng (-1;1).
Bài 15 Cho f(x) = ax 2 + bx + c thoả mãn 2a + 6b + 19c = 0 Chứng minh rằng phương trình ax 2 + bx + c = 0 có
nghiệm trong [0;1]
Bài 16 Chứng minh rằng các PT sau luôn có nghiệm:
1) m x 1 7 x 3 2 x 5 0
2) m2 m1x4 2x 2 0 3) a cos2 x b sin x cos x 0
4) m21x3 2m x2 2 4x m 2 1 0
luôn có 3 nghiệm Pb