bài giảng toán chuyên đề II

Sè phøc lµ sè cã d¹ng z = a + ib, trong ®ã a, b 2 R, cßn i lµ mét kÝ hiÖu gäi lµ ®¬n vÞ ¶o. TËp tÊt c¶ c¸c sè phøc ®­îc kÝ hiÖu lµ C. §Ó biÓu diÔn mét sè phøc z = a + ib, ng­êi ta ®ång nhÊt nã víi cÆp ®iÓm (a, b) trong mÆt ph¼ng §Òc¸c vu«ng gãc xOy. Vµ mÆt ph¼ng dïng ®Ó biÓu diÔn sè phøc ®­îc gäi lµ mÆt ph¼ng phøc. Cho sè phøc z = a + ib, khi ®ã kÝ hiÖu Rez = x, Imz = y vµ lÇn l­ît gäi lµ phÇn thùc, phÇn ¶o cña sè phøc z. Trªn mÆt ph¼ng phøc, Imz = 0 , z 2 Ox, do ®ã trôc hoµnh ®­îc gäi lµ trôc thùc; Rez = 0 , z 2 Oy, do ®ã trôc tung gäi lµ trôc ¶o.

Ch-ơng 1

Hàm biến phức

1.1 Tr-ờng số phức.

1.1.1 Tập số phức

Số phức là số có dạng z = a + ib, trong đó a, b ∈ R, còn i là một kí hiệu gọi là đơn vị

ảo Tập tất cả các số phức đ-ợc kí hiệu là C Để biểu diễn một số phức z = a + ib, ng-ời

ta đồng nhất nó với cặp điểm (a, b) trong mặt phẳng Đềcác vuông góc xOy Và mặt phẳng

dùng để biểu diễn số phức đ-ợc gọi là mặt phẳng phức

Cho số phức z = a + ib, khi đó kí hiệu Rez = x, Imz = y và lần l-ợt gọi là phần thực, phần ảo của số phức z Trên mặt phẳng phức, Imz = 0 ⇔ z ∈ Ox, do đó trục hoành đ-ợc gọi là trục thực; Rez = 0 ⇔ z ∈ Oy, do đó trục tung gọi là trục ảo.

Hai số phức z1, z2 đ-ợc gọi là bằng nhau, kí hiệu là z1 = z2, nếu Rez1 = Rez2 và

Imz1= Imz2 Chú ý rằng, chúng ta không so sánh thứ tự của hai số phức

1.1.2 Phép toán của các số phức

Phép toán các số phức đ-ợc thực hiện nh- phép toán trên các biểu thức số thực, với chú ý

rằng i2 = −1 Giả sử z1 = a1+ ib1, z2 = a2+ ib2 và z = a + ib Khi đó

1 z1 + z2 = (a1+ a2) + i(b1+ b2), số phức −z = (−a) + i(−b), gọi là số đối của z

Dễ thấy phép cộng và phép nhân có tính chất giao hoán, kết hợp, phép nhân phân phối vớiphép cộng, mọi số phức đều có số đối và mọi số phức khác 0 đều có số nghịch đảo Ta định

nghĩa z1− z2= z + (−z2) và z1

z2

= z1.z2−1

1.1.3 Liên hợp và môđun của số phức

Cho số phức z = a + ib Khi đó, ta gọi số phức z = a − ib là liên hợp của số phức z.

Dễ dàng kiểm tra số phức liên hợp có những tính chất sau

a2+ b2 là môđun của số phức z Dễ dàng

kiểm tra các kết quả sau

0 ≤ ϕ < 2π, gọi là argument chính của z, kí hiệu là argz Nh- vậy, có vô số argument của

z và tập tất cả các argument của z đ-ợc kí hiệu là Argz = ϕ + k2π , k ∈ Z.

