Phương pháp giải 7 chuyên đề liên quan đến hàm số

Phương pháp giải nhanh những chuyên đề liên quan đến hàm số như sự đồng biến,nghịch biến ,cực trị hàm số,giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất,đường tiệm cận,các dạng đồ thị,tiếp tuyến,bài toán tương giao.

VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

CHỦ ĐỀ 1: SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

1 Xét tính đơn điệu của hàm số

 Tìm tập xác định của hàm số

 Tính y f x  và xét dấu y Tìm các điểm x i i1, 2,,n mà tại đó đạo hàm

bằng 0 hoặc không xác định

 Lập bảng biến thiên (nếu cần thiết)

 Kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Thông thường chúng ta không được dùng kí hiệu  (hợp) để kết luận các khoảng

đơn điệu của hàm số

2 Sự biến thiên của hàm số chứa tham số

Bài toán 1: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu trên K

 Nếu f x 0 với mọi x K và f x 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x K thì

   thì dấu " " khi xét dấu đạo

hàm y không xảy ra Vì

0

a b c

0

a b c

Bài toán 2: Xác định các giá trị của tham số để hàm số đơn điệu trên một khoảng có độ

dài L cho trước

Loại bài toán này thường xảy ra đối với hàm số bậc ba: 3 2

 y 0 có 2 nghiệm phân biệt 0

 Kết quả 1: “Nếu hàm số f x  liên tục và đơn điệu (luôn đồng biến hoặc luôn

nghịch biến) trên miền K thì phương trình f x k có tối đa một nghiệm (k là

hằng số)

 Kết quả 2: “Nếu hai hàm số f x  và g x  đơn điệu ngược chiều trên miền K thì

phương trình f x   g x có tối đa một nghiệm trên K”

 Kết quả 3: “Nếu hàm số f x  có đạo hàm đến cấp n trên miền K và phương

 Kết quả 4: “Nếu hàm số f x  xác định trên miền K và có f x 0

hoặc f x 0 trên miền K thì f x  luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên K

nên f x 0 có tối đa một nghiệm trên K do đó phương trình f x 0 có tối

đa hai nghiệm trên K”

 Kết quả 5: “Nếu hàm số f x  liên tục và đơn điệu (luôn đồng biến hoặc luôn

nghịch biến) trên miền K thì với u v K f u,  :     f v  u v”

 Kết quả 6: “Nếu hàm số f x  đồng biến và liên tục trên tập xác định K thì với

 Dựa vào dấu của f'' x i suy ra tính chất của điểm x i

Như vậy, hàm số f x  vẫn có thể không đạt cực trị tại những điểm x0 dù x0 là nghiệm

của f x 0 và f x  có thể đạt cực trị tại những điểm mà f x  không tồn tại đạo hàm

2 Tìm điều kiện đề hàm số đạt cực trị tại một điểm

Bài toán: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y f x  đạt cực trị tại điểm x0.

Giả sử hàm số đạt cực trị tại x0 f x 0 0 * 

Giải phương trình  * tìm được các giá trị của tham số m

Với từng giá trị tham số m vừa tìm được ở bước 1 thử lại xem x có đúng là điểm 0

cực trị thỏa mãn yêu cầu bài toán không?

yx đạt cực tiểu tại x0 nhưng f 0 0 chứ không phải là f 0 0

Do đó, khi chứng minh được rằng f x0 0 thì ta mới sử dụng kết quả:

 0 0

 0    00

Bài toán 1: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước

Bài toán: Cho hàm số y f x m ; ax3bx2cx d Tìm tham số m để hàm số có cực đại,

cực tiểu tại x x1, 2 thỏa mãn điều kiện K cho trước ?

