Nghiệm đa thức một biến

NGHIỆM CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN 1... Nghiệm của đa thức một biến: 2... * Một đa thức khác đa thức không có thể có một nghiệm, hai nghiệm, ….. * Người ta đã chứng minh được rằng số nghiệm c

Kiểm tra bài cũ:

* Cho đa thức P(x) x = 2 − 4x 4 +

Tính giá trị của đa thức P(x) tại x = 1; x = 2

2

P( 1 ) 1= − 4 1 4 1 4 4 1+ = − + =

2

P( )2 = 2 − 4.2 + = − + =4 4 8 4 0

Bài giải:

Tại x = 1 và x = 2 ta có:

Vậy giá trị của biểu thức P(x) tại x = 1 ; x = 2 lần lượt là : 1 ; 0

5(F 32) 0

Nước đóng băng tại 0 0 C, nên thay C = 0 vào công thức (1) ta có:

§9. NGHIỆM CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN

1 Nghiệm của đa thức một biến:

V ậy nước đóng băng ở 32 ° F.

* Bài toán :

Cho biết công thức đổi từ độ F

sang độ C là:

5

32 9

Hỏi nước đóng băng ở bao nhiêu

độ F?

(1)

• Trong công thức trên, thay F = x

( ) =

P x 5(x -32) = x -5 160

• Ta có P(32) = 0

• Ta nói x = 32 là một nghiệm của đa thức P(x)

Em hãy cho biết nước đóng băng

ở bao nhiêu độ

C?

F 32 0

F 32

− =

⇒

Vậy khi nào P(x) =

có giá trị bằng 0 ?

x

ta có :

1 Nghiệm của đa thức một biến:

* Bài toán (sgk/47)

• Ta có P(32) = 0

• Ta nói x = 32 là một nghiệm

của đa thức P(x)

5 160 P(x) = x

* Xét đa thức Nếu tại x = a đa thức P(x) có giá

trị bằng 0 thì ta nói a (hoặc x = a)

là một nghiệm của đa thức đó.

Muốn kiểm tra một số a có phải là nghiệm của đa thức P(x) không ta làm như sau:

• Tính P(a) =? (giá trị của P(x) tại x = a)

• Nếu P(a) = 0 => a là nghiệm của P(x)

• Nếu P(a) 0 => a không phải là

nghiệm của P(x)≠

Vậy khi nào số a được gọi là nghiệm của

đa thức P(x)?

Muốn kiểm tra một số

a có phải là nghiệm của đa thức P(x) hay không ta làm thế nào?

Khái niệm:

* a (ho c ặ x = a ) lµ nghiÖm cña

®a thøc P(x) ⇔ P( a ) = 0

* a (ho ặc x = a ) lµ nghiÖm

cña ®a thøc P(x) ⇔ P( a ) = 0

b) x = 1; x = -1 là nghiệm của đa thức

Q(x) = x 2 - 1 vì Q(1) = 1 2 – 1= 0 ; Q(-1) = (-1) 2 - 1= 1 – 1 = 0

− = − + = − + =

Vì

a) x 1 là nghiệm của P(x) = 2x+1

2

= −

b) Cho Q(x) = x 2 – 1

Tại sao x = 1 và x = -1 là nghiệm của đa thức Q(x) ?

c) Cho đa thức G(x) = x2 + 1

Có giá trị nào của x làm cho G(x) = 0 hay không? Tại sao?

có phải là nghiệm của đa thức

a) x 1

2

= −

P(x) = 2x +1 hay không ?

Muốn kiểm tra một số a có

phải là nghiệm của đa thức P(x)

không ta làm như sau:

• Tính P(a) =? (giá trị của P(x)

tại x = a)

• Nếu P(a) = 0 => a là nghiệm

của P(x)

• Nếu P(a) 0 => a không phải

là nghiệm của P(x)≠

1 Nghiệm của đa thức

một biến: 2 VÝ dô:

Vậy đa thức G(x) = x 2 +1 không có nghiệm.

