pt lượng giác ôn thi đại học

Ta nhớ nh− sau: "cos cộng cos ra hai cos cos, cos trừ cos ra trừ hai sin sin, sin cộng sin ra hai sin cos, sin trừ sin ra hai cos sin"... Với m nào thì phương trình có đúng hai nghiệm th

Công thức l−ợng giác

Công thức cộng

Công thức nhân đôi

2

2 tan

1 tan

x

x

−

Công thức nhân ba

3 3

Công thức hạ bậc

cos

2

x

x= − sin2 1 cos 2

2

x

Một số công thức khác

2

−

Công thức biến đổi tổng thành tích

Nhận xét: Ta thấy các công thức nhân đôi sin 2x, cos 2x, tan 2x Khá dễ nhớ, nhớ đ−ợc chúng ta có thể suy ra đ−ợc các công thức: sin x( +y), cos x( +y) và tan x( +y) từ đó ta suy

ra các công thức cộng còn lại

Vậy làm thế nào để nhớ đ−ợc sin 3x và cos3x? Ta chỉ cần nhớ

sin 3x=sin 1 2 cos 2x + x , từ đó suy ra sin 3x=3sinx−4sin3 x và cos3x=4 cos3x−3 cosx

Và cuối cùng là công thức biến đổi tổng thành tích Ta nhớ nh− sau: "cos cộng cos

ra hai cos cos, cos trừ cos ra trừ hai sin sin, sin cộng sin ra hai sin cos, sin trừ sin ra hai cos sin"

§−êng trßn l−îng gi¸c vµ quan hÖ gi÷a c¸c cung

NhËn xÐt: Nh×n vµo ®−êng trßn l−îng gi¸c ta suy ra ®−îc

Bµi tËp

Bµi 1: Chøng minh r»ng

2

2

x

2

4

x

4

4

x− x= x− π

3

cos3

x

x π−x π+x=

sin 3

x

x π−x π+x=

9 tan tan tan tan 3

x πưx π +x= x

x

=

sin

11

+ +

=

3

12 sin 20 sin 40 sin 60 sin 80

16

o o o o=

na

=

1

sin 2

n

k

ka

a

=

+

=

∑

sin 2

a

+

Các dạng phương trình lượng giác

Phương trình lượng giác cơ bản

Phương trình bậc nhất của sin x và cos x

Phương trình đẳng cấp của sin x và cos x

Phương trình đối xứng của sin x và cos x

Hàm số lượng giác Tập xác định Tập giá trị Tính chẵn - lẻ

tan x

\

π π

Phương trình lượng giác cơ bản

2

 = +



 = ư +

π π

2

 = +



 = ư +

(Phương trình 1 và 2 cần điều kiện m ≤1)

3 tan x=m⇔x=α+kπ(k ∈ ằ) trong đó [0; ]\ : tan

π

 

4 cot x=m⇔x=α+kπ (k ∈ ằ) trong đó ; \ 0 : cot{ }

π π

Phương trình bậc nhất của cos x và sin x

` Dạng: asinx+bcosx=c (*) với a2+b2≠0

♠ Cách giải:

Ta có ( )* 2a 2 sinx 2b 2 cosx 2c 2

(1)

Vì

2a 2 2b 2 1

2 2

2 2

cos

sin

a

b

φ

φ









Khi đó (1) trở thành cos sinx sin cosx 2c 2 sin(x ) 2c 2

(2)

Câu hỏi: Giải tiếp phương trình trên a) nếu

2c 2 1

a +b > b) Nếu

2c 2 1

Phương trình đẳng cấp của cos x và sin x

♠ Một số dạng thường gặp

 Dạng 1: asin2x+bsin cosx x+ccos2x+d=0

 Dạng 2: asin3x+bsin2 xcosx+ccos2 xsinx+dsinx+ecosx=0

♠

♠ Cách giải:

Bước 1: Kiểm tra xem 2

2

x=π+ kπ (ứng với cosx =0) có là nghiệm của phương trình P(sin ,cosx x =) 0 hay không

Bước 2: Chia hai vế của phương trìnhP(sin ,cosx x =) 0 cho cosk x với k=degP, đặt

sin

cos

x t

x

= ta được một phương trình đại số, giải phương trình đó để tìm t rồi tìm x

Phương trình đối xứng của cos x và sin x

 Dạng thường gặp: a(sinx+cosx)+bsin cosx x=c (1)

♠ Cách giải

4

t= x+ x= x+ π (t ≤ 2) suy ra sin cos 1 2

2

t

0 2

Một số phương pháp giải

Đưa về phương trình cơ bản

Đặt ẩn phụ

Đặt thừa số chung đưa về phương trình tích

Đưa về phương trình cơ bản

Lưu ý:

và một số công thức lượng giác đã học như công thức cộng, biến đổi tổng thành tích, … VD1: Giải phương trình sin 3xư 3 cos3x=2sin 2x (1)

Giải: Ta có ( )1 1sin 3 3cos3 sin 2 sin 3 sin 2

π



k

π

VD2: Giải phương trình sinx+cos sin 2x x+ 3 cos3x=2 cos 4( x+sin3 x) (2)

Giải: Ta có ( )2 sin 1(sin sin 3 ) 3 cos3 2cos 4 3sin 1sin 3

6

π π π

π

π









ằ

2

2

2

k

k x

π

π

π







VD3: Giải phương trình cos cos 2 cos 4 cos8 1

16

Giải: Với x=kπ(k∈ ằ), ta có cos cos 2 cos 4 cos8 1 1

16

nghiệm của (3)

