Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, gọi M và N lần lợt là trung điểm của AD và CD, hai mặt phẳng SBM và SAN cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD, biết góc giữa SA và mặt
Trang 1Sở GD và ĐT hải dơng
Trờng THPT Thanh Bình
Đề chính thức
Đề thi thử đại học, cao đẳng LẦN I năm học
2012-2013
Môn thi : toán, Khối A,A1
(Thời gian làm bài 180 phút , không kể giao đề)
Phần chung cho tất cả thí sinh (7,0 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số: 3 2
3 4
y x= − x + (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
2) Tìm m để đờng thẳng (d): y = mx-2m cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt A(2;0), B, C sao cho tiếp
tuyến tại B và C vuông góc với nhau
Câu II (2 điểm) 1) Giải phơng trình sau: 2 2 3 1
2) Giải hệ phơng trình sau:
3 3 3 3 2 2
( ,x y R∈ )
Câu II I (1 điểm) Tính tích phân sau: e ( 3 ) 2
1
x 1 lnx x 1
1 x.lnx
-=
+
ũ
Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, gọi M và N lần lợt là trung
điểm của AD và CD, hai mặt phẳng (SBM) và (SAN) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), biết góc giữa SA và mặt phẳng (ABCD) bằng 600 Tính thể tích khối chóp S ABND và khoảng cách giữa
SM và AN
Câu V (1 điểm) Cho x, y, z là 3 số thực dơng và thỏa mãn: x x(3 −2012) (+ y y3 −2012) (+z z3 −2012)≤2013 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 12 12 12
Phần tự chọn (3,0 điểm)
(Thí sinh chỉ đợc làm một trong hai phần:phần A hoặc B)
A.Theo ch ơng trình c huẩn
Câu VI.a (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD, biết phơng trình đờng thẳng BD là:
3x - y - 8 = 0, đờng thẳng AB đi qua M(1; 5), đờng chéo AC đi qua P(2; 3) Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông đã cho.
2) Trong không gian Oxyz cho hai đờng thẳng 1: 1 3 2; 2: 1 3 5
x+ y− z− x− y− z−
và điểm I(2; 0; 6) Viết phơng trìnhđờng thẳng∆đi qua I và cắt ∆1 và ∆2 lần lợt tai A và B sao cho I là trung điểm của AB
Câu VII.a (1 điểm) Tìm số phức z thoả mãn: z = 13 và z+ − =2 i 2 z+ −1 i
B.Theo ch ơng trình n âng cao
Câu VI.b (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E) có một tiêu điểm có toạ độ (− 11;0) và elip (E) đi
qua điểm 1; 5 35
6
−
Viết phơng trình chính tắc của elip (E).
2) Trong không gian Oxyz cho ( ) : 2 2 0; : 1 2
Viết phơng trình mặt phẳng (ABC) biết C nằm trên trục Ox và khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ C đến ∆
Câu VII.b (1 điểm) Cho khai triển ( ) 2
n
Tính tổng: A=a1+2a2+ +n a n Biết: 22 143 1
3
C + C =n
tr
ờng THPT Thanh Bình
Đáp án đề thi thử đại hoc KHốI Khối A, A 1 , B , D
- 201 3
