khoang cach va goc trong oxyz khoang cach va goc trong oxyz

Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng P sao cho MA2 + MB2 đạt giá trị nhỏ nhất... Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d:- Tìm tọa độ A là giao của d với P.. Tìm tọa độ điểm C

MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN ĐẾN GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH

I LIÊN QUAN ĐẾN GÓC

(5 BÀI ) Bµi 1 ( KA-2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình lập phương ABCD.A 'B'C'D' với

A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0;1; 0), A'(0; 0;1) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB, CD

1 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'C và MN

2 Viết phương trình mặt phẳng chứa A'C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc α biÕt os 1

6

c  GIẢI

1 0 1 2 2' ,

- Do đi qua (A’C) cho nên : Qua A’(0;0;1) suy ra : c+d=0 (2) Suy ra c=-d = a+b

(P) qua C(1;1;0) : a+b+d =0 (3) suy ra : (P) : ax+by+(a+b)z-(a+b)=0 (*)

- Mặt phẳng (P) có : na b c; ; , mặt phẳng (Oxy) có véc tơ pháp tuyến là k0;0;1 Do đó ta có :

- Với : a=-2b, chọn b=-1, ta được (P) : 2x-y+z-1=0

- Với b=-2a , thì chọn a=1 , ta được (P) : x-2y-z+1=0

Bài 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1; 2; 3), B(2; 1; 6) và mp(P): x + 2y + z

3= 0 Viết phương trình mp(Q) chứa AB và tạo với mp(P) một góc  thỏa mãn: cos 3

6

 

GIẢI Gọi (Q) có dạng : ax+by+cz+d=0

(Q) qua A(-1;2;-3) ta có : -a+2b-3c+d=0 (1) và (Q) qua B(2;-1;-6) : 2a-b-6c+d=0 (2)

- Vậy có hai mặt phẳng : (Q): -4x+y-3z-15=0 và (Q’): -x+y-3=0

Bài 3 Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A(2; 1; 1), B(0; 1: 2) và đường thẳng (d):

b/Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng 2 và tạo với đường thẳng 1 một góc 300

GIẢI a/Chứng minh hai đường thẳng 1 và 2 chéo nhau:

* Đường thẳng 1 có véc tơ chỉ phương u11; 2;1  và qua O(0;0;0), còn 2 qua B(1;-1;1)

Với m=-n thỡ (P): 2nx-ny-nz-2n=0 , Hay (P): 2x-y-z-2 =0

Bài 5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đ-ờng thẳng d và d’

lần l-ợt có ph-ơng trình : d : x y z





1

2

và d’ :

1

53

30GIẢI

Tương tự như bài 4, ta chuyển d sang dạng là giao của hai mặt phẳng : x-z=0 và x+y-2=0

Do đú (P) thuộc chựm : m(x-z)+n(x+y-2)=0 ; hay : (m+n)x+ny-mz-2n=0 (1)

Đường thẳng d’ cú u2;1; 1  Vỡ (P) tạo với d’ một gúc bằng 0

- Với m=-2n thay vào (1) thỡ (P): -nx+ny+2nz-2n=0 ; hay (P):-x+2y+2z-2=0

- Với n=-2m thay vào (1) thỡ (P): -mx-2my-mz+4m=0 ; hay (P): -x-2y-z+4=0

II LIấN QUAN ĐẾN KHOẢNG CÁCH

( 32 BÀI )

Bài 1.(ĐH_KD-2009)

Trong khụng gian tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD cú tọa độ cỏc đỉnh A(1;2;1),B(-2;1;3),

C(2;-1;1),D(0;3;1).Viết phương trỡnh mặt phẳng (P) đi qua A và B sao cho khoảng cỏch từ điểm C đến mặt phẳng (P) bằng khoảng cỏch từ điểm D đến mặt phẳng (P)

GIẢI

- Mặt phẳng (P) cú dạng : ax+by+cz+d=0

- (P) qua A(1;2;1) thỡ : a+2b+c+d=0 (1) (P) qua B(-2;1;3) thỡ : -2a+b+3c+d=0 (2)

- Theo giả thiết : h(C,P)=h(D,P)

 Nếu : a+b+c+d=0 thay vào (1) và (2)

 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc

(d), I cách (P) một khoảng bằng 2 và (P) cắt (S) theo một đường tròn giao tuyến có bán kính bằng 3

GIẢI Gọi (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính R Theo giả thiết :

GIẢI Cách giải tương tự như bài 3

Bài 5 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(4;9;9), B(10;13;1)

và mặt phẳng (P): x + 5y  7z  5 = 0 Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho

MA2 + MB2 đạt giá trị nhỏ nhất

GIẢI Gọi M (x;y;z) thuộc (P) thì ta có : x+5y-7z-5=0 (1)

( Kết quả như trên )

Bài 6 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(5; 8; 11), B(3; 5; 4),

; ;

19

GIẢI

Mặt phẳng (P) có dạng : ax+by+cz+d=0

Nếu (P) qua A(1;-1;2) thì ta có phương trình : a-b+2c+d=0 (1)

Nếu (P) qua B(1;3;0) thì ta có phương trình : a+3b+d=0 (2)

Theo giả thiết : h(C,P)=h(D,P) cho nên ta có :

điểm A(4;1;5), B(3;0;1), C(1;2; 0) Tìm toạ độ điểm M thuộc () để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất: MA.MB MB.MC   MC.MA

GIẢI Gọi M(x;y;z) thuộc (P) thì ta có phương trình : 3x-3y+2z+37=0 (1) Khi đó ta có :

Dấu đẳng thức xảy ra khi :

Ta có : BA1;0; 2 , MBx1;y1;z Nếu tam giác MAB vuông cân tại B và kết hợp với (1) thì ta

Bài 9 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d):

- Tìm tọa độ A là giao của d với (P) Tọa độ của A là nghiệm của hệ :

Nếu H thuộc d’ thì H=(t+4;-2-4t;3-3t) (*) ,suy ra KH    3 t t; 4 3;3t1

, thay vào (*) ta tìm được tọa độ của H

Bài 10 Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng

IA

IB k

- Lập mặt phẳng (Q) song song với (P) và cách (P) một khoảng bằng 2

- Do đó (Q) có dạng : 2x+y-2z+m=0 Ví h(P,Q) = 2 suy ra : Trên (Q) chọn N(-2;-3;1) ta tính

- Bây giờ ta đi tìm tọa độ của M là giao của d với (Q), thì tọa độ M là nghiệm :

      Dấu đẳng thức xảy ra khi t=-3 , và C=( -2 ;5 ;-5 )

Bài 14 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm A( 1;0;1), B(2; 1;0), (2; 4; 2) C và

mặt phẳng ( ) : x y 2z 2 0 Tìm tọa độ điểm M trên () sao cho biểu thức 2 2 2

T MA MB MC

đạt giá trị nhỏ nhất

GIẢI Nếu M thuộc mặt phẳng ( ) : x y 2z 2 0 (1)

Bài 15 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;0;3); B(2;0;1) và mặt phẳng

(P): 3x  y  z +1 = 0 Tìm tọa độ điểm C nằm trên (P) sao cho ABC tam giác đều

GIẢI Nếu M=(x;y;z) thuộc (P) suy ra ; 3x-y-z+1=0 (1) Khi đó ta đi tính :

Bài 16 Trong không gian Oxyz cho mp (P): 3x  8y + 7z + 4 = 0 và hai điểm A(1; 1; 3),

B(3; 1; 1) Tìm tọa độ điểm C thuộc mặt phẳng (P) sao cho tam giác ABC đều

GIẢI Nếu C thuộc (P) thì tọa độ của C=(x;y;z) thỏa mãn : 3x-8y+7z+4=0 (1)

Bài 17 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(3; 1; 0), B nằm trên

mặt phẳng Oxy và C nằm trên trục Oz Tìm tọa độ các điểm B, C sao cho H(2; 1; 1) là trực tâm của tam giác ABC

GIẢI Nếu B nằm trên mp(Oxy) thì B( x;y;0), còn C nằm trên trục Oz thì C(0;0;z)

Gọi H là trực tâm của tam giác ABC thì nó là giao của ba đường cao hạ từ ba đỉnh của tam giác có nghĩa

Vậy điểm C cần tìm có tọa độ là C=( t;7-2t;-t ) ( Có vô số điểm C)

Bài 18 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d): 5 7

GIẢI Đường thẳng d1 qua điểm M(1;-2;3) có véc tơ chỉ phương

1 2;1;3

u  , và đường thẳng d2 có véc tơ chỉ phương u2 2;3; 2

Gọi  là đường thẳng song song với (P) có u a b c; ;  thì:

GIẢI Gọi (P) là mặt phẳng qua A(10;2;-1) và có véc tơ pháp tuyến na b c; ;  Do đó (P) có phương trình là : a(x-10)+b(y-2)+c(z+1)=0 ; Hay (P): ax+by+cz-10a-2b+c=0 (*)

