bải giảng toán kinh tế

Khi đó Nếu fx có đạo hàm tại xo thì đạo hàm đó bằng 0 Từ định lý Fermat suy ra trong tập xác định Df , hàm số fx chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không

Bài giảng

TOÁN KINH TẾ 1

(Tài liệu lưu hành nội bộ )

Biên soạn:

Nguyễn Đình Aùi-Phạm Gia Hưng-Thái Bảo Khánh

Nha trang tháng 02/2014

CHƯƠNG I ÔN TẬP VỀ

GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM

- Tập D gọi là tập xác định của hàm số f,

- Tập f(D) ={ f(x) : x  D} gọi là tập giá trị của hàm số f

Ví dụ Hàm số f(x) = ln( x2 1) có xác định là

Df = x | x2  1 > 0  = (∞ , 1)  ( 1, +∞)

 Cho hàm số f(x) xác định trên D Khi đó tập Gf = M(x, f(x)) | xD  gọi là đồ thị hàm số f(x) Nói chung đồ thị hàm f(x) là một đường cong trong mặt phẳng Oxy do điểm M(x, f(x)) vạch nên khi x chạy trên D

Ví dụ Hàm y = x2 có đồ thị là đường parabol Hàm y = x2 , x  [ 0, 2 ] có đồ thị là một cung parabol

1.2 Hàm sơ cấp

Các hàm sơ cấp cơ bản

1) Hàm lũy thừa : y = x,   R Miền xác định phụ

thuộc vào 

Ví dụ Hàm y = xn (n nguyên dương) xác định vớimọi x R

Hàm y = x n = 1/ xn xác định với mọi x  0

Hàm y = x1/2  x xác định với mọi x  0

2) Hàm mũ : y = ax, a > 0 và a  1 y

Df = R và tập giá trị là R+ = (0, +) y=logbx

Đồ thị hàm y=arcsinx

+ Hàm arccosx là hàm ngược hàm cosx

arctgx arctgx

Hàm sơ cấp Hàm sơ cấp là hàm xác định bởi một công thức

duy nhất gồm hữu hạn các phép cộng, phép trừ, phép nhân,

phép chia hay phép hợp các hàm sơ cấp cơ bản

Ví dụ Các hàm y = x2  3 x+ 5; y =

x x

e nếu x 0 không phải là hàm sơ cấp

1.3.Các hàm trong phân tích kinh tế

1 Hàm sản xuất Q = Q( L) (Quantity: số lượng; Labor

: lao động )Với Q là lượng sản phẩm, L là lao động

2.Hàm doanh thu R = R(Q) (Revenue : doanh thu)

3.Hàm chi phí C = C(Q) (Costs : chi phí )

4.Hàm lợi nhuận  = (Q).( Profit : lợi nhuận)

5.Hàm cung Qs = S(P) (supply:cung cấp; price : giá

Ta biết giá P tăng thì lượng hàng sản xuất tăng (lượng cung tăng) Hàm Qs = S(P) là hàm tăng  có hàm ngược P =

S1(Qs)

6.Hàm cầu Qd = D(P) (demand : nhu cầu)

Ta biết giá p tăng thì nhu cầu sản phẩm giảm ( lượng cầu giảm)

Hàm Qd = D(P) là hàm giảm  có hàm ngược P = D1(Qd)

II.DÃY SỐ  MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ LÃI SUẤT

 Dãy số x0 , x1, x2 , …, xn, … được ký hiệu xn

n n

 Dãy cấp số cộngcông thức lãi đơn

+ Dãy số xn gọi là dãy cấp số cộng với công sai d nếu

xn = xn1 + d,  n Hay xn = x0 + n.d,  n

+ Giả sử ta cho vay khoản vốn vo với lãi suất mỗi kỳ là r

trong vòng n kỳ và cuối mỗi ky,ø lãi được rút ra chỉ để lại vốn

vo cho kỳ kề sau

Cách tính lãi như vậy gọi là cách tính lãi đơn

Sau n kỳ của lãi đơn, lợi tức là n(vo.r) Ta có

Tổng giá trị đạt được là v n v on v r o 

Với cách tính lãi đơn,vốn ban đầu vo, lãi suất r, số kỳ tính lãi n

Dãy tổng giá trị vn là dãy cấp số cộng với công sai d = vo.r

Ví dụ Cho vay một lượng vốn là 10 triệu đồng với lãi suất là

r = 1% trên tháng Sau một năm 8 tháng ( 20 kỳ), tổng giá trị

là bao nhiêu?

20 o 20.( )o 10 20 (10 0, 01)

v v  v r     = 12 (triệu đồng)

 Dãy cấp số nhân Lãi gộp  Lãi gộp liên tục

+ Dãy số  xn gọi là dãy cấp số nhân với công bội q nếu

xn = xn1  q ,  n Hay xn = xo.qn ,  n

NX

1 1

trong vòng n kỳ và cuối mỗi kỳ lãi được gộp vào vốn để tính

lãi cho kỳ sau

Cách tính lãi như vậy gọi là cách tính lãi gộp

Sau n kỳ của lãi gộp, vốn ban đầu vo, lãi suất r, ta có

Tổng giá trị đạt được là v nv o1rnDãy tổng giá trị vn là dãy cấp số nhân với công bội q= (1+r)

Ví dụ 1 Đầu tư 10 triệu với lãi suất gộp 12%/ năm tính theo

quí tức là 4%/ quí Sau 1 năm 8 tháng ( 6 kỳ), tổng giá trị là bao nhiêu?

v6 = vo (1+r)6 = 10(1+0,04)6 =12,653 (triệu đồng)

Ví dụ 2 Gửi tiết kiệm 50 triệu sau 2 năm thu được khoảng

63,12 triệu với lãi suất gộp định kỳ nữa năm là r Tìm r

Ta có số kỳ tính lãi n = 4 Và v nv o1rn

 63,12 = 50(1+r)4  463,12

150

KL: Lãi suất gộp là 6% tính theo định kỳ nữa năm

Ví dụ 3 Với lãi gộp 1% định kỳ tháng, cho vay 50 triệu đồng

Tìm thời gian cho vay để được tổng giá trị khoảng 75 triệu đồng

Ta có v nv o1rn  75 = 50(1+0,01)n

 lg75 = lg50+ nlg(1+0,01)  n =

75lg50lg(1 0, 01)  40,75

KL: Thời gian cho vay khoảng 41 tháng (tức 3 năm 5 tháng)

Ví dụ 4 Muốn nhận được tổng giá trị là 100 triệu sau 5 năm

với lãi gộp 4% định kỳ quí 3 tháng thì bây giờ phải gửi một khoản tiền tiết kiệm là bao nhiêu?

Số kỳ tính lãi n = 20 Ta có v nv o1rn

+ Bài toán lãi gộp liên tục

Giả sử cho vay khoản vốn là vo trong t năm với lãi suất r /

năm theo định kỳ là 1

nnăm (1 năm tính lãi n kỳ)

 lãi suất mỗi kỳ là r

n và số kỳ tính lãi sau t năm là nt (kỳ)

Theo công thức lãi gộp, ta có tổng giá trị sau t năm là

Đây là tổng giá trị sau t năm đầu tư vốn gốc vo với lãi gộp r /

năm (và định kỳ là 1 năm tính lãi n kỳ)

 Nếu định kỳ năm thì v nv o 1 rt (1 năm tính lãi 1 kỳ)

 Nếu định kỳ nữa năm thì vn =

2

12

 Nếu định kỳ quí thì vn =

4

14

 Nếu định kỳ tháng thì vn =

12

112

rt n nt

Từ đó suy ra các công thức tính trong tài chính

 Giá trị vốn ban đầu là v ov t e( ) rt

 Lãi thực khi đầu tư t năm: v t( )v ov oe rt1

 Độ lệch ( lãi thực sau 1 năm khi đầu tư ban đầu vo = 1)

e r 1

  

 Lãi suất  = ln(1+ )

Ví dụ Muốn nhận được 100 triệu sau 20 năm đầu tư với lãi

gộp liên tục là 10% / năm thì đầu tư ban đầu là bao nhiêu?

