Phân tích đa thức thành nhân tử

Đặc biệt kỹ năng phân tích đa thức thành phân tử là một kỹ năng cơ bản quan trọng, nếu nắm vững và thành thạo kỹ năng này thì học sinh có khả năng giải quyết đợc nhiều vấn đề trong chơng

Phần I lời nói đầu

Phân tích đa thức thành nhân tử là một phần quan trọng cả về mặt kiến thức lẫn kĩ năng thực hiện đối với học sinh bậc THCS

Nội dung này đợc giới thiệu trong chơng trình Toán lớp 8 và có thể coi

là nội dung nòng cốt của chơng trình Vì nó đợc vận dụng rất nhiều ở các chơng sau, trong các phần: Rút gọn phân thức, quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi đồng nhất biểu thức hữu tỉ, giải phơng trình, bất phơng trình Thực tế giảng dạy cho thấy, số tiết giảng dạy cho phần này không nhiều nên đa số học sinh còn lúng túng và đối với học sinh khá giỏi thì còn rất nhiều vấn đề của kiến thức cha đợc đề cập tới

Đặc biệt kỹ năng phân tích đa thức thành phân tử là một kỹ năng cơ bản quan trọng, nếu nắm vững và thành thạo kỹ năng này thì học sinh có khả năng giải quyết đợc nhiều vấn đề trong chơng trình Đại số lớp 8 và lớp 9 cũng nh nhiều vấn đề Toán học khác có liên quan, tìm

đợc lời giải hay và ngắn gọn cho một bài toán Nhng nhiều lúc việc phân tích đa thức thành nhân tử thật không dễ chút nào, nhất là trong trờng hợp các đa thức cần phân tích có bậc cao, hệ số lớn, phức tạp Để giúp cho tất cả học sinh đại trà và để bồi dỡng học sinh khá giỏi đạt kết quả tốt trong việc phân tích đa thức thành nhân tử là một vấn đề cần đợc quan tâm Nhng hiện nay trên thị trờng có rất ít sách dành riêng cho chuyên

đề phân tích đa thức thành nhân tử Đó chính là lý do tôi đa ra đề tài này

Về nội dung đề tài, sau khi giới thiệu những phơng pháp cơ bản có ví dụ cụ thể, tôi đã giới thiệu các bài tập có lời giải vận dụng tổng hợp các phơng pháp trên

Tất cả các phần đều đợc trình bày theo lôgic Giới thiệu phơng pháp các bớc làm, ví dụ minh hoạ và một số bài tập tơng tự để làm thêm

Với nội dung và cách trình bày trên, hy vọng đề tài này không chỉ là tài liệu hớng dẫn đối với học sinh THCS mà còn là tài liệu tham khảo bổ ích cho các bạn trong việc giảng dạy ở các trờng THCS sau này

PhÇn II NéI DUNG

VÝ dô:

BiÓu thøc: f(x) = 5x3- x2 + 3x + 7 lµ mét ®a thøc cña biÕn (Èn) x BiÓu thøc: g(y) = 7y2+ 3y - 6 lµ mét ®a thøc cña biÕn (Èn) y BiÓu thøc: h(x,y) = 5x3y - 3x2y2- 2y3 + 7 lµ mét ®a thøc cña hai biÕn (Èn) x vµ y

Trừ một số trờng hợp các bài toán đơn giản, còn đối với nhiều bài toán nhất là những bài toán phức tạp, có bậc cao ta phải vận dụng tổng hợp các phơng pháp trên một cách linh hoạt để giải.

+ Đa nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc Các hạng tử trong dấu ngoặc

là thơng của phép chia các hạng tử của đa thức cho nhân tử chung

b) Ví dụ:

1) A = 5x2y – 10xy2

2) B = 2x(3y –7 z) + 6y(7z – 3y)

3) C = (y2 – z)(2x2y – yz) – (4yx2 + yz2)(z – y2) + 6x2z(y2

Đổi dấu hạng tử 6y(7z – 3y) = - 6y(3y – 7z), ta có thừa số (3y – 7z) chung :

Đổi dấu – (4yx + yz )(z – y ) = (4yx + yz )( y – z), ta có thừa số (y2 – z) chung:

