Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a.. Biết góc giữa hai mặt phẳng A'BC và ABC bằng 450.. Tính thể tích khối chóp N.AC'I và khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và A'C
Trang 1SỞ GD & ĐT HẢI DƯƠNG
TRƯỜNG THPT HỒNG QUANG
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN II NĂM 2013
MÔN: TOÁN; KHỐI: A - A1 - B - V
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số 3
y= −x mx+ (1), với m là tham số thực
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1
2 Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị và đường thẳng đi qua hai điểm
cực trị cắt đường tròn (C): ( ) (2 )2
x− + y− = tâm I tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB có diện tích bằng 2
Câu 2 ( 2,0 điểm)
1 Giải phương trình:
tan
s in + cos sin cos 1 s in
x
2 Giải bất phương trình:
3 2
4 2
2
x x x
x x
− (x∈ℝ)
Câu 3 (1,0 điểm) Tính tích phân:
1 2
=
xe
Câu 4 (1,0 điểm) Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a Gọi M, N,
I lần lượt là các trung điểm của các cạnh AA', AB, BC Biết góc giữa hai mặt phẳng (A'BC) và (ABC) bằng 450 Tính thể tích khối chóp N.AC'I và khoảng cách giữa hai
đường thẳng MN và A'C
Câu 5 (1,0 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c thỏa mãn: 3
2
a b c+ + = , ta có:
3 3
a ab b b bc c c ca a
Câu 6 (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có đỉnh D(-6; -6), đường trung trực cạnh CD là ∆: 2x+3y+17=0 và đường thẳng chứa phân giác trong của góc
BAC là d: 5x+ − =y 3 0 Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình bình hành ABCD
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(3; 1; 2), đường thẳng
1 :
+
−
d và mặt phẳng ( ) : 2P x+2y+2z− =9 0 Viết phương trình đường thẳng
'
d qua M, cắt d và (P) lần lượt tại A và B sao cho =2
MA AB
Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm M biểu diễn các số
phức z thỏa mãn điều kiện: iz− = − −3 z 2 i Cho điểm N( 1; 5)− , tìm z để độ dài MN nhỏ nhất
- Hết -
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:
Trang 21
TRƯỜNG THPT HỒNG QUANG
Tổ: Toán ***
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN II NĂM 2013
MÔN TOÁN - KHỐI A - A 1 - B - V
( Đáp án – Thang điểm gồm 4 trang)
Khi m = 1, hàm số (1) trở thành: y= −x3 3x +2
* Tập xác định: ℝ
* Sự biến thiên: ' 3 2 3; ' 0 1
1
x
x
= −
=
y > ∀ ∈ −∞ − ∪ + ∞x ; y'< ∀ ∈ −0 x ( 1; 1)
⇒ Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞ −; 1 và 1;+) ( ∞);
Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 1)
Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = -1;yCĐ = 4.Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1; yCT = 0
→−∞ = →−∞ − + = −∞ →+∞ = →+∞ − + = +∞
0,25
Bảng biến thiên:
x −∞ 1− 1 +∞
y' − 0 + 0 −
y 4 1− +∞
−∞ 0
0,25
* Đồ thị:
Đồ thị cắt trục Oy tại điểm (0; 2) và đi qua điểm A(-2; 0); B(2; 4)
" 6 0 0
y = = ⇔ =x suy ra đồ thị có điểm uốn là U(0; 2)
Đồ thị nhận điểm uốn U(0; 2) làm tâm đối xứng
0,25
2 (1,0 điểm) Tìm m để
y = x − m= x −m , Hàm số có cực trị ⇔Pt 'y =0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ m>0(1) 0,25
3
y y x mx Vì xCĐ ; xCT là nghiệm của phương trình y'(x) = 0 nên
yCĐ = -2m x CĐ + 2 ; yCT = -2m x CT + 2
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
y= −2mx+ ⇔2 2mx+ − =y 2 0 ( )∆