Với mọi số thực ϕ, theo công thức Ơle, ta đặt e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ Nh- vậy, z có thể

biểu d-ới dạng mũ nh- sau: z = re iϕ

Ví dụ 1.1.4. Dạng l-ợng giác của số phức z = −

4 + i sin

3π

4



Định lý 1.1.5. Cho z = re iϕ = r(cos ϕ + i sin ϕ), z1 = r1e iϕ1 = r1(cos ϕ1 + i sin ϕ1),

z2 = r2e iϕ2 = r2(cos ϕ2 + i sin ϕ2) Khi đó

3 z n = r n e inϕ = r n (cos nϕ + i sin nϕ), n ∈ Z

Đặc biệt, ta có công thức Moivre: (cos ϕ + i sin ϕ) n = cos nϕ + i sin nϕ

1.1.6 Dãy và chuỗi số phức

Cho dãy số phức (z n ), z n = a n + ib n , n ∈ N Số phức α = a + ib ∈ C đ-ợc gọi là giới

hạn của dãy (z n ) nếu ∀ > 0, ∃n0 > 0 sao cho |z n − α| <  với mọi n > n0

Dãy có giới hạn đ-ợc gọi là dãy hội tụ và viết là lim

Với các dãy hội tụ, các tính chất về giới hạn của một dãy t-ơng tự nh- dãy số thực hội

tụ Đối với các dãy không hội tụ, ta để ý đến các dãy mà |z n| → +∞ Để mở rộng kháiniệm giới hạn cho các dãy loại này ta cần bổ sung vào mặt phẳng phức C điểm ∞, khi đó ta

đ-ợc mặt phẳng phức mở rộng C = C ∪ {∞}

Trong mặt phẳng phức mở rộng, ta nói dãy {z n} có giới hạn ∞ nếu lim

n→∞ |z n| = ∞ Rõràng, lim

n→∞ z n = ∞ nếu có ít nhất một trong hai dãy (a n ), (b n) có giới hạn là ∞

Giả sử (z n) là một dãy trong C Khi đó tổng hình thức

z n = s Chuỗi không hội tụ đ-ợc gọi là chuỗi phân kỳ.

Định lý 1.1.8. Giả sử z n = a n + ib n Khi đó, để chuỗi (∗) hội tụ cần và đủ là các chuỗi sốthực

Cho tập A ⊆ C và z ∈ C Điểm z đ-ợc gọi là điểm trong của A nếu tồn tại r > 0 sao cho

B(z, r) ⊆ A Điểm z đ-ợc gọi là điểm ngoài của A nếu tồn tại r > 0 sao cho B(z, r) ⊆ C\A.

Điểm z đ-ợc gọi là điểm biên của A nếu tồn tại r > 0 sao cho B(z, r) ∩ C \ A

6= ∅ Tập

tất cả các điểm biên của A đ-ợc kí hiệu là ∂A.

Tập con A của C đ-ợc gọi là mở nếu A ∩ ∂A = ∅, đ-ợc gọi là đóng nếu ∂A ⊆ A Cho A ⊆ C Phần trong của tập A, là tập A0 = A \ ∂A, bao đóng của tập A là tập

A = A ∪ ∂A.

Tập A đ-ợc gọi là bị chặn nếu tồn tại z ∈ C và r > 0 sao cho A ⊆ B(z, r), không bị chặn nếu tồn tại một dãy (z n ) ⊆ A sao cho z n → ∞ Tập A đ-ợc gọi là compắc nếu A đóng

và bị chặn

1.2.2 Đ-ờng cong trong mặt phẳng phức

Cho [a, b] ⊆ R Một đ-ờng (hay đ-ờng cong) trong mặt phẳng phức là ánh xạ

γ : [a, b] −→ C

Khi đó, với mỗi t ∈ [a, b], ta có γ(t) = x(t) + iy(t) ∈ C Nh- vậy, việc cho đ-ờng cong γ t-ơng đ-ơng với việc cho hai hàm thực biến t trên đoạn [a, b] là x(t) và y(t).

Đ-ờng cong γ là liên tục, khả vi, khả tích nếu các hàm x(t), y(t) có các tính chất t-ơng ứng.

Ta cũng định nghĩa đạo hàm và tích phân của γ trên [a, b], nếu tồn tại, là γ0(t) = x0(t) + iy0(t)

Đ-ờng cong γ : [a, b] −→ C đ-ợc gọi là đ-ờng cong đóng (hay khép kín) nếu γ(a) = γ(b),

điểm γ(a) gọi là điểm đầu, điểm γ(b) gọi là điểm cuối của đ-ờng cong.