Ta có v t( )v e o rt , thay số liệu vào, ta có 100 = vo.e0,120

 vo = 100e2  13,534 (triệu)

lim ( có thể viết: f(x)  L khi x  xo )

 giá trị f(x) gần L đến mức bao nhiêu cũng được với mọi x

đủ gần xo và x ≠ xo

 ( có thể viết: f(x)  L khi x  x o )

 giá trị f(x) gần L đến mức bao nhiêu cũng được với mọi x

đủ gần xo và x < xo

= L ( có thể viết: f(x)  L khi x  x o )

 giá trị f(x) gần L đến mức bao nhiêu cũng được với mọi x

đủ gần xo và x > xo

Nhận xét 0

0

0

lim ( )lim ( )

Ví dụ Cho hàm phần nguyên y = [x] ( = số nguyên lớn nhất ≤

x ) Tìm giới hạn trái và phải tại các điểm x = n, với n  Z

Do đó không tồn tại giới hạn của hàm [ x ] tại mỗi điểm x = n

2 Giới hạn của các hàm sơ cấp Nếu f(x) là hàm sơ cấp và

xác định được ở lân cận của x0 thì lim ( ) ( 0).

0

x f x f

Nhận xét Tồn tại hàm sơ cấp f(x) không có giới hạn tại điểm

mà f(x) xác định được

Chẳng hạn hàm sơ cấp f(x) = x x có tập xác định là Df

= {0}không có gới hạn tại x = 0

3 Các giới hạn cơ bản

(e là số vô tỷ và giá trị gần đúng là e = 2,7182878)

Suy ra các công thức hệ quả :

a)

1 0

e u





 Ngoài ra dựa vào đồ thị, ta thấy một số giới hạn

0

3) lim ; lim 04) lim ln ; lim ln

2 1

4 Vô cùng bé (VCB) tương đương

 Hàm f(x) được gọi là vô cùng bé khi x a nếu f(x)  0 khi

x  a

Ví dụ Khi x  0, ta có sinx , ln( 1+x), ex 1 , 1 cosx cùng

 0 Do đó các hàm số x, sinx, ln(1+x), (ex 1) , (1cosx) là







 thì nói

(x) và (x) là các vô cùng bé tương đương khi x  a

(Ta viết VCB (x) ~ (x) khi x  a)

Ví dụ Có thể dùng định nghĩa để chứng minh:

+ Khi u  0, các VCB sau là tương đương:

u u u e  rất gần 0 và chúng coi như bằng

nhau Tương tự với  

2

2

u u

IV.HÀM LIÊN TỤC

 Hàm f(x) gọi là liên tục tại x0 nếu

Ví dụ Khảo sát sự liên tục tại x = 1 của hàm số

2(x 1)

 g(x) liên tục trái tại x = 1

KL: g(x) liên tục tại x = 1

 Hàm số f(x) liên tục trên (a,b)  f(x) liên tục tại mỗi xo 

(a,b) Hàm số f(x) liên tục trên [a,b]  f(x) liên tục trên (a,

b) , f(x) liên tục phải tại a và liên tục trái tại b

Ý nghĩa hình học Cho hàm số f(x) liên tục trên một khoảng

I nào đó Khi đó đồ thị hàm số y = f(x), với x  I là một

đường liền nét

y y

y = f(x) y= g(x)

a b x a c b x

Đồ thị hàm f(x) liên tục trên [a, b],Hàm y= g(x) gián đoạn tại c

 Hàm sơ cấp liên tục trên khoảng mà hàm xác định

BÀI TẬP CHƯƠNG I1.Tìm các giới hạn sau :

x

cot cos

sin 2 lim

2.Tìm các giới hạn sau :

a)

x x

x x x

2 4 lim 2

2 3

6 5 lim 2

c)

5 2

1 lim

1 cos x

   ; f)

3 0

sin lim

x

x tgx

1

1 2

3 2 lim

ln 1 2( 2)

, khi x 2( )

4 Tìm tổng thu nhập sau khi đầu tư vốn ban đầu vo sau t năm

với lãi suất gộp r / năm

a) vo = 1000, t= 3, r = 12% , với định kỳ năm

b) vo = 300, t= 6, r = 12%, với định kỳ nữa năm

c) vo = 500, t= 6 , r = 10%, với định kỳ quí 4 tháng

d) vo = 500, t = 6, r = 9%, với định kỳ tháng

e) v0 = 500, t = 6, r = 8%,với định kỳ ngày (1 năm = 365 ngày)

5.Tìm lãi suất gộp r mỗi năm theo định kỳ năm biết rằng sau

3 năm vốn đầu tư tăng gấp đôi

Chương II PHÉP TÍNH VI PHÂN

I.ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP 1

1.1.ĐẠO HÀM CẤP MỘT

 Cho hàm số f(x) xác định được ở một khoảng mở

nào đó chứa xo

Ta định nghĩa đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm xo là

f ’(xo) =

x

)x()xx(

Ứng với gia biến x đủ bé, ta gọi f  f(xo+x)  f(xo) là

số gia hàm số f(x) tại xo

Có thể viết

)x()x(lim

Phương trình tiếp tuyến MoT : y = f ’(xo)( x  xo) + f(xo)

Ngoài ra f’(xo) còn là tốc độ thay đổi của đại lượng y=f(x)

theo biến x tại x = xo

 Tương tự như trên, ta có thể định nghĩa

Đạo hàm phải của f(x) tại xo là

x x ( nếu tồn tại giới hạn phải)

Đạo hàm trái của f(x) tại điểm xo là

o

o o

g(a) = 0

Mệnh đề Nếu hàm số f(x) có đạo hàm hữu hạn tại xo thì nó

liên tục tại xo

Nhận xét

Cho hàm số f(x) có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng (a, b)

Khi đó f(x) liên tục tại mọi điểm trên khoảng I

Do đó đường cong y = f(x), với x (a, b) là đường cong liền

nét và có tiếp tuyến tại mọi điểm trên đường cong

KL: Nếu f(x) có đạo hàm tại mọi x (a, b) thì đường cong y

= f(x), với x(a, b) là đường cong trơn

f(x) có đạo hàm trên (a, b) f(x) không có đạo hàm tại x = c

 Đạo hàm của các hàm sơ cấp cơ bản

Từ định nghĩa và các qui tắc tính đạo hàm, chúng ta chứng minh được các công thức sau:

i) (x )’ = .x 1

Đặcbiệt: (C )’ = 0 ; ( x )’ = 1 ; 2

x

1x

1)'x

1

2 = tg2x+1 ;

(cotgx )’ = 

xsin

12

 ; (arccotgx)’ = 

1x

12



 Các qui tắc tính đạo hàm

i) (u + v)’ = u’ + v’ ii) ( u )’ =  u’ (với  là hằng số thực)

iii) (u.v)’ = u’.v + u.v’ iv)

Xét hàm hợp y = f[ u(x) ] theo biến x thông qua biến trung

gian u

Khi đó

u

y (x) f [u(x)].u (x) (Các qui tắc trên là thực hiện được với đk : biểu thức VP là

b) Cho y = ( 1 + sin2x )3x Tìm y’

Lấy ln hai vế , ta có lny = 3x.ln( 1 + sin2x )

Đạo hàm 2 vế theo x ta có:

xsin1

xcosxsin2x)xsin1

xsinx)xsin1ln(

)xsin1

.(

3

2 2

x 2

1.2.VI PHÂN CẤP 1

 Cho hàm số f(x) có đạo hàm hữu hạn f ’(xo)

Ta nói hàm số f(x) khả vi tại xo và vi phân của hàm số f(x) tại

2.1 ĐẠO HÀM CẤP CAO

 Nhận xét Có thể nói

đạo hàm cấp n của f(x) là đạo hàm n lần của f(x) và ký hiệu là f(n)(x)

Ví dụ Tính đạo hàm cấp n sau (sinx)(n)

Ta có (sinx)’ = cosx = sin(x +/2);

(sinx)’’ = cos(x+/2)= sin(x +2/2 );

(sinx)’’’ = cos(x +2/2)= sin(x +3/2 )

Vậy (sinx)(n) = sin ( x + n./2) Tương tự (cosx)(n) = cos (x + n./2)