Trang 21 Khảo sát hàm số: y=x3−3x2+4
* Tập xác định D R=
* Sự biến thiên :
- Chiều biến thiên: ' ( ) ' 0
2
x
x
=
Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞;0) và(2;+∞) , hàm số nghịch biến
trên khoảng( 0; 2)
0,25
- Cực trị : Hàm số đạt cực đại tại x=0, yCĐ= 4
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, yct= 0
- Giới hạn : lim ; lim
→+∞ = +∞ →−∞ = −∞
- Bảng biến thiên:
x −∞ 0 2 +∞
y' + 0 - 0 +
y 4 +∞
−∞ 0
0,25 * Đồ thị : đồ thị cắt Ox tại (-1; 0) và (2;0) cắt Oy tại ( 0; 4)
f(x)=x^3-3x^2+4 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -5 5 x y 0,25 2 Tìm m
Phơng trình hoành độ giao điểm của d và (C) là :
2
2
2
2 ( 2) ( 2)
2 (2;0)
( ) (2 ) 0 (*)
= ⇒
0,25
Đờng thẳng d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A(2;0), B, C ⇔Phơng trình (*) có hai
(2) 0 4 m
g
∆ >
≠
0 , 2 5
1; 1
B x y
trong đó x1+ =x2 1
Trang 33 3 2 4 ' 3 2 6
Tiếp tuyến tại B và C vuông góc với nhau ⇔ y x y x'( ) '( )1 2 = −1
2 2
2
9 18 1 0
3 2 2
( / ) 3
x x x x x x x x
− ±
⇔ =
0,25
CâuII:
+ Phơng trình đã cho tơng đơng:
sin 3 cos 3 1 sin cos sin cos 0 sin sin cos 3 cos sin cos sin cos 0 sin cos sin 3 cos 1 0
sin cos 0 sin 3 cos 1 0
0,5
4
5 2
2 2
= +
Vậy phơng trình đã cho có ba họ nhiệm
5
x= +π kπ x= −π +k π x= π +k π k Z∈
0,
2 5
2 Giải hệ pt:
3 3 3 3 2 2 (1)
1 2 2 (2)
+ Đk: 1
2
x y
≥
≥
+ Phơng trình (1) 3 ( )3 ( ) ( )
Xét hàm số f t( )= −t3 3t với t≥1
2
'( ) 3 3 0 1
f t = t − ≥ ∀ ≥ ⇒t hàm số f(t) đồng biến trên [1;+∞)
+ Thay x= −y 1 vào (2) ta có
Vậy hpt có 1 nghệm (x;y) là (2;3)
0,
2 5
Câu III:
1
x 1 lnx x 1
1 x.lnx
-=
+
ũ
Ta có: 2( ) ( )
2
Trang 4+
3
1 1
1
e
x dx x
2 1
ln 1
1 ln
e
dx
x x
+
∫
đặt t = 1+ x.ln x ⇒ = +dt (1 ln )x dx
Khi x= 1 suy ra t = 1, khi x e= ⇒ = +t 1 e
1 2 1
1
ln ln(1 ) 1
t
0,25
Vậy: 3 1 ln(1 )
3
e
Câu IV: Cho hình chóp
Hình vẽ phải vẽ chính xác
Gọi H =AN∩BM ⇒(SAN) (∩ SBM)=SH
Do (SAN) và (SBM) cùng vuông góc với mp(ABCD) nên SH ⊥(ABCD).
Ta có HA là hình chiếu vuông góc của SA trên mp(ABCD), suy ra
60
SAH = .
0,25
Vì ABCD là hình vuông nên AN ⊥BM tại H
5 4
a AH a
AH = AB + AM =a + = a ⇒ =
.tan 60
5
SH AH
Ta có ABND là hình thang vuông tại A và D nên diện tích của ABND là
2
ABND
S = AB ND AD+ = a+ a=
0,25
Ta có AN SH AN (SBM)
⊥
Dựng HK ⊥SM ⇒ HK là đoạn vuông góc chung của AN và SM
d AN SM HK
S
A
D N H
M
K
Trang 5Xét tam giác AHM có 2 2 2 2
4 5 2 5
Xét tam giác SHM có
a HK
HK = HM +HS = a + a = a ⇒ =
Vậy ( , ) 195
65
a
d AN SM =
0,
2 5
Câu V: Cho x, y, z là 3 số thực dơng và thỏa mãn: x x(3 2012− ) (+ y y3 −2012) (+ z z3 2012 2013− )≤
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 12 12 12
