tiet 57 he thuc vi ét - ap dung

Hãy viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình trong trường hợp... Phrăng–xoa Vi-ét sinh 1540 - mất 1603 tại Pháp.-Ông là người đầu tiên dùng chữ để kí hiệu các ẩn, các hệ số của

Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) Hãy viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình trong trường hợp

Ti T 57: Ế

Khi phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm thì nghiệm của phương trình luôn viết được dưới dạng :

Hãy tính a) x1 + x2

b) x1.x2

2

b x

a

− + ∆

2

b x

a

− − ∆

=

= + x

x1 2

a 2

b− ∆

− +

a 2

b

b + ∆ − − ∆

−

=

a 2

b 2

−

=

a

b

−

=

=

x

x1 2 2 a

b+ ∆

−

a 2

b − − ∆

2

2 2

a 4

) (

) b

a 4

b −∆

a 4

ac 4 b

=

a

c

=

a 2

b + ∆

−

Gi ¶i

Ti T 57: Ế

Nếu x1, x2 là hai nghiệm của PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:

1 HỆ THỨC VI-ÉT:

a

b

x

x1+ 2 = −

a

c

x

x1. 2 =

* Định lí VI-ÉT:

Phrăng–xoa Vi-ét (sinh 1540 - mất 1603) tại Pháp.

-Ông là người đầu tiên dùng chữ để kí hiệu các ẩn, các hệ số của

phương trình và dùng chúng để biến đổi và giải phương trình nhờ cách đó mà nó thúc đẩy Đại số phát triển mạnh.

- Ông là người phát hiện ra mối liên hệ giữa các nghiệm và các hệ số của phương trình.

- Ông là người nổi tiếng trong giải mật mã.

- Ông còn là một luật sư, một chính trị gia nổi tiếng.

Ti T 57: Ế

Ti T 57: Ế

Nếu x1, x2 là hai nghiệm của PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

thỡ:

1 HỆ THỨC VI-ẫT:

a

b

x

x1+ 2 = −

a

c

x

x1. 2 =

* Định lớ VI-ẫT:

*T.Quỏt 1: Nếu PT ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) cú: a + b + c = 0 thỡ

PT cú một nghiệm x1 = 1, cũn nghiệm kia là

Cho PT: 2x 2 - 5x + 3 = 0

a, Xỏc định cỏc hệ số a, b, c rồi

tớnh a + b + c.

b, Chứng tỏ x 1 = 1 là một

nghiệm của phương trỡnh.

c, Dựng định lớ Vi-ột để tỡm x 2

? 2 – SGK:

Ta có a =

a + b + c =

2 + (-5) + 3 = 0 Thay x1= 1 vào VT của PT ta có:

VT = 2.12 - 5.1 + 3 = 0 Vậy x1= 1 là một nghiệm của PT

Theo định lý Vi-ét thỡ:

1. 2 c

x x

a

=

Mà x1 = 1

a,

b,

c,

2

3 a

c

x2 = =

⇒

a

c

x2 =

= VP

; b = ; c =

Ti T 57: Ế

Nếu x1, x2 là hai nghiệm của PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

thỡ:

1 HỆ THỨC VI-ẫT:

a

b

x

x1+ 2 = −

a

c

x

x1. 2 =

* Định lớ VI-ẫT:

*T.Quỏt 1: Nếu PT ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) cú: a + b + c = 0 thỡ

PT cú một nghiệm x1 = 1, cũn nghiệm kia là

Cho PT: 3x 2 + 7x + 4 = 0

a, Chỉ rừ cỏc hệ số a, b, c rồi

tớnh a - b + c.

b, Chứng tỏ x 1 = -1 là một nghiệm

của phương trỡnh.

c, Tỡm x 2

? 3 – SGK:

Ta có a = ; b = ; c =

a - b + c =

3 - 7 + 4 = 0

Thay x 1 = -1 vào VT của PT ta có:

VT = 3.(-1) 2 + 7.(-1) + 4 = 0 = VP Vậy x 1 = -1 là một nghiệm của PT.

Theo định lý Vi-ét thỡ:

1. 2 c

x x

a

=

Mà x 1 = -1

a, b,

c,

3

4 a

c

x2

−

=

−

=

⇒

a c

x2 =

Ti T 57: Ế

Nếu x1, x2 là hai nghiệm của PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

thì:

1 HỆ THỨC VI-ÉT:

a

b

x

x1+ 2 = −

a

c

x

x1. 2 =

* Định lí VI-ÉT:

*T.Quát 1: Nếu PT ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a + b + c = 0 thì

PT có một nghiệm x1 = 1, còn nghiệm kia là

a

c

x2 =

*T.Quát 2: Nếu PT ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a - b + c = 0 thì

PT có một nghiệm x1 = -1, còn nghiệm kia là

a

c

x2 = −

? 4 – SGK: Tính nhẩm nghiệm của các phương

trình:

Có a + b + c = -5 + 3 + 2 = 0

Vậy x 1 = 1;