A

B

a c b

2.2.VI PHÂN CẤP CAO

Cho hàm số f(x) có đạo hàm cấp n hữu hạn trong khoảng mở

(a , b) nào đó Ta nói hàm số f(x) khả vi đến cấp n trên

khoảng mở (a,b) và vi phân cấp n của hàm số f(x) là

dnf(x) = f (n)(x).(x)n = f (n)(x).dxn

2.3 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN HÀM KHẢ VI

Các hàm liên tục trên [ a, b] , khả vi trong (a, b) có các tính

chất sau

ĐỊNH LÝ ROLLE

Cho hàm số f(x) liên tục ở trên [a, b], khả vi trong (a,b)

Nếu f(a) = f(b) thì tồn tại c  (a, b) : f ’(c) = 0

(nói cách khác là phương trình f ’(x) = 0 có nghiệm nào đó

x=c (a, b) )

ĐỊNH LÝ LAGRANGE

Cho hàm số f(x) liên tục ở trên [a,b] và khả vi trong (a,b)

Khi đó tồn tại c  (a,b) sao cho

ab

)a()b(





= f ’(c)

Ý nghĩa hình học

Cho hàm số f(x) liên tục trên [a,b],

khả vi trong (a, b)

Khi đó

Trên cung đường cong y=f(x), có thể

chọn được điểm C(c, f(c)) để tiếp

tuyến với đường cong tại C song song

với dây cung AB

Từ định lý Lagrange suy ra

 Công thức số gia hữu hạn Cho hàm số f(x) khả vi trên (a, b) nào đó

Khi đó  điểm xo, xo+x  (a , b) ta có công thức

f(xo)  f(xo+x)  f(xo) = f ’(c).x , với c nào đó giữa xo và xo+x

Đặt x = xo +x ta có thể phát biểu dạng khác

Cho hàm số f(x) khả vi trong (a, b)

Khi đó  x  (a, b), ta có công thức

f(x) = f(xo) + f ’(c ).(x  xo), với c nào đó giữa xo và x

2.3.CÔNG THỨC KHAI TRIỄN TAYLOR

Với c nào đó giữa xo và x

(Đây là công thức khai triễn Taylor của hàm f(x) trong lân cận điểm xo)

Có thể viết f(x) = Pn(x) + Rn(x), với

k o

là đa thức bậc n và gọi là đa thức Taylor bậc n của hàm f(x)

trong lân cận của xo,

dư của công thức Taylor

Trường hợp xo = 0, công thức Taylor viết lại

1 0

với c nào đó giữa 0 và x.(Đây là công thức khai triễn Mac

Laurin của hàm f(x))

Nhận xét

Khi x đủ gần xo , ta có f(x)  Pn(x) và sai số là R (x)n rất bé

Khai triễn Mac Laurin một số hàm sơ cấp

, x  (, +) và c nào đó giữa 0 và x

Ví dụ Lập công thức gần đúng tính cosx, với x  [0,1; 0,1]

với sai số bé hơn 0,00001

n x

  , với sai số bé hơn 0,00001

III.ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG TOÁN HỌC 3.1.QUI TẮC L’HOSPITAL (khử dạng vô định (0/0),( /)

)x('g

)x('flim)

x(g

)x(lim

x 0 0

Ví dụ

 

11

3.2.KHOẢNG TĂNG GIẢM CỦA HÀM SỐ

Nếu f ’(x) > 0 trên (a, b) thì f(x) tăng trên (a, b)

Nếu f ’(x) < 0 trên (a, b) thì f(x) giảm trên (a, b)

Ví dụ Tìm khoảng tăng giảm hàm số

x

e y x

3.3 TÌM CỰC TRỊ HÀM MỘT BIẾN

Lân cận của điểm xo là khoảng mở nào đó có tâm là xo

(Thường hiểu lân cận là khoảng mở đủ nhỏ) (  )

 Nói f(x) đạt cực đại tại xo nếu f(x) đạt giá trị lớn nhất tại xo

khi xét hàm trong lân cận của xo Nói f(x) đạt cực tiểu tại xo nếu f(x) đạt giá trị bé nhất tại xo

khi xét hàm trong lân cận của xo Nói f(x) đạt cực trị tại xo nếu f(x) đạt cực đại orcực tiểu tại xo

Định lý Fermat.(điều kiện cần cực trị hàm số)

Cho hàm số f(x) đạt cực trị tại xo Khi đó

Nếu f(x) có đạo hàm tại xo thì đạo hàm đó bằng 0 Từ định lý Fermat suy ra trong tập xác định Df , hàm số f(x) chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại Ta gọi các điểm này là các điểm tới hạn của hàm số f

Để kiểm tra tại các điểm này,f(x) có đạt cực trị không, thường dùng

Định lý 1 ( điều kiện đủ cực trị hàm số )

Cho hàm số f(x) liên tục và khả vi trong (a,b) nào đó chứa điểm xo (có thể f(x) không khả vi tại xo) Khi đó

i) Nếu f’(x) > 0 ,  x  (a,xo) và f’(x) < 0,  x  (xo, b) thì f(x) đạt cực đại thực sự tại xo

ii) Nếu f’(x) < 0 ,  x  (a,xo) và f’(x) > 0,  x  (xo, b) thì f(x) đạt cực tiểu thực sự tại xo

Ví dụ Tìm cực trị và khoảng tăng giảm hàm số y ln x

KL: f(x) tăng trong (1, e) và f(x) giảm trong khoảng (e, +)

và đạt cực đại tại e

Định lý 2 (điều kiện đủ cực trị hàm số)

Cho xo là điểm dừng của hàm số f(x) ( tức là f (x )o = 0)

Nếu f (x ) o 0 thì hàm số f(x) đạt cực trị tại xo

Cụ thể:

Nếu f (x ) 0 và f (x )o   o 0 thì f(x) đạt cực tiểu tại xo

Nếu f (x ) 0 và f (x ) 0 thì f(x) đạt cực đại tại xo   o  o

Ví dụ Tìm cực trị hàm số f(x) = sinx  x/2

Hàm số xác định  x  ( , +)

+Ta có f’(x) = cosx  1/2 ; f’(x) = 0  cosx = 1/2 

3.4.GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ BÉ NHẤT

Cho hàm số f(x) liên tục trên [ a , b ] Khi đó f(x) chỉ có thể đạt GTLN và GTBN tại các điểm tới hạn  (a , b) hay tại 2

đầu mút a , b

Ví dụ Tìm GTLN , GTBN của hàm số f(x) = (x3 +3x2  9x) trên [2, 2 ].Suy ra GTLN , GTBN của hàm số g(x) = x3 + 3x2  9x  trên [ 2 , 2 ]

+ Hàm số f(x) xác định và liên tục trên [ 2 , 2 ]

B1+Tìm điểm tới hạn của f trong ( 2 , 2 )

Ta cĩ f’(x) = (3x2 + 6x  9) ; f’(x) = 0  x = 1  x = 3 chọn x = 1

(Suy ra f chỉ có thể đạt GTLN hay GTNN tại trong số các điểm x=2, x = 1 , x = 2 )

+ So sánh f(1) = 5 ; f(2) = 22 ; f(2) = 2 KL: xét trên [2 , 2] , f(x) có GTBN = fmin = 22 = f(2) và GTLN = fmax = 5 = f(1)

B2 Xét trên [2 , 2] , hàm số g(x) = f(x) có

gmax = max fmax ,  fmin  = 22 = g(2)

gmin = 0 = g(0)

3.5.KHOẢNG LỒI, KHOẢNG LÕM , ĐIỂM UỐN

Cho hàm số f(x) khả vi trên khoảng mở đang xét hàm

Hàm số y = f(x) gọi là lồi trên (a, b) nếu mọi tiếp

tuyến của đường cong y = f(x), x (a, b) luôn ở phía trên của

đường cong

Hàm số y = f(x) gọi là lõm trên (a, b) nếu mọi tiếp

tuyến của đường cong y = f(x), x (a, b) luôn ở phía dưới của

đường cong

Nếu xo là điểm phân cách giữa khoảng lồi và khoảng

lõm của hàm số f(x) thì ta gọi xo là điểm uốn của hàm số f(x)

Định lý ( Điều kiện đủ hàm lồi, lõm )

Nếu f (x) < 0 trên (a, b) thì hàm f(x) lồi trên (a, b)

Nếu f (x) > 0 trên (a, b) thì hàm f(x) lõm trên (a, b)

Ví dụ Tìm khoảng lồi, lõm, điểm uốn của y = ln(1+x2)