Vì x2 ≥0 với mọi x

2 2

x 1 1

x 1 0

⇒ + ≥

⇒ + > với mọi x

c) G(x) = x2 + 1

Không có giá trị nào của x làm cho G(x) = 0

a (ho c ặ x = a ) lµ nghiÖm cña

®a thøc P(x) ⇔ P( a ) = 0

2 Ví dụ:

b) x = 1;x = -1 là nghiệm của đa thức Q(x)=x 2 - 1

a) x 1 là nghiệm của P(x) = 2x+1

2

= −

c) Đa thức G(x) = x2 + 1 không có nghiệm.

* Một đa thức (khác đa thức không) có thể có một nghiệm, hai nghiệm, … hoặc không có nghiệm.

* Người ta đã chứng minh được rằng số nghiệm của một đa thức (khác đa thức không) không vượt quá bậc của nó.

* Chú ý:

1 Nghiệm của đa thức

một biến:

Vậy một đa thức

(khác đa thức

không) có thể có

bao nhiêu nghiệm?

1 Nghiệm của đa thức

một biến:

2 Vớ dụ:

?1 x = -2; x = 0; x = 2 cú phải là nghiệm

của đa thức hay khụng?

Vỡ sao?

3

H(x) x= −4x

Vậy x = -2; x = 0; x = 2 là nghiệm của đa thức H(x) x = −3 4x

a (ho c ặ x = a ) là nghiệm

của đa thức P(x) ⇔ P( a ) =

0

* Chỳ ý (SGK trang 47):

Muốn kiểm tra một số a cú

phải là nghiệm của đa thức

P(x) khụng ta làm như sau:

• Tớnh P(a) =? (giỏ trị của P(x)

tại x = a)

• Nếu P(a) = 0 => a là nghiệm

của P(x)

• Nếu P(a) 0 => a khụng

phải là nghiệm của P(x)

≠

Thay lần lượt x = -2; x = 0; x = 2 vào đa thức `H(x) ta có:

0 8 8 )

2 ( 4 ) 2 ( ) 2 ( − = − 3 − − = − + =

H

0 0 4 ) 0 ( ) 0 ( = 3 − =

H

0 8 8 2 4 ) 2 ( ) 2 ( = 3 − = − =

H

1 Nghiệm của đa thức

một biến:

2 Ví dụ:

a (ho c ặ x = a ) lµ nghiÖm

cña ®a thøc P(x)⇔ P( a )= 0 1

P(x) 2x

2

= + 2 Q(x) x = − − 2x 3

1 2

1 -1

Trong các số cho sau mỗi đa thức, số nào là nghiệm của đa thức?

1 4

1 4

−

1 1 1 3

P 2.

2 2 2 2

 ÷

 

1 1 1

4 4 2

  = + =

 ÷

 

− = − + =

   

?2

2

Q( 1) ( 1) − = − − − − = 2.( 1) 3 0

2

Q(3) 3 = − 2.3 3 0 − =

2

Q(1) 1 = − 2.1 3 − = − 4

1 x

4

=−

1 P(x) 2x

2

của đa thức

Vậy x = 3 và x = -1 là nghiệm của đa thức

Q(x) = x 2 – 2x – 3

3

Muốn kiểm tra một số

a có phải là nghiệm của

đa thức P(x) không ta làm

như sau:

• Tính P(a) =? (giá trị của

P(x) tại x = a)

• Nếu P(a) = 0 => a là

nghiệm của P(x)

• Nếu P(a) 0 => a không

phải là nghiệm của P(x)≠

* Chú ý (SGK trang 47):

Ngoài x= 3; x =-1 đa thức Q(x) có nghiệm

nào nữa không? Vì sao?

Vì bậc đa thức Q(x) là bậc 2 nên Q(x) có nhiều nhất 2 nghiệm do đó ngoài 2 nghiệm trên Q(x)

không có nghiệm nào khác

Trò chơI toán học

(hoạt động nhóm)

Cho đa thức P(x) = x3 – x Mỗi tổ cử một thành viên đại diện cho tổ lên bảng ghi các số là

nghiệm của đa thức P(x) trong các số -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3 Tổ nào ghi được nhiều số là nghiệm của P(x) , tổ đó giành chiến thắng.

