Cho hình chóp S ABCD.. có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , 0 120 Tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt đáy.. Tính thể tích khối chóp S ABCD.. và côsin của góc giữa
Trang 1SỞ GD & ĐT HẢI DƯƠNG
TRƯỜNG THPT HỒNG QUANG
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM 2013
MÔN: TOÁN; Khối D
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề
y = x − m + x + m − x + , với m là tham số thực a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị cách đều đường thẳng x = 2
Câu 2 (2,0 điểm)
2 3 sin x + sin 2 x + − 2 3 sin x − cos x − = 1 0 b) Giải phương trình 2 2
x + =x + x− x∈ℝ
Câu 3 (1,0 điểm) Tính tích phân
0
1
x
e
+ +
=
+
Câu 4 (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , 0
120
Tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Biết góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABCD ) bằng 0
60 Tính thể tích khối chóp S ABCD và côsin của góc giữa hai đường thẳng SC và BD
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hai số thực x y , thay đổi, thỏa mãn x y , ∈ − [ 1;3 ] và 3 3
2
x + y = Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2
P = x + y
Câu 6 (2,0 điểm)
a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A Điểm M ( 3;1) là trung điểm cạnh AB , đỉnh C thuộc đường thẳng x − + = y 6 0 Đường trung tuyến kẻ từ đỉnh
A có phương trình 2 x − = y 0 Tìm tọa độ các đỉnh A B C , ,
b) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( ) : 2 P x + 2 y − − = z 3 0 và hai đường thẳng 1: 4 1
:
− Viết phương trình đường thẳng ∆
song song với mặt phẳng ( ) P , cắt d1 và d2tại các điểm A B , sao cho AB = 3
Câu 7 (1,0 điểm) Tìm số phức z biết z + = 1 13 và 2
z là số thuần ảo
- Hết -
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm
Trang 2- 2 -
TRƯỜNG THPT HỒNG QUANG
Tổ: Toán ***
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM 2013
MÔN: TOÁN; Khối D
(Đáp án - thang điểm gồm 05 trang)
a (1,0 điểm)
Khi m = 1, ta có hàm số 3 2
y= −x x +
* Tập xác định: ℝ
* Sự biến thiên:
2
x
x
=
=
0,25
y > ⇔ ∈ −∞x ∪ + ∞ ; y'< ⇔ ∈0 x ( )0; 2
Các khoảng đồng biến (−∞; 0 và 2;+) ( ∞), khoảng nghịch biến ( )0; 2 .
Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0; yCĐ = 2
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; yCT = -2
Giới hạn:
0,25
Bảng biến thiên
0,25
Đồ thị
Đồ thị cắt trục tung tại điểm ( 0; 2)
và cắt trục hoành tại các điểm
( ) 1;0 , 1 ( − 3 ;0 , 1 ) ( + 3 ;0 )
y = x − ⇒ y = ⇔ = x
b (1,0 điểm)
y = x3− ( m + 2) x2+ ( m − 1) x + 2 (1)
2
⇒ = − + + − Ta có y ' = ⇔ 0 3 x2 − 2( m + 2) x + − = m 1 0 (2)
Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt
⇔ ∆ > ⇔ + − − > ⇔ + + > ⇔ ∈ ℝ
0,25
1
(2,0
điểm)
Gọi các nghiệm của phương trình (2) là x x1, 2, tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm
số (1) là A x y ( 1; 1) ( , B x y2; 2) với y1 = y x ( ),1 y2 = y x ( )2
Hai điểm cực trị A B , của đồ thị cách đều đường thẳng ( ) : d x = 2
0,25
0
−∞
+
0
+∞
2
−
x
'
y y
−∞
+∞
2 0
− +
2
-8 -6 -4 -2
2 4 6 8
x y
Trang 31 2 1 2
Loại trường hợp x1 = x2 do hai nghiệm x x1, 2 phân biệt
0,25
3
m
2 3 sin x + sin 2 x + − 2 3 sin x − cos x − = 1 0(1)
2 (1) (2 3 sin 3 sin ) (sin 2 cos ) (2sin 1) 0
3 sin cos 1 0
x
− =
0,25
Xét
2
5 2
2 6
= +
2
2
2 2
π
Phương trình đã cho có các nghiệm
2 6
x = + π k π
6
x = π + k π
3
x = − + π m π
; x = + π m 2 π với k m , ∈ ℤ
0,25
b (1,0 điểm) Giải phương trình x2+91=x2 + x−2, x∈ℝ
Điều kiện x ≥ 2 (*)
x + =x + x− ⇔ x + − =x − + x− −
0,25
( )( )
2 2 2
2 1
91 10
2 1
91 10
x x
x x
− +
− +
0,25
2 1
91 10
x
x x
− + + +
2
3
2 1
91 10
x
x x
x
=
0,25
2
(2,0
điểm)
2
( 3) 0
2 1
91 10
x
x x
x
− +
2 1
91 10
x
x x
− + + +
0,25
Trang 4- 4 -
phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 3
(1,0 điểm) Tính tích phân
0
1
x
e
+ +
=
+
∫
2
x
1 2 0
x
M = ∫ xe dx Đặt 2
2 1 2
du dx
u x
=
=
⇒
0
∫
0,25
.