Hàm số xác định  x  (, +)

y lồi Đ.U lõm ĐU lồi

KL: Hàm số lồi trên (, 1) và trên (1, +), lõm trên (1,

1).Hàm số y có các điểm uốn 1 và 1

V ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG PHÂN TÍCH

Lúc đó lượng thay đổi của y là y = f(xo+x)  f(xo)

Tốc độ thay đổi trung bình của y theo x khi x chạy từ xo đến

xo+x là y

x



Tốc độ thay đổi (tức thời) của y theo x tại x = xo là

o

f (x x) f (x )y

5.2 GIÁ TRỊ CẬN BIÊN

Trong kinh tế, đại lượng chỉ ra tốc độ thay đổi của hàm y theo biến độc lập x trong khi x thay đổi một lượng rất nhỏ gọi là giá trị cận biên của y đối với x Ký hiệu là My(x)

Ta có thể hiểu My(x) là tốc độ thay đổi (tức thời) của y theo biến x, do đó My(x) = y’(x) = dy

dx

 Giá trị cận biên của chi phí

Cho hàm chi phí C = C(Q) Ta gọi MC(Q) = C ’(Q)là giá trị

cận biên của chi phí

Ví dụ 1 Cho tổng chi phí C để sản xuất Q sản phẩm là

C = 0,0001Q3  0,02Q2 + 5Q +5000 ( đv tiền)

Giá trị cận biên của chi phí là

MC(Q) = dC

dQ= 0,0003Q2  0,04Q +5

Ta có MC(50) =3,75 ( đv tiền / sản phẩm) là tốc độ tức thời

của tổng chi phí C theo Q tại Q = 500

Nôm na là tại Q = 50, nếu Q tăng thêm 1 (đv sp) thì C tăng

thêm 3,75 (đv tiền)

 Giá trị cận biên của doanh thu

Cho hàm doanh thu R = R(Q) Ta có MR(Q)= R’(Q) là giá trị

cận biên của doanh thu

Ví dụ 2 Lượng sản phẩm bán được Q và giá sản phẩm P có

quan hệ Q = 500  10P  P = 50  Q /10 Tìm doanh thu

cận biên khi P = 10, P = 30

Ta có doanh thu R = QP = 50Q  Q2 /10 (đv tiền)

MR(Q) = 50  Q / 5

P = 10  Q = 400

 MR(400)= 30 (đv tiền / sp) là tốc độ thay đổi của doanh

thu R theo Q tại Q = 400 ( nôm na là nếu Q tăng 1 đv sp thì

doanh thu R(Q) giảm đi 30 đv tiền)

P = 30  Q = 200

 MR(200) =10 (đv tiền / sp) là tốc độ thay đổi của doanh thu R theo Q tại Q = 200 ( nôm na là nếu Q tăng 1 đv sp thì doanh thu R(Q) tăng thêm 10 đv tiền)

Xu hướng tiêu dùng và xu hướng tiết kiệm cận biên

Cho hàm tiêu dùng C= C(I), với I là tổng thu nhập quốc dân Hàm tiết kiệm S = I  C(I)

Ta có MC(I) là xu hướng tiêu dùng cận biên

MS(I) là xu hướng tiết kiệm cận biên

Ta có MS(I) = dS 1 dC

dI   dI

Do đó MS(I) = 1  MC(I)

Ví dụ Cho hàm tiêu dùng  3 

Tốc độ thay đổi của xu hướng tiêu dùng C theo biến I tại I =

100 khoảng 0,563 (đv / đv) (nôm na là tại I = 100, nếu I tăng

1 đv thì C tăng khoảng 0,563 đv)

Và MS(100) = 1 MC(100)  0,464

Tốc độ thay đổi của xu hướng tiết kiệm S theo biến I tại I =

100 khoảng 0,464 (đv / đv) ( nôm na là tại I = 100, nếu I tăng

1 đv thì S tăng khoảng 0,464 đv)

5.3.HỆ SỐ CO DÃN

Độ thay đổi tuyệt đối và tương đối

Khi đại lượng x tăng thêm 1 lượng x thì ta gọi x là độ thay

đổi tuyệt đối của x; tỉ số x

x

.(100%) gọi là độ thay đổi tương

đối của x

Chẳng hạn, một căn hộ giá 200 triệu đồng nếu tăng giá thêm

1 triệu đồng thì độ thay đổi tuyệt đối là 1 triệu đồng; độ thay

đổi tương đối là 1 (100%)

Một kg gạo giá 1 ngàn đồng Nếu tăng thêm 1 ngàn đồng thì

độ thay đổi tuyệt đối là 1 ngàn, độ thay đổi tương đối là

1

(100%)

Độ thay đổi tương đối không phụ thuộc vào đơn vị tính và nó

cho ta thấy ngay mức độ thay đổi

Hệ số co dãn

Để đo mức độ phản ứng của hàm y khi biến x thay đổi người

ta đưa vào khái niệm hệ số co dãn

Xét tỉ số độ thay đổi tương đối của y và độ thay đổi tương đối của x

Tại mức giá P = 3, khi giá tăng 1%, lượng cầu sẽ giảm 3,33%

5.4 LỰA CHỌN TỐI ƯU TRONG KINH TẾ

Nhiều bài toán kinh tế đưa đến bài toán tìm cực trị của một

hàm y=f(x) nào đó

Thường ta giải các bài toán sau

 Tìm giá P để sản lượng Q đạt tối đa ( cực đại)

 Tìm giá P hoặc sản lượng Q để hàm doanh thu đạt tối đa(

cực đại)

 Tìm sản lượng Q để hàm chi phí C đạt tối thiểu ( cực tiểu )

Ví dụ Cho hàm cầu là Q = 300  P Hàm chi phí là C = Q3 

19Q2 + 333Q + 10.Tìm Q để lợi nhuận lớn nhất

Giải Ta có Q = 300 P  P = 300 Q

Do đó hàm doanh thu R = P.Q = 300Q  Q2

Hàm lợi nhuận  = (300Q  Q2)  ( Q3 19Q2 +333Q +10)

BÀI TẬP CHƯƠNG II

1 Tính các đạo hàm của các hàm số

a)

x

2x

y3 2  b) y= x x x c) y =  4 tgx

xsin

d)y = tg2(arctgx) đ)y = arcsin(1/x) e)y=log3(x2sinx)

f) y = ln( 1 + arctg2x) g)y = (x1)2(x+1)3(x+5)

2 Cho hàm số (x) liên tục tại x = a

Chứng minh rằng f(x) = ( x a) (x) có đạo hàm tại x = a

5 Chứng minh

a) y’’ –2y’ +2y = 0 với y = ex sinx b) y’’ –y’ + y.e2x = 0 với y = cos ex +sin ex c) y3 y’’ + 1 = 0 với y = 2 x x2 d) x2 y’’ + xy’ + y = 0 với y = cos(lnx) + sin(lnx)

6 Sử dụng các quy tắc L'Hospital tính các giới hạn sau đây

a)

3 0

arctgxx

lim 

tgxx

xsinxlim0

eelim

x x 0 x

balim

xsinlnlim0

xlim1

7 Tìm khoảng tăng giảm, cực trị của các hàm số:

34

x x

13.Tìm các giá trị cận biên của các hàm số

a) Hàm chi phí C = 0,1Q2 + 5Q + 3 Tại Q = 2, Q = 100 b) Hàm doanh thu R = 100Q + 5Q2  Q3 tại Q = 5, Q = 100

14.Cho hàm tiêu dùng của một quốc gia là

3

10 I 0,7 I 0, 2IC

17.Một loại sản phẩm có hàm cầu P = 5000 20P và hàm chi

phí trung bình cho mỗi đơn vị sản phẩm là C 2 80

Q

  Tìm

mức giá để có lợi nhuận tối đa

(HD Doanh thu R(Q) = P(Q).Q và lợi nhuận

a)Tìm mức sản xuất Q  [ 2, 10] để có chi phí tối thiểu

b)Tìm mức sản xuất Q  [ 5, 10] để có chi phí tối thiểu

19.Hàm cầu của một loại sản phẩm độc quyền P = 600  2Q

và tổng chi phí là C = 0,2Q2 + 28Q +200

a)Tìm mức sản xuất Q để lợi nhuận đạt tối đa.Tìm

mức giá P và lợi nhuận lúc đó (HD Doanh thu R(Q) =

P(Q).Q và lợi nhuận (Q)=R(Q)C(Q) )

b) Chính quyền đặt thuế là 22 đv tiền cho 1 đv sản

phẩm Tìm mức sản xuất để lợi nhuận đạt tối đa Tìm mức giá

và lợi nhuận lúc đó

2

  , x > 0 b)

