Bai tap Dai so 9

Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó... 2 Tỡm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm cú hoành độ bằng 3... 3 Tìm điểm cố định mà đồ thị củ

CHUYÊN ĐỀ I: CĂN THỨC BẬC HAI

1.b) Với x = 1

2 thì P = - 3 – 2 2

Bài 3 : Cho biểu thức : A =

1

1 1

x x

a) Rút gọn biểu thức sau A

b) Tính giá trị của biểu thức A khi x =

4 1

c) Tìm x để A < 0

d) Tìm x để A = A

H íng dÉn : a) §KX§ : x ≥ 0, x ≠ 1 BiÓu thøc rót gän : A =

a b) Với 0 < a < 1 thì biểu thức A >

a) §KX§ : x > 0 ; x ≠ 1 Biểu thức rút gọn : A =

1

2 + + x x

b) Ta xét hai trường hợp :

+) A > 0 ⇔

1

2 + + x

x > 0 luôn đúng với x > 0 ; x ≠ 1 (1)+) A < 2 ⇔

1

2 + + x

3 x 1 x

x 2 3

x 2 x

19 x 26 x x P

+

− +

−

−

− +

− +

=

a Rút gọn P

b Tính giá trị của P khi x=7−4 3

c Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó

Hướng dẫn :

a ) ĐKXĐ : x ≥ 0, x ≠1 Biểu thức rút gọn :

3 x

16 x P

+ +

3

2 2 : 9

3 3 3 3

2

x

x x

x x

x x

x P

3 P

− + )

+

)

− + )

b Tỡm x Z∈ để A Z∈

c Tỡm x để A < 0 (KQ: A = 2

1

x x

− + )

CHUYấN ĐỀ II: HÀM SỐ BẬC NHẤT

Bài 1 :

1) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4)

2) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với trục tung và trục hoành

H ớng dẫn :

b a

1) Tỡm điều kiện của m để hàm số luụn nghịch biến

2) Tỡm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm cú hoành độ bằng 3

3) Tỡm m để đồ thị của hàm số trờn và cỏc đồ thị của cỏc hàm số y = -x + 2 ; y = 2x

3) Giao điểm của hai đồ thị y = -x + 2 ; y = 2x – 1 là nghiệm của hệ pt :

2

x y

x y

1) Tỡm giỏ trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1

2) Tỡm giỏ trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4)

3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m

H

ớng dẫn :

1) Để hai đồ thị của hàm số song song với nhau cần : m – 1 = - 2 ⇔ m = -1.

Vậy với m = -1 đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1

2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vào pt : y = (m – 1)x + m + 3 Ta được : m = -3

Vậy với m = -3 thỡ đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4)

3) Gọi điểm cố định mà đồ thị luụn đi qua là M(x0 ;y0) Ta cú

1

0

0

y x

Vậy với mọi m thỡ đồ thị luụn đi qua điểm cố định (1;2)

Bài 4 : Cho hai điĨm A(1 ; 1), B(2 ; -1).

1) Viết phơng trình đờng thẳng AB

2) Tìm các giá trị cđa m đĨ đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song

với đờng thẳng AB đồng thời đi qua điĨm C(0 ; 2)

b a

2 1

2 3

2

2

m m

m m

⇔ m = 2.

Vậy m = 2 thỡ đường thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đường thẳng ABđồng thời đi qua điểm C(0 ; 2)

Bài 5 : Cho hàm số y = (2m – 1)x + m – 3.

1) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; 5)

2) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m Tìm

điểm cố định ấy

3) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = 2 1−

H ớng dẫn :

1) m = 2

2) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x0 ;y0) Ta cú

0

y x

Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định (

2

5

; 2

và y = kx + k + 1 cắt nhau tại một điểm

Bài 7 : Giả sử đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b Xác định a, b để (d) đi qua hai

điểm A(1; 3) và B(-3; -1)

Bài 8 : Cho hàm số : y = x + m (D).

Tìm các giá trị của m để đường thẳng (D) :

1) Đi qua điểm A(1; 2003)

2) Song song với đường thẳng x – y + 3 = 0

+ Nếu a = 0 và b = 0 ⇒ phương trình có vô số nghiệm.

