chuyên đề lượng giác ôn thi ĐH-CĐ

Hoặc: Không cần đặt sinx = t, giải PT bậc hai với sinx bình thường và thêm điều kiện -1 sinx 1 * Phương trình đối với cosx, tanx, cotx Cũng giải tương tự như dạng 1 với tanx và cotx

I CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Công thức Công thức cộng

a) cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb b) cos(a – b) = cosa.cosb + sina.sinb c) sin(a + b) = sina.cosb + sinb.cosa d) sin(a – b) = sina.cosb – sinb.cosa

Công thức nhân đôi

a) sin2x = 2sinx.cosx b) cos2x = cos2x – sin2x = 2 cos2x – 1 = 1 - 2 sin2x c) tan2x =

x

x

2

tan 1

tan 2



Công thức nhân ba a) cos3x = 4cos

3x -3cosx c) tan3x =

x

x x

2

2

tan 3 1

tan ) tan 3 (





b) sin3x = 3sinx – 4sin3x

Công thức biến đổi

tổng thành tích

a) cosx + cosy = 2cos x 2 y.cos x 2 y b) sinx + siny = 2sin

2

y

x 

cos 2

y

x 

c) cosx – cosy = -2sin x 2 ysinx 2y d) sinx – siny = 2cos

2

y

x 

sin 2

y

x 

Công thức biến đổi

tích thành tổng

a) cosx.cosy = 21 [cos(x + y) + cos(x – y)]

b) sinx.siny =

2

1 [cos(x + y) – cos(x – y)]

c) sinx.cosy = 21 [sin(x + y) + sin(x – y)]

d) cosx.siny = 21 [sin(x + y) – sin(x – y)]

Công thức hạ bậc

a) sin2x =1 cos2 2x ; sin3x = 3sinx 4sin3x

b) cos2x =

2

2 cos

; cos3x =

4

3 cos cos

Công thức thu gon

sinx +cosx

a) sinx + cosy = 











 4 sin











 4 cos

b) sinx – siny = 











 4 sin











 4 cos

c) cotx + tanx =

x

2 sin

2 ; d) cotx – tanx = 2cot2x

CHỦ ĐỀ 1 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

A KIẾN THỨC

Dạng 1: Phương trình sinx = m

* Trường hợp 1: m được biểu diễn qua sin góc đực biệt (sinα), khi đó: ), khi đó:

sinx = sinα), khi đó:  ( )

2

2

Z k k x

k x





























* Trường hợp 2: m không biểu diễn được qua sin góc đặc biệt, khi đó, nghiệm của pt:























2 arcsin

2 arcsin

k m x

k m x

(kz)

* Các trường hợp đặc biệt:













































2 2

1 sin

2 2

1 sin

0 sin

k x

x

k x

x

k x x

(kZ)

Dạng 2: phương trình cosx = m (m = cosα) ) Khi đó:

cosx = cosα), khi đó: 

























2

2

k x

k x

(kZ)

* Các trường hợp đặc biệt:







































2 1

cos

2 1

cos

2 0

cos

k x

x

k x x

k x

x

(kZ)

Dạng 3: Phương trình tanx = a và cotx = b (với a = tanα), khi đó: ; b = cotβ), khi đó:), khi đó:

 tanx = tanα  x = α + k (kZ)

 cotx =cotβ  x = β + k (kZ)

* Các trường hợp đặc biệt:

a)













































k x

x

k x

x

k x x

4 1

tan

4 1

tan

0 tan

(kZ)

b)























































k x

x

k x

x

k x

x

4 1

cot

4 1

cot

2 0

cot

(kZ)

B BÀI TẬP

1. Giải các phương trình lượng gác sau:































2 2 sin 2

5 cos 5

sin x x  x  b) 2cos3x + cos2x + sinx = 0

b) sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos2x + cos3x d)(2sinx +1)(3cos4x + 2sinx - 4) + 4cos2x = 3.

2. Giải các phương trình lượng gác sau:

2

1 8 cos 2



 c) sin 3x sinx sin 2x 0 b) 2 sinx 12 sin 2x 1 3  4 cos 2 x d) cosx(cos 4x 2 )  cos 2x cos 3x 0

3. Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sin 3x cos 3x 2 (sin 5x cos 5x) c) x x x x cos 2x

4

5 ) cos (sin

2 cos



























4 sin 2 4 1 4 cos 4





























2 4 sin 2 4 2

3

4. Giải các phương trình lượng gác sau:



















2 tan tan 1 sin cos

cot

x x

x x

cos sin

) 1 (cos cos 2

x x

x

x x









c) 3 – tanx(tanx + 2sinx) + 6cosx = 0

5. Giải các phương trình lượng gác sau:

2 sin

1 2

sin 2 2 cot tan

2    b)  

x

x x

2 4

cos

3 sin 2 sin 2 1 tan   

b) tan2x + cotx = 8cos2x d)