3xsin x x

Các tính chất đặc trưng của nguyên hàm

Cho hàm số f(x) có một nguyên hàm là F(x) trong một

khoảng tổng quát nào đó Khi đó

i)Hàm số F(x) + C, với C là hằng số thực tùy ý, cũng là một nguyên hàm của f(x)

ii)Mỗi nguyên hàm của f(x) đều có dạng F(x) + C, với

C là hằng số thực nào đó

Như vậy nếu trên một khoảng nào đó, hàm f(x) có một nguyên hàm F(x) thì nó có vô số nguyên hàm; và họ mọi nguyên hàm của f(x) là họ hàm F(x) +C, với C tham số thực bất kỳ

1.2.TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

 Cho F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng tổng quát nào đó

Khi đó họ hàm F(x) + C, với C tham số thực tùy ý, gọi là tích

phân bất định của hàm số f(x) Ký hiệu  f(x).dx  F(x) + C

Qui ước Trong chương này, nếu không nói thêm gì, ta hiểu

các hàm trong biểu thức dưới dấu mỗi tích phân là liên tục

trong khoảng nào đó đang xét tích phân

CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

i)  F ’(x)dx = F(x) + C (Hàm F ’(x) có nguyên hàm là F(x) )

ii)  f(x)dx =  f(x)dx

iii) [ f(x) + g(x) ]dx =  f(x)dx +  g(x)dx

BẢNG TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH MỘT SỐ HÀM SƠ CẤP

Từ công thức đạo hàm một số hàm sơ cấp và định nghĩa tích

phân bất định , suy ra

i) 0.dxC ; 1.dx   C

C1

xdx

1dx

)x('u

)x('u

2 2

2 4

2 4

2 4

x

1x

dxx

11

x

1x

dxx

11dxx1

x1dxx1

x1x1

dx2

11

x x arctg

ln

1

x x

C x

1xx

ln2.2

1x

1xarctg

2

1

2

2 2

1.3 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH

Phương pháp đổi biến

 Xét  (u(x))u'(x)dx

Nếu đặt u = u (x) thì  (u(x))u'(x)dx f(u)du

 Xét f (x)dx

Nếu với mỗi x trong khoảng xét tích phân , có thể đặt x=x(t) ,

với x(t) có hàm ngược thì f (x)dx = f (x(t))x '(t)dt

Ví dụ Tính tích phân bất định I =  a2 x2.dx ( a > 0 )

Đặt x = a.sint, với t  khoảng  [/2 , /2], (  t =

arcsin(x/a) )

Ta có dx = a.cost.dt , suy ra I=

 tdt a t a t C

a dt t a

t

22

cos12.cos

axa2





Nhận xét Khi tính một tích phân bất định cụ thể, với các

cách giải hoặc biến đổi khác nhau, ta có thể thu được các kết quả mà “vẻ ngoài ” rất khác nhau.Thực chất các nguyên hàm thu được đềubằng nhau hoặc chỉ sai khác nhau một hằng số nào đó

Phương pháp tích phân từng phần

Định lý Cho các hàm số u(x), v(x) khả vi liên tục trên một

khoảng nào đó.Khi đó

edu

dx x dv

dx e

.sin

edu

dx x dv

dx e

.cos

ex





II TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

2.1 KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Định nghĩa tích phân xác định theo Riemann

Cho hàm số f(x) xác định trên [ a, b]

Chia [a, b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia:

a =x0 < x1 < x2 < … < xn = b Trên mỗi đoạn nhỏ [xi 1 , x ]i , chọn điểm i bất kỳ, i = 1, 2,

  , với xi là độ dài đoạn nhỏ [xi 1 , x ]i

Khi n   sao cho độ dài lớn nhất trong các đoạn nhỏ là d 

0, nếu tổng tích phân In  giá trị I không phụ thuộc phép chia

đoạn và phép chọn điểmi thì nói I là tích phân xác định của

f(x) trên [a, b] và nói hàm số f(x) khả tích trên [a, b]

Kí hiệu I = 

b

a

dx)x

+ Nếu f(x) liên tục trên [ a, b] thì f(x) khả tích trên [a, b]

+ Nếu f(x) khả tích trên [ a, b] thì f(x) là hàm bị chặn ở trên

[a, b],(tức là M > 0 để f (x)  M,  x  [ a, b] )

Để đơn giản, ta chấp nhận

Định nghĩa bằng công thức Newton Leibnitz

Cho hàm số f(x) liên tục ở trên [a,b] và F(x) là một nguyên

hàm của nó trên [a,b] Khi đó



b adx)x( = F(b)  F(a)  F(x)

a

b

ii) Cho hàm số f(x) liên tục trên [a,b] thì ø

iv) Cho hàm số f(x) liên tục trên [a,b] và  các hằng số thực

v)Định lý ( Giá trị trung bình )

Nếu f(x) liên tục ở trên [a,b] thì tồn tại c  [a,b] sao cho

b

adx)x( = f(c).(ba)

Đạo hàm tích phân theo cận trên

Cho hàm số f(x) liên tục ở trên khoảng tổng quát I Khi đó

Với  khoảng I, hàm số (x) = ( )

x

f t dt



 là một nguyên hàm

của f(x) Cụ thể ( )

2.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH

Phương pháp đổi biến

f (không kể thứ tự trước sau)

nếu các hàm dưới các dấu tích phân là liên tục và x()=a;

x()=b

Phương pháp tích phân từng phần

Cho các hàm số u(x) và v(x) khả vi liên tục trên [a,b].Khi đó

b

a

b a

b

a v(x)du(x))

x(v)x(u)x(dv)x(u

III TÍCH PHÂN SUY RỘNG

3.1 TÍCH PHÂN SUY RỘNG VỚI CẬN VÔ HẠN( LOẠI

1)

Nhận xét 



dx)x( là không tồn tại theo nghĩa tích phân xác

định nếu cận  hay  là + hay 

Đưa đến cần mở rộng khái niệm tích phân xác định theo hướng cận vô hạn

 Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên [a,+ )

định nghĩa tích phân suy rộng của hàm số f(x) trong [a, + )

t a

tlim (x).dxdx

)

x(

 Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên ( ,+ ) Ta

x

nào đó Tích phân suy rộng ở vế trái là hội tụ khi và chỉ khi cả 2 tích phân suy rộng ở vế phải hội tụ

1, 11

, 1

khi khi

x1

dxlim2x1

dx2

( không tồn tại theo nghĩa tích phân xác định nếu hàm

số f(x) không bị chặn ở [a,b]

 Cần mở rộng khái niệm tích phân đối với hàm không bị

chặn

 Cho c  [ a , b ] và hàm số f(x) liên tục ở [a,b] \  c 

Nếu f(x)   khi x  c thì nói c là điểm kỳ dị của hàm số

f(x) trên [a,b]

Ví dụ Điểm 0 là điểm kỳ dị của f(x) = 1 / sinx trên [ 0, /4]

Điểm 1 là điểm kỳ dị hàm số g(x) = 3 / (x1)3 trên [a,b]  1

Điểm b là điểm kỳ dị của hàm số h(x) = ln(bx) trên [a,b]

 Cho b là điểm kỳ dị của hàm số f(x) trên [a,b]

 Cho a là điểm kỳ dị của hàm số f(x) trên [a,b]

Ta định nghĩa tích phân suy rộng

 





b

a

b t 0 a

tlim (x).dxdx

)

x

 Cho xo là điểm kỳ dị của f(x) trên [a,b]

Ta định nghĩa tích phân suy rộng

    

b x

x a

b

o

dx)

x(dx

)

x(dx

)

x(

Tích phân suy rộng vế trái là hội tụ khi và chỉ khi cả hai tích phân suy rộng vế phải hội tụ