= +

c'

y b'

x a'

c

by

+ ĐS : ĐKXĐ : x ≠ 1 ; x ≠ - 2 S = { }4

- 2x

3

3

+ + = 2 ⇔ 2x = - 3 ⇔ x = 2

+ Nếu m = 2 thì (1) vô nghiệm

Ví dụ 3 : Tìm m ∈ Z để phương trình sau đây có nghiệm nguyên

(2m – 3)x + 2m2 + m - 2 = 0

Giải :

Ta có : với m ∈ Z thì 2m – 3 ≠0 , vây phương trình có nghiệm : x = - (m + 2) -

3 - m 2

1) Giải hệ phương trình theo tham số m

2) Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x, y) Tìm các giá trị của m để x + y = -1

3) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m

1) Giải hệ phơng trình khi thay m = -1.

2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y) Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 4 : Cho hệ phương trỡnh:

 cú nghiệm duy nhất là (x; y).

1) Tỡm đẳng thức liờn hệ giữa x và y khụng phụ thuộc vào a

2) Tỡm cỏc giỏ trị của a thoả món 6x2 – 17y = 5

3) Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của a để biểu thức 2x 5yx y−+ nhận giỏ trị nguyờn

2) Với giỏ trị nào của a thỡ hệ cú nghiệm duy nhất

Bài 6 : Xỏc định cỏc hệ số m và n, biết rằng hệ phương trỡnh  + =mx y nnx my 1− =

 (a là tham số).

1) Giải hệ khi a = 1

2) Chứng minh rằng với mọi a hệ luụn cú nghiệm duy nhất (x ; y) thoả món x + y ≥ 2

Bài 8 (trang 22): Cho hệ phương trỡnh :







= +

= +

1 - m 4y 2)x - (m

0 3)y (m -

x

(m là tham số)

a) Giải hệ khi m = -1

b) Giải và biện luận pt theo m

Bài 9 : (trang 24): Cho hệ phương trỡnh :

mx

0

y m -

Bài 10 (trang 23): Một ụtụ và một xe đạp chuyển động đi từ 2 đầu một đoạn đường sau 3

giờ thỡ gặp nhau Nếu đi cựng chiều và xuất phỏt tại một điểm thỡ sau 1 giờ hai xe cỏchnhau 28 km Tớnh vận tốc của mỗi xe

HD : Vận tốc xe đạp : 12 km/h Vận tốc ụtụ : 40 km/h.

Bài 11 : (trang 24): Một ụtụ đi từ A dự định đến B lỳc 12 giờ trưa Nếu xe chạy với vận

tốc 35 km/h thỡ sẽ đến B lỳc 2 giờ chiều Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thỡ sẽ đến Blỳc 11 giờ trưa Tớnh độ quảng đường AB và thời diểm xuất phỏt tại A

Đỏp số : AB = 350 km, xuất phỏt tại A lỳc 4giờ sỏng.

Bài 12 : (trang 24): Hai vũi nước cựng chảy vào một cài bể nước cạn, sau

giờ nữa mới nay

bể Nếu một mỡnh vũi thứ hai chảy bao lõu sẽ nay bể

Đỏp số : 8 giờ.

Bài 13 : (trang 24): Biết rằng m gam kg nước giảm t0C thì tỏa nhiệt lượng Q = mt (kcal).Hỏi phải dùng bao nhiêu lít 1000C và bao nhiêu lít 200C để được hỗn hợp 10 lít 400C.Hường dãn :

= +

400 20y 100x

y

2,5

x

Vậy cần 2,5 lít nước sôi và 75 lít nước 200C

Bài 14 : Khi thêm 200g axít vào dung dịch axít thì dung dịch mới có nồng độ 50% Lại

thêm 300g nước vào dung dịch mới được dung dịch axít có nồng độ 40% Tính nồng độaxít trong dung dịch ban đầu

