SKKN Toán 9(Hệ thức vi-et)

Hình thành kĩnăng ứng dụng Toán học vào thực tiễn cũng nh vào việc học tập các môn học khác.Qua tìm hiểu tình hình thực tế và kinh nghiệm của bản thân tôi thấy đa số họcsinh lớp 9 gặp kh

Là một giáo viên dạy toán THCS trong những năm qua tôi đã đặt cho mìnhnhững câu hỏi, những trăn trở để từ đó tìm hiểu nghiên cứu tìm ra những phơngpháp dạy phù hợp.

Môn toán là một môn học khó nhng nó rất hấp dẫn và bổ ích với những em yêuthích Toán học Nó giúp các em từng bớc phát triển năng lực t duy Hình thành kĩnăng ứng dụng Toán học vào thực tiễn cũng nh vào việc học tập các môn học khác.Qua tìm hiểu tình hình thực tế và kinh nghiệm của bản thân tôi thấy đa số họcsinh lớp 9 gặp khó khăn khi giải các bài toán có liên quan đến “ Phơng trình bậchai : ax2+bx+c= 0 có chứa tham số” nói chung và ứng dụng của định lí Vi-ét trongphơng trình bậc hai ax2+bx+c =0 (a0) nói riêng

Trong chơng trình lớp 9 kiến thức này đề cập rất ít trong sách giáo khoa Tuynhiên các bài tập liên quan đến nó lại rất nhiều và rất đa dạng

Là một giáo viên dạy Toán trớc thực trạng nh vậy tôi không khỏi băn khoăn trăntrở làm nh thế nào để giúp đỡ các em bớt đi những khó khăn, lúng túng trong việcgiải các bài toán có liên quan đến hệ thức Vi-ét trong phơng trình bậc hai

ax2+bx+c=0 (a0)

Từ thực tiễn giảng dạy tôi xin đợc trình bày một ý kiến nhỏ, một kinh nghiệm

mà qua thử nghiệm tôi thấy đã làm giảm bớt khó khăn cho các em khi giải các bàitoán có liên quan đến hệ thức Vi-ét trong phơng trình bậc hai

2 Cơ sở tâm lí

Theo tâm lý, con ngời chỉ t duy tích cực khi có nhu cầu, hoạt động nhận thứcchỉ có kết quả cao khi chủ thể ham thích một cách tự giác Đối với học sinh cũngvậy nếu các em chỉ học một cách thụ động, tức là tiếp thu kiến thức theo lối “nhồinhét’, không có thói quen suy nghĩ một cách sâu sắc thì kiến thức nhanh chóng bịlãng quên Vì vậy để phát huy tính tích cực và sáng tạo của học sinh không còncách nào khác là phải tạo niềm tin và hứng thú học tập cho các em Có nghĩa làchúng ta phải có những phơng pháp phù hợp giúp học sinh tiếp thu kiến thức mộtcách chủ động có hệ thống Giúp các em nhận dạng bài toán và nắm đợc hớng giảiquyết tốt nhất

3 Cơ sở giáo dục học

Những kết quả nghiên cứu của giáo dục học cho thấy kết quả giáo dục sẽ cao

hơn nếu quá trình đào tạo đợc biến thành quá trình tự đào tạo, quá trình giáo dục

đ-ợc biến thành quá trình tự giáo dục

II Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

1 Mục đích nghiên cứu

- Chuyên đề giúp giáo viên có cái nhìn tổng thể về các vấn đề có liên quan đến

hệ thức Vi-ét, rút ra những kinh nghiệm trong giảng dạy và học tập, đào sâu và hoànthiện hiểu biết Từ đó có phơng pháp dạy- học có hiệu quả, giúp học sinh giảm bớtnhững khó khăn lúng túng khi học nội dung này

- Thực hiện chuyên đề này thấy đợc những thuận lợi và khó khăn khi dạy học nộidung hệ thức Vi-ét Qua đó có định hớng năng cao chất lợng dạy học môn Toán

2 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Thấy đợc vai trò của hệ thức Vi-ét trong chơng trình Toán THCS đặc biệt lànhững dạng toán có liên quan