1

ax

dxI

,xb

)ax(

dxlim

Do đó tpsr I2 hội tụ   < 1

IV.ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TRONG KINH

TẾ

Nếu hàm y(x) trong kinh tế có giá trị cận biên My(x)  y’(x)

thì y(x) là một nguyên hàm nào đó của My(x) Do đó

y(x)My(x).dx, với C nào đó cần xác định

Ví dụ Cho hàm giá trị cận biên của doanh thu theo sản lượng

của một loại sản phẩm là MR(Q) = 10000Q2

Tìm hàm cầu của loại sản phẩm này

Giải Hàm doanh thu R =

Ví dụ Cho giá trị cận biên của chi phí MC(Q) = Q + 1000

Và chi phí cố định là Cf = C(0) =10000 ( Chi phí lúc chưa xuất phát)

Biết (50) = 13500 Thế Q = 13500 vào trên, ta có

 5 50 / 2 500 50 C2    o  13500

 Co = 32250

KL: Hàm lợi nhuận (Q) = 5Q / 2 500Q 322502  

BÀI TẬP C HƯƠNG III

1.Dùng phương pháp đổi biến tính các tích phân sau

a) x3(1 x4)dx b) 

1x

5x(x

dx)1x(5 4

x cos x sin

cos x4

dx.xsin

2)2x(

1xx

1x4

2

dx n)



1x

1x4

2

dx o)

ex1dx

2.Dùng phương pháp tích phân từng phần , tính các tích phân

sau

a) x2arctgx.dx b) (x2+4).cos2x.dx c) (x2 +5)lnx.dx

e)e2x.cos x.dx f) 

 dx)x1(x

arctgx2

xsin

xcos.x

3 h) sin(lnx).dx

3 Tính các tích phân xác định sau đây:

a) 



3

e 1

dxxln1x

/ 2 /

3x.dxcosx

c) 



5

ln

x x

dx3e

1ee



x / 1

1 1 t2

dt

1 0

n

m(1 x) dx

1 0

 0

10x.dxsin.x

d) Tính giới hạn :

2

0 2

sin t.dtlim

1xln2x

dx e) 



2

13x2 1

xdx f)

2 2

Nếu hàm số f(x) liên tục trên [ 0, 1] thì

1 n

HD Câu d) chẳng hạn

Xét hàm f(x) = sin x  Ta có f(x) liên tục trên [ 0, 1]

BIẾN I.GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

là hình tròn mở tâm I(1,2) bán kính 2 trong mp Oxy

Ta coi mỗi bộ số (x, y, z )  R3 là điểm M(x , y , z ) trong

không gian hệ trục Oxyz

Khi đó có thể coi R3 là không gian hệ trục Oxyz

Mỗi tập V R3 được coi là vật thể V nằm trong không gian

Oxyz

Lân cận tập mở tập đóng –tập giới nội –tập liên thông

Trong R2, lân cận của điểm Mo là hình tròn mở nào đó có

tâm Mo

Tập F gọi là tập đóng nếu F chứa mọi điểm biên của nó

Tập E gọi là tập mở nếu nó không chứa bất kỳ điểm biên nào

của nó

Tập E gọi là liên thông nếu với bất kỳ 2 điểm khác nhau

của tập E, luôn có thể nối chúng lại với nhau bởi một đường

liền nét và đường này nằm hoàn toàn trong tập E

Có thể hình dung tập liên thông là tập “liền một mảnh”,còn tập

“gồm nhiều mảnh rời nhau” không là liên thông, tập “bị bỏ biên

đi” là tập mở và tập “chứa biên vào”là tập đóng

Ví dụ +Hình tròn lấy luôn biên U = (x,y )R2: (x –x0 )2+(y

–y0)2 a2 ( tâm ( xo , yo) bán kính a ) là một tập đóng

y

+Hình tròn bỏ biên

U1=(x,y)R2: (x–x0)2+(y–y0)2< a2 là một tập mở

+Hình vuông F=(x,y)R2:xxo  y–yo  yo

Flà tập đóng

Tập E (  R2 ) gọi là tập bị chặn ( hay tập giới nội )

nếu tồn tại hình tròn đủ lớn nào đó chứa hoàn toàn tập E vào

Qui tắc f cho ứng mỗi điểm ( x, y)D với một số thực

z = f (x, y) gọi là một hàm f xác định trên tập D Thường viết hàm số z = f(x , y) hay f(x , y) xác định trên D, trong đó x , y là các biến độc lập ( z là hàm số hay biến phụ thuộc)

Coi (x , y ) là điểm M(x , y) trong mặt phẳng Oxy

Khi đó có thể viết hàm số z = f(x , y ) thành hàm điểm z = f(M)

 Cho hàm số z = f(x , y) xác định trên tập D (  R2)

Ta định nghĩa đồ thị hàm số f là tập hợp

Gf   (x, y , z)  R3 : z = f(x , y) , (x , y)  D

Đồ thị hàm 2 biến z = f(x,y) nói chung là một mặt trong không gian hệ trục Oxyz thỏa phương trình z = f(x,y) Mỗi điểm M’ trên đồ thị Gf nếu có hoành độ x, tung độ y thì có cao độ z = f(x, y)

Ví dụ Đồ thị của hàm z = x+2y+1 là mặt phẳng P: x+2yz+1 = 0

Đồ thị của hàm số z = x2+y2 là 1 paraboloid tròn xoay trục Oz

Đồ thị của hàm số z = x 2 y2 là một mặt nón tròn xoay trục

Oz phía trên mặt phẳng Oxy (H.2)

Hàm z = R2x2y2có đồ thị là nữa trên mặt cầu tâm O bán

kính R (H3)

 Cho tập D  R3 Một hàm 3 biến u = f (x , y , z) là một qui tắc f

cho ứng mỗi điểm (x, y, z ) D với một số thực u = f (x, y, z )

Coi (x , y, z ) là điểm M(x , y, z ), có thể viết u = f(x , y, z ) thành

hàm điểm u = f(M)

Tương tự có thể định nghĩa hàm 3 biến , hàm 4 biến , …

II GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU

 Cho hàm số f(x,y) xác định được ở lân cận nào đó của điểm

Mo(xo,yo) ( có thể không xác định tại điểm Mo )

Ta nói hàm số f(x, y)   khi (x, y)  (xo , yo) nếu

 dãy điểm (xk ,yk )   tập xác định Df thỏa điều kiện (xk ,yk )  (xo,yo) khi k   , và (xk ,yk )  (xo,yo),

ta có dãy số f(xk , yk )   khi k   Ta viết

)y,x(lim) y , x ( ) y , x (  o o =  hay lim (x,y)

o

o

y y x x



Nhận xét Định nghĩa giới hạn hàm hai biến cũng tương tự

như giới hạn hàm một biến Đưa đến nhận xét:

Các tính chất về giới hạn, các định lý về phép tính giới hạn và giới hạn hàm bị kẹp của hàm hai biến cũng tương tự như

đối với hàm một biến

Ví dụ Chứng minh rằng

2 2 0 y 0

xylim

Do đó

2 2 0

y

0

xylim





2.2.SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM HAI BIẾN

Cho f(x,y) xác định được ở lân cận U của điểm Mo(xo ,yo )

Ta nói hàm số f(x,y) liên tục tại điểm Mo nếu

f(M)  f(Mo) khi M  Mo Cho hàm số f(x,y) liên tục tại mỗi điểm Mo  E Khi đó ta nói

hàm số f(x,y) liên tục trên E

Nhận xét

+ Hàm hai biến f(x, y) gọi là hàm sơ cấp nếu f(x,y) là

hàm sơ cấp theo biến x khi ta cố định biến y và là hàm sơ cấp

theo biến y khi ta cố định biến x

Nói chung các dạng hàm f(x, y) xác định bởi một biểu thức

mà chúng ta thường dùng đều là hàm sơ cấp

+ Nếu hàm sơ cấp hai biến xác định được trong tập mở

D nào đó thì nó sẽ liên tục trong tập mở D đó

+ Các khái niệm giới hạn và sự liên tục có thể mở

rộng cho hàm 3 biến, 4 biến , …, n biến

III.ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN

3.1.ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP MỘT HÀM 2 BIẾN

 Cho hàm hai biến f(x,y) xác định được ở lân cận nào đó

của điểm Mo(xo,yo)

cho y = yo, hàm số f(x,yo) là hàm biến x Nếu hàm số này có đạo hàm tại x = xo , thì ta nói đạo hàm đó là đạo hàm riêng theo biến x của hàm số f(x,y) tại điểm (xo,yo)

