Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB.. Tính thể tích khối chóp H.SCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC Câu 6 1,0 điểm.. Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a 1,0 điểm.. Viết p
Trang 1GV: NGÔ TÙNG LÂM – THPT THANH SƠN
DĐ : 0916 166 645
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 23 MÔN TOÁN NĂM 2012 - 2013
Thời gian làm bài: 180 phút.
I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm ) :
Câu 1 ( 2,0 điểm ) Cho hàm số y x
x
1
−
=
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến cắt các trục Ox , Oy lần lượt tại các điểm phân biệt A , B sao cho OA = 4OB
Câu 2 ( 1,0 điểm) Giải phương trình 2 sin 2 3sin cos 2
4
Câu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân
6
=
I
Câu 5 (1,0 điểm).Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường
tròn đường kính AD =2a, SA⊥(ABCD) và SA = a 6 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB Tính thể tích khối chóp H.SCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC
Câu 6 (1,0 điểm) Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn 2 2 2
x +y +z =xyz
1 2
x yz+ y xz+ z xy ≤
II PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm ): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( A hoặc B )
A Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD cóD(3; 3− ) ,
M là trung điểm của AD, phương trình đường thẳng CM x y: − − =2 0 , B nằm trên đường thẳng d: 3x y+ − =2 0 Tìm tọa độ A B C, , biết Bcó hoành độ âm
Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P :
3x+2y z− + =4 0 và điểm A(2; 2;0) Tìm tọa độ điểm M sao cho MA vuông góc với ( )P , M
cách đều gốc tọa độ O và mặt phẳng ( )P
Câu 9.a (1,0 điểm) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn: 1
4 3 7( 3)
C ++ −C + = n+ Tìm hệ số của 8
x trong khai triển: 5
3
2
x
= + với x>0
B Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có ( 1; 1)
D − − , diện tích bằng 6, phân giác trong của góc A là ∆ có phương trình x y− + =2 0.Tìm tọa độ đỉnh B của hình chữ nhật , biết A có tung độ âm
Câu 8.b (1,0 điểm).Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) :
2 2 2 2 6 4 5 0
x +y + −z x+ y− z+ = Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa Oyvà cắt (S) theo một đường tròn có bán kính r=2
Câu 9.b (1,0 điểm) Tìm số phức z sao cho z2là số thuần ảo và z−2i =4
………HẾT………
Trang 2GV: NGÔ TÙNG LÂM – THPT THANH SƠN
DĐ : 0916 166 645
ĐẤP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 23 MÔN TOÁN NĂM 2012 - 2013
Thời gian làm bài: 180 phút.
Câu 1: 1, (1.5 điểm)
TXĐ: D R= \ 1{ }
2
1
( 1)
y
x
−
− Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞;1) và (1;+∞).
1
lim
x +y
→ = +∞;
1
lim
x −y
Tiệm cận đứng x = 1 xlim y xlim y 2
→+∞ = →−∞ = ; Tiệm cận ngang y = 2.
* Bảng biến thiên
x −∞ 1 +∞
,
y − −
y 2
−∞ 2+∞
Đồ thị:
Câu 1: 2, (0,5 điểm)
2) Giả sử tiếp tuyến d của (C) tại M x y( ; )0 0 cắt Ox tại A và Oy tại B sao cho OA = 4OB.
Do ∆OAB vuông tại O nên: A OB
OA
1 tan
4
= = ⇒ Hệ số góc của d bằng 1
4 hoặc
1 4
−
Hệ số góc của d là: y x
x
0
1
( 1)
− ⇒ y x( )0 1
4
0
4 ( 1)
3
o
o
x x
= −
=
Với x o = − 1 thì 3
2
o
y = Khi đó phương trình tiếp tuyến là: y 1(x 1) 3
4x 4
Vớix o= 3 thì 5
2
o
y = Khi đó phương trình tiếp tuyến là: y 1(x 3) 5
4x 4
Câu 2:(1.0 điểm)
4
⇔ sin 2x+cos 2x=3sinx+cosx+2
⇔2sin cosx x+2cos2x− =1 3sinx+cosx+ ⇔2 sinx(2 cosx− +3) 2cos2 x−cosx− =3 0
⇔ sinx(2 cosx− +3) (cosx+1 2 cos) ( x− = ⇔3) 0 (2cosx−3 sin) ( x+cosx+ =1) 0
⇔
2
5
2
+ = − +
+ = +
, (k ∈ Z ) 2 2
2
= − +
= +
(k ∈ Z.)
