Tiết 57 - Toán 9. Hệ thức Vi ét

NHiệt liệt chào mừng TrườngưTHCSưTảnưĐàư-ưBaưVìư-ưHàưNội... Hãy chọn đáp án đúng:... Hãy chọn đáp án đúng:... Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.

NHiệt liệt chào mừng

TrườngưTHCSưTảnưĐàư-ưBaưVìư-ưHàưNội

Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc hai.

Áp dụng giải phương trình: 2x2 – 3x – 5 = 0

Giải

= b2 – 4ac = 9 + 40 = 49 > 0 =>

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

5

Ta có : a = 2, b = - 3 , c = -5

7

 

1 Hệ thức Vi-ét Nếu phương trình ax

2 + bx + c = 0 (

a ≠ 0) có nghiệm thì dù đó là hai nghiệm phân biệt hay nghiệm kép,

ta đều có thể viết các nghiệm đó dưới dạng:

Hãy tính x 1 + x 2 , x 1 x 2

?1

1 2

-b + Δ + (-b) - Δ -2b -b

x

a

     



1 2

Giải

 x x 1 2 =

Phrăng-xoa Vi-et (1540-1603) nhà Toán học nổi tiếng người Pháp đã phát hiện ra mối liên hệ giữa các nghiệm và các hệ số của phương trình bậc hai vào đầu thế kỉ XVII và ngày nay nó được phát biểu thành một định lí manng tên ông

F.Viète

Nếu x 1 , x 2 là hai nghiệm của

phương trình ax 2 + bx + c = 0

(a ≠ 0) thì

a) Định lí Vi- ét

c a

1 2

b

x x

a

1 2 c

x x

a



B

B

C

C

D

D

A

A

Áp dụng

C C

1) Phương trình 5x2 – x - 35 = 0 có:

x 1 + x 2 = ; x1 1 x 2 =

5



7

x 1 + x 2 = ; x1 1 x 2 =

5



7



x 1 + x 2 = ;x1 1. x 2 =

x 1 + x 2 = ; x1 1 x 2 =

x 1 + x 2 = ; x1 1 x 2 =

Đối với mỗi phương trình sau kí hiệu x1; x2 là hai nghiệm (nếu có).

Hãy chọn đáp án đúng:

B

B

C

C

D

D

A

A

Áp dụng

D D

2) Phương trình 8x2 – x +1 = 0 có:

x1 + x2 = ; x1 1.x2 =

8

1 8

x1 + x2 = ; x1 1.x2 =

8

8

x1 + x2 = ; x1 1.x2 =

8

1 8



Đáp án khác

Đối với mỗi phương trình sau kí hiệu x1; x2 là hai nghiệm (nếu có).

Hãy chọn đáp án đúng:

1) Phương trình 5x2 – x - 35 = 0

Định lí Vi – ét được áp dụng khi phương trình bậc hai

có nghiệm

a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a-b+c

b)Chứng tỏ rằng x 1 = -1 là một nghiệm của phương trình.

c) Tìm nghiệm x 2

Giải:

a) a = 3 , b = 7 , c = 4.

Ta cã : a - b + c = 3 - 7 + 4 = 0 b) Thay x1= -1 vào vế trái của phương trình ta có:

3.(-1) 2 + 7.(-1) + 4 = 3 – 7 + 4 = 0 Vậy x1= -1 là một nghiệm của phương trình.

c) Ta có: x 1 x 2 = = 4 3

 x 2 =

?3 Cho phương tình 3x 2 + 7x + 4 = 0

?2 Cho phương tình 2x 2 – 5x + 3 = 0

a)Xác định các hệ số a, b, c rồi tính

a+b+c

b) Chứng tỏ rằng x 1 =1 là một nghiệm

của phương trình.

c) Dùng định lí Vi-ét để tìm x 2

Giải:

a) a = 2 , b = -5 , c = 3.