Và ký hiệu f (xx' o,yo) hay

x

f



(xo,yo)

Cho x = xo , hàm số f(xo,y) là hàm biến y Nếu hàm số này có đạo hàm tại y=yo , thì ta nói đạo hàm đó là đạo hàm riêng theo biến y của hàm số f(x,y) tại điểm (xo,yo)

Và ký hiệu fy' (xo,yo) hay

y

f



(xo,yo)

Nhận xét

i) Cho hàm số z = f(x,y) f (Mx' o) là tốc độ thay đổi (tức thời) của z theo biến x tại điểm Mo fy' (Mo) là tốc độ thay đổi (tức thời) của z theo biến y tại điểm Mo

ii) Để tính đạo hàm của hàm nhiều biến theo một biến cụ thể,

ta coi các biến còn lại là hằng số và tính đạo hàm theo các qui tắc của hàm một biến

Ví dụ

a) Cho z = sin(xy2)+ xy + yx , với x, y> 0 

Tìm các đạo hàm riêng của hàm số

Ta có zx = y2.cos(xy2) +y.xy-1 + yx lny ; zy = 2xy.cos(xy2) + xylnx + x.yx-1

b) Cho hàm z arctg y

x

 Tìm các đạo hàm riêng

Ta có z x= 2 2 2 2

2

1.1

y

x z

Đạo hàm riêng hàm hợp

Để cụ thể xét hàm hợp thông qua 2 biến trung gian Trường hợp

3,4,… biến trung gian tương tự

Mệnh đề Xét hàm hợp z = f [u(x,y) , v(x,y) ] theo hai biến

x , y thông qua các biến trung gian u , v Giả sử thỏa mãn 2

điều kiện sau

i) Các hàm số u(x,y) , v(x,y) có các đạo hàm riêng u , ux y,

vx, vy tại điểm M(x,y)

ii) Hàm số f(u,v) có các đạo hàm riêng liên tục f'u và f'v

Khi đó hàm hợp z = f [u(x,y) , v(x,y) ] thông qua 2 biến

trung gian u , v cũng có các đạo hàm riêng tại điểm (x,y) và

Tìm các đạo hàm riêng của hàm hợp z

yx

ycos.x

=    

x

ysinx

1x

ycos.y

3.2 ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP CAO

 Cho hàm số f(x,y) có các đạo hàm riêng tại(x,y) tập mở

D nào đó, các hàm số f'x(x,y) và f'y(x,y) gọi là các hàm đạo hàm riêng cấp 1 của hàm số f(x,y)

Đạo hàm riêng (nếu có) của hàm đạo hàm riêng cấp1 gọi là đạo hàm riêng cấp 2 của hàm f

Cứ như vậy , ta định nghĩa các đạo hàm riêng cấp 3,4,

 Định lý Nếu hàm số f(x,y) có các đạo hàm riêng cấp k liên

tục trong một tập mở  nào đó thì trong tập  , giá trị các

đạo hàm riêng cấp k không phụ thuộc thứ tự biến lấy đạo

hàm mà chỉ phụ thuộc số lần lấy đạo hàm theo mỗi biến

Chẳng hạn, hàm số f(x,y) có tất cả các hàm đạo hàm riêng

cấp 4 liên tục trên tập mở  nào đó

Khi đó fxxyy'' fyyxx'' fxyyx''' fyxyx'' fxyxy'' fyxxy'' trên 

Ví dụ Tìm các đạo hàm riêng cấp hai của z = ln( x2 + y )

Ta có

yx

1z

,yx

xz

2 y 2

xy 2 2

2 xx

)yx(

1z

,)yx(

xz

z ,)

3.3.VI PHÂN CẤP MỘT ( VI PHÂN TOÀN PHẦN)

 Cho hàm số f(x,y) xác định được ở lân cận nào đó của điểm

(xo,yo) và có các hàm đạo hàm riêng liên tục tại điểm (xo,yo)

Ta nói hàm số f(x, y) khả vi tại điểm Mo(xo, yo) và vi phân

hàm f(x,y) tại điểm (xo,yo) là biểu thức

df(xo,yo) = fx( xo, yo).x +f y( xo, yo).y

(ứng gia biến x,y)

Do dx= x, dy = y nên có thể viết

df(xo,yo) = f  ( xx o, yo).dx +f  ( xy o, yo).dy

Nhận xét Gọi f(xo,yo) = f(xo+x, yo+y) – f(xo,yo) là số gia hàm số f(x,y) tại điểm (xo yo)

Người ta chứng minh được:

f(xo,yo)  df(xo , yo ) , khi x, y đủ bé

Ví dụ Chỉ ra hàm số z = ln( 1 + x2 +y2 ) khả vi tại  (x,y) 

R2 Tính df (1,1)

Ta có

2 2 2 y

2 2 2 x

)yx1(

yz

,)yx1(

xz

yyxx

VI PHÂN CẤP CAO

Người ta chứng minh được Nếu hàm số f(x,y) có các đạo hàm riêng cấp k liên tục trên tập mở D thì nó có vi phân cấp k trên D và ta có công thức hình thức

k k

Hay d2f = f (dx)xx 22f dx.dy f (dy)xy  yy 2

3.4 SỬ DỤNG ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG PHÂN TÍCH

KINH TẾ

Cho đại lượng zz(x , x , , x ), với x ,x , , x là các 1 2 n 1 2 n

biến độc lập

 Giả sử tồn tại đạo hàm riêng

1) Đạo hàm riêng này là tốc độ thay đổi (tức thời) của z

theo biến xi tại điểm cụ thể

 Cho f khả vi tại điểm (x , x , , x ) (a , a , ,a )1 2 n  1 2 n Khi đó

Nếu các biến xi đều thay đổi các lượng xi đủù bé (xi đủù

bé ) thì đại lượng z sẽ thay đổi một lượng là

z  dz(a ,a , , a )1 2 n

Ví dụ Cho hàm cầu Q 10000 0,5P  12P220,4P32

 Tại mức giá (P1, P2 , P3 )= ( 20, 20, 10), ta có

1

P 1

QQ

QQ

QQ

đv sản phẩm

+Tốc độ thay đổi (tức thời) của Q theo P2 là 40 đv / (đv giá), nôm na: Nếu tăng P2 thêm 1 đv giá thì nhu cầu Q sẽ tăng 40đv sản phẩm

+Tốc độ thay đổi (tức thời) của Q theo P3 là 8đv / (đv giá), nôm na: Nếu tăng P3 thêm 1 đv giá thì nhu cầu Q sẽ giảm 8

đv sản phẩm

 Tại mức giá (P1, P2 , P3 )= ( 20, 20, 10), ta có Q = 8360

1 1

3 3

+ Nếu giá P1 tăng thêm 1% thì nhu cầu Q giảm bớt 0,0478%

+ Nếu giá P2 tăng thêm 1% thì nhu cầu Q tăng thêm

0,0957%

+ Nếu giá P3 tăng thêm 1% thì nhu cầu Q giảm bớt 0,0096%

IV CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN

4.1 CỰC TRỊ TỰ DO HÀM 2 BIẾN

 Cho hàm số f(x,y) xác định được ở lân cận nào đó của điểm

Mo(xo,yo)

+ Nói hàm số f(M) đạt cực đại tại điểm Mo nếu hàm số f đạt

GTLN tại Mo khi xét hàm f ở lân cận U đủ bé của Mo

(tức là  lân cận đủ bé U(Mo) : f(Mo)  f(M),  M  U(Mo) )

+ Nói hàm số f(M) đạt cực tiểu tại điểm Mo nếu hàm số f đạt

GTBN tại Mo khi xét hàm f ở lân cận U đủ bé của Mo

(tức là  lân cận đủ bé U(Mo) : f(Mo)  f(M),  M  U(Mo) )

Ta nói hàm số f(M) đạt cực trị tại điểm Mo nếu nó đạt cực

đại hay cực tiểu tại điểm đó

 Định lý (điều kiện cần cực trị hàm số )

Cho hàm số f(x,y) đạt cực trị tại điểm Mo(xo,yo)