C = (y2 – z)(2x2y – yz) – (4yx2 + yz2)(z – y2) + 6x2z(y2 – z) = (y2 – z)(2x2y – yz) + (4yx2 + yz2)( y2 – z) + 6x2z(y2 – z) = (y2 – z)[( 2x2y – yz ) + (4yx2 + yz2) + 6x2z]

Khai thác bài toán:

Nếu chú ý đến các hạng tử của các biểu thức và bằng cách đặt thừa

số chung , ta có thể giải các bài toán tơng tự nh sau:

Bài toán 1.1: Phân tích đa thức

Để áp dụng phơng pháp này, ta cần biến đổi các hạng tử để làm xuất

hiện các hằng đẳng thức (nếu có thể) Sau đó dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử

Ta thấy mỗi hạng tử của đa thức trên đều không có nhân tử chung nên không thể phân tích các đa thức đó thành nhân tử bằng cách

đặt nhân tử chung Mặt khác ta thấy các biểu thức đêù có dạng hằng

đẳng thức Vì thế có thể áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích các đa thức đó thành nhân tử

Bài toán 1.1: Phân tích đa thức

3) Ph ơng pháp nhóm nhiều hạng tử:

a)Phơng pháp:

Sử dụng tính chất giao hoán và tính chất kết hợp của phép cộng các

đơn thức, ta có thể kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm Trong mỗi nhóm này, ta áp dụng liên tiếp các phơng pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức để tiếp tục phân tích

L u ý: Thờng thì ta sẽ có nhiều cách nhóm các hạng tử khác nhau

Nhóm hạng tử thứ nhất, thứ hai với hạng tử thứ t, hạng tử thứ ba, thứ năm với hạng tử thứ sáu để có dạng hằng đẳng thức và tiếp tục phân tích, ta có :

Nhận xét : Trong cách giải trên, ta đã nhóm 3 hạng tử cuối của đa

thức và đa vào trong dấu ngoặc đằng trớc có dấu “ – ” để phân tích đa thức bằng phơng pháp dùng hằng đẳng thức

Khai thác bài toán:

Nếu chú ý đến phơng pháp nhóm các hạng tử, ta có thể giải các bài toán tơng tự nh sau:

Bài toán 1.1: Phân tích đa thức

Sau đó ta xem đa thức trong ngoặc là bài toán mới và quay lại với

b-ớc 1 và tiếp tục thực hiện đến kết quả cuối cùng

B ớc 2: Nếu đa thức có dạng của một hàng đẳng thức thì áp dụng

ph-ơng pháp hằng đẳng thức Nếu không thì chuyển qua bớc 3

Bài toán 1.1: Phân tích đa thức

I = 3n −12n 27 3m+ −

Bài toán 1.2: Phân tích đa thức

K = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy

Bài toán 1.3: Phân tích đa thức

L = 7a c 14a c 7ac5 + 3 − 2 + 28c 7ac 28 + −

5 Ph ơng pháp tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử.

a) Phơng pháp:

đẳng thức nên việc phân tích thành nhân tử là rất khó Vì thế ta nên tách một hạng tử thành hai hoặc nhiều hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử hơn rồi dùng phơng pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung để phân tích tiếp

b) Ví dụ:

Ví dụ 1:

Phân tích: x2 – 6x + 8

Nhận xét:

Đa thức trên không chứa thừa số chung Không có dạng một hằng

đẳng thức đáng nhớ, cũng không thể nhóm các số hạng Ta biến đổi đa thức này thành đa thức có nhiều số hạng hơn sau đó nhóm các hạng tử lại với nhau một cách phù hợp:

Cách 1: Tách số hạng thứ hai

x2 – 6x + 8 = x2 – 2x – 4x + 8

= x(x – 2) – 4( x – 2) = (x – )(x – 4)

Cách 4: x2 – 6x + 8 = x2 – 16 – 6x + 24

= ( x – 4)(4 + x) – 6(x – 4)

MÆc dï cã nhiÒu c¸ch t¸ch nhng th«ng dông nhÊt lµ c¸ch sau:

* C¸ch 1: T¸ch h¹ng tö bËc nhÊt thµnh hai h¹ng tö råi dïng ph¬ng

VÝ dô 3: 3x2 – 8x + 4 = 4x2 – 8x + 4 – x2

= (2x – 2)2 – x2

= ( 2x – 2 – x)(2x – 2 + x) = (x – 2)(3x – 2)