- Giảm bớt những khó khăn, lúng túng của các em khi nghiên cứu nội dung cóliên quan đến hệ thức Vi-ét Học sinh xác định đợc cách giải của một số dạng toáncơ bản

III Đối tợng và phạm vi nghiên cứu

1 Nghiên cứu phần “ Phơng trình bậc hai : ax2+bx+c=0 có chứa tham số” nóichung và ứng dụng của định lí Vi-ét trong phơng trình bậc hai ax2+bx+c=0 (a0)

2 Nghiên cứu các tài liệu có liên quan đến hệ thức Vi-ét và ứng dụng

3 Giáo viên giảng dạy cấp THCS và học sinh THCS đặc biệt là học sinh khốilớp 9

IV Các phơng pháp nghiên cứu

1 Phơng pháp nghiên cứu lí luận

Đọc các tài liệu có liên quan để phân dạng bài tập và phơng pháp giải

- Các tạp chí giáo dục toán học

- Sách giáo khoa, sách giáo viên toán 9 tập hai

Rút ra những bài học cho bản thân và đồng nghiệp để giảng dạy tốt hơn

Phần II: Nội dung

I Hệ thống các kiến thức cần nhớ

1 Định nghĩa phơng trình bậc hai một ẩn.

Phơng trình bậc hai một ẩn ( gọi là phơng trình bậc hai) là phơng trình có dạng

ax2+bx+c=0.Trong đó x là ẩn, a,b,c là các hệ số cho trớc a0

II Các bài tập ứng dụng

Để học sinh nắm kiến thức một cách có hệ thống tôi đã phân thành các dạngbài tập cụ thể Sau đó đa ra ví dụ minh họa để học sinh vận dụng Một số bài tậphọc sinh rèn luyện tại lớp và bài tập về nhà để cho học sinh luyên tập rèn trí nhớ

Dạng I: Không giải phơng trình hãy tính tổng và tích hai nghiệm x1,x2 của

VÝ dô 1: KiÓm tra mét sèx 3 cã ph¶i lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai

x2- x- 6 = 0 kh«ng? NÕu ph¶i h·y tÝnh nghiÖm cßn l¹i

phải hãy tính nghiệm còn lại.

Vậy với m=-1, m=3 thì phơng trình có 1 nghiệm x=-2, nghiệm còn lại x=-2

Ví dụ 3: Cho phơng trình x2-mx+m2-7=0 Tìm m để phơng trình có một nghiệm

là -1 Tìm nghiệm còn lại

Vậy với m=2, nghiệm còn lại của phơng trình x=3

với m=-3, nghiệm còn lại của phơng trình x=-2

3 Bài tập thực hành

Bài 1 : Cho phơng trình 4x2+2(m-1)x+2m=0 Tìm m để phơng trình có mộtnghiệm là 1 Tìm nghiệm còn lại

Bài 2: Cho phơng trình 3x2+6x+3m2-6m-18=0 Tìm m để phơng trình có mộtnghiệm là 3 Tìm nghiệm còn lại

Bài 3: Cho phơng trình x2-(m+1)x+m2+m-7=0 Tìm m để phơng trình có mộtnghiệm là -1 Tìm nghiệm còn lại

Bài 4: Cho phơng trình x2-2x+m=0 Tìm m để phơng trình có một nghiệm là

3 Tìm nghiệm còn lại

Dạng IV: Không giải phơng trình hãy tính giá trị của một biểu thức giữa các nghiệm của phơng trình bậc hai:

1 Cách giải

+ Chứng tỏ phơng trình bậc hai có hai nghiệm x1, x2 (>0)

+ Biến đổi biểu thức bài cho về dạng tổng và tích hai nghiệm

+ Viết hệ thức Vi-ét thay vào biểu thức tính giá trị

2.1 Hệ thức chứa tổng và tích hai nghiệm (3)

Thay (1), (2) vào (3) ta đợc phơng trình ẩn m Giải phơng trình ẩn m và so với

điều kiện => trả lời

Ví dụ 1: Cho phơng trình x2+mx-m2-8=0 Tìm m để phơng trình có hai nghiệmthoả mãn: x2 +x2 =25

Giải:

Xét phơng trình x2+mx-m2-8=0

Phơng trình có hai nghiệm = m2+4(m2+8)= 5m2+32>0 với mọi m

Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2

Vậy với m= 3 thì phơng trình có hai nghiệm thoả mãn: x2 +x2 =25

Ví dụ 2: Cho phơng trình x2-mx+m-1=0 Tìm m để phơng trình có hai nghiệmthoả mãn: x2 +x2 -6 x1x2=8

+So sánh với điều kiện có nghiệm.Trả lời.