1 cot

) sin (cos 2 2

cot tan

1







x x x

x

-CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI (bậc cao) ĐỐI VỚI 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

A Kiến thức

Dạng 1: Phương trình bậc hai VD: asin 2 x + bsinx + c = 0 (a0) Ta giải như sau:

* Đặt t = sinx , t  1 Khi đó phương trình có dạng : at 2 + bt + c = 0 (1)

* Giải (1)  nghiệm t (so sánh đk)  nghiệm x của phương trình

Hoặc: Không cần đặt sinx = t, giải PT bậc hai với sinx bình thường và thêm điều kiện (-1 sinx 1)

* Phương trình đối với cosx, tanx, cotx

Cũng giải tương tự như dạng 1 (với tanx và cotx phải có đkxđ).

Dạng 2: Phương trình bậc 3: at 3 + bt 2 + c = 0 (a0) (1)

* TH1: Phương trình có nghiệm t0, khi đó:

(1)   

























0 0

)

0

C Bt at

t t C

Bt at t

* TH2: Sử dụng phương pháp biến thiên của hàm số để  nghiệm

* TH3: Sử dụng phương pháp hàm số đồ thị

Dạng 3: Phương tình bậc 4: at 4 + bt 3 + ct 2 + d = 0 (a0)

* TH1: Giải phương trình tìm nghiệm t  nghiệm x của phương trình

* TH2: Sử dụng phương pháp biến thiên của hàm số để  nghiệm

* TH3: Sử dụng phương pháp hàm số đồ thị

B BÀI TẬP

1 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sin4x + cos4x – cos2x + 1 sin22x – 2 = 0 b) 4cos3x + 3 2sin2x = 8cosx

c) (sin2x + 3cos2x) – 5 = cos 











 6

2x 

2 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 3cos4x – 8cos6x + 2cos2x + 3 = 0 b) tan2x + sin2x = 23 cotx

c) sinx.cos2x + cos2x(tan2x – 1) + 2sin3x = 0

3 Giải các phương trình lượng giác sau:

2 sin 1

1 cos 2 ) 2 3 sin 1

(











x

x x

x

b) ( 1 cot 2 cot ) 0

sin

2 cos

1

48  4  2  x x 

x x

4 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 4(sin3x – cos2x) = 5(sinx – 1) b) sin3x + sinx – 2cos2x = 0

c) 2cos2x – 8cosx + 7 =cos1 x d) cos2x + cosx(2tan2x – 1) = 2

-CHỦ ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sinx và cosx

A Kiến thức

Phương trình dạng asinx + bcosx = 0, ta giải như sau:

* Tính giá trị của biểu thức a 2 b2

+ Nếu 2 2

b

 phương trình vô nghiệm + Nếu a 2 b2 c2, khi đó nghiệm của phương trình được tính:

* Chia cả hai vế của phương trình cho 2 2

b

a  , ta được:

2 2 sin 2 2 cos 2 2

b a

c x b a

b x

b a

a











Vì ( ) ( ) 2 1

2 2 2 2





b b

a

a

, nên tồn tại góc β), khi đó: sao cho:

sinx.cosβ + sinβ.cosx = 2 2

b a

c

 với ( cos 

2

2 

b a

a

2

2 

b a

b

)  sin(x  )  2 2

b a

c

 (đây là phương trình cơ bản của sin)

B BÀI TẬP

1 Giải phương trình lượng giác sau:

a) cos2x - 3sin2x = sin3x + 1 b) 3sinx - 3cos3x = 4sin3x – 1

c) 2cosx(sinx – 1) = 3cos2x d) 2sin3x – sin2x + 3cos2x = 0

2 Giải phương trình lượng giác sau:

a) 4sin3x – 1 = 3sinx - 3cos3x b) 4(cos4x – sin4x) + 3cos4x = 2

c) 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 4 c) cos3x + cos2x + sinx = 0

3 Giải phương trình lượng giác sau:

a) sinx + sin2x = 3(cosx + cos2x) b) 3sin4x – cos4x = sinx - 3cosx

c) sinx = 31 (3 - 3cosx) d) (1 - 3)sinx + (1 + 3)cosx = 2

4 Giải phương trình lượng giác sau:

a) sin2x + ( 3 - 2)cos2x = 1 b) 3cosx – sin2x = 3(cos2x + sinx)

c) cos2cos2 2sinsincos1  3







x x

x x x

d) 4sin2 2

x

– 3cos2x = 1 + 2cos2 











 4

3 

x