Đ-ờng cong γ : [a, b] −→ C đ-ợc gọi là đơn nếu γ(t1) 6= γ(t2) khi t1 6= t2 và {t1, t2} 6=

{a, b} Đ-ờng cong đơn, đóng đ-ợc gọi là đ-ờng cong Jordan hay chu tuyến.

Đ-ờng cong γ : [a, b] −→ C đ-ợc gọi là trơn nếu γ0(t) liên tục trên [a, b], gọi là trơn từng khúc nếu có thể chia đoạn [a, b] thành một số hữu hạn các đoạn mà trên mỗi đoạn đó, hàm

1.2.3 Miền

Tập con D của C đ-ợc gọi là một miền nếu D là mở và liên thông Nếu D là một miền thì D = D ∪ ∂D đ-ợc gọi là miền đóng Ví dụ nh- các hình tròn mở là những miền mở, các

hình tròn đóng (khác một điểm) là các miền đóng

Nếu γ là một chu tuyến thì γ chia mặt phẳng C thành hai miền, một trong hai miền đó

là miền trong (miền bị chặn), miền còn lại gọi là miền ngoài Miền bị chặn kí hiệu là D γ

Ta quy -ớc, chiều d-ơng của biên của một miền D là chiều sao cho khi đi dọc theo biên thì phần trong gần ta nhất của miền D luôn nằm về bên trái Biên với h-ớng d-ơng kí hiệu là

∂D+, biên với h-ớng ng-ợc lại kí hiệu là ∂D− Khi bổ sung vào biên các đoạn thẳng, thìtrong biên có h-ớng, mỗi đoạn thẳng đ-ợc tính hai lần theo h-ớng ng-ợc nhau

Cho A ⊆ C Tập con B của A gọi là thành phần liên thông của A nếu B liên thông và nếu có một tập liên thông khác của A chứa B thì đó chính là B Nếu A là tập không bị chặn thì ta coi ∞ là một điểm biên của A trong C.

Miền D ⊆ C đ-ợc gọi là miền n - liên nếu biên của D trong C có n thành phần liên

thông Miền 1 - liên còn gọi là miền đơn liên, miền 2 - liên còn gọi là miền nhị liên

Ví dụ 1.2.1. Với mọi chu tuyến γ, D γ là miền đơn liên, C \ D γ là miền nhị liên Nửa mặt

phẳng {z : Imz > 0} là miền đơn liên Hình tròn thủng B(z0, r) \ {z0} là miền nhị liên

1.3 Hàm biến phức

1.3.1 Định nghĩa

Cho tập A ⊆ C Hàm biến phức f xác định trên A là quy tắc đặt t-ơng ứng mỗi z ∈ A với duy nhất w = f (z) ∈ C, kí hiệu là w = f (z), z ∈ A.

Nếu f (z) 6= ∞ với mọi z ∈ A thì f gọi là hàm hữu hạn Nếu tồn tại M ∈ R+ sao cho

|f (z)| ≤ M với mọi z ∈ A thì f gọi là hàm bị chặn.

Nếu z = x + iy thì f (z) đ-ợc viết duy nhất d-ới dạng f (z) = u(x, y) + iv(x, y), trong đó

u(x, y), v(x, y) là các hàm hai biến thực xác định trên A Ta kí hiệu u = Ref, v = Imf và

gọi t-ơng ứng là phần thực, phần ảo của f

Ví dụ 1.3.1. Giả sử w = f (z) = z2 Ta thấy f (z) = z2 = (x + iy)2 = x2− y2+ i(2xy) Do

đó, hàm f hoàn toàn đ-ợc xác định bởi hai hàm thực u(x, y) = x2− y2 và v(x, y) = 2xy.