  có hai nghiệm phân biệt và y đổi dấu qua 2 nghiệm đó

 phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệ

 phương trình y 0 có hai nghiệm âm phân biệt

Bài toán 2: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu nằm cùng phía,

khác phía so với một đường thẳng

 Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Oy

hàm số có 2 cực trị cùng dấu

phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

 Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 2 phía đối với trục Oy

 hàm số có 2 cực trị trái dấu

 phương trình y 0 có hai nghiệm trái dấu

 Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Ox

 phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt và y CĐ.y CT 0

(hay đồ thị cắt trục Ox tại 1 điểm)

 Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía trên đối với trục Ox

 phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt và . 0

0

CĐ C

CT CT Đ

 Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía dưới đối với trục Ox

 phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt và . 0

0

CĐ C

CT CT Đ

 Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox

 phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt và y CĐ.y CT 0

(áp dụng khi kh ng nh m được nghiệm và viết được phương tr nh đư ng th ng đi

qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số)

Hoặc: Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox

đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt

phương trình hoành độ giao điểm f x 0 có 3 nghiệm phân biệt

(áp dụng khi nh m được nghiệm)

Bài toán 3: Phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị

Bài toán: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

y ax bx cx d

Phương pháp giải:

số là g x mx n , với mx n là dư thức của phép chia y cho y

“Phương tr nh đư ng th ng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

“Phương tr nh đư ng th ng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Chú ý: Dựa trên cách 4 vừa trình bày ở trên, ta có thể sử dụng máy tỉnh bỏ túi để tìm

nhanh phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số như sau:

 (nếu hàm số có chứa tham số)

Nếu hàm số có chứa tham số m th ta phải tiến hành phiên dịch kết quả số thành biểu thức chứa m

(cụ thể bạn đọc có thể theo dõi các ví dụ được tr nh bày ngay sau đây).

0

*2

nghiệm duy nhất x0 và y đổi dấu đúng một lần khi  x đi qua 0  hàm số chỉ có một

cực trị

 Nếu tam giác ABC đều chỉ cần AB = BC

MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH

cot

2 8

 b a

3 2

  

b S

án kính đường tròn nội tiếp

2 3

b a

a

2 3

b

án kính đường tròn ngoại tiếp

388

CHỦ ĐỀ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

1 Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng phương pháp khảo sát trực tiếp

Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x  trên D, ta làm như sau:

số không có đạo hàm

hàm số

2 Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn

Định lí: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên

đoạn đó

Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn:

 Hàm số đã cho y f x  xác định và liên tục trên đoạn a b; .

 Tìm các điểm x x1, 2, ,x n trên khoảng  a b; , tại đó f x 0 hoặc f x 

Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x  trên D

về việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số F t  trên E

4 Ứng dụng GTLN, GTNN của hàm số trong bài toán phương trình, bất phương trình chứa tham số

Bài toán 1: Tìm m để F x m ; 0 có nghiệm trên D?

 Nếu bài toán yêu cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta chỉ

cần dựa vào bảng biến thiên để xác định sao cho đường thẳng yA m  nằm ngang cắt đồ thị hàm số y f x  tại k điểm phân biệt

Bài toán 2: Tìm m để bất phương trình    

 ất phương trình A m    f x có nghiệm trên   max  

Khi đặt n số phụ để đổi biến, ta cần đặt điều kiện cho biến mới chính xác, nếu kh ng sẽ làm thay

đổi kết quả của bài toán do đổi miền giá trị của nó, dẫn đến kết quả sai lầm

Cho hàm số y f x  xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng

a; , ;b hoặc  ; ) Đường thẳng yy0 được gọi là đường tiệm cận ngang

(gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y f x  nếu ít nhất một trong các điều kiện

sau được thỏa mãn: lim   0; lim   0

Đường thẳng x x 0được gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của

đồ thị hàm số y f x  nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

ngắn nhất, biết I là giao điểm hai đư ng tiệm cận

0 0 0

vu ng góc với đư ng th ng IM, I là giao điểm hai đư ng tiệm cận

hai đư ng tiệm cận tại hai điểm phân biệt A, B Gọi I là giao điểm hai đư ng tiệm cận