VÝ dô 4: Ph©n tÝch x2 – 5x + 6

+ Làm xuất hiện hiệu của hai bình phơng (cách 2)

Với các đa thức có bậc từ 3 trở lên, để dễ dàng làm xuất hiện các hệ số tỷ lệ ngời ta thờng dùng cách làm xuất hiện nghiệm của đa thức

Khai thác bài toán:

Bằng phơng pháp tách hạng tử (chủ yếu là hạng tử tự do và các hạng tử bậc thấp), ta có thể giải các bài toán tơng tự nh sau:

Bài toán 1.1: Phân tích đa thức

b) Ví dụ:

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

1) f(x) = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12

h(x) = (x2 +5x)(x2 + 5x + 10)

= x(x + 5)(x + 5x + 10)Kết quả: h(x) = x(x + 5)(x2 + 5x + 10).

Xét Q(x) = ay2 + by + c Nếu có các số m, n sao cho m.n = a.c, m + n

= b thì ay2 + by + c = ay2 + (m +n)y + m.n/a hay y2 + by + c = a(y + m/a)(y + n/a) (*).Nếu a = 1 thì y2 + by + c = (y + m)(y + n) Trong trờng hợp này

a, b, c nguyên thì trớc hết phân tích hai số nguyên m.n sao cho giá trị tuyệt

đối của m và n nhỏ hơn b Sau đó chọn m, n thoả mãn m + n = b

C¸ch gi¶i: §Æt biÕn phô y = (x + a)(x + b) cã thÓ y = (x + c)(x + d)

Cách giải: Đặt y = x + k và biến đổi P(x) về dạng chứa hạng tử

ay2 + bxy rồi sử dụng HĐT(*)

Do đó: P(x) = (x2 – x – 1 )(2x2 + 5x – 2)

 Đa thức dạng: P(x) = x4 + bx3 + cx2 + dx + e với e = d2/b2

Cách giải: Đặt biến phụ y = x2 + d/b và biến đổi(x) về dạng chứa hạng

tử y2+ bxy rồi sử dụng HĐT (*)

Khai thác bài toán:

Bằng cách đặt ẩn phụ , ta có thể giải các bài toán tơng tự nh sau:

Bài toán 1.1: Phân tích đa thức

Vì vậy ta phải biến đổi đa thức bằng cách thêm bớt cùng một hạng tử để có thể vận dụng các phơng pháp phân tích đã biết.

1) a3 + b3 + c3 – 3abc

Ta sẽ thêm và bớt 3a2b +3ab2 sau đó nhóm để phân tích tiếp

a3 + b3 + c3 = (a3 + 3a2b +3ab2 + b3) + c3 – (3a2b +3ab2 + 3abc)

= (a + b)3 +c3 – 3ab(a + b + c) = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab]

= (a + b + c)(a2 + 2ab + b2 – ac – bc + c2 – 3ab]

= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc)2) x5 – 1

3) 4x4 + 81

Ta sẽ thêm và bớt 36x2 sau đó nhóm các hạng tử phù hợp để có dạng hằng đẳng thức:

B»ng ph¬ng ph¸p thªm bít h¹ng tö, ta cã thÓ gi¶i c¸c bµi to¸n t ¬ng

Dễ thấy ±1 không phải là nghiệm của đa thức trên nên đa thức không có nghiệm nguyên, cũng không có nghiệm hữu tỷ Nh vậy nếu đa thức đã cho phân tích thành nhân tử thì phải có dạng:

(x2 + ax + b)( x2+ cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad +bc)x +bd Đồng nhất hệ số đa thức này với đa thức đã cho, ta có:

x4 + 6x3 +7x2 + 6x + 1 =x4 +(a + c)x3 + (ac + b +d)x2 + (ad + bc)x +bd

6761

(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3

Vậy k(x) = x – 6x +12x – 14x + 3 = (x – 2x + 3)(x – 4x +1).