1.3.2 Cách biểu diễn hàm biến phức

Ta thấy rằng, xuất hiện 4 biến thực x, y, u, v khi xác định một hàm phức f (z) Do đó, ta

không thể vẽ đ-ợc trực quan đồ thị của một hàm biến phức Để có một hình ảnh trực quan

nào đó về hàm f , ng-ời ta th-ờng sử dụng hai mặt phẳng và thông qua ảnh của một họ các

đ-ờng cong để hình dung đ-ợc sự biến thiên của hàm f Họ các đ-ờng cong th-ờng chọn

là họ các đ-ờng song song với các trục tọa độ, họ các tia xuất phát từ O, họ các đ-ờng tròn

đồng tâm,

Ví dụ 1.3.2. Xét hàm w = f (x) = z2 Ta có u(x, y) = x2− y2 và v(x, y) = 2xy.

• Đ-ờng thẳng x = 0 biến thành tia u ≤ 0, v = 0.

• Đ-ờng thẳng x = ±a 6= 0 biến thành parabol u = a2− v2

4a2

• Đ-ờng thẳng y = 0 biến thành tia u ≥ 0, v = 0.

• Đ-ờng thẳng y = ±b 6= 0 biến thành parabol u = v

2

4b2 − b2.Nh- vậy, l-ới các đ-ờng thẳng song song với các trục tọa độ biến thành l-ới các parabol có

trục là Ou.

1.3.3 Giới hạn và tính liên tục của hàm

Cho hàm w = f (z), z ∈ A và điểm z0 ∈ A Hàm f gọi là có giới hạn L khi z → z0

nếu mọi dãy (z n ) ⊆ A \ {z0}, z n → z0 ta đều có f (z) → L Kí hiệu là lim

z→z0f (z) = L hoặc

f (z) → L khi z → z0 Hàm f đ-ợc gọi là liên tục tại z0 nếu lim

z→z0f (z) = f (z0) Hàm f gọi

là liên tục trên A nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc A.

Định lý 1.3.3. Nếu f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z0 = x0+ iy0, L = a + ib thì ta có

Cho hàm w = f (z) xác định trên miền D và điểm z0 ∈ D Với mỗi số gia ∆z của biến

z sao cho z + ∆z ∈ D, ta có số gia t-ơng ứng của hàm f (z) là ∆w = f (z + ∆z) − f (z )

Nếu giới hạn lim

đạo hàm cũng giống nh- hàm biến thực

Hàm f đ-ợc gọi là khả vi tại điểm z0 nếu tồ tại một số phức A sao cho

∆f (z0) = A.∆z + O(∆z) trong đó, O(∆z) là VCB bậc cao hơn ∆z khi ∆z → 0.

Định lý 1.4.1. Hàm f khả vi tại z = z0 khi và chỉ khi f có đạo hàm tại z0 và A = f0(z0)

Khi f khả vi tại z0 thì biểu thức

dw = f0(z0)dz gọi là vi phân của hàm w = f (z) tại z0

Hàm w = f (z) đ-ợc gọi là giải tích tại z0 nếu tồn tại r > 0 sao cho hàm f có đạo hàm tại mọi điểm z ∈ B(z,0, r) Hàm f gọi là giải tích trên miền D nếu nó giải tích tại mọi

z ∈ D Hàm giải tích còn gọi là hàm chỉnh hình hay hàm chính quy.

Cho hàm w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy ∈ D Hàm f đ-ợc gọi là R2-khả

vi tại z0 = x0+ iy0 nếu các hàm hai biến thực u, v khả vi tại (x0, y0)

Hàm f gọi là thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemanm tại z0 nếu tại điểm (x0, y0) ta có

Định lý 1.4.2. Hàm f khả vi tại z0 = x0+ iy0 khi và chỉ khi nó R2-khả vi và thoả mãn điều

kiện Cauchy-Riemanm tại điểm (x0, y0)

Chú ý 1.4.3. Từ định lý trên, ta thấy rằng nếu f khả vi tại z0 thì ta sử dụng công thức sau

Ví dụ 1.4.4. Tính đạo hàm của hàm f (z) = e z.

Giả sử z = x + iy, khi đó hàm e z = e x+iy = e x e y = e x (cos y + i sin y) = e x cos y + ie x sin y.

