Chuyên đề ôn thi đại học môn toán - lượng giác

Tham khảo sách ''chuyên đề ôn thi đại học môn toán - lượng giác'', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chuyên đề 7 LƯỢNG GIÁC

TRỌNG TÂM KIẾN THỨC

A CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC

I Đơn vị đo góc và cung:

2 Đường tròn lượng giác:

Số đo của một số cung lượng giác đặc biệt: qAM= α +k2π

k C

k A

D B,

k

,

2 2 -

D

2k

2 2

B

2k

x

y

(tia gốc)

Z)(k 2)

,(Ox Oy =α+k π ∈

III Định nghĩa hàm số lượng giác:

1 Đường tròn lượng giác:

• A: điểm gốc

• x'Ox : trục côsin ( trục hoành )

• y'Oy : trục sin ( trục tung )

• t'At : trục tang

• u'Bu : trục cotang

2 Định nghĩa các hàm số lượng giác:

a Định nghĩa: Trên đường tròn lượng giác cho AM=α

Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x'Ox vàø y'Oy

T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t'At và u'Bu

OP OQ AT BU

αααα

− ≤1 cosα ≤1 hay cosα ≤1

• tan xác đinh

k k k k

IV Giá trị các hàm số lượng giác của các cung (góc ) đặc biệt:

Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trị đặc biệt

u u'

1

1 -1

-1

-π/2

π

5π/6 3π/4 2π/3

-π/6 -π/4 -π/3

A

π/3 π/4 π/6

22

22

V Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt:

Đó là các cung :

1 Cung đối nhau : và -α α (tổng bằng 0) (Vd:

sin( )

( ) cot2

απ

VI Công thức lượng giác:

1 Các hệ thức cơ bản:

sintan =

coscoscot =

sin

αα

ααα

2

1

1 tan =

cos1

1 cot =

sintan cot = 1

α

αα

α

++

Ví dụ: Chứng minh rằng:

1 cos x4 +sin x4 = −1 2 sin x cos x2 2

2 cos6x+sin6x=1−3sin2xcos2x

1) cos x sin x cos x sin x

cos x sin x 2 sin x cos x

2) cos x sin x cos x sin x

cos x sin x 3 sin x cos x cos x sin x

tan +tantan( + ) =

1 tan tantan tantan( ) =

Chứng minh

3 Công thức nhân đôi:

2 2

2 tantan 2

1 tan

αα

αα

2 1 cos 2 2 1 cos 2 2 1 cos 2

2

1cos

4

cos33coscos3α = α+ α

4

3sinsin

3sin3α = α− α

7 Công thức biến đổi tích thành tổng :

21

cos cossin( )tan tan

3

4

5 38

B PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Các bước giải một phương trình lượng giác

Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) của ẩn số để hai vế của pt có nghĩa

Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến một pt đã biết cách giải

Bước 3: Giải pt và chọn nghiệm phù hợp ( nếu có)

Bước 4: Kết luận

I Định lý cơ bản: ( Quan trọng )

u = v+k2sinu=sinv

u = -v+k2

u = v+k2

u = -v+k2tanu=tanv u = v+k (u;v )

2cotu=cogv u = v+k (u;v k )

( u; v là các biểu thức chứa ẩn và k∈Z)

Ví dụ : Giải phương trình:

II Các phương trình lượng giác cơ bản:

1 Dạng 1: sinx = m ; cosx = m ; tanx = m ; cotx = m ( ∀m∈R)

* Gpt : sinx = m (1)

• Nếu m >1 thì pt(1) vô nghiệm

• Nếu m ≤1 thì ta đặt m = sinα và ta có (1) sinx=sin x = +k2

• Nếu m >1 thì pt(2) vô nghiệm

• Nếu m ≤1 thì ta đặt m = cosβ và ta có (2) cosx=cos x = +k2

Các trường hợp đặc biệt:

2sinx = 0 x = ksin 1 x = 2

2cos 1 x = 2cosx = 0 x = + k

2cos 1 x = 2

6

612

512

22

3) sin 2x cos 2x 1 2 cos 2x 1

42 cos 2x

cos 2x 1

Giải các phương trình:

1) 1 cos+ 4x−sin4x=2 cos2x 3) 4(sin4x+cos4x)+sin4x−2=0 2) sin6x+cos6x=cos4x 4) sin cos3 cos sin3 1