Nếu f(x,y) có đạo hàm riêng f  hay x f  tại điểm My o thì đạo

hàm riêng đó bằng 0 tại điểm này

Nhận xét

i) Trong tập xác định, hàm số f(x,y) chỉ có thể đạt cực trị tại các

điểm mà tại đó các đạo hàm riêng hoặc bằng 0 hoặc không tồn tại Ta gọi các điểm đó là các điểm tới hạn của f Một dạng thường gặp của điểm tới hạn là điểm dừng Điểm dừng của hàm f là điểm mà tại đó các đạo hàm riêng đều bằng 0

ii) Nếu hàm f(x,y) có các đạo hàm riêng bằng 0 tại một điểm

vẩn chưa chắc đạt cực trị tại điểm đó

Chẳng hạn hàm số f(x,y) = x3  y3 có các đạo hàm riêng bằng

0 tại điểm (0,0) nhưng không đạt cực trị tại điểm này

Định lý ( điều kiện đủ cực trị hàm 2 biến)

Cho hàm số f(x,y) có các hàm đạo hàm riêng cấp 2 liên tục ở lân cận của điểm Mo(xo,yo), Mo là điểm dừng của hàm số f

(tức là f'

x(Mo) = f'y(Mo) = 0 ) Đặt A = f''

xx(Mo) , B = fxy'' (Mo) và C = f''

yy(Mo) Khi đó

i) Nếu B2 – AC > 0 thì Mo không là điểm cực trị của hàm số f

ii) Nếu B2 –AC < 0 và A < 0 thì Mo là điểm cực đại (thực sự)ï của hàm số f

iii) Nếu B2 –AC < 0 và A > 0 thì Mo là điểm cực tiểu

(thực sự) của hàm số f

Vi dụ Tìm cực trị hàm số z = x3+y3-3xy+1

*Tìm điểm tới hạn

xy0z

0z

4

2 2

2 '

1x

* Kiểm tra Ta có z xx'' = 6x, z xy'' = 3, z yy'' = 6y

+ Tại O(0,0), ta có A = 0, B = 3 , C= 0  B2 –AC =

9 > 0

 f không đạt cực trị tại(0,0)

+ Tại (1,1), ta có A =6, B = 3, C =6  B2 –AC = 9 –

36 < 0 và A > 0

 f đạt cực tiểu tại (1,1)

Ví dụ Tìm cực trị z = x4

+ y4 x2 + 2xy y2 = x4 + y4  (x y)2

* Tìm điểm tới hạn z'

* Kiểm tra Ta có z =12xxx 22; z = 2 ;xy z =12yyy 2 2

+Tại (0,0) Ta có A = 2 ; B = 2 ; C = 2  B2AC = 0 (

chưa thể kết luận )

Với  > 0 đủ bé Ta có f(, 0) = 4 2 < 0 = f(0,0) < f(,) = 24

 Xét trong bất kỳ lân cận U điểm (0,0), f không thể đạt GTLN hoặc GTBN tại (0,0)

 Điểm (0, 0) không là điểm cực trị hàm f

+Tại (1,1) Ta có A = 10; B = 2; C = 10  B2AC < 0và A

> 0

 fCT = f(1, 1)

+Tại (1, 1) Tương tự fCT = f(1, 1)

4 2.CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN HÀM 2 BIẾN

Qui ước các hàm nói đến dưới đây đều là hàm liên tục

 Cho các hàm số f(x,y),  (x,y) xác định được ở lân cận nào đó của điểm Mo(xo,yo) và điểm Mo(xo,yo) thỏa điều kiện

(x,y) = 0

Ta nói hàm số f(x,y) đạt cực đại tại điểm Mo với điều kiện

(x,y)=0 nếu hàm số f đạt GTLN tại Mo khi xét f tại các điểm thỏa điều kiện (x,y)=0 và nằm trong lân cận đủ bé U của Mo

L: (x,y) = 0

O xo x

Ta nói hàm số f(x,y) đạt cực tiểu tại điểm Mo với điều kiện

(x,y)=0 nếu hàm số f đạt GTBN tại Mo khi xét f tại các

điểm thỏa điều kiện (x,y)=0 và nằm trong lân cận đủ bé U

của Mo

Nhận xét

i) Cho đường cong L liền nét có phương trình

(x,y)=0 và cho điểm Mo(xo , yo) L

Giả sử f đạt cực đại ( cực tiểu ) tại Mo với điều kiện (x,y)=0

Điều đó cũng có nghĩa f đạt GTLN (GTBN) tại điểm Mo này

khi xét f tại các điểm  đoạn cung đủ bé của L và có chứa

điểm Mo ở trong

ii) Giả sử điều kiện (x, y) = 0 cĩ thể giải được y =

y(x) Hàm 2 biến f(x,y) đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm

Mo(xo,yo) với điều kiện y =(x) khi và chỉ khi hàm 1 biến u

=f(x,(x)) đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm xo

Tương tự đối với với dạng điều kiện x = x(y)

Ví dụ Tìm cực trị hàm số z = x2 + y2 với điều kiện x + y = 1

+ Điều kiện x+y =1  y = 1 – x

Cho hàm số f(x, y), (x,y) có các đạo hàm riêng cấp 1, cấp 2 liên tục ở lân cận các điểm Mo và  x, y không đồng thời bằng 0 tại các điểm Mo mà chúng ta sẽ xét

Để tìm cực trị hàm f(x, y) với điều kiện (x, y) = 0 ta theo các bước

B1 Đặt hàm L = f(x,y) + (x,y) (gọi là hàm Lagrange )

Giải hệ phương trình

L (x, y) f (x, y) (x, y) 0

L (x, y) f (x, y) (x, y) 0 (x, y) 0

Tìm các điểm (x, y) = (xo,yo) và  = o thỏa hệ (*)

B2 Tại mỗi điểm Mo( xo , yo) cùng  = o thỏa hệ (*)

Biết hàm L = f(x,y) + o (x,y), ta tìm

d2L(Mo)L (M ) dxxx o  22L (M )dx.dyxy o L (M ) dyyy o  2 i) Nếu d2L(Mo) > 0, (dx,dy) ≠(0,0) thỏa

x(M )dxo y(M )dyo

KL: f đạt cực tiểu tại Mo với điều kiện (x,y) = 0

ii) Nếu d2L(Mo) < 0, (dx,dy)≠(0,0) thỏa

Ví dụ Tìm cực trị hàm số z = 4 x y với x2 + y2 = 1

Đặt hàm L = (4 x y) + (x2 + y2 1)

 f đạt cực đại tại (1/ 2,1/ 2) với điều kiện x2 + y2 = 1

4.4 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ BÉ NHẤT CỦA

HÀM HAI BIẾN

Người ta chứng minh được

Định lý

Nếu hàm số f(x,y) liên tục ở trên tập đóng và giới nội D ( 

R2 ) thì f(x,y) đạt trị lớn nhất và trị bé nhất ít ra là một lần

Nhận xét Hàm số f(x,y) chỉ có thể đạt trị lớn nhất và trị bé

nhất ở trên biên của D hay tại các điểm tới hạn của f là điểm trong của D

Do nhận xét trên, để tìm giá trị lớn nhất (giá trị bé nhất ) của hàm f trên, ta có thể theo các bước sau

- Tìm các điểm tới hạn của f là điểm trong của tập D

- Tìm các điểm có khả năng đạt giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất ở trên biên của tập D

- So sánh trị của f(x,y) tại các điểm có khả năng ở trên và tại các điểm tới hạn đã chọn được, rồi suy ra kết quả

Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất của hàm số f(x,y)

= 3x2 + 3y2 –2x –2y + 2 trên hình tam giác D giới hạn bởi

các đường thẳng x=0 , y=0 , x+y1 = 0

B1.Tìm các điểm tới hạn của f ở trong D

3/1x0f

0f' y

' x

là điểm trong của D

B2 Tìm các điểm có khả năng ở trên biên

+ Xét f trên đoạn biên OA : y = 0, x = x , x [0,1] Hàm số trở thành z(x) = f(x, 0) = 3x2 –2x +2, x  [0,1]

Ta có z’ = 6x –2 ; z’ = 0  x = 1/3

 Các điểm có khả năng (0, 0), (1/3, 0) , (1, 0)

+ Xét f trên đoạn biên OB :  x = 0 , y = y, y  [0,1]