Hường dãn :Gọi x khối axit ban đầu, y là khối lượng dung dịch ban đầu

+

= +

+

% 40

% 100 500

y

200) (

% 50

% 100 200

y

200) (

y

400

x

Vậy nồng độ phần trăm của dung dịch axít ban đầu là 40%

CHUYÊN ĐỀ IV: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

ĐỊNH LÝ VIET VÀ ỨNG DỤNG A.Kiến thức cần ghi nhớ

1 Để biện luận sự có nghiệm của phương trình : ax2 + bx + c = 0 (1) trong đó a,b,c phụ thuộc tham số m,ta xét 2 trường hợp

a)Nếu a= 0 khi đó ta tìm được một vài giá trị nào đó của m ,thay giá trị đó vào(1).Phương trình (1) trở thành phương trình bậc nhất nên có thể : - Có mộtnghiệm duy nhất

- hoặc vô nghiệm

- hoặc vô số nghiệm

b)Nếu a ≠0

Lập biệt số ∆= b2 – 4ac hoặc ∆ / = b/2 – ac

* ∆ < 0 (∆ / < 0 ) thì phương trình (1) vô nghiệm

p = x1x2 =

a c

Đảo lại: Nếu có hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S và x1x2 = p thì hai số đó là nghiệm (nếu

có ) của phương trình bậc 2:

x2 – S x + p = 0

3 Dấu của nghiệm số của phương trình bậc hai.

Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) Gọi x1 ,x2 là các nghiệm củaphương trình Ta có các kết quả sau:

S p

Hai nghiệm cùng âm (x1 < 0 và x2 < 0) ⇔

S p

Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương( x2 > x1 = 0) ⇔

S p

Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm âm (x1 < x2 = 0) ⇔

S p

4 Vài Bài toán ứng dụng định lý Viét

a)Tính nhẩm nghiệm.

Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

• Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x1 = 1 , x2 =

a c

• Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x1 = -1 , x2 = -

c)Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc 2 có nghệm x 1 , x 2 thoả mãn điều

kiện cho trước.(Các điều kiện cho trước thường gặp và cách biến đổi):

2 1 2 1

1 1

x x

x x x x

+

=

p S

*)

2 1

2 2

2 1 1

2 2

1

x x

x x x

x x

2 1 2

1

2 )

)(

(

2 1

1

a aS p

a S a

x a x

a x x a x a

• Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x= x1 cho trước có hai cách làm

+) Cách 1:- Lập điều kiện để phương trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm:

+) Cách 2: - Không cần lập điều kiện∆ ≥ 0 (hoặc ∆ / ≥ 0) mà ta thay luôn

x = x1 vào phương trình đã cho, tìm được giá trị của tham số

- Sau đó thay giá trị tìm được của tham số vào phương trình và

giải phương trình

Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phương trình đã cho mà phương trình

bậc hai này có ∆ < 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phương trình có nghiệm x1 cho trước

• Đê tìm nghiệm thứ 2 ta có 3 cách làm

+) Cách 1: Thay giá trị của tham số tìm được vào phương trình rồi giải phương trình

(như cách 2 trình bầy ở trên)

+) Cách 2 :Thay giá trị của tham số tìm được vào công thức tổng 2 nghiệm sẽ tìm

- Với m =3 thì phương trình có nghiệm là x1.2 = 4

- Với m = -3 thì phương trình có nghiệm là x1.2 = -2

+ Nếu ∆ / < 0 ⇔ -3 < m < 3 thì phương trình vô nghiệm

Kết kuận:

• Với m = 3 thì phương trình có nghiệm x = 4

• Với m = - 3 thì phương trình có nghiệm x = -2

• Với m < - 3 hoặc m > 3 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

x1 = m + 1 - m2 − 9 x2 = m + 1 + m2 − 9

• Với -3< m < 3 thì phương trình vô nghiệm

Bài 2: Giải và biện luận phương trình: (m- 3) x2 – 2mx + m – 6 = 0

Hướng dẫn

• Nếu m – 3 = 0 ⇔ m = 3 thì phương trình đã cho có dạng

- 6x – 3 = 0 ⇔ x = -

2 1

* Nếu m – 3 ≠0 ⇔ m ≠ 3 Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có biệt số ∆ / =

m2 – (m – 3)(m – 6) = 9m – 18

- Nếu ∆ / = 0 ⇔9m – 18 = 0 ⇔m = 2 phương trình có nghiệm kép

x1 = x2 = -

3 2

- Nếu ∆ / < 0 ⇔ m < 2 Phương trình vô nghiệm

Kết luận:

Với m = 3 phương trình có nghiệm x = -

2 1

Với m = 2 phương trình có nghiệm x1 = x2 = -2

Với m > 2 và m ≠ 3 phương trình có nghiệm x1,2 =

3

2 3

Với m < 2 phương trình vô nghiệm

Bài 3: Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nhanh nhất

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 áp dụng hệ thức Viet ta có :

) 7 3(-2 7 6 - x x

7 2 - 3 x x

2 1

2 1

Vậy phương trình có 2 nghiệm x1 = 3 , x2 = - 2 7

Bài 4 : Giải các phương trình sau bằng cánh nhẩm nhanh nhất (m là tham số)

2

1

m

m x

S p

S x

x

x x

+ D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x12 + x22) + x1x2

= 10x1x2 + 3 (x12 + x22)

= 10p + 3(S2 – 2p) = 3S2 + 4p = - 1

b)Ta có :

S = 1 1 1 1 91

2 1

−

= +

1 Chứng minh phương trình (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k

2 Tìm những giá trị của k để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu

3 Gọi x1 , x2 là nghệm của phương trình (1) Tìm k để : x13 + x23 > 0

Vậy k > 1 là giá trị cần tìm

Bài 7:

Cho phương trình : x2 – 2( m + 1) x + m – 4 = 0 (1) (m là tham số)

1 Giải phương trình (1) với m = -5

2 Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt với mọi m

3 Tìm m để x1 −x2 đạt giá trị nhỏ nhất (x1 , x2 là hao nghiệm của phương trình (1)

3 Vì phương trình có nghiệm với mọi m ,theo hệ thức Viét ta có:

1 (m+ 2 +

4

19 2

Vậy x1 −x2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 19 khi m = -

2 1

Bài 8 : Cho phương trình (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – 3 = 0 (m là tham số)

1) Giải phương trình khi m = -

2 9

2) Chứng minh rằng phương trình đã cho có nghiệm với mọi m

3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia

phương trình có hai nghiệm x1 = 1 , x2= 3

2) + Nếu: m + 2 = 0 => m = - 2 khi đó phương trình đã cho trở thành;

4 2

= +

+

m

m

x2 = 22m(m−1+−2)5 = 22((m m+−23)) = m m+−23Tóm lại phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

3)Theo câu 2 ta có m ≠ - 2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệmnày gấp 3 lần nghiệm kia ta sét 2 trường hợp

2

3 +

Kiểm tra lại: Thay m =

2

11

vào phương trình đã cho ta được phương trình : 15x2 – 20x + 5 = 0 phương trình này có hai nghiệm

(thoả mãn đầu bài)

Bài 9: Cho phương trình : mx2 – 2(m-2)x + m – 3 = 0 (1) với m là tham số

1 Biện luận theo m sự có nghiệm của phương trình (1)

2 Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu

3 Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3 Tìm nghiệm thứ hai

Giải

1.+ Nếu m = 0 thay vào (1) ta có : 4x – 3 = 0 ⇔ x =

4 3

2 4 2

0 ≠ m < 4 : phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

2 (1) có nghiệm trái dấu ⇔

0 3

m m m

m m m m

Đối chiếu với điều kiện (*), giá trị m =

-4 9

thoả mãn

*) Cách 2: Không cần lập điều kiện ∆ / ≥ 0 mà thay x = 3 vào (1) để tìm được m =

-4 9

.Sau đó thay m =

-4

9

vào phương trình (1) : -

2

1

x x

) 2 4

9 ( 2 ) 2 (

2 − = −− − =

m m

9

3 4

Bài 10: Cho phương trình : x2 + 2kx + 2 – 5k = 0 (1) với k là tham số

Với điều kiện(*) , áp dụng hệ trức vi ét: x1 + x2 = - =

a

b

- 2k và x1x2 = 2 – 5kVậy (-2k)2 – 2(2 – 5k) = 10 ⇔ 2k2 + 5k – 7 = 0

(Có a + b + c = 2+ 5 – 7 = 0 ) => k1 = 1 , k2 = -

2 7

Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần lượt k1 , k2 vào ∆ / = k2 + 5k – 2

8 70 49 2 2

35 4

49 − − = − − = − không thoả mãn

Vậy k = 1 là giá trị cần tìm

Từ điều kiện x12 + x22 = 10 ta tìm được k1 = 1 ; k2 = -

2

7

(cách tìm như trên)Thay lần lượt k1 , k2 vào phương trình (1)

Không giải phương trình, hãy tính:

Tính x x 1 2 + x 2 x 1 (với x1, x2 là hai nghiệm của phương trình).