Khai thác bài toán:

Bằng phơng pháp hệ số bất định và với cách giả nh trên, ta có thể giải các bài toán tơng tự nh sau:

Bài toán 1.1: Phân tích đa thức

đã biết rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ớc của hệ số tự do

 Nếu đa thức P(x) có một nghiệm là x = a thì ta có thể phân tích P(x) thành tích của hai thừa số là (x – a) và Q(x)

P(x) = (x – a)(x – b) Q(x)

Muốn tìm Q(x), ta hãy chia P(x) cho tích số (x – a)(x – b) = x2 + (a + b)x + ab, ta có thơng đúng của phép chia là Q(x) Sau đó lại áp dụng để phân tích tiếp Q(x)

 Nếu đa thức P(x) có nghiệm kép x1 = x2 = a thì sao?

Thế nào là nghiệm số kép?

Giả sử P(x) có một nghiệm là x = a suy ra P(x) = (x – a)Q(x)

Q(x) lại có một nghiệm x = a suy ra Q(x) = (x – a)R(x).

Do đó, ta có : P(x) = (x – a)2R(x)

Ta nói đa thức P(x) có nghiệm kép x1 = x2 = a

Vậy nếu đa thức P(x) có nghiệm kép x1 = x2 = a thì P(x) = (x – a)2R(x)

Sau khi kiểm tra ta thấy x = 1/2 là nghiệm nên đa thức chứa nhân tử ( x – 1/2) hay (2x – 1) Do đó ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức

để xuất hiện nhân tử chung (2x – 1)

2x3 - 5x2 + 8x – 3 = 2x3- x2 – 4x2 + 2x + 6x – 3

= x2( 2x – 1) – 2x( 2x – 1) + 3(2x – 1) = ( 2x – 1)(x2 – 2x + 3)

Hoặc chia P(x) cho (x – 1) ta đợc thơng đúng là: x2 – 2x + 3

Vậy trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm nguyên nếu có phải là ớc của hạng tử không đổi

Ước của (– 4) là –1; 1; – 2; 2; – 4; 4 Sau khi kiểm tra ta thấy 1

là nghiệm của đa thức Suy ra đa thức chứa nhân tử ( x – 1)

Do vậy ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung ( x – 1)

* Cách 1:

P(x) = x3 + 3x2 – 4

= x3 – x2 + 4x2 – 4 = x2(x – 1) + 4(x – 1)(x + 1)

Khai thác bài toán:

Bằng phơng pháp tìm nghiệm đa thức và với cách giả nh trên, ta có thể giải các bài toán tơng tự nh sau:

Bài toán 1.1: Phân tích đa thức

Định lý Bơdu (Bezout) về nghiệm của một đa thức

Nếu đa thức f(x) có thể phân tích thành nhân tử có nghĩa là có thể viết dới dạng f(x) = g(x) h(x) thì ta cũng có thể nói f(x) chia hết cho

đa thức g(x) (hoặc đa thức h(x)) và khi đó nghiệm của g(x) hoặc h(x) cũng chính là nghiệm của f(x)

Định lý (Bezout): D trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x

- a đúng bằng f(a) (là giá trị của đa thức f(x) tại x = a.)

Quy tắc hớt nơ (horner)– Quy tắc Hớt – Nơ sẽ giúp chúng ta chia nhanh một đa thức cho một nhị thức bậc nhất

Bài toán: Giả sử chúng ta chia đa thức

P(x) = a0xn + a1xn -1 + a2xn – 2 + a3xn – 3 + + a… n cho nhị thức x – aBậc của đa thức thơng Q(x) nhỏ hơn bậc của P(x) một đơn vị

II bµi tËp øng dông

a gi¶I mÉu mét sè bµi tËp

= x2(x2 + 3x –1) + 3x(x2 + 3x – 1) – (x2 + 3x –1)

= ( x + y)(x2 + 2xy + y2 – 3xy – 3y2)

= (x + y)[(x + y)2 – 3y(x + y)]

= (x + y)(x + y)(x + y – 3y)

11020211Cả hai kết quả trên cùng đa về một đáp số:

g(x) = (x2 – 2)(x2 – x + 1)

=(x− 2)(x+ 2)(x2 − +x 1)

Ph©n tÝch g(x) thµnh tÝch cña nhÞ thøc x – 2 víi mét tam thøc bËc hai.