Đặt u(x, y) = e x cos y, v(x, y) = e x sin y, ta thấy u, v có các đạo hàm riêng liên tục nên nó khả vi và thoả mãn điều kiện Cauchy-Riemanm trên toàn mặt phẳng phức Do đó, e z khả vitrên toàn mặt phẳng Theo công thức tính đạo hàm, ta có

1.4.3 ý nghĩa hình học của đạo hàm

Cho f là một hàm giải tích trong miền D và z0 ∈ D.

Giả sử γ là một đ-ờng cong trơn bất kỳ trong D đi qua z0, Γ = f (γ) là đ-ờng cong trơn

đi qua w0 = f (z0) Cho z0+ ∆z ∈ γ và đặt ∆f (z0) = f (z0 + ∆z) − f (z0) Gọi ϕ là góc giữa trục thực và tiếp tuyến với γ tại z0, Φ là góc giữa trục thực và tiếp tuyến với Γ tại w0.Khi đó

Bây giờ giả sử γ1, γ2 là hai đ-ờng cong trơn đi qua z0 Kí hiệu Γ1, Γ2 là ảnh của γ1, γ2

qua f và ϕ1, Φ1, ϕ2, Φ2 là các góc t-ơng ứng với γ1, γ2 nh- ϕ, Φ đối với γ ở trên Khi đó, góc giữa γ1 và γ2 là ϕ2− ϕ1, góc giữa Γ1 và Γ2 là Φ2− Φ1 Vì Φ1− ϕ1 = Φ2− ϕ2 = argf0(z0)

nên ϕ2− ϕ1 = Φ2− Φ1

Vậy : Góc giữa hai đ-ờng cong bất kỳ đi qua z0 đ-ợc f bảo toàn cả về h-ớng và độ lớn Hàm đ-ợc gọi là bảo toàn góc tại z0 nếu nó bảo toàn góc giữa hai cung đuờng cong bất

kỳ đi qua z0 Nếu f giải tích tại z0 và f0(z0) 6= 0 thì f bảo toàn góc tại z0

Bây giờ, chuyển sang xét môđun của f0(z0), ta có lim

số này không đổi theo mọi γ đi qua z0.

Hàm gọi là có hệ số co dãn đều tại z0 nếu nó có hệ số co dãn không đổi theo mọi đ-ờng

cong γ đi qua z0 Nếu f giải tích tại z0 và f0(z0) 6= 0 thì f có hệ số co dãn đều tại z0 với

hệ số co dãn là |f0(z0)|

Hàm f đ-ợc gọi là bảo giác tại z0 nếu f bảo toàn góc và có hệ số co dãn đều tại z0

Hàm f đ-ợc gọi là bảo giác trên miền D nếu f bảo giác tại mọi z ∈ D.

Định lý 1.4.5. Hàm f bảo giác trên miền D khi và chỉ khi f giải tích trên miền D và

Ch-ơng 2

phép biến hình bảo giác

2.1 Phép biến hình bảo giác

Bài toán cơ bản của lý thuyết các phép biến hình bảo giác là : Cho hai miền D (trong mặt phẳng (z)) và miền G (trong mặt phẳng (w)) Hãy tìm phép biến hình bảo giác biến miền

Hàm đ-ợc gọi là bảo giác tại ∞ nếu nó bảo toàn góc hai đ-ờng cong bất kỳ đi qua ∞

Cho hàm w = f (z), z ∈ D Nếu ánh xạ f : D −→ C là đơn ánh và bảo giác thì ta nói

f là một phép biến hình bảo giác (hay ánh xạ bảo giác) từ D lên f (D) = G Nếu ánh xạ

ng-ợc f−1 : G −→ D cũng bảo giác thì f : D −→ G gọi là đẳng cấu bảo giác.

Một miền D0 ⊆ D đ-ợc gọi là miền đơn diệp của f (hay f đơn diệp trên miền D0) nếu

Nếu ta đặt f (∞) = ∞ thì ánh xạ f : C −→ C là một đẳng cấu bảo giác.

Vì 0 6= a ∈ C nên ta đặt r = |a| và ϕ = arga Khi đó, w = re iϕ z + b Nh- vậy, hàm

tuyến tính có thể coi nh- hợp của ba hàm sau

1 w1 = e iϕ : là phép quay tâm O, góc quay ϕ.

2 w2 = rw1 : là phép vị tự tâm O, tỉ số r.

