Bài giảng: Toán chuyên đề 2 phương pháp tính

GIỚI THIỆU CHUNG Phương pháp tính là một lĩnh vực của toán học chuyên nghiên cứu các phương pháp giải các bài toán chủ yếu là gần đúng bằng cách dựa trên những dữ liệu số cụ thể và cho

GIỚI THIỆU MÔN HỌC

I GIỚI THIỆU CHUNG

Phương pháp tính là một lĩnh vực của toán học chuyên nghiên cứu các phương pháp

giải các bài toán (chủ yếu là gần đúng) bằng cách dựa trên những dữ liệu số cụ thể và cho kết quả cũng dưới dạng số

Ngày nay phần lớn các công việc tính toán đều được thực hiện trên máy tính Tuy vậy thực tế chứng tỏ rằng việc áp dụng các thuật toán và phương pháp tính toán khác nhau có thể cho tốc độ tính toán và độ chính xác rất khác nhau Lấy ví dụ đơn giản như tính định thức của ma trận chẳng hạn, nếu tính trực tiếp theo định nghĩa thì việc tính định thức của một ma trận vuông cấp 25 cũng mất hàng triệu năm (ngay cả với máy tính hiện đại nhất hiện nay); trong khi đó nếu sử dụng phương pháp khử Gauss thì kết quả nhận được gần như tức thời

Như vậy, phương pháp tính là công cụ không thể thiếu trong các công việc cần thực hiện nhiều tính toán với tốc độ tính toán nhanh và độ chính xác cao như vật lý, điện tử viễn thông, công nghệ thông tin

Phương pháp tính được nghiên cứu từ rất lâu và cho đến nay những thành tựu đạt được là một khối lượng kiến thức đồ sộ được in trong nhiều tài liệu sách, báo Tuy nhiên, môn học "Phương pháp tính" chỉ nhằm cung cấp những kiến thức căn bản nhất về phương pháp tính Với lượng kiến thức này sinh viên có thể áp dụng vào giải quyết những bài toán thông thường trong thực tế và có khả năng tự tìm hiểu để nâng cao kiến thức cho mình khi gặp các vấn đề phức tạp hơn

Trong phương pháp tính chúng ta thường quan tâm đến hai vấn đề:

• Phương pháp để giải bài toán

• Mối liên hệ giữa lời giải số gần đúng và lời giải đúng, hay sai số của lời giải

II MỤC ĐÍCH

Môn học phương pháp tính cung cấp cho sinh viên kiến thức căn bản nhất về một số phương pháp giải gần đúng trên dữ liệu số với mục đích

• Tạo cơ sở để học tốt và nghiên cứu các nghành khoa học kỹ thuật

• Góp phần rèn luyện phương pháp suy luận khoa học, tư duy logic, phương pháp nghiên cứu thực nghiệm và xây dựng thế giới quan khoa học và tác phong khoa học cần thiết cho người kỹ sư tương lai

III PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu một số phương pháp cơ bản nhất của phương pháp tính, được ứng dụng nhiều trong thực tế như các phương pháp tính trong đại số tuyến tính, bài toán nội suy, tìm nghiệm gần đúng các phương trình phi tuyến, tính gần đúng đạo hàm và tích phân, giải gần đúng một số dạng của phương trình vi phân Tìm hiểu các lĩnh vực ứng dụng của các phương pháp trong thực tế

IV PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP:

Để học tốt môn học này, sinh viên cần lưu ý những vấn đề sau:

1 Kiến thức chuẩn bị:

2 Tài liệu và dụng cụ học tập:

Nếu cần sinh viên nên tham khảo thêm:

3 Tham gia đầy đủ các buổi hướng dẫn học tập:

Thông qua các buổi hướng dẫn học tập, giảng viên sẽ giúp sinh viên nắm được nội dung tổng thể của môn học và giải đáp thắc mắc, đồng thời sinh viên cũng có thể trao đổi, thảo luận với những sinh viên khác về nội dung bài học

4 Chủ động liên hệ với bạn học và giảng viên:

Cách đơn giản nhất là tham dự các diễn dàn học tập trên mạng Internet, qua đó có thể trao đổi trực tiếp các vấn đề vướng mắc với giảng viên hoặc các bạn học khác đang online