Khi đó:

0 0

2

2

ad bc IA

làm trục đối xứng

Cách vẽ  C từ  C :

Bài toán 2: Từ đồ thị  C :y f x  suy ra đồ thị  C :y f x 

Cách vẽ  C từ  C :

Cách vẽ  C từ  C :

 Giữ nguyên  C với x1

 ỏ  C với x1 Lấy đối xứng phần

đồ thị bị bỏ qua Ox

x y

 Giữ nguyên  C với x2

 ỏ (C) với x2 Lấy đối xứng phần

Trong quá trình thực hiện phép suy đồ thị

nên lấy đối xứng các điểm đặc biệt của (C)

như: giao điểm với Ox, Oy, CĐ, CT…

Nhận xét:

Đối với hàm phân thức thì nên lấy đối xứng

các đư ng tiệm cận để thực hiện phép suy đồ

thị một cách tương đối chính xác

CHỦ ĐỀ 6: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

của tiếp tuyến với đồ thị  C của hàm số tại điểm M x y 0, 0

Khi đó, phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm M x y 0, 0 là:

 0 0 0

1 Tiếp tuyến tại điểm

Bài toán: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C :y f x  tại điểm M x y 0, 0

Phương pháp giải:

 Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm của đồ thị

 C :y f x  và đường thẳng d y ax b:   Khi đó các hoành độ tiếp điểm là

nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm giữa d và  C

Nhận xét: Sử dụng máy tính để lập phương tr nh tiếp tuyến tại điểm thực chất là rút gọn các

bước của cách 1 Sử dụng máy tính giúp ta nhanh chóng t m ra kết quả và hạn chế được sai sót

trong tính toán Nếu học sinh nào tính nh m tốt có thể bỏ qua cách này

2 Tiếp tuyến khi biết phương

Bài toán: Cho hàm số y f x  có đồ thị  C Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C

với hệ số góc k cho trước

Phương pháp giải:

 Giải phương trình này tìm được x ,0 thay vào hàm số được y0

 Tiếp tuyến d :y ax b k a 1 k 1

a

 Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc  thì k tan 

 Tìm hoành độ tiếp điểm x0

 Nhập k   X  f X (hoặc f X kX) sau đó bấm r với Xx0 rồi bấm = ta được kết quả là m

3 Tiếp tuyến đi qua 1 điểm

Bài toán: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C , biết tiếp tuyến đi qua điểm

 A; A

Phương pháp giải:

Cách 1: Sử dụng điều kiện tiếp xức của hai đồ thị

phương trình tiếp tuyến cần tìm

Cách 2:

 Tính hệ số góc tiếp tuyến k f x 0 theo x0

Vì điểm A x y A; Ad nên y A f x 0 x Ax0   f x0 Giải phương trình này sẽ

tìm được x0

CHỦ ĐỀ 7: BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1 Giao điểm của hai đồ thị

Phương trình  * được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của  C1 và

 C2 Số nghiệm của phương trình  * bằng số giao điểm của  C1 và  C2

2 Sự tiếp xúc của hai đường cong

Cho hai hàm số y f x  và yg x  có đồ thị lần lượt là  C1 và  C2 và có đạo hàm tại

điểm x0

 Hai đồ thị  C1 và  C2 tiếp xúc với nhau tại một điểm chung M x y 0; 0 nếu tại

điểm đó chúng có chung cùng một tiếp tuyến Khi đó điểm M được gọi là tiếp

O

) (C1

) (C2

) (C1

) (C2

) (C1

 C1 và  C2 không có

điểm chung

 C1 và  C2 cắt nhau

tiếp xúc nhau

  vào phương trình 3 2

0

ax bx   cx d ta được điều kiện ràng buộc về

tham số hoặc giá trị của tham số

d x

a

  vào phương trình 3 2

0

tham số hoặc giá trị của tham số

9 100

b a c a