∫ ∫ Đặt t = ex ⇒ dt = e dxx
Đổi cận x = 0 ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = e, ta có
1
e t
0,25
3
(1,0
điểm)
Vậy
Gọi Hlà trung điểm đoạn AB Tam giác S AB cân tại S
nên SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD )
(Vì ( SAB ) ⊥ ( ABCD ))
Từ giả thiết suy ra tam giác ABD là tam giác đều cạnh a,
nên diện tích hình thoi ABCD là
2 0
ABCD ABD
a
0,25
4
(1,0
điểm)
Vì SH ⊥ ( ABCD ) tại H nên HC là hình chiếu vuông góc của SC trên ( ABCD ), suy ra
góc giữa SC và (ABCD bằng góc giữa ) SC và HC, bằng góc SCH, hay góc SCH bằng
0
Xét tam giác ABC có trung tuyến CH nên
2
AB = CB = a,
2
4
a
CA = AO = AB − OB = a − = a (O là giao điểm hai đường chéo của hình thoi ABCD)
vậy
CH
0,25
M
O H
D
A S
Trang 5Thể tích khối chóp SABCD là 1 1 21 3 7
.
Gọi M là trung điểm của SA, suy ra OM là đường trung bình của tam giác ASC nên
;
2
SC
OM SC OM = ,
hay góc giữa 2 đường thẳng SC BD ; bằng góc giữa 2 đường thẳng OM BD ; 0,25
;
tuyến của tam giác SBA
Theo định lí cô sin trong tam giác ta có cos 2 2 2 7 0
MOB
OM OB
MOB nhọn và là góc giữa OM và BD
Vậy côsin của góc giữa hai đường thẳng SC BD ; là 7
28
0,25
Từ giả thiết suy ra x = 3 2 − y3 , thay vào P ta được
3
P = − y + y = − t + t = f t với t = y3
Mặt khác, do y ∈ − [ 1;3 ] ⇒ 3 [ ]
1; 27
0,25
Xét hàm số f t ( ) trên D = − [ 1;3 ], ta có
3 3
−
0,25
5
(1,0
điểm)
[ ] ( ) ( ) ( ) 3 1;3
−
đạt được khi và chỉ khi ( ) { ( 3 ) (3 ) }
[ ] ( ) ( ) ( ) 3 1;3
−
đạt được khi và chỉ khi (x y ∈; ) { (−1; 3 ;3 ) (33; 1− ) } 0,25
a (1 điểm)
A thuộc đường thẳng 2 x − y = 0 nên gọi tọa độ của A là ( a a ; 2 ), M(3;1) là trung điểm AB
nên suy ra tọa độ B là 6
= −
= −
C thuộc đường thẳng x − y + 6 = 0 nên gọi tọa độ của C là ( c c + ; 6 )
0,25
6
(2,0
điểm)
Gọi N là trung điểm BC, tọa độ N là 6 8 2
;
− + − +
Trang 6- 6 -
do N thuộc trung tuyến kẻ từ A nên 2 6 8 2 0 4 ( 4; 2 )
Tam giác ABC vuông tại A nên AB AC = 0
trong đó AB=(6−2 ; 2a −4a AC); = − −( 4 a; 2−2a)
ta có phương trình ( 6 2 )( 4 ) ( 2 4 )( 2 2 ) 0 1
2
a
a
= −
=
Với a = − 1 thì A(-1;-2) và B(7;4)
Với a = 2 thì A(2;4) và B(4;-2)
Vậy có hai tam giác ABC thỏa mãn,
A(-1;-2); B(7;4);C −( 4; 2) hoặc A(2;4); B(4;-2);C −( 4; 2)
0,25
b (1 điểm)
Gọi A ( 4 + 2 ; a − a ;1 + 2 a B ) ( ; − + 3 2 ;7 b − 2 ; 5 b − + 3 b )
Suy ra AB = − + ( 7 2 b − 2 ;7 a − 2 b + a ; 6 − + 3 b − 2 a )
là vectơ chỉ phương của ∆
0,25
Vì ∆ ( ) P nên AB n = P 0
với n =P ( 2; 2; 1 − )
là vectơ pháp tuyến của ( ) P
Ta có phương trình 2 ( − + 7 2 b − 2 a ) + 2 7 ( − 2 b + a ) ( − − + 6 3 b − 2 a ) = 0 ⇔ b = 2
suy ra AB = − − ( 3 2 ;3 a + a ; 2 − a )
và B ( 1;3;1 )
0,25
AB = ⇔ − − a + + a + − a = ⇔ a = −
suy ra AB = − ( 1; 2; 2 )
0,25
Đường thẳng ∆ đi quaB ( 1;3;1 ), có vectơ chỉ phương AB = − ( 1; 2; 2 )
, có phương trình là
−
Nhận xét, B ( 1;3;1 ) không thuộc ( )P nên ∆ ⊄( )P ,
x− y− z−
−
thỏa mãn bài toán
0,25
Gọi số phức cần tìm là z = x + yi x y ; ( , ∈ ℝ )
suy ra z2= x2+ 2 xyi − y2 là số thuần ảo khi và chỉ khi 2 2 ( )
1
z + = x + + y nên ta có phương trình ( )2 2 ( )
x + + y =
0,25
Thay ( ) 1 vào ( ) 2 ta có ( )2 2 2 3
2
x
x
= −
=
3
3
y x
y
=
= − ⇒
= −
2
2
y x
y
=
= −
0,25
7
(1,0
điểm)
Có 4 số phức thỏa mãn là − + 3 3 ; i − 3 − 3 ; i 2 + 2 ; i 2 − 2 i 0,25
Chú ý: Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa
- Hết -