Ta cã: a + b + c = 2 +(-5) + 3 = 0

b) Thay x1=1 vào vế trái của phương

trình ta có:

VT = 2.(1) 2 – 5.1 + 3 = 0= VP

Vậy x1=1 là một nghiệm của phương

trình.

c) Ta có: x 1 x 2 = = 3 2

 x 2 =

c a

3 :1

2

: ( 1)

3

, có x1 = - 1

Áp dụng

Nhóm 1 và nhóm 3 Nhóm 2 và nhóm 4

Tổng quát:

- Nếu phương trình ax 2 + bx + c= 0 (a ≠ 0), có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x 1 =1; còn nghiệm kia là x 2 =

- Nếu phương trình ax 2 + bx + c= 0 (a ≠ 0), có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x 1 = - 1; còn nghiệm kia là x 2 = - c a

c a

?4 Tính nhẩm nghiệm của các phương trình.

a) -5x 2 + 3x + 2 = 0

Giải:

a)Ta có: a + b + c = -5 + 3 + 2 = 0

=> x 1 = 1 ; x 2 =

b) 2004x 2 + 2005x + 1 = 0

c

a =

-2 5

b) Ta có: a - b + c = 2004 - 2005 + 1 = 0

=> x 1 = - 1 ; x 2 = -c a = -1

2004

Áp dụng

Vậy phương trình có nghiệm x 1 = 1; x 2 = -2 5

Vậy phương trình có nghiệm x 1 = -1; x 2 = -1 2004

2 Tìm hai số biết tổng và tích của chúng

Nếu x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a≠ 0) thì

1 2

b

x x

a c

x x

a





















 



Ngược lại, nếu có hai số x và y thỏa mãn thì chúng

có thể là nghiệm của phương trình nào chăng?

.

x y S

x y P











 



Bài toán: Tìm hai số x và y biết

2 Tìm hai số biết tổng và tích của chúng

.

x y S

x y P









(1) (2)

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là

nghiệm của phương trình x 2 – Sx + P = 0.

Điều kiện để có hai số đó là S 2 - 4P ≥ 0

Kết luận

Giải

Từ (1)  x = S – y thế vào (2) ta có phương trình

x.(S- x) = P

hay x 2 – Sx + P = 0 (*) Giải phương trình (*) tìm được x , từ đó tính được y tương

ứng

Áp dụng

Ví dụ 1: Tìm hai số biết tổng bằng 27, tích bằng 180

Giải:

Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình:

x 2 – 27x + 180 = 0

Ta có:  = (-27)2 – 4.1.180 = 9    9 3

1

15 2

12 2

Vậy hai số cần tìm là 15 và 12

;

?5: Tìm hai số biết tổng bằng 1, tích bằng 5.

Giải:

Ta có: 12 – 4.5 = -19 < 0

Vậy không tìm được hai số thỏa mãn điều kiện bài toán

Áp dụng

Giải:

Vì 2 + 3 = 5 và 2.3 = 6 nên x1= 2; x2 = 3 là hai nghiệm của

phương trình đã cho

3 Bài tập áp dụng

Bài 1: Giải phương trình: x2  ( 3 1)  x  3 0 

Giải

Cách 1:

Ta có: a + b + c   1   3 1   3

a

Cách 2:

Ta thấy: 3 1 b ; 3.1 c

a

2

2

( 3 1) 4 3 3 2 3 1 4 3

Cách 3:

Ta có

Bài 2: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm bằng -3 và 7

Giải

Gọi hai nghiệm của phương trình bậc hai cần lập là x1; x2

=> S = x1 + x2 = -3 + 7 = 4

P = x1.x2 = -21

Vậy phương trình bậc hai cần lập là:

x2 – 4x - 21= 0

Hệ thức vi-ét và ứng dụng

 x 1 =1 ; x 2 = c a

a + b + c = 0

 x 1 =1 ; x 2 = -c a

a - b + c = 0

Tìm hai số biết tổng và tích

Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình x2 – Sx + P = 0

Điều kiện: S2 – 4P ≥ 0

Định lí:











-b

x + x =

a c

x x =

a

Nếu x 1 và x 2 là hai nghiệm của phương

trình ax 2 + bx + c = 0 (a≠0) thì

Áp dụng:

ax 2 + bx + c = 0

- Học thuộc định lí Vi-ét

- Nắm vững cách nhẩm nghiệm của phương trình

ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

- Nắm vững cách tìm hai số biết tổng và tích

- Bài tập về nhà:

26; 27; 28; 32 (SGK Tr 53 + 54) 35; 37; 38; 41 ( SBT Tr 43 + 44)

Bài tập 32c (SGK – 54): Tìm hai số u và v biết:

u – v = 5; uv = 24 Hướng dẫn

Từ u – v = 5 => u + ( - v) = 5

Từ uv = 24 => u.( - v) = -24

Đặt t = -v

Ta có u + t = 5 ; ut = -24