Bài 3 : Cho phương trình bậc hai:

x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m + 2 = 0

1) Tìm các giá trị của m để phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

2) Tìm giá trị của m thoả mãn x12 + x22 = 12 (trong đó x1, x2 là hai nghiệm của phương trình)

Bài 4 : Cho phương trình:

x2 – 2mx + 2m – 5 = 0

1) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

2) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

3) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2, tìm các giá trị của m để:

x12(1 – x22) + x22(1 – x12) = -8

Bài 5 : Cho phương trình:

x2 – 2(m + 1)x + 2m – 15 = 0

1) Giải phương trình với m = 0

2) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2 Tìm các giá trị của m thoả mãn 5x1 + x2 = 4

Bài 6 : Cho phương trình: x2 + 4x + 1 = 0 (1)

1) Giải phương trình (1)

2) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) Tính B = x13 + x23.

a) Xác định m để phương trình có một nghiệm là bằng 2 Tìm nghiệm còn lại

b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x13 + x23 ≥ 0

Bài 8 : Cho phương trình:

(m – 1)x2 + 2mx + m – 2 = 0 (*)

1) Giải phương trình khi m = 1

2) Tìm m để phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

Xác định m để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1,0)

• Xét 2m-1=0=> m=1/2 pt trở thành –x+1=0=> x=1

• Xét 2m-1≠0=> m≠ 1/2 khi đó ta có

,

∆ = m2-2m+1= (m-1)2≥0 mọi m=> pt có nghiệm với mọi m

ta thấy nghiệm x=1 không thuộc (-1,0)

với m≠ 1/2 pt còn có nghiệm x=m2−m m−+11=2m1−1

pt có nghiệm trong khoảng (-1,0)=> -1<

1 2

0 1 1 2

0 1 2 2

m m

m

=>m<0 Vậy Pt có nghiệm trong khoảng (-1,0) khi và chỉ khi m<0

CHUYÊN ĐỀ I: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PT

Bài1 : Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B cách nhau 300 km Ô tô thứ nhất

mỗi giờ chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm hơn ô tô thứ hai 1 giờ Tính vận tốc mỗi xe ô tô

đường với vận tốc đó, vì đường khó đi nên người lái xe phải giảm vận tốc mỗi giờ 10 km trên quãng đường còn lại Do đó ô tô đến B chậm 30 phút so với dự định Tính quãng đường AB

Bài 2 : Hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau 4 giờ 48 phút thì đầy Nðu chảy cùng một

thời gian như nhau thì lượng nước của vòi II bằng 2/3 lương nước của vòi I chảy được Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu đầy bể

Bài 3 : Một ô tô dự định đi từ A đền B trong một thời gian nhất định Nếu xe chạy với

vận tốc 35 km/h thì đến chậm mất 2 giờ Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ Tính quãng đờng AB và thời gian dự định đi lúc đầu

Bài 4 : Quãng đờng AB dài 180 km Cùng một lúc hai ôtô khởi hành từ A để đến B Do

vận tốc của ôtô thứ nhất hơn vận tốc của ôtô thứ hai là 15 km/h nên ôtô thứ nhất đến sớmhơn ôtô thứ hai 2h Tính vận tốc của mỗi ôtô?

Bài 5 : Trong một buổi lao động trồng cây, một tổ gồm 13 học sinh (cả nam và nữ) đã

trồng được tất cả 80 cây Biết rằng số cây các bạn nam trồng được và số cây các bạn nữtrồng được là bằng nhau ; mỗi bạn nam trồng được nhiều hơn mỗi bạn nữ 3 cây Tính sốhọc sinh nam và số học sinh nữ của tổ