3 w = w2 + b : là phép tịnh tiến theo vectơ b.

Do đó, muốn đ-ợc ảnh w của z ta phải thực hiện liên tiếp một phép tịnh tiến, một phép quay

và một phép vị tự Và cuối cùng ta sẽ đ-ợc một hình mới đồng dạng với hình ban đầu Đặcbiệt, ảnh của một đ-ờng tròn là một đ-ờng tròn, ảnh của một đ-ờng thẳng là đ-ờng thẳng

Ví dụ 2.2.1. Tìm phép biến hình w = f (z) biến tam giác có các đỉnh 3 + 2i, 7 + 2i, 5 + 4i thành tam giác có các đỉnh 0, −2i, 1 − i.

Vì hai tam giác này đồng dạng với nhau nên phép biến hình đ-ợc thực hiện là phép biến

hình tuyến tính w = az + b Nh- vậy, ta phải tìm đ-ợc a và b

Phép biến hình này có thể đ-ợc phân tích thành ba phép biến hình liên tiếp sau đây

1 Phép tịnh tiến từ điểm 3 + 2i về gốc O bởi hàm w1 = z − (3 + 2i).

Cho đ-ờng tròn C r,z0 trong C Hai điểm z, z∗ đ-ợc gọi là đối xứng với nhau qua C r nếu

chúng cùng nằm trên một tia xuất phát từ z0 và tích các khoảng cách từ z và z∗ đến z0 bằng

r2 Nói cách khác, z và z∗ đối xứng với nhau qua C r nếu arg(z − z0) = arg(z∗ − z0) và

Vậy muốn đ-ợc w, ta dựng w đối xứng với z qua đ-ờng tròn đơn vị rồi lấy đối xứng qua trục thực Nh- vậy, phép biến hình w = 1

z là tích của hai phép đối xứng : đối xứng qua

đ-ờng tròn đơn vị, đối xứng qua trục thực

a giảm từ +∞ tới 1 Trong khi đ-ờng tròn |z| = a quét nên hình

tròn |z| < 1, thì ảnh của nó sẽ quét nên miền |w| > 1 Tóm lại, ảnh của miền |z| < 1 là miền

a(cz + d) + bc − ad c(cz + d) =

Định lý sau đây cho ta cách xác định một phép biến hình phân tuyến tính

Định lý 2.4.1. Cho hai bộ ba điểm phân biệt 

duy nhất phép biến hình phân tuyến tính biến z j thành w j , j = 1, 2, 3 xác định từ hệ thức

Ví dụ 2.4.2. Tìm phép biến hình phân tuyến tính biến các điểm −1, 1, ∞ t-ơng ứng thành các điểm −1, 0, 1.

Định lý 2.4.3. Phép biến hình phân tuyến tính có các tính chất sau

• Biến đ-ờng tròn thành đ-ờng tròn, hình tròn thành hình tròn

• Bảo toàn tính đối xứng của hai điểm qua đ-ờng tròn, tức là nếu z và z∗ đối xứng với nhau

qua đ-ờng tròn γ thì f (z) và f (z∗) đối xứng với nhau qua đ-ờng tròn f (γ).

Ví dụ 2.4.4. Tìm phép biến hình phân tuyến tính biến biến nửa mặt phẳng trên

z : Imz > 0 thành miền trong của hình tròn

w : |w| < 1

Ta sẽ lấy bộ ba điểm phân biệt z1, z2, z3 thuộc trục thực và ba điểm w1, w2, w3 thuộc

đ-ờng tròn |w| = 1 ta có thể viết ngay đ-ợc phép biến hình cần tìm Với chú ý rằng, nếu đi trên trục thực lần l-ợt qua z1, z2, z3 mà nửa mặt phẳng trên nằm ở bên trái thì ta cũng phải

chọn w1, w2, w3 theo thứ tự sao cho đi từ w1 đến w2 rồi w3, miền trong hình tròn |w| < 1

cũng nằm về ben trái

Tuy nhiên, cách làm trên ch-a thật sự gọn gàng và đẹp đẽ Sau đây, ta sẽ dựa vào tính

đặc biệt của miền đang xét mà có cách làm khác Cụ thể nh- sau:

• Chọn điểm z = a có Ima > 0 và cho biến thành điểm w = 0, là tâm của hình tròn

|w| ≤ 1.