Đường thẳng d qua B(1;0;1) và có véc tơ chỉ phương u2;1;3

- Nếu (P) song song với d thì n u nu 0 2a b 3c0  1

- Khoảng cách từ d đến (P) chính là khoảng cách từ M thuộc d đến (P) , với M=(2t+1;t;3t+1) do vậy ta cho t=0 thì M=(1;0;1) : h(M,P)=

(Q): x – y + z + 1 = 0 Tìm tọa độ giao điểm K của đường thẳng AB với mp(P) Tìm tọa độ điểm C nằm trên mp(Q) sao cho tam giác ABC là tam giác đều

Nếu C nằm trên mặt phẳng (Q) thì C(x;y;z) thỏa mãn : x-y+z+1=0 (1)

1 3 5432

y x z

Bài 22 Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(9; 1; 1) cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho thể

tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất

GIẢI Gọi A(a;0;0) tuộc Ox,B(0;b;0) thuộc Oy và C(0;0;c) thuộc Oz ( a,b,c khác 0 )

Khi đó mặt phẳng (P) có dạng : x y z 1 0 bcx acy abz abc 0  1

Nếu (P) qua M(9;1;1) thì ta có : 9 1 1  

1 2

a  b c

Do thể tích tứ diện 1  

36

Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương

4; 6; 8 / / ' 2; 3; 4 1;1; 3

u   u    AB AM   Cho nên đường thẳng d song song với (AB) Do đó (AB) và d cùng thuộc một mặt phẳng

Từ đó , theo kết quả của hình học phẳng , ta làm như sau :

- Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d

- Lập đường thẳng d’ qua A’ và B

- Tìm tọa độ I là giao của (A’B) với d Theo cách làm trên , rõ ràng dường thẳng d là trung trực của AA’ cho nên IA=IA’ , cho nên :

IA+IB=IA’+IB=A’B Nếu có I’ thuộc d thì I’A+I’B>A’B Vậy I là điểm duy nhất

- Cũng theo nhận xét trên thì IH là đường trung bình của tam giác A’BA cho nên AB=2IH Hay

Chú ý : Năm 1998 ĐH Thái nguyên K-A+B cũng đã ra dạng bài tập này rồi

* Đề thi : Cho điểm A(1;2;-1) và điểm B(7;-2;3) , đường thẳng d là giao của hai mặt phẳng có phương

d

H

Bài 24 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2; -1), B(7; -2; 3) và đường

Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương

3; 2; 2 / / 6; 4; 4 1; 2;5

u  AB   AN  Cho nên đường thẳng d song song với (AB) Do đó (AB) và d cùng thuộc một mặt phẳng Từ đó , theo kết quả của hình học phẳng , ta làm như sau :

- Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d

- Lập đường thẳng d’ qua A’ và B

- Tìm tọa độ M là giao của (A’B) với d Theo cách làm trên , rõ ràng dường thẳng d là trung trực của AA’ cho nên MA=MA’ , cho nên :

MA+MB=MA’+MB=A’B Nếu có M’ thuộc d thì M’A+M’B>A’B Vậy M là điểm duy nhất

- Cũng theo nhận xét trên thì MH là đường trung bình của tam giác A’BA cho nên AB=2MH Hay

Tọa độ I thỏa mãn yêu cầu là : M=(2;0;4 )

Bài 25 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho  P :x2yz50 và đường thẳng

31

2

3

:

)

(d x  y  z , điểm A( -2; 3; 4) Gọi  là đường thẳng nằm trên (P) đi qua giao điểm của ( d)

và (P) đồng thời vuông góc với d Tìm trên  điểm M sao cho khoảng cách AM ngắn nhất

GIẢI Gọi B(x;y;z) là giao của d với (P) thì tọa độ của B là nghiệm của hệ :

2 31

2 3 2 1 3 5 0 3 33

- Vậy  qua B(-1;0;4) và có véc tơ chỉ phương u 1; 1; 1  

1:

z

t y

t x

GiẢI Nếu A,B thuộc d thì ta có :

1; 1 2; 1 1 1 2; 1 3; 1 1 1 2 1 3 1 1 31 121 14

7 7 7'

Bài 31 (KB-08 ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1) Viết

phương trình mặt phẳng (ABC) và tìm điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB =

- Lập mặt phẳng (ABC) qua A(0;1;2) có véc tơ pháp tuyến n AB AC, 

Do đó (ABC) có phương trình là : x+2(y-1)-4(z-2)=0 , Hay (ABC): x+2y-4z+6=0

- Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) : 2x+2y+z-3=0

Nếu M=(x;y;z) thuộc (P) : 2x+2y+z-3=0 (1) Ta có :