Ví dụ 1: Cho phơng trình x2-mx+m-1=0 Tìm m để phơng trình có hai nghiệm

Vậy m=1, m=4 là các giá tri cần tìm.

Ví dụ 2: Cho phơng trình x2+2x+m+1=0 Tìm m để phơng trình có hai nghiệm

  

 



m=-16 (thoả mãn *)

Vậy m=-16 là giá tri cần tìm

2.3 Tìm GTLN và GTNN, bất đẳng thức của biểu thức giữa các nghiệm.

+ Tìm điều kiện của m để phơng trình bậc hai có hai nghiệm x1, x2

XÐt ph¬ng tr×nh x2-(2m+1)x+m2+m-1=0

Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm =(2m+1)2-4(m2+m-1)=5 >0 víi mäi m

VËy ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1, x2

Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ’=(m-1)2+2m+5=m2+6 >0 víi mäi m

VËy ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1, x2 víi mäi m

Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ’=(m-1)2+2m+5=m2+6 >0 víi mäi m

VËy ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1, x2 víi mäi m

 -2m18

Vậy m-9 là điều kiện cần tìm

3 Bài tập thực hành

Bài 1: Cho phơng trình x2-3x+m-1=0 Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1,

x2 thoả mãn một trong các điều kiện sau:

a) x1 -x2 =6

b) x1 +x2 =5

c) x1, x2 là nghịch đảo của nhau

d) x1, x2 là số đối của nhau

e) Nghiệm này gấp đôi nghiệm kia

Bài 2:

a) Cho phơng trình x2-2(m+1)x+2m+10=0 Tìm m để phơng trình có hainghiệm x1, x2 và biểu thức A=x1 +x2 +10x2x1 đạt GTNN

b) Cho phơng trình x2+mx+1=0 Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2

Ví dụ 1: Cho phơng trình x2+(2m+1)x+m-1=0 Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2

không phụ thuộc vào m

VÝ dô 2: Cho ph¬ng tr×nh x2-2(m-1)x+m-2=0 T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1, x2

kh«ng phô thuéc vµo m

VÝ dô 3: Cho ph¬ng tr×nh x2-2mx+m2- 4=0 T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1, x2

kh«ng phô thuéc vµo m

kh«ng phô thuéc vµo m.

VËy 2  5; 2  5 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh X2- 4X -1=0

VÝ dô 2: Chøng minh r»ng tån t¹i ph¬ng tr×nh bËc hai cã hÖ sè nguyªn vµ cã 1

Bµi 1: LËp ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lÇn lît lµ:

c

P = x x = >0

a

b a

 1 2

1 2

( ') 0 S= x + x 0

c

P = x x = >0

a

b a

2 thì phơng trình có 2 nghiệm trái dấu.

b, Phơng trình bậc hai có 2 nghiệm cùng dấu  P>0

m m

m  thì phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt

d, Phơng trình bậc hai có 2 nghiệm âm phân biệt  P<0

a) Tìm điều kiện của m để phơng trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu

b) Tìm điều kiện của m để phơng trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt cùngdấu

c) Tìm điều kiện của m để phơng trình bậc hai có hai nghiệm dơng phân biệt.d) Tìm điều kiện của m để phơng trình bậc hai có hai nghiệm âm phân biệt

III Kết quả thực nghiệm:

Sau khi dạy xong cho học sinh phần kiến thức này và kết hợp với việc rèn luyệngiải một số bài tập tôi nhận thấy:

- Học sinh nắm chắc các vấn đề liên quan đến phơng trình bậc hai và hệ thứcVi-ét

- Học sinh biết phân biệt và nhận dạng từng loại bài tập và vận dụng linh hoạt

đợc kiến thức đã học để giải toán

- Học sinh làm bài và trình bày bài khoa học, lập luận chặt chẽ

- Kết quả kiểm tra 20 em học sinh

Phần III: bài học Kinh nghiệm

* Đối với giáo viên: Cần xác định rõ từng dạng toán đồng thời phài thấy đợcmối quan hệ của những bài tập mà mình cần chuẩn bi cho học sinh với trình tự hợp

lí và lôgíc

- Phải dẫn dắt học sinh đi từ bài dễ đến bài khó, từ bài cơ bản đến bài nâng cao,cùng một bài toán ta có thể cho nhiều câu hỏi khác nhau đòi hỏi học sinh phải suynghĩ đa về dạng đã biết

- Phải hớng dẫn học sinh phơng pháp giải hợp lí, nhanh gọn dễ hiểu

* Đối vơi học sinh:

- Rèn luyện ý thức tự giác suy nghĩ

- Phải say sa tìm hiểu nghiên cứu và sáng tạo ttrong giải toán.

* Đối với nhà trờng

- Cần phân loại học sinh để giáo viên chọn kiến thức phù hợp và có phơng phápdạy hợp lí

- Tổ chức các buổi thảo luận chuyên môn để trao đổi và xây dựng chuyên đề,sáng kiến kinh nghiệm

- Tổ chức dạy thực nghiệm chuyên đề, kinh nghiệm ở các lớp để tìm ra phơngpháp dạy hợp lí

Phần IV: Kết luận

Trên đây là một số vấn đề về phơng trình bậc hai hay gặp ở Đại số lớp 9 Tuyrằng cha phải là đầy đủ nhất song đó là những vấn đề cơ bản, là nền tảng cho việcsuy nghĩ và giải quyết mọi bài toán có liên quan đến phơng trình bậc hai- Định líVi-ét

Trong thực tế dạng toán này rất đa dạng vì điều kiện thời gian và sự tiếp nhậnkiến thức của học sinh và năng lực của bản thân còn nhiều hạn chế nên nội dungchuyên đề cha đợc phong phú Rất mong các cấp lãnh đạo, ban giám khảo và cácbạn đồng nghiệp đóng góp, xây dựng ý kiến để chuyên đề đợc hoàn thiện hơn, cótính khả thi hơn

- Giáo viên: Cha có nhiều thời gian và trình độ còn có hạn nên cha đa ra các bàitập phong phú và khai thác triệt để các cách giải của cùng một bài toán.Do đóchuyên đề còn cha đợc hoàn thiện, mong sự giúp đỡ của các đồng nghiệp

2 Kiến nghị, đề xuất

- Đối với sách giáo khoa cần tăng thời lợng về phơng trình bậc hai có chứatham số Đa thêm một số bài toán có ứng dụng hệ thức Vi-ét vào sách giáo khoa.

- Đối với giáo viên: Cần định hớng cho học sinh thấy đợc tầm quan trọng của

hệ thức Vi-ét trong môn đại số và ứng dụng của nó trong giải toán

- Đối với nhà trờng: Tạo điều kiện về mặt thời gian cũng nh tài liệu để các

đồng chí giáo viên có thể đầu t vào công việc giảng dạy tốt hơn

Tôi rất mong đợc sự góp ý của các đồng nghiệp

Dạng II Kiểm tra một số x=x0 có phải là nghiệm của phơng trình

bậc hai không? Nếu phải hãy tính nghiệm còn lại

5Dạng III.Tìm giá trị của tham số m để phơng trình bậc hai có một

nghiệm cho trớc Tính nghiệm còn lại

6Dạng IV Không giải phơng trình hãy tính giá trị của một biểu

thức giữa các nghiệm của phơng trình bậc hai

8Dạng V Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm thoả

mãn hệ thức cho trớc

10

Dạng VI.Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phơng trình bậc

hai không phụ thuộc vào tham số m

15

Tài liệu tham khảo

1 Sách giáo khoa, sách bài tập toán 9 - Nhà xuất bản giáo dục

2 Sách ôn tập đại số 9

3 Bài tập nâng cao Toán lớp 9

4 Tự luyện phơng trình đại số theo chủ đề- Nguyễn Đức Tấn