C (y x 3)(y x 3)+ + + − ; D Cả 3 câu trên đều sai;

Bài 5: Kết quả phân tích đa thức x(x 2) x 2− + − thành nhân tử là

Bài 8: Kết quả phân tích đa thức ax2 −ax ay− 2 −ay thành nhân tử là:

A a(x2 −y2 − −x y) ; B a(x + y)(x – y –1) ;

C a[(x – y)(x + y) – (x + y)] ; D a (x 2 −y ) (x y)2 − + ;

Bài 9: Kết quả phân tích đa thức x3 − +x 3x y 3xy2 + 2 +y3 −y thành nhân tử là:

C y[(3 + x – y)(3 – x – y) ; D y(3 + x + y)(3 – x – y) ;

8c) (a + b)3 – (a – b)3

§S: (2y – x)(14y – 4x) = 2(2y – x)(7y – 2x).

b) §Æt 2ab lµm thõa sè chung

h) §æi 3x y(1 – x) = - 3x y(x - 1) §Æt 3xy (x - 1)lµm nh©n tö chung

h¹ng tö cßn l¹i nhãm víi nhau

có chứa nhị thức x+1

ĐS : A = (x + 1)(2x2 – 7x + 10)

b) HD : Tổng các hệ số bằng 0 nên có nghiệm là 1 Do đó đa thức có chứa nhị thức x – 1

B ứng dụng của phân tích đa thức thành nhân tử

I Các bài toán liên quan

1 Bài toán giải phơng trình:

a) Phơng pháp giải: Đối với các phơng trình bậc cao từ bậc hai trở

lên việc áp dụng các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử là rất quan trọng Vì sau khi phân tích vế chứa ẩn thì đợc dạng phơng trình tích A.B =

0 khi và chỉ khi A = 0 hoặc B = 0

Khi đó các đa thức A và B có số mũ nhỏ hơn nên sẽ giúp các em giải các phơng trình đợc sẽ dễ dàng hơn

Nhận xét : Phơng trình (1 )thuộc về dạng ax3 + bx2 + cx + d = 0

có a + b + c + d = 0

Để phân tích VT thành nhân tử ta làm nh sau : Tách thành hạng tử thứ hai trở đi thành hai hạng tử , sao cho hạng tử đầu có hệ số là đối của hạng tử liền trớc Từ đó ta phân tích đợc đa thức ở VT của phơng trình trên nh sau:

áp dụng phơng pháp phân tích đa thức vế trái thành nhân tử đa

ph-ơng trình về dạng

x3 + 2x2 + + =x 2 0

⇔ ( x + 2)(x2 + 1) = 0

Ta có : x + 1 02 ≥ ∀ x

2 Bài toán giải bất phơng trình

a) Phơng pháp giải: Để giải các bất phơng trình bậc cao hoặc các

bất phơng trình có chứa ẩn ở mẫu là một việc không dễ chút nào

Đối với các bất phơng trình bậc cao ta nên phân tích vế có chứa ẩn thành nhân tử để đa bất phơng trình về dạng bất phơng trình tích

Đối với các bất phơng trình có chứa ẩn ở mẫu ta nên phân tích tử và mẫu thành nhân tử để rút gọn biểu thức sau đó giải bất phơng trình sẽ đơn giản hơn ( A.B < 0) hoặc (A.B > 0) hay bất phơng trình thờng

= (x – 4)(3x + 2).

Đến đây việc giải BPT (4) đa về giải BPT sau:

⇒ ( 3x + 2)( x – 4) > 0

2x

x 4

2x

3 Bài toán rút gọn biểu thức.

a) Phơng pháp giải: Dựa trên cơ sở của tính chất cơ bản của phân

thức đại số, chúng ta phân tích tử và mẫu thức thành nhân tử để xuất hiện nhân tử chung rồi rút gọn, đồng thời tìm tập xác định của biểu thức thông qua các nhân tử nằm ở dới mẫu

Rèn luyện kỹ năng vận dụng các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào loại bài toán rút gọn, giúp học sinh thấy đợc sự liên hệ chặt chẽ giữa các kiến thức phát triển trí thông minh

(x + y - z)(x - y + z) VËy A = (x + y - z)

Vậy C = (x + y + z).

4 Bài toán chứng minh về chia hết

a) Phơng pháp giải: Ta sẽ phân tích đa thức đã cho thành một tích

trong đó xuất hiện thừa số có dạng chia hết cho số cần chứng minh