M t s v n đ ch n l c trong toán cho k s
Nguy n Linh Giang
Vi n CNTT&TT
Trang 3( )
( )
1
x
x X X
F x
X x
1
1 2
2
y Y Y
F y
Y y
[ ( x1 < X ( ) ≤ x2) ∩ ( y1 < Y ( ) ≤ y2) ] = ?
Trang 4, (
) )
( ( )
) ( ( )
x X
P
y Y
x X
P y
x
1 )
, (
, 0 )
, ( )
, ( −∞ = XY −∞ = XY +∞ +∞ =
Trang 52.6 Hàm c a hai bi n ng u nhiên
¸ Tính ch t
) ,
( )
, (
) , ( ) , ( ) ( , ) ( 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 y x F y x F y x F y x F y Y y x X x P XY XY XY XY + − − = ≤ < ≤ < ξ ξ
) , ( )
, (
2
y x
y x F
y x
∂
∂
∂
=
)
, ( )
,
F XY = ∫ ∫−x∞ −y∞ XY
1 )
,
∫ ∫−+∞∞
∞ +
∞
− f XY x y dxdy
Trang 6, ( )
, (
) , ( )
, (
) ,
(
) ,
( )
( ,
) (
y x y
x f
dudv v
u f
y x F
y x x
F y
y x F
y y
x x
F y
y Y
y x x
X x
P
XY
x x x
y y
y XY
XY XY
XY
XY
Δ Δ
=
=
+ Δ
+
− Δ
+
−
Δ + Δ
+
= Δ
+
≤
<
Δ +
≤
<
∫ ∫+Δ +Δ
ξ ξ
x fXY x y dxdy D
Y X
P
) ,
) , (
) , (
) (
), ,
( )
) , ( )
(
, ) , ( )
Trang 7¸ o hàm c a hàm d i d u tích phân
) , ( )
) (
∫
x
a h x y dy x
H
2.6 Hàm c a hai bi n ng u nhiên
( ) ( )
Trang 8i P X x Y y p x
i
j P X x Y y p y
Y
mn mj
m m
in ij
i i
n j
n j
p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p
L L
M M M M M M
L L
M M M M M M
L L
L L
2 1
2 1
2 2
22 21
1 1
12 11
2.6 Hàm c a hai bi n ng u nhiên
∑
j ij
p
∑
i ij
p
Trang 9∫ ∫−+∞∞
∞ +
, 1 0
c, )
),(
1
0
2 1
y x XY
,10
),1
(22
),()
∞ +
∞
=
x y XY
f
.10
,22
),()
∞
x XY
f
Trang 102.6 Hàm c a hai bi n ng u
nhiên
m t đ phân b liên h p:
¸ Các hàm m t đ biên s là:x y b
e y
x
Y Y
X
Y X
X
x
Y X XY
1
|
| ,
,
, 1 2 1 ) , ( 2 2 2 2 2 ) ( ) )( ( 2 ) ( ) 1 ( 2 1 2 < +∞ < < ∞ − +∞ < < ∞ − − = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + − − − − − − ρ ρ σ πσ σ μ σ σ μ μ ρ σ μ ρ ), , (
2 1 ) , ( ) ( ( ) /2 2 2 2 2 X X x X XY X x f x y dy e N f X X μ σ πσ σ μ − − ∞ + ∞ − = = ∫ ), , ( 2
1 )
, ( )
2
2 2
Y Y y
Y
XY
πσ
σ μ
−
−
∞ +
∞
= ∫
) ,
, ,
, ( μ X μY σ X2 σ Y2 ρ
N
Trang 112.6 Hàm c a hai bi n ng u nhiên
¸ Hai bi n ng u nhiên X và Y đ c coi là đ c l p
( )
, ( x y F x F y
, all for
) (
) (
) ,
Trang 12, 0
, 1 0
, 0
, )
, (
y XY
.10
,22
2
),()
(
0 0
0
2 0
x x
dy ye
ye x
dy e
y x
dy y x f
x f
y y
y XY
X
.0
,2
),()
(
2 1
∫ f x y dx y e y y
),()()
,
Trang 13x XY
z Z
dxdy y
x f
D Y
X P z
Y X g P z
Z P z
F
) , ( )
, ( )
( )
Trang 14) ( ( , ) ),
(
)
(),
(
)()
h z
z a
h dz
z
da z
z b
h dz
z db dz
z dH
Trang 15̈ Ví d : X, Y là hai bi nng u nhiên hàm
m đ c l p v i cùng tham s λ Xác đ nh hàm m t đ fZ(z) c a Z = X+Y.
2.6 Hàm c a hai bi n ng u
nhiên
), (
) (
), ( )
) (
)
0
2 0
) (
2
z U e
z dx
e dx
e e
z
Trang 16Moment liên h p và hàm đ c tính liên h p
-Mô t các tham s bi u di n thông tin trong hàm phân b liên h p c a hai đ i l ng ng u nhiên
-Cho hai bi n ng u nhiên X và Y và hàm hai bi n
Xác đ nh bi n ng u nhiên Z:
Ta có k v ng c a Z:
),(
Z =
), , ( x y g
) ( )
( = ∫−+∞∞
Z
μ
Trang 17Δ+
≤
<
=Δ
=Δ
XY
Z
y x y
x f
z z
Y X g z
P z
z f z
z Z
z P
) , (
),(
),()
(
z
) , ( X Y g
Trang 19N u X và Y là các bi n ng u nhiên đ c l p, Z = g ( X)
)]
([)]
([)
()()
()(
)()()()()]
()(
[
Y h E X g E dy
y f y h dx
x f x g
dxdy y
f x f y h x g Y
h X
g
E
Y X
Y X
∞
−
∞ +
∞
−
∞ +
∞
−
∞ +
Trang 20Hi p bi n: Cho hai bi n ng u nhiên b t k X và Y
Ta có:
Ta th y
)()()
()
()
,(
Y X XY
Y E X E XY
E XY
E Y
)()
()
()
,(2
)(
)(
)(
)(
2
2
≥+
+
=
−+
−
=
Y Var Y
X Cov
a X
Var a
Y X
a E U
Trang 21Các bi n ng u nhiên không t ng quan: n u thì
=
XY
ρ
,)
( ,)
)
()()
.0)
E
),()()
, 1 1
, ) , ( )
( )
(
) ,
Y X XY
Y X Cov Y
Var X
Var
Y X
σσρ
Y X XY
Y X Cov ( , ) = ρ σ σ
Trang 22x E
dx x xp x
E
x x
p
) ( ) (
) ) ((
) ( )
(
2
1 exp
2
1 )
(
2 2
2
2
μμ
σ
μ
σ
μσ
π
2.8 Phân b Gauss
Trang 23̈ Phân b Gauss nhi u chi u ( d chi u )
x x
x
x x x x
x x
x
d p
E
d p
E p
T T
T d
) ( ) )(
( )
) )(
((
) ( )
(
) (
)
( 2
1 exp )
2 (
1 )
2 / 1 2
/
π
) ( i
i = E x
μ
)) )(
(( i i j j
ij E x μ x μ
2.8 Phân b Gauss
Trang 24, 11
00
σ σ
σ σ
σ
j i ij
2.8 Phân b Gauss
Trang 26¸ Phân b Gaussian nhi u chi u đ c xác
đ nh hoàn toàn b ng d+d(d+1)/2 tham
) (