Tìm m ñể ñồ thị C tiếp xúc với trục hoành.. Tìm các giá trị thực của m sao cho trên ñường thẳng x− + =y m 0có duy nhất một ñiểm mà từ ñó có thể kẻ ñược hai tiếp tuyến với C sao cho góc g
Trang 1TRƯỜNG THPT
CHUYÊN NGUYỄN HUỆ
KỲ THI THỬ ðẠI HỌC LẦN THỨ HAI
NĂM HỌC 2010 – 2011
ðỀ THI MÔN: TOÁN KHỐI D Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1: (2 ñiểm)
Cho hàm số y = − x3 2 mx2 + m x2 − + m 1 có ñồ thị (C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số khi m = 1
2 Tìm m ñể ñồ thị (C) tiếp xúc với trục hoành
Câu 2: (2 ñiểm)
−
=
2 Giải hệ phương trình
2 2
2 2
2
x y x y
Câu 3: (2 ñiểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho ñường tròn (C) :x2 + y2 = 1 Tìm các giá trị thực của m sao cho trên ñường thẳng x− + =y m 0có duy nhất một ñiểm mà từ ñó có thể kẻ ñược hai tiếp tuyến với (C) sao cho góc giữa hai tiếp tuyến này bằng 900
2 Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x+ + + =y z 4 0 và ñường thẳng
x− y− z−
− Viết phương trình ñường thẳng ñi qua ñiểm M(1;0;-1) và cắt ñường
thẳng (d) tại ñiểm A, cắt mặt phẳng (P) tại ñiểm B sao cho M là trung ñiểm của AB
Câu 4: (1 ñiểm)
Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S; mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD); góc giữa ñường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD) bằng 450 Gọi
M, N, E là trung ñiểm của các cạnh CD, SC và AD Gọi F là hình chiếu của E lên cạnh SD Tính thể tích hình chóp S.ABCD và chứng minh rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (CEF)
Câu 5: (2 ñiểm)
1 Tính tích phân
2
8
3
1 1
dx
x x +
∫
2 Tính tổng: C20111 22010+C20113 22008 +C20115 22006 + + C20112011
Câu 6: (1 ñiểm)
Cho ba số x, y, z dương thỏa mãn x+ + =y z 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau
P xy yz zx
x y z
= + + + + +
-HẾT -
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Trang 2TRƯỜNG THPT
CHUYÊN
NGUYỄN HUỆ
KỲ THI THỬ ðẠI HỌC LẦN THỨ HAI
NĂM HỌC 2010 – 2011 ðÁP ÁN VÀ BIỂU ðIỂM MÔN: TOÁN
Với m=1 ta có y = − x3 2 x2 + x
TXð: R
2
y = x − x+ >
1
3
x y
x
=
= ⇔
=
0,25
Giới hạn: lim
x
y
→±∞
= ±∞
bảng biến thiên
x
-∞ 1
3 1 +∞
y’ + 0 - 0 +
y
0,25
Hàm số ñồng biến trên khoảng 1
( ; );(1; ) 3
Hàm số nghịch biến trên khoảng 1
( ;1) 3
ðiểm cực ñại 1 4
( ; )
3 27 ; ñiểm cực tiểu (1;0)
0,25
1
ðồ thị
ðiểm uốn I 2 2
( ; )
3 27
2
-2
Nhận xét: ñồ thị nhận ñiểm I 2 2
( ; )
3 27 là tâm ñối xứng
0,25
1
(2ñiểm)
y = − x mx + m x − + m tiếp xúc với trục hoành
0,25
O
y
x
+∞
27
Trang 33 2 2
x mx m x m
x mx m
⇔
3
⇔ =
=
Với 3x = m thế vào (1) ta ñược :
⇔
Vậy m = 1; m= -3; m =3
2
0,25
ðiều kiện :
≠ +
≠
≠
0 2 cot
1 cot
0 2 sin
x g tgx
gx
x
0,25
Pt ⇔
x x
x x x
x g
sin ) sin (cos
2 2
cot
1
−
−
= +
x
x x
2 sin
2 cos cos
sin
1
= + ⇔ sin2x = 2sinx
0,25
⇔ sinx(2cosx – 2) = 0 ⇔ 2cosx – 2 = 0 (vì sin2x ≠ 0) ⇔ cosx =
2
2
±π π
0,25
1
4 + kπ k∈Z
π
thì cotgx = 1 (loại)
Vậy nghiệm của phương trình là : x = 2 ( )
0,25
x + y + + = x y ⇔ x + x + + = y y
2 2
2 2
2(1) 2
1
3
x y x y
x y x y
x y
x y
= +
0,5
= − ⇒ = −
2
(2ñiểm)
2
Với x = − − y 3thế vào (1) ta ñược :
0,25
Trang 4B
A
M
= − ⇒ = −
= − ⇒ = −
Vậy hệ có 3 nghiệm là (1;0) ; (-1;-2); (-2;-1)
Gọi M(a;a+m) là ñiểm thuộc ñường thẳng d Goi A ,B là hai tiếp ñiểm
Vì 2 tiếp tuyến kẻ từ M vuông góc với nhau nên ∆ MAB vuông cân tại M
0,25
Vì ∆MAB vuông cân tại M nên suy ra ∆MAO vuông cân tại A ta có:
2
1
Trên ñường thẳng d tìm ñược duy nhất một ñiểm M⇔ phương trình (1) có nghiệm duy nhất ⇔∆’=0 ⇔ m = ±2
Vậy m =±2 thoả mãn ñầu bài
0,5
Phương trình tham số của (d)
3 2
1
2
y k
z k
= +
= = ⇔ = −
Gọi A(3+2k;1-k;2+k) thuộc ñường thẳng (d)
Vì M là trung ñiểm của AB nên tọa ñộ của B(-1-2k;-1+k;-4-k)
Vì B thuộc mặt phăng (P) suy ra :
− − − + − − + = ⇔ = −
0,25
0,25
3
(2ñiểm)
2
Suy ra A(1;2;1) ⇒ uuuur AM (0; 2; 2) / /(0;1;1) − −
Vậy phương trình ñường thẳng cần tìm là
1
1
x
y k
=
=
= − +
0,5
4
(1ñiểm)
N
H
M
E
F
D
C
A
B
S
Trang 5Gọi H là hình chiếu của S lên AB
Vì (SAB)⊥(ABC D)⇒ SH ⊥(ABC D) mà ∆SAB cân tại S nên H là trung
.
SABCD ABCD
0,25
Vì ∆CDE=∆DAH suy ra
Mà SH ⊥ CE ⇒ CE⊥(SDH) ⇒ CE⊥SD mà EF⊥SD ⇒ SD⊥(CEF) 0,25 Mặt khác ta có SD//MN nên SD//(AMN)
ðặt t = x2 + 1 ⇒ t2 = + x2 1 ⇒ tdt = xdx
0,25
3 2 2
2
− +
−
1
3 2
ln
t t
−
=
5
(2ñiểm)
2011.2 2011.2 2011.2 2011
Ta có
1
2011.2 2011.2 2011.2 2011 (2 1)
2011
2
0,25 0,5
0,25
6
(1ñiểm) Ta có:
3
x+ + ≥y z xyz ⇒xyz≤
xy yz zx x y z
Mà 3 2 2 2 3 1 3 1
3 x y z 3 3 9
xyz xyz
Và 3 1
xyz ≥
P xy yz zx x y z
Vậy Pmin =12 khi x=y=z=1
0,25
0,25
0,25
0,25
Chú ý: Thí sinh làm theo cách khác ñáp án nếu ñúng vẫn cho ñiểm tối ña