Địa chỉ email để trao đổi với giảng viên : dohoaivu.dhcn@yahoo.com.vn

CHƯƠNG 1

SỐ XẤP XỈ VÀ SAI SỐ MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU

Sau khi nghiên cứu chương 1, yêu cầu sinh viên:

1 Hiểu được sai số tuyệt đối và sai số tương đối

2 Nắm được cách viết số xấp xỉ

3 Hiểu và phân biệt được sai số tính toán và sai số phương pháp

4 Tính được sai số phương pháp

1.1 ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong kỹ thuật giá trị các thông số chúng ta tiếp cận nói chung không phải là giá trị đúng (vì nó là kết quả của các phép đo và thí nghiệm) Như vậy chúng ta đã sử dụng giá trị gần đúng thay cho giá trị đúng, việc này nẩy sinh nhiều vấn đề phức tạp vì giá trị đúng chỉ có một nhưng giá trị gần đúng thì rất nhiều Để có cơ sở khoa học trong việc sử dụng các số

gần đúng người ta đưa ra khái niệm sai số để đo độ chênh lệch giữa các giá trị đúng và giá

trị gần đúng

Chú ý rằng khi sử dụng số gần đúng thay cho một số đúng nào đó người ta luôn phải

dùng đồng thời hai đại lượng đó là : giá trị gần đúng và sai số Hai đại lượng này có vai trò

như nhau

1.2 SAI SỐ TUYỆT ĐỐI VÀ SAI SỐ TƯƠNG ĐỐI

1.2.1 Sai số tuyệt đối

Xét đại lượng đúng A và đại lượng gần đúng của nó là a Ta nói a xấp xỉ A và viết a ≈ A Trị tuyệt đối Δ= |a-A| được gọi là sai số tuyệt đối của a (khi dùng a để xấp xỉ A)

Trong thực tế ta không biết được số đúng A, do đó nói chung sai số tuyệt đối không tính được Vì vậy ta tìm cách ước lượng sai số tuyệt đối của a bằng số Δa > 0 sao cho

|a - A| ≤ Δa

Số dương Δa được gọi là sai số tuyệt đối giới hạn của a

Chú ý: Nếu Δalà sai số tuyệt đối giới hạn của a thì mọi số thực lớn hơn Δa đều là sai số tuyệt đối giới hạn của a, nhưng nếu sai số tuyệt đối giới hạn quá lớn so với sai số tuyệt đối thì nó không còn có ý nghĩa về phương diện sai số nữa Trong những điều kiện cụ thể người ta cố

1.2.2 Sai số tương đối

Đại lượng

A

Tuy nhiên một lần nữa ta thấy rằng A thường không biết, vì vậy người ta định nghĩa đại lượng

a a a

Một số viết dưới dạng thập phân có thể gồm nhiều chữ số, nhưng ta chỉ kể các chữ số từ chữ

số khác không đầu tiên tính từ trái đến chữ số cuối cùng khác không phía bên phải là các

chữ số có nghĩa Chẳng hạn số 2.740 có 3 chữ số có nghĩa, số 0.02078 có 4 chữ số có nghĩa

Giả sử a là xấp xỉ của số A với sai số tuyệt đối là Δa

Nếu Δa≤ 0.5 10s thì ta nói rằng chữ số αslà đáng tin (như vậy các chữ số có nghĩa

bên trái αs đều là đáng tin)

Nếu Δa> 0.5 10s thì ta nói rằng chữ số αslà đáng nghi (như vậy các chữ số bên phải

αsđều là đáng nghi)

Ví dụ Cho số xấp xỉ a = 4.67329 hãy xác định các chữ số đáng tin và các chữ số đáng ngờ

Giải

Ta có Δa = 0.004726 ≤ 0.5 10-2 do đó các chữ số đáng tin là: 4,6,7; các chữ số đáng ngờ là 3,2, 9

b Mọi chữ số có nghĩa đều đáng tin

Cách thứ hai là viết theo quy ước: mọi chữ số có nghĩa đều đáng tin; có nghĩa là sai số tuyệt đối giới hạn không lớn hơn một nửa đơn vị ở hàng cuối cùng