• Ta thấy điểm z = a là điểm đối xứng của điểm z = a qua trục thực nên cho nó biến thành

điểm w = ∞, là điểm đối xứng của w = 0 qua đ-ờng tròn |w| = 1.

Bài tập

Bài 2.1 Tìm phép biến hình tuyến tính biến đ-ờng tròn |z − 1| = 1 thành đ-ờng tròn

|z − 1| = 2.

Bài 2.2 Tìm phép biến hình tuyến tính w biến 1 + i thành i và 1 − i là điểm bất động.

Bài 2.3 Tìm phép biến hình tuyến tính biến

Ta thÊy f (z) = 1 + i − 2z = 1 + i − 2(x − iy) T¸ch phÇn thùc vµ phÇn ¶o, ta ®-îc

u(x, y) = 1 − 2x, v(x, y) = 1 + 2y Tinh ®-îc

I = −2 + 4

3i

Chú ý 3.1.3. Nh- vậy, để tính tích phân phức, ta có thể làm theo một trong hai cách sau

1 Đ-ờng cong cho d-ới dạng tổng quát : Tách phần thực và phần ảo của hàm f (z) cần

3.2 Định lý Cauchy

3.2.1 Định lý Cauchy cho miền đơn liên

Nhắc lại, biên có h-ớng của một miền là khi ta đi dọc theo biên ấy, miền trong gần nhấtnằm về phía bên trái của ta

Định lý 3.2.1. Cho f là một hàm giải tích trên miền đơn liên D và γ là một đ-ờng cong

đóng, trơn từng khúc bất kỳ nằm trong D Khi đó

3.2.2 Định lý Cauchy cho miền đa liên

Định lý 3.2.3. Cho D là một miền bị chặn, có biên là hữu hạn các đ-ờng cong trơn từng khúc Nếu f giải tích trên D và liên tục trên D thì

(z − 1)2 Ta loại điểm z0 = 1 ra khỏi miền đ-ợc giới hạn bởi

C 1,2 bằng một hình tròn tâm z0 = 1, bán kính 1 Khi đó, hàm f (z) sẽ giải tích trong miền

nhị liên còn lại và ta có thể tính đ-ợc tích phân đã cho

3.3 Công thức tích phân Cauchy

Trong mục này, ta sẽ nhận đ-ợc cách biểu diễn của hàm giải tích trong miền phức nhờtích phân theo biên của miền này Từ đây về sau, ta hiểu đ-ờng cong là đ-ờng cong trơntừng khúc và chu tuyến là chu tuyến trơn từng khúc

Định lý 3.3.1. Cho D là một miền bị chặn, đ-ợc giới hạn bởi hữu hạn đ-ờng cong Nếu f giải tích trên D và liên tục trên D thì với mọi z0 ∈ D, ta có

Công thức tích phân Cauchy cho biết : giá trị của một hàm chỉnh hình trong miền D hoàn

toàn đ-ợc xác định bởi những giá trị của nó trên biên

Ta lấy, f (z) = cos z, z0 = i, n = 2 Khi đó, ta đ-ợc

I =

Z

|z−i|=1

cos zdz (z − i)3 = 2πi

2! f

00

(i) = πf00(i) = −πi cos i

Định lý sau đây là một hệ quả của công thức tích phân Cauchy

Định lý 3.3.7 (Định lý về giá trị trung bình). Cho hàm f giải tích trên miền D, z0 ∈ D

và số R > 0 sao cho B(z0, R) ⊂ D Khi đó, giá trị của hàm f tại z0 bằng trung bình các giá