ππ

4 4

3) 4(sin x cos x) sin 4x 2 0 3 cos 4x s in4x 2 0

2 cos 4x 1

43 cos 4x cos

kx

2 sin4x 1

k x

⇔ = − + Vậy nghiệm pt là

Đặt ẩn phụ : t = sinx ( t = cosx; t = tanx; t = cotx)

Ta được phương trình : at2+ + =bt c 0 (1) Giải phương trình (1) tìm t, rồi suy ra x

Chú ý : Phải đặt điều kiện thích hợp cho ẩn phụ (nếu có)

Ví dụ :

1) 2 cos2x+5sinx− =4 0 2) cos2 4 cos 5 0

2

x− x+ = 3) 2 ) 0

2cos(

)cos(sin

sin22

cos.sin)sin(cos

=

−

−+

x

x x x

5

2 4cos 8cos 3 0

3cos (VN)

2

1cos

2

x x

3

x= ± +π k π

s in2x 2 (VN) 2x k2

s in2x (VN)

3 2x k2

cos(x- ) = (3)

a

b b

Ví dụ : Giải các phương trình :

1) +cosx 3 sinx= −1 2) 4(sin4x+cos )4 x + 3 sin 4x=2

22

k x

k x

x x= x thay vào (1) ta sẽ biến đổi pt (1) về dạng 3

Cách giải 2: ( Quy về pt theo tang hoặc cotang )

Chia hai vế của pt (1) cho cos x ta được pt: 2

atan2 x b+ tanx c+ =0

Đây là pt dạng 2 đã biết cách giải

Chú ý: Trước khi chia phải kiểm tra xem x k

2

π

= + π có phải là nghiệm của (1) không?

Ví dụ : Giải phương trình:

Ví dụ : Giải phương trình :

sin 2x−2 2(sinx+cos ) 5 0x − =

Chú ý : Ta giải tương tự cho pt có dạng : (cosa x−sin )x b+ sin cosx x c+ =0

Ví dụ : Giải phương trình :

sin 2x+4(cosx−sin ) 4x =

4 Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng :

a Phương pháp 1: Biến đổi pt đã cho về một trong các dạng pt lượng

giác cơ bản đã biết

Ví dụ: Giải phương trình:

1) 0

2

32sincos

sin4 x+ 4 x+ x− = 2) sin 3x− 3 cos 3x=2 s in2x 3) tan x 3 1

cos x

b Phương pháp 2: Biến đổi pt đã cho về dạng tích số

Cơ sở của phương pháp là dựa vào các định lý sau đây:

0 A=0

B=0

A B= ⇔ ⎢⎡⎣ hoặc

A=0 0 B=0

Ví dụ : Giải các phương trình :

a sin2x+sin 22 x+sin 32 x=2

b 2sin3x+cos2x−cosx=0

c Phương pháp 3: Biến đổi pt về dạng có thể đặt ẩn số phụ

Một số dấu hiệu nhận biết :

* Phương trình chứa cùng một một hàm số lượng giác ( cùng cung khác lũy thừa)

Ví dụ : Giải các phương trình :

a cos3x+cos2x−cosx−1=0

b 4cos3x−cos2x−4cosx+1=0

* Phương trình có chứa (cosx±sin ) và sinx.cosxx

Ví dụ : Giải phương trình : 1 sin+ 3 +cos3 =3sin 2x

⎟

2) (2 sin x 1+cos 2x)+sin 2x= +1 2 cos x

3) sin x3 − 3 cos x3 =sin x cos x2 − 3 sin x cos x2

Bài giải:

2) 2 sin x 1( +cos 2x)+sin 2x = +1 2 cos x

Bài giải:

3) sin x3 − 3 cos x3 =sin x cos x2 − 3 sin x cos x2

Bài 2 : Giải các phương trình lượng giác sau

1) (1+sin x cos x2 ) +(1+cos x sin x2 ) = +1 s in2x

2) 2 sin 2x2 +sin 7x− =1 sin x

Bài 3: Giải các phương trình lượng giác sau

1) 2 cos x( 6 sin x6 ) sin x cos x

Bài giải:

3) cos 3x+cos 2x−cos x− = 1 0

Bài 4: Giải các phương trình lượng giác sau

1) cos 3x cos 2x2 −cos x2 = 0

2) 1+sin x+cos x+s in2x+cos2x=0

2) 1+sin x+cos x+s in2x+cos2x=0

3) (2cosx−1 2 sin x)( +cos x)=s in2x−sin x