-1 ; 0 ; 1

1 Nghiệm của đa thức

một biến:

2 Ví dụ:

b) Cho P(y)= 0 => 3y + 6 = 0

=> 3y = -6

=> y= -2

VËy y = -2 lµ nghiÖm cña ®a thøc P(y)

b) Tìm nghiÖm cña ®a thøc P(y) = 3y + 6

a) cã ph¶i lµ nghiÖm cña ®a thøc P(x) 5x 1

2

1 x

10

=

1 x

10

=

kh«ng lµ nghiÖm cña ®a thøc

  = + = + = ≠

 ÷

 

a) Vì

1 P(x) 5x

2

Muốn kiểm tra một số

a có phải là nghiệm của

đa thức P(x) không ta làm

như sau:

• Tính P(a) =? (giá trị của

P(x) tại x = a)

• Nếu P(a) = 0 => a là

nghiệm của P(x)

• Nếu P(a) 0 => a không

phải là nghiệm của P(x)≠

* Chú ý (SGK trang 47):

a (ho ặc x = a ) lµ

nghiÖm cña ®a thøc

P(x) khi P( a ) = 0

Nhận xét: Để tìm nghiệm của đa thức, ta có thể cho đa thức đó bằng 0, rồi thực hiện như bài toán tìm x.

Bµi tËp 1:

Qua bài này ta cần ghi nhớ

kiến thức gỡ?

Đ9. NGHIỆM CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN

Hướng dẫn về nhà

* Bài tập 54; 55 ;56( SGK /48 ), 44;45(SBT/16)

* Giờ sau luyện tập

Cỏch 1: Kiểm tra lần lượt cỏc giỏ trị cho trước của biến

Giỏ trị nào làm cho P(x) = 0 thỡ giỏ trị đú là nghiệm của đa thức P(x).

Cỏch 2: Cho P(x) = 0 rồi tỡm x

a là nghiệm của đa thức P(x) ⇔ P(a) = 0



Để tỡm nghiệm của đa thức một biến P(x):



GHI NHỚ

Một đa thức (khỏc đa thức khụng) có thể có 1 nghiệm, hai nghiệm, hoặc không có nghiệm, đa thức đó … cú số nghiệm khụng vượt quỏ bậc của nú



1 Nghiệm của đa thức

một biến:

2 Vớ dụ:

Muốn kiểm tra một số

a cú phải là nghiệm của

đa thức P(x) khụng ta làm

như sau:

• Tớnh P(a) = ? (giỏ trị của

P(x) tại x = a)

• Nếu P(a) = 0 => a là

nghiệm của P(x)

• Nếu P(a) 0 => a khụng

phải là nghiệm của P(x)≠

* Chỳ ý (SGK trang 47):

a (ho c ặ x = a ) là nghiệm

của đa thức P(x)⇔ P( a )= 0 THảO luận nhóm

Bài 56 (sgk/48)

đố: Bạn Hùng nói : Ta chỉ có thể viết được “

Bạn Sơn nói : Có thể viết được nhiều đa thức“

một biến có một nghiệm bằng 1 ”

ý kiến của em?

Ch©n

thµnh

c¶m ¬n

thÇy,

vµ em

häc

sinh

1/ TÝnh gi¸ trÞ cña ®a thøc:

P(x) = x 2 2x 3 t¹i x = -1; x = 0; x = 3– –

Gi¶i:

KiÓm tra

P(3) = 32 – 2.3 – 8 = 9 – 6 – 3 = 0

T¹i x = 3 thì gi¸ trÞ cña ®a thøc P(x) b»ng 0

P(-1) = (-1)2 – 2.(-1) – 3 = 1 + 2 - 3 =

0

T¹i x = -1 thì gi¸ trÞ cña ®a thøc P(x) b»ng 0

P(0) = 0 – 2.0 – 3 = - 3

T¹i x = 0 thì gi¸ trÞ cña ®a thøc P(x) b»ng -3

3

− =