5

2

−

Có a - b + c = 2004 - 2005 + 1 = 0

Vậy x 1 =

1

−

Ti T 57: Ế

Nếu x1, x2 là hai nghiệm của PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

thì:

1 HỆ THỨC VI-ÉT:

a

b

x

x1+ 2 = −

a

c

x

x1. 2 =

* Định lí VI-ÉT:

*T.Quát 1: Nếu PT ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a + b + c = 0 thì

PT có một nghiệm x1 = 1, còn nghiệm kia là

a

c

x2 =

*T.Quát 2: Nếu PT ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a - b + c = 0 thì

PT có một nghiệm x1 = -1, còn nghiệm kia là

a c

x2 = −

Ti T 57: Ế

Nếu x1, x2 là hai nghiệm của PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

thì:

1 HỆ THỨC VI-ÉT:

a

b

x

x1+ 2 = −

a

c

x

x1. 2 =

* Định lí VI-ÉT:

*T.Quát 1: Nếu PT ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a + b + c = 0 thì

PT có một nghiệm x1 = 1, còn nghiệm kia là

a

c

x2 =

*T.Quát 2: Nếu PT ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a - b + c = 0

thì PT có một nghiệm x1 = -1, còn nghiệm kia là

a

c

x2 = −

2 Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:

Bài toán: Tìm hai số biết

tổng của chúng bằng S và

tích của chúng bằng P.

Gọi số thứ nhất là x thì số thứ hai

là (S - x).

Tích hai số bằng P nên: x(S – x) =

P  x2 – Sx + P = 0 (1) Nếu  = S2 – 4P ≥ 0 thì PT (1) có nghiệm Các nghiệm này chính là các số cần tìm.

Ti T 57: Ế

Nếu x1, x2 là hai nghiệm của PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

thì:

1 HỆ THỨC VI-ÉT:

a

b

x

x1+ 2 = −

a

c

x

x1. 2 =

* Định lí VI-ÉT:

*T.Quát 1: Nếu PT ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a + b + c = 0 thì

PT có một nghiệm x1 = 1, còn nghiệm kia là

a

c

x2 =

*T.Quát 2: Nếu PT ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a - b + c = 0

thì PT có một nghiệm x1 = -1, còn nghiệm kia là

a

c

x2 = −

2 Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai

nghiệm của PT: x2 – Sx + P = 0.

Điều kiện để có hai số đó là S2 – 4P ≥ 0

Ví dụ 1: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 27, tích của chúng bằng

180.Giải: Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình x2 – 27x + 180 = 0

x1 = 15 ; x2 = 12.

Vậy hai số cần tìm là 15 và 12.

 = (-27)2 - 4.1.180 = 9

Ti T 57: Ế

Nếu x1, x2 là hai nghiệm của PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

thì:

1 HỆ THỨC VI-ÉT:

a

b

x

x1+ 2 = −

a

c

x

x1. 2 =

* Định lí VI-ÉT:

*T.Quát 1: Nếu PT ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a + b + c = 0 thì

PT có một nghiệm x1 = 1, còn nghiệm kia là

a

c

x2 =

*T.Quát 2: Nếu PT ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a - b + c = 0

thì PT có một nghiệm x1 = -1, còn nghiệm kia là

a

c

x2 = −

2 Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của PT: x2 – Sx + P = 0.

Điều kiện để có hai số đó là S2 – 4P ≥ 0

? 5 – SGK: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 1, tích của chúng

bằng 5.

Hai số cần tìm là nghiệm của PT: x2 – x + 5 = 0.

 = (-1)2 – 4.1.5 = - 19 < 0

Vậy không có hai số nào có tổng bằng 1, tích bằng 5.

Ti T 57: Ế

Nếu x1, x2 là hai nghiệm của PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

thì:

1 HỆ THỨC VI-ÉT:

a

b

x

x1+ 2 = −

a

c

x

x1. 2 =

* Định lí VI-ÉT:

*T.Quát 1: Nếu PT ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a + b + c = 0 thì

PT có một nghiệm x1 = 1, còn nghiệm kia là

a

c

x2 =

*T.Quát 2: Nếu PT ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a - b + c = 0

thì PT có một nghiệm x1 = -1, còn nghiệm kia là

a

c

x2 = −

2 Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của PT: x2 – Sx + P = 0.

Điều kiện để có hai số đó là S2 – 4P ≥ 0

Ví dụ 2: Tính nhẩm nghiệm của PT x 2 – 5x + 6 = 0.

Giải: Vì 2 + 3 = 5; 2.3 = 6

nên x 1 = 2, x 2 =3 là hai nghiệm của PT đã

cho.

- Học thuộc định lí Vi-ét và cách tìm hai số biết tổng và tích của chúng.

- Nắm vững cách nhẩm nghiệm trong các trường hợp đặc biệt: a + b + c = 0 và a – b + c = 0.

- Bài tập về nhà: 25, 26, 27, 28 trang 52; 53 – SGK.