Ví dụ Khi viết a = 4.67329 thì ta hiểu lúc này Δa= 0.5 10-5

1.4 CÁC LOẠI SAI SỐ KHI XỬ LÝ BÀI TOÁN KỸ THUẬT

Khi giải một bài toán phức tạp người ta thường thay bài toán đó bằng bài toán đơn giản hơn để có thể giải được bằng tay hoặc bằng máy Phương pháp thay bài toán phức tạp

bằng một phương pháp đơn giản tính được như vậy gọi là phương pháp gần đúng Sai số do

phương pháp gần đúng tạo ra gọi là sai số phương pháp Mặc dầu bài toán đã ở dạng đơn giản, nhưng trong quá trình giải ta thường xuyên phải làm tròn các kết quả hoặc xử dụng các

số xấp xỉ , sai số tạo ra trong quá trình này gọi là sai số tính toán Trong thực tế việc đánh

giá các loại sai số, nhất là sai số tính toán nhiều khi là bài toán rất khó thực hiện

Tóm lại khi thực hiện một bài toán bằng phương pháp gần đúng ta thường gặp

những loại sai số sau đây:

• Sai số trong việc mô hình hóa bài toán : xuất hiện do việc giả thiết bài toán đạt được một số

điều kiện lý tưởng nhằm làm giảm độ phức tạp của bài toán

• Sai số phương pháp : xuất hiện do việc giải bài toán bằng phương pháp gần đúng

• Sai số của số liệu : xuất hiện do việc đo đạc và cung cấp giá trị đầu vào không chính xác

• Sai số tính toán : xuất hiện do làm tròn số hoăc xử dụng các số xấp xỉ trong quá trình tính

toán, quá trình tính càng nhiều thì sai số tích luỹ càng lớn

Những sai số trên đây tổng hợp lại nhiều khi dẫn đến những lời giải quá cách xa so với lời giải đúng và vì vậy không thể dùng được Chính vì vậy việc tìm ra những thuật toán hữu hiệu để giải các bài toán thực tế là điều rất cần thiết

1.5 SAI SỐ TÍNH TOÁN THƯỜNG GẶP

1.5.1 Sai số quy tròn các số xấp xỉ

Khi tính toán với các con số ta thường làm tròn các số theo quy ước:

Nếu chữ số bỏ đi đầu tiên ≥ 5 thì thêm vào chữ số giữ lại cuối cùng một đơn vị, còn nếu chữ số bỏ đi đầu tiên < 5 thì để nguyên chữ số giữ lại cuối cùng

Giả sử a là xấp xỉ của A với sai số tuyệt đối giới hạn là Δ Giả sử ta quy tròn a thành a' với sai số quy tròn tuyệt đối giới hạn là θ, tức là:

| a' - a| ≤ θ

Khi đó

|a' - A| = | a' - a + a -A| ≤ | a' - a| + | a -A| ≤ θ + Δ Vậy có thể lấy θ + Δ làm sai số tuyệt đối giới hạn của a' Như vậy việc quy tròn làm tăng sai

số tuyệt đối giới hạn

1.5.2 Sai số khi tính toán trên các số xấp xỉ

Ví dụ Cho hàm 2

( , , ) u f x y z x yyz Hãy xác định giá trị hàm số u, sai số tuyệt đối và sai số tương đối của u biết x 0.983, y 1.032(1 0.05),  z 2.114 0.02  Phần ghi chép của sinh viên

Bài 5 Hãy qui tròn các số dưới đây( xem là đúng) với 3 chữ số có nghĩa đáng tin và xác

định sai số tuyệt đối Δ và sai số tương đối δ của chúng:

Bài 6 Hãy xác định: Giá trị của các hàm số, Sai số tuyệt đối giới hạn và Sai số tương đối

giới hạn Biết giá trị của các đối số cho với mọi chữ số có nghĩa đều đáng tin

2 sin( )

Bài 7 Hãy xác định: Giá trị của các hàm số, sai số tuyệt đối và sai số tương đối Biết giá trị

của các đối số cho với mọi chữ số có nghĩa đều đáng tin

Bài 8 Tính thể tích V của hình cầu và chỉ ra sai số tuyệt đối, biết rằng đường kính đo được

d = 1,112m và sai số của phép đo là 1 mm

Bài 9 Hãy xác định sai số tương đối , sai số tuyệt đối và chữ số đáng tin của cạnh hình

CHƯƠNG 2 TÍNH GẦN ĐÚNG NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU

Sau khi học xong chương 2, yêu cầu sinh viên:

1 Kiểm tra được khoảng cách ly nghiệm

2 Tìm được nghiệm gần đúng và đánh giá được sai số

3 Biết vận dụng các phương pháp giải gần đúng vào các bài toán thực tế

2.1 GIỚI THIỆU CHUNG

2.1.1 Đặt vấn đề

Khi giải quyết bài toán kỹ thuật chúng ta thường gặp loại yêu cầu :

Xác định thông số đầu vào, để đầu ra của một hệ thống nào đó đạt một mức cho trước

yêu cầu này có thể phát biểu bằng ngôn ngữ toán học như sau:

Xác định giá trị x( , )a b sao cho ( ) f x 0, (2.1)

Như chúng ta đã biết việc giải phương trình (2.1) không đơn giản (vì không có phương pháp

nhận giá trị x (sao cho (f x)0) thay cho nghiệm đúng α của phương trình nhưng với

thực tế ngay cả khi chúng ta xác định được chính xác giá trị thông số đầu vào thì khi qua hệ thống kết quả đầu ra cũng chỉ gần bằng với yêu cầu)

trị xvà đánh giá sai số gọi là giải gần đúng phương trình

Chú ý: Khi đánh giá sai số chúng ta cần phải tính

   và f x *  f x *  f    f x * Sai số chung của bài toán được tính bởi  maxx*;f x *

Trong bài giảng chỉ tính  x* x*

2.1.2 Các bước giải gần đúng phương trình phi tuyến

Khi giải gần đúng nghiệm của phương trình (2.1) ta cần tuân theo các bước sau:

 Bước 1: Kiểm tra (2.1) có nghiệm đúng duy nhất trên (a,b) (hay (a,b) là khoảng cách ly)

 Bước 2: Dùng các thuật toán để tìm giá trị x và đánh giá sai số

2.1.3 Một số định lý cần thiết trong việc thực hiện giải gần đúng

Để thực hiện bước 1, 2 ta dùng các định lý dưới đây

Định lý1

Nếu hàm số f(x) liên tục, đơn điệu trên đoạn [a,b] và f(a)f(b)<0 thì (a,b) là một

khoảng cách ly nghiệm của phương trình (2.1)

Định nghĩa2

Gọi S x x: x0 C là một lân cận đóng của x0R , A là ánh xạ từ S vào S

Ta nói A là ánh xạ co trên S nếu tồn tại hằng số q < 1 sao cho

Với hàm f(x) liên tục và khả vi trên đoạn [a,b], ngoài ra tồn tại m sao cho

0 < m ≤ |f'(x)| với mọi x thuộc [a,b] khi đó ta có đánh giá: ( n)

n

f x x

- Giả sử phương trình (2.1) có khoảng cách ly nghiệm là (a,b)

- Biến đổi (2.1) được về dạng tương đương x( )x (  gọi là hàm lặp)

b Điều kiện hội tụ của phương pháp

Định lý

Nếu hàm ( ) x có đạo hàm '( ) x và thỏa mãn: '( )x    q 1, x [ , ]a b

thì phương pháp lặp hội tụ, tức là: lim n

n

Chú ý

thỏa điều kiện : '( ) x    q 1, x [ , ]a b ) Để khắc phục điều này ta làm theo hướng dẫn

[ ,a c] với  là hằng số dương đủ nhỏ sao cho đoạn thu hẹp vẫn là đoạn cách ly nghiệm

Chú ý: Với cách đặt như trên thì

Bước 1: Kiểm tra (1,2) là khoảng cách ly nghiệm

f(x) liên tục trên [1,2],

  

   Vậy (1,2) là khoảng cách ly nghiệm

Bước 2: Tính giá trị nghiệm và đánh giá sai số

Chọn M=11 Đặt

( )

M

[1,2]

9

11

x



1.5 2

1 0 1 1 1 0 ( ) 1.420455

0.36 10 1 x x q x x q                ;

2 1 1 2 2 1 ( ) 1.379947

0.18 10 1 x x q x x q               

3 2 1 3 3 2 ( ) 1.357418

0.1 10 1 x x q x x q                ;

4 3 2 1 4 4 3 ( ) 1.344351

5.9 10 10 1 x x q x x q                  Vậy x4 1.344351 là nghiệm gần đúng thỏa yêu cầu về sai số Ví dụ2 Tìm xấp xỉ nghiệm trên đoạn [0.5,1] của phương trình: x 2 e - 3x 0 thỏa yêu cầu sai số 10-2 Ví dụ3 Giải gần đúng trên [1.5, 3] của phương trình: 4 3 2 4 0 x  x   thỏa yêu cầu sai số 10-2 Phần ghi chép của sinh viên