Câu 3: (1.0 điểm)
1 ⇔ x−2 + − =x 2 y +y(*) Xét hàm số f t( ) = +t3 t Ta có f t'( ) =3t2+ > ∀ ∈ ⇒1 0 t R f t( ) đồng biến trên R
Do đó (*)⇔ = −y x 2.Thay y x= −2 vào (2) ta được : 3x+ −3 5 2− x = −x3 3x2−10x+26
3 2
3x 3 3 1 5 2x x 3x 10x 24
Trang 3⇔ 3( 2) 2( 2) ( ) ( 2 )
2
12
x
x x
=
PT (3) vô nghiệm vì với 5 1
2 x
− ≤ ≤ thì x2− − <x 12 0 Vậy hệ có nghiệm duy nhất 2
0
x y
=
=
Câu 4: Tính tích phân
6
=
I
Đặt
2 1
4 1
t( )2 =3, 6t( ) =5
Khi đó
5 3
tdt
3
1
ln 1
1
t t
+
3 1
ln
2 12
Câu 5: Tính thể tích…
Ta có :
2
.
,
7
S HDC
H SDC S HDC
S BDC
Gọi K là hình chiếu của B trên AD
Ta có ; BK.AD AB.BD BK= . 3
2
AB BD a AD
BCD
a
14
H SDC
a
Vì ADP(SBC) nên d AD SC( , ) =d AD SBC( ,( ) ) =d A SBC( ,( ) ) =h
.Dựng hình bình hành ADBE Do AB⊥BD nên AB⊥ AE
Trong tứ diện vuông ASEB ta có : 12 12 12 12 12 12 12 92
6
h = SA + AB + AE = SA + AB +BD = a 6
3
a h
⇒ =
Câu 6 (1,0 điểm) Từ gt ta có : x y z 1
yz+xz+xy = Mặt khác : xy yz zx x+ + ≤ 2+y2+x2 Mà theo gt
2 2 2
x +y +x =xyz nên xy yz zx xyz+ + ≤ 1 1 1 1
x+ + ≤y z Lại có : 2
4
yz
x
Tương tự : 2 1 1
4
1 1 4
1 1
Đẳng thức xảy ra
2 2 2
3
x y x xyz
x yz y xz z xy
+ + =
Câu 7a: (1,0 điểm) B d∈ ⇒B b( ; 3− +b 2)
Vì S BMC =2S DMC nên d B CM( , ) =2d D CM( , ) 1 2 3
1
b b
b
=
Khi đó B(3; 7 ,− ) (B −1;5) Loại B(3; 7− ) vì B có hoành độ dương
( ; 2)
C CM∈ ⇒C c c− Gọi I là trung điểm của BD ⇒I( )1;1
Do CI ⊥BD nên CI BDuuruuur. = ⇔ =0 c 5 ⇒C( )5;3 Vì I là trung điểm của AC nên A(− −3; 1)
Trang 4Câu 8a(1,0 điểm) ( )P có véc tơ pháp tuyến nr(3; 2; 1− )
Gọi M a b c Ta có ( ; ; ) uuuurAM a( −2;b−2;c)
Vì MA⊥( )P nên AMuuuur và nr cùng phương⇔uuuurAM =tn tr, ∈R⇔
2 3
2 2
c t
= +
= +
= −
(1)
Vì M cách đều O và (P) nên ( ( ) ) 2 2 2 3 2 4
,
14
a b c
14 a b c 3a 2b c 4
Thay (1) vào (2) tìm được 3
4
t =−
Vậy 1 1 3; ;
4 2 4
Câu 9a: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 8 3 5
2
x
1
12( )
n loai
= −
3
2
Ta có:
5(12 ) 60 11
3
2
x
−
60 11
2
k
Hê số của x là 8 C 2124 4 =7920
Gọi E là điểm đối xứng với D qua ∆⇒ ∈E AB.PT đường thẳng DE: x y 2 0+ + =
Gọi I là giao điểm của DE với ∆⇒ −I( 2;0).Vì I là trung điểm của DE nên E(−3;1)
( ; 2)
A∈∆ ⇒A a a+ với a< −2 Do AE⊥ ADnên uuur uuurAE AD. = ⇔ = −0 a 3 A(− −3; 1)
Câu 7b(1,0 điểm) PT đường thẳng AE: x 3 0+ = , B AE∈ ⇒B(−3;b)
ABCD
S = =AB AD Mà AD=2 nên AB=3 2
4
b b
=
⇔ = − Khi đó B(−3; 2 ,) (B − −3; 4) Loại B(− −3; 4) vì khi đó ∆ là phân giác ngoài Vậy B(−3; 2)
Câu 8b(1,0 điểm) Mặt cầu (S) có tâm I(1; 3; 2− ), bán kính R=3
Vì ( )P chứa trục Oy nên PT ( )P có dạng : Ax Cz+ =0 (B C, ≠0)
Ta có d I P( ,( ) ) = R2−r2 = 5 A2 2C2 5
+
+
( )2
2A C 0 C 2A
⇔ − = ⇔ = Chọn A= ⇒ =1 C 2 Vậy PT ( )P là : x 2z 0+ =
z− i = a + −b , 2 2 2
2
z =a − +b abi
Câu 9b(1,0 điểm) Ycbt 2 ( )2
2 2
0
a b
⇔
− =
0 0
a b
=
hoặc
2 2
a b
=
=
hoặc
2 2
a b
= −
=
Vậy z=0,z= +2 2 ,i z= − +2 2i