Từ giả thiết: x x(3 −2012) (+y y3 −2012) (+z z3 −2012) ≤2013
0,
2 5
Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacốpki, ta có
( 2 2 2) ( 2 2 2) ( 2 2 2) ( )2
2 2
2013 2012
x y z
⇔ < + + ≤
0,25
Ta có A x 1 12 y 1 12 z 1 12
(x y z) 1 1 1 (x y z) 9
+ +
x+ + ≥y z x y z
+ +
0,
2 5
Đặt t= x+y+z, A t 9 f t( ) ( 0 t 2013)
t
9 ( ) 1 0 0; 2013
t
= + > ∀ ∈ f(t) max=f(2013)=2013- 9 4052160
2013= 2013 dấu "=" xảy ra khi : x= y =z =2013
3 Vậy max 4052160
2013
A= , khi : x= y =z =2013
3
0,25
Phần tự chọn A- Theo chơng trình chuẩn:
Câu VI.a 1 Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông ABCD
0,5
.M
P I
Trang 6Ta có AC⊥BD⇒ AC x: +3y m+ =0
Mặt khác AC đi qua P(2;3) ⇒ = −m 11 vậy: AC: x+3y-11=0
2 2
I =AC∩BD⇒ I ữ
0,25
Gọi nr=( )a b a; ( 2+b2 ≠0) là véc tơ pháp tuyến của đờng thẳng AB
Đờng thẳng BD có véc tơ pháp tuyến là nr'=(3; 1− )
Do ABCD là hình vuông nên góc giữa AB và BD bằng 450
( )
2 2
3 1
a b
a b
−
+
r ur
1 2
a
a
b
=
0,25
+ a 2
b = chọn a=2; b= 1 khi đó AB: 2x+y-7=0
A AC= ∩AB⇒A( )2;3
B AB= ∩BD⇒B( )3;1
Từ đó ta tìm đợc C(5;2), D(4;4)
0,25
+ 1
2
a
b = − chọn a=-1; b= 2 khi đó AB: -x+2y-9=0
A AC= ∩AB⇒A(−1; 4)
B AB= ∩BD⇒B( )5;7
Từ đó ta tìm đợc C(8;1), D(2;-2)
0,25
2. Viết phơng trình đờng thẳng∆
Do A, B lần lợt thuộc V V1, 2 nên
( 1 2 ;3 4 ; 2 )
A − + t − t +t ; B(1+s;3−s;5 2+ s)
0,25
Theo giả thiết I(2;0;6)
2
2 2
1
6 4
0
2 2
6 2
t s
t
t s
s
t s
+
+ +
0,25
Đờng thẳng cần tìm là đờng thẳng đi qua hai điểm A, B
nên có phơng trình: 1 1 3
Câu VII.a Tìm số phức z
Gọi z =a+bi (a, b thuộc R)⇒ = −z a bi
Trang 7Theo gt: 13 13
2 2 1 ( 2) ( 1) 2 ( 1) ( 1)
2 2
13
2 ( 1) 2 1 ( 1)
a b
⇔
2 2
a a
b b
= ±
⇔ = − ⇔ = −
0, 5
B- Theo ch ơng trình nâng cao
Câu VI.b 1 Viết pt chính tắc của elip(E)
Goị phơng trình chính tắc của elip(E) là x22 y22 1 (a b 0)
a +b = > >
Theo giả thiết ta có:
2 2
1 875 1 1 875
1
0,5
36 515 9625 0 25
Vậy (E) có pt: 2 2 1
36 25
0,5
2 Viết phơng trình mặt phẳng (ABC)
Gọi C(a;0;0) thuộc trục Ox
Ta có ( ;( )) 2
3
a
d C P =
0,25
( ; ) MC u;
d C
u
∆
∆
∆ =
uuuur uur uur
Trong đó: M(1;0; 2 ,− ) MCuuuur= −(a 1;0; 2), uuur∆ =(1;2; 2), MC uuuuur uur; ∆ = − ( 4; 4 2 ; 2− a a−2) 0,25
Theo gt: ( ;( )) ( ; ) 2 8 2 24 36 3
Vậy: (ABC) có phơng trình: 1
3 1 2
x+ +y z =
Câu VII.b Tính tổng: A=a1+2a2+ +n a n.
Giải phơng trình 2 3
2 14 1 3
Với n=9 ta có ( )9
1+ 2x = +a a x a x+ + +a x
Lấy đạo hàm hai vế ta đợc : ( )8
8
9 2 1+ 2x = +a 2a x+ 9+ a x
0,25
Cho x= 1 ta đợc A= ( )8
1 2 2 9 9 9 2 1 2
Chú ý: Nếu học sinh làm theo cách khác mà vẫn đúng thì cho điểm tối đa.
Giáo viên biên soạn: Phạm Hữu Đảo