………

………

2.2.2 Phương pháp Newton-Rapson ( hay phương pháp tiếp tuyến )

a Mô tả phương pháp

- Giả sử phương trình (2.1) có khoảng cách ly nghiệm là [a,b]

- Chọn x0thuộc [a,b] sao cho f(x0) cùng dấu với f’’(x), x (a, b)

- Tính giá trị của nghiệm gần đúng thứ n+1 theo công thức

b Điều kiện hội tụ của phương pháp

Chú ý phương pháp Newton-Rapson cũng là một dạng của phương pháp lặp với hàm lặp là

Giả sử hàm f(x) có f’(x) khác không trên đoạn [a,b] và f''(x) không đổi dấu trong

(a,b) Nếu x 0 , x n được chọn như trong mục a) thì phương pháp Newton-Rapson hội tụ, tức

Ví dụ1 Tìm xấp xỉ nghiệm trên đoạn [-3,-2] của phương trình:

x  x   thỏa yêu cầu sai số 10-3

     Vậy [-3,-2.5] là khoảng cách ly nghiệm

Bước 2: Tính giá trị nghiệm và đánh giá sai số

Ví dụ2 Cho phương trình: 2 ln 1 0

2

x

x   Tìm xấp xỉ nghiệm trên đoạn [0.2,1] sau 4 lần lặp Đánh giá sai số khi nhận giá trị nghiệm ở lần lặp thứ tư là xấp xỉ nghiệm

Ví dụ3 Giải gần đúng trên [0,1] của phương trình: x2cos x 0

thỏa yêu cầu sai số 10-4

Phần ghi chép của sinh viên

BÀI TẬP

Bài 1 Dùng một trong hai phương pháp (Lặp hoặc Newton-Rapson) tìm nghiệm gần đúng

0 sin x 4

CHƯƠNG 3 GIẢI GẦN ĐÚNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU:

Sau khi nghiên cứu chương 3, yêu cầu sinh viên:

1 Nắm được các xu hướng xử lý các bài toán đại số tuyến tính

2 Hiểu và thực hiện được các phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ của hệ pttt

3 Biết cách đánh giá sai số của từng phương pháp

3.1 GIỚI THIỆU CHUNG

số phương pháp tiêu biểu như : Cramer, Gauss-Jordan…Đã được khảo sát trong môn toán cao cấp A2, C2

Hướng giải gần đúng

Một số phương pháp tiêu biểu như : Lặp đơn, Seidel,…

Nhận xét

Hướng giải đúng có ưu điểm là tìm ra được giá trị đúng của nghiệm trong trường hợp

hệ có nghiệm duy nhất và chỉ ra được khi nào hệ vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm Tuy nhiên lại rất khó thực hiện trong trường hợp các hệ số aij , bi là các số thập phân

Hướng giải gần đúng có khuyết điểm là chỉ tìm ra được giá trị gần đúng của nghiệm trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất và không chỉ ra được khi nào hệ vô nghiệm hoặc có

phân

Khi mô hình hóa bài toán kỹ thuật bằng hệ phương trình, thường hệ có các hệ số rất

lẻ và chỉ có duy nhất nghiệm nên hướng giải gần đúng chiếm hầu hết khi giải bài toán kỹ thuật

Lưu ý Các phương pháp giải gần đúng dưới đây chỉ giải được một số hệ có dạng đặc biệt

(sẽ được chỉ rõ trong từng thuật toán) Nếu không phải là dạng này thì chúng ta phải dùng

hướng giải đúng để xử lý

3.1.2 Các bước giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính

Khi giải gần đúng nghiệm của hệ phương trình (I) ta cần tuân thủ các bước sau:

 Bước 1: Kiểm tra (I) có nghiệm đúng duy nhất

 Bước 2: Dùng các thuật toán để tìm giá trị gần đúng của nghiệm và đánh giá sai số

3.1.3 Một số khái niệm toán học cần thiết trong việc thực hiện giải gần đúng

Để thực hiện bước 1, 2 ta cần nhắc lại và xây dựng một số khái niệm sau

m ij

n ij

A A A

Ghi chú: Người ta thường dùng kí hiệu A chung cho ba chuẩn trên

x của vecto mang ý nghĩa hình học là độ dài của vecto đó

Tính chất của chuẩn (đọc giáo trình)