3.4 Hàm điều hòa

3.4.1 Khái niệm hàm điều hoà

Hàm u(x, y) của hai biến thực xác định trong miền D đ-ợc gọi là hàm điều hoà nếu có

các đạo hàm riêng cấp hai liên tục và thỏa mãn ph-ơng trình Laplace

∆u = ∂

2u

∂x2 + ∂

2u

∂y2 = 0 , với mọi x, y ∈ D

3.4.2 Điều kiện để hàm biến phức giải tích

Cho hàm f (z) = u(x, y) + iv(x, y), trong đó u, v là các hàm điều hoà trên D Ta thấy, hàm f không nhất thiết phải giải tích trên D Hàm f giải tích trên D chỉ khi các hàm u, v

thoả mãn điều kiện Cauchy-Riemann Ta có kết quả sau

Định lý 3.4.1. Nếu D là miền đơn liên thì đối với hàm điều hoà bất kỳ u(x, y) tồn tại hàm

số v(x, y) xác định trên D sao cho f (z) = u(x, y) + iv(x, y) là giải tích trên D.

Chú ý 3.4.2. Nh- vậy, nếu hàm điều hòa u(x, y) là phần thực của một hàm giải tích f (z)

|z|zdz dọc theo biên của miền |z| < 1, Imz > 0.

Bìa 3.4 Cho chu tuyến γ là chu vi tam giác có các đỉnh 0.2 − 2i, 2 + 2i Hãy tính các tích phân sau dọc theo γ

f n (z0) héi tô, th× z0 ®-îc gäi lµ ®iÓm héi tô cña chuçi hµm

(∗) NÕu t¹i z = z0, chuçi sè

vµ gäi hµm f (z) lµ tæng cña chuçi (∗).

Khi chuçi (∗) héi tô, ta gäi phÇn d- thø n cña nã lµ

r n (z) = f (z) − S n (z) =

∞

X

f k (z)

Chuỗi (∗) đ-ợc gọi là hội tụ đều trên D đến hàm f (z) nếu với mọi  > 0, tồn tại N sao cho với mọi n > N , mọi z ∈ D đều có

|r n (z)| = |f (z) − S n (z)| <  Chuỗi (∗) đ-ợc gọi là hội tụ tuyệt đối trên D nếu chuỗi

f n (z) hội tụ đều trong miền D.

Ta đ-a ra một số tính chất của chuỗi hàm hội tụ đều

• Nếu mọi hàm f n (z) đều liên tục trên D và chuỗi (∗) hội tụ đều trên D thì f (z) =

∞

P

n=1

f n (z) liên tục trên D.

• Nếu mọi hàm f n (z) liên tục trên D và chuỗi (∗) hội tụ đều trên D thì có thể lấy tích phân chuỗi theo đ-ờng cong bất kỳ trong D, tức là

4.2.1 Chuỗi lũy thừa

Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm có dạng

Định lý 4.2.1. Nếu chuỗi (∗∗) hội tụ tại điểm z1 6= z0 thì nó

1 hội tụ tuyệt đối tại mọi z thỏa mãn |z − z0| < |z1− z0|,

2 hội tụ đều trên mọi hình tròn đóng B(z0, r) với 0 < r < |z1− z0|

Nếu chuỗi (∗∗) phân kỳ tại z2 thì nó phân kỳ tại mọi z thỏa mãn |z − z0| > |z2− z0|

Số R đ-ợc gọi là bán kính hội tụ của chuỗi (∗∗) nếu chuỗi hội tụ tại mọi z thỏa mãn

|z − z0| < R và phân kỳ tại mọi z thỏa mãn |z − z0| > R Khi đó, B(z0, R) đ-ợc gọi là hình

tròn hội tụ của chuỗi

T-ơng tự nh- chuỗi lũy thừa thực, ta có thể tìm bán kính hội tụ của chuỗi bằng công thức

R = lim

n→∞

a a n

n+1

hoặc R = lim

Cho hàm f (z) giải tích trong một lân cận của điểm z = z0 Hỏi có biểu diễn nó d-ới dạng

lũy thừa của (z − z0) hay không? Câu trả lời là khẳng định

Cho tập con A của C và z0 ∈C Ta gọi khoảng cách từ z0 đến A là số

Chuỗi (∗ ∗ ∗) đ-ợc gọi là khai triển Taylor của hàm giải tích f (z) trong lân cận của điểm

z0 Do tính duy nhất nên ta có thể áp dụng linh hoạt các ph-ơng pháp để tìm khai triểnTaylor