0,25
I
(2,0 đ)
Đường tròn (C) tâm (2; 1)I , bán kính R=2 Đường thẳng (d) cắt đường tròn tại
hai điểm phân biệt khi và chỉ khi ( ; ) 4 2 1 2
−
∆ < ⇔ <
+
m
d I R
m
0,25
f(x)=x^3-3x+2
1 2 4
x y
Trang 32
1
2
Tam giác IAB vuông cân tại I nên đường cao
2
m
m
+
Đối chiếu điều kiện (1) ta có 2 6
4
m= +
0,25
1 (1,0 điểm) Giải phương trình
Điều kiện: {c xos ≠0; sinx≠1; sinx+c xos ≠0
2 2
Pt
0,25
2 2
1 sin sin cos 2 cos 1 sin
x
2
0,25
(1 cos )(1 cos ) (sin cos )(1 cos )
(1 sin )(1 sin ) sin cos 1 sin
x
Vậy, phương trình có nghiệm là x= +π k2 ,π (k∈ℤ). 0,25
2 (1,0 điểm) Giải bất phương trình
3 2
− +
x x x
x x x
≠
⇔ < − ∨ >
< − ∨ >
x
Với x< −1: ( 2 )
2
; 2 1
− +
x x Bpt
x
< >
VT VP bpt luôn nghiệm đúng 0,25
Với 1< ≤x 2: ( 2 )
2
; 2 1
− +
−
x x Bpt
x
≤ >
VT VP bpt luôn nghiệm đúng 0,25
II
(2,0 đ)
Với x>2:
2
2
2
2 1
3
−
⇔ ≤
x x
x
x
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: (−∞ − ∪; 1) (1; 3]
0,25
(1,0 điểm) Tính tích phân
2 2
1 2 2
=
⇒
x
x x
e
e e
0,25
III
(1,0 đ)
1 1
0 0
1
2
x
e
0,25
Trang 43
Tính
0( 2)
=
+
∫ x
dx J
e Đặt = x; ∈[ ]0; 1 ⇒ ∈[ ]1;
= x ⇒ =dt
dt e dx dx
t Suy ra =1 ( 2)
+
∫
e
dt J
t t
0,25
∫
e e
Vậy, 1 1ln 3
−
e I
0,25
Tính thể tích
0,25
0,25
0,25
IV
(1,0 đ)
Ta có (ABC) (∩ A BC' )=BC
vì AI ⊥BC AA; '⊥BC⇒A I' ⊥BC nên góc
giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A'BC) là góc giữa A'I và AI bằng góc A IA' =450
0
3
3 ' tan 45
2 1
⇒ C ANI = C ABC =
a
AA AI
a
/ / ' / /( ' )
1 ( , ' ) ( , ( ' )) ( , ( ' ))
2
⇒
2 '.
'
( ; ( ' )) ;
os45 4
A BC
A BC
'.
'
( ; ( ' ))
4
A BC
d A A BC
S
8
=a
d MN A C
0,25
Chứng minh
2
a ab b a b và ( )2
4
a b ab Suy ra:
VT
0,25
Đặt a b+ =x; b c+ = y; c+ =a z , khi đó , , x y z>0 và x+ + =y z 3
3
VT
3
1+ 1+ 1≥2
0,25
Áp dụng BĐT Côsi
2
2
xy yz zx
xy yz zx x y z
0,25
V
(1,0 đ)
Trang 54
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1
2
= = =
a b c
1 (1,0 điểm) Tìm tọa độ các đỉnh của hình bình hành
Phương trình đường thẳng CD qua D và
vuông góc với ∆ là
3 x+ −6 2 y+ = ⇔6 0 3x−2y+ =6 0 (CD)
0,25
= ∩ ∆
M CD nên tọa độ M là nghiệm của hệ phương trình:
⇔
x y y ⇔M(− −4; 3).Mà M là trung điểm CD nênC(−2; 0) 0,25
Gọi C' là điểm đối xứng với C qua đường thẳng d : nên C' 3; 1( )
Phương trình đường thẳng AB qua C' và song song với đường thẳng CD là
3 2 ;
1 3
= +
= +
y t
0,25
A AB d nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:
3 2
1 3
= +
= +
+ − =
x y
(1; 2)
⇔ A − Mặt khác =⇔ (5; 4)
2 (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng ' d
Điểm
1
+
−
−
0,25
Mà điểm B thuộc mặt phẳng (P) nên: 3− − + − + − − = ⇔ =t 3 6t 4 6t 2 9 0 t 2
Suy ra ( 2; 3; 4)A −
0,25
VI
(2,0 đ)
Vậy, phương trình đường thẳng qua A, M là ' : 2 3 4
+ = − = −
−
Tìm tập hợp điểm
Giả sử z= +x yi, ( ;x y∈ℝ) Điểm M x y biểu diễn z ( ; )
− = − − ⇔ − − = + − −
⇔ − − +y xi = − + −x y i ⇔(y+3)2+x2 = −(x 2)2+ −(y 1)2
⇔ x+ y+ = ⇔ +x y+ =
Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng có phương trình:
x+2y+ =1 0 (d)
0,25
VII
(1,0 đ)
Khoảng cách MN ngắn nhất khi M là hình chiếu của N trên đường thẳng d
Điểm M thuộc d nên M( 2− m−1;m , )
⊥ ⇔=
d
NM d NM u ;( 2 ;− −5);(2; 1)−
d
NM m m u
⇒= − + − = ⇔ = ⇔ −
d
0,25
Lưu ý: Học sinh làm cách khác đáp án mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa
-HẾT -
Trang 65