Định lý4 (Về sự duy nhất nghiệm của hệ (I))

Xét hệ (I) khi m=n Nếu

3.2 MỘT SỐ THUẬT TOÁN TÌM GIÁ TRỊ GẦN ĐÚNG NGHIỆM

3.2.1 Phương pháp lặp đơn

a Mô tả phương pháp

- Giả sử hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất

- Biến đổi (I) được về dạng

Khi đó (II) được viết dưới dạng x x

- Chọn x(0)  Tính các xấp xỉ nghiệm x(n1) theo công thức

b Điều kiện hội tụ của phương pháp

Vậy hệ có nghiệm duy nhất

Bước 2: Tính gần đúng và đánh giá sai số

Biến đổi (I) được về dạng

x y z

Tìm nghiệm gần đúng của hệ sau 2 bước lặp Đánh giá sai số khi nhận xấp xỉ nghiệm này

Phần ghi chép của sinh viên

3.2.2 Phương pháp Seidel

a Mô tả phương pháp

- Giả sử hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất

- Biến đổi (I) được về dạng xx

- Chọn x(0)  Tính các xấp xỉ nghiệm x(k1) theo công thức

Ví dụ1 Giải gần đúng hệ phương trình bằng phương pháp Seidel

Vậy hệ có nghiệm duy nhất

Bước 2: Tính gần đúng và đánh giá sai số (Theo công thức (**))

Biến đổi (I) được về dạng

x y z

CHƯƠNG 4

ĐA THỨC NỘI SUY VÀ PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG BÉ NHẤT

MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU

Sau khi học xong chương 4, yêu cầu sinh viên:

1 Hiểu được thế nào là bài toán nội suy và hồi quy

2 Thực hiện được các phương pháp nội suy đa thức

3 Tìm được các hàm xấp xỉ theo phương pháp bình phương bé nhất

4.1 GIỚI THIỆU CHUNG

Khi nghiên cứu các vấn đề kỹ thuật, kinh tế, xã hội chúng ta thường gặp phải nhu cầu

từ các số liệu rời rạc đã có của các đại lượng đang xét, suy ra mối quan hệ toán học giữa chúng, sau đó sử dụng công cụ toán học nghiên cứu các vấn đề mà ta quan tâm trên các đại lượng đang xét

Ví dụ Quan sát hai đại lượng X , Y ta có bảng số liệu:

Có rất nhiều câu hỏi liên quan đến mối quan hệ giữa X,Y mà nếu không sử dụng công cụ toán học thì chúng ta không trả lời được ví dụ như:

- Khi X tăng thì Y có tăng hay không ?

- Khi nào thì Y đạt cực đại?

- Khi X= 36 thì Y là bao nhiêu ?

Khi giải bài toán trên điều đầu tiên chúng ta quan tâm là nên chọn dạng hàm f(x) như thế nào Các định lý về xấp xỉ sau đây của Weierstrass sẽ cho chúng ta gợi ý về dạng hàm f(x)

Như vậy việc chọn đa thức là thích hợp cho dạng hàm f(x)

Tiếp theo chúng ta sẽ đi xác định các hệ số ai, bj trong đa thức pm(x) Việc xác định các hệ số thường dựa vào một trong hai dạng yêu cầu:

còn gọi là bài toán hồi quy hoặc hàm hồi quy) nó được dùng khi yi f (x )i

Chú ý: Khi xây dựng quan hệ giữa y và x theo phương pháp bình phương bé nhất có thể

không phải dạng đa thức

4.2 ĐA THỨC NỘI SUY

4.2.1 Đa thức nội suy Lagrange (đọc giáo trình)

4.2.2 Đa thức nội suy Newton

a) Các giá trị x i cách đều : h = x i+1 - x i

Bước 1 Tính các hiệu hữu hạn tiến ki

Bước 2 Lập đa thức nội suy

Đa thức nội suy Newton tiến

b) Các giá trị x i không cách đều

Bước 1 Tính các tỉ hiệu hữu hạn tiến f[x , xi i n ]

Bước 2 Lập đa thức nội suy

Đa thức nội suy Newton tiến

Bước 2 Lập đa thức nội suy

Đa thức nội suy Newton tiến

0 1