Với x≠kπ (k∈ ằ) hay sinx ≠0 ta có ( )3 ⇔16sin cos cos 2 cos 4 cos8x x x x x=sinx

8sin 2 cos 2 cos 4 cos8x x x x sinx 4sin 4 cos 4 cos8x x x sinx

2

17

k x

k

x

π π

π



 =



ằ

Đặt ẩn phụ ♠ Đưa về phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác rồi đặt ẩn phụ

Lưu ý:

2

4

π

tan

1 tan

x x +

Ngoài ra đôi khi ta cần áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích hoặc công thức biến

đổi tích thành tổng

♠ Đặt ẩn phụ các biểu thức đối xứng, các biểu thức xuất hiện nhiều lần

VD1: Giải phương trình: sin62 cos26 1tan 2

4

x

+

=

Giải: ( )

2

2

3

4

ư

Đặt t=sin 2x t( ≤1), ta được (*) trở thành 3t2+ ư = ⇔ =t 4 0 t 1 (vì t ≤1)

4

x= ⇔ =x π+k kπ ∈ ằ

VD2: Giải phương trình sin tan 2

2

x

x + = (2) Giải: ĐKXĐ cos 0

2

x

≠ Đặt tan

2

x

t = , khi đó sin 22

1

t x t

= + và (2) trở thành

( 2 ) ( 2 ) 3 2 2

2

1

t

x

VD3: Giải phương trình 5sinxư =2 3 1 sin( ư x)tan2x (3)

2

2

cos

x

đó (3) trở thành phương trình chỉ chứa sin x

Giải: ĐKXĐ cosx ≠0

Ta có ( ) ( )

2

1 sin cos

x x

ư

+

⇔(5sinxư2 1 sin)( + x)=3sin2x⇔2sin2x+3sinxư =2 0(*)

Đặt t=sinx t( ≤1), ta được (*) trở thành 2 1

2

2

sin

6

π π π π











ằ (đều thỏa mãn ĐKXĐ)

x

Giải: Hãy làm gọn phương trình trước !

Ta có ( )4 2 1 cos 4 cos6( ) 2 1 cos6( ) 2sin11 sin9

⇔ ư2 2 cos 4 cos6x x=cosxưcos10x ⇔ ư2 (cos 2x+cos10)=cosxưcos10x

⇔cos 2x+cosxư = ⇔2 0 2cos2 x+cosxư =3 0 (*)

Đặt t=cosx t( ≤1) ta được (*) trở thành 2t2+ ư =t 3 0⇔ =t 1

Suy ra cosx= ⇔ =1 x 2kπ(k∈ ằ)

đưa về phương trình tích

• Có những bài toán đưa về phương trình tích vì ta phát hiện được nhân tử chung của các hạng tử nhờ vào bảng sau

( )

f x Biểu thức chứa nhân tửf x( )

sin x sin 2 ,sin 3 ,cos 2 ,tan ,tan 2 ,tan 3 , x x x x x x cos x sin 2 ,sin 3 ,cos 2 ,cos3 ,tan 2 ,cot ,cot 3 , x x x x x x x

sinx+cosx cos 2 ,cot 2 ,1 sin 2 ,1 tan ,1 cot ,tanx x + x + x + x xưcotx sinxưcosx cos 2 ,cot 2 ,1 sin 2 ,1 tan ,1 cot ,tanx x ư x ư x ư x xưcotx

Bạn đọc tự lí giải bảng trên để hiểu rõ hơn!

VD1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh 1 tan 1 sin 2

1 tan

x

x x

+

= +

Gi¶i: §KX§ tan 1

x x





≠



Ta cã 1 tan 1 sin sin cos

x

+

( )

2



2 2

1

x









4

k

π

π π



 = − +





 =



» (§Òu tháa m·n §KX§)

VD2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh 2 1 cos

tan

1 sin

x x

x

+

=

− (2) Gi¶i: §KX§ sin 1 cos 0

x

x x



≠



2

tan

x

−









k

π

π





» (§Òu tháa m·n §KX§)

VD3: Gi¶i ph−¬ng tr×nh cos 2 3sin 2 5 2 sin 9 3

4



  (3) Gi¶i: Do 2 sin 9 2 sin sin cos , 1 sin 2 (sin cos )2

2 2

cos 2x=cos x−sin x= cosx+sinx cosx−sinx nªn ta cã

4

(sinx cosx)(cosx sinx) 3 sin( x cosx)2 5 sin( x cosx) 0

(sinx cosx) (cosx sinx) 3 sin( x cosx) 5 0

(sinx cosx)(5 2 cosx 4 sinx) 0

(bạn đọc tự chúng minh phương trình 5 2cosư xư4 sinx=0 vô nghiệm)

• Có những bài đưa về phương trình tích được nhờ các công thức lượng giác

VD4: Giải phương trình 2sin 22 x+sin 7xư =1 sinx (4)

Giải: Ta có ( )4 ⇔(sin 22 xư1)+sin 7xưsinx=0

⇔ ưcos 4x+2cos 4 sin 3x x=0 ⇔cos 4 2sin 3x( xư1)=0

⇔ cos 4x=0 hoặc sin 3 1

2

x =

(2 1)

8

k

k

x= π + π hoặc 5 2

k

Bài tập Bài 1: Đưa về phương trình cơ bản

2

x

ư

=

2

6 1 tanư x=2 tan tan 2x x

7 tanx+cotx=2(sin 2x+cos 2 )x 8 3 sin 2xư2cos2x=2 2 2 cos 2+ x

2

ư = (1 sin cos 2 sin)

1 4

x x

π



= +

Bài 2: Phương pháp đặt ẩn phụ

sin 2 cos

ư

2

sin 2

x

6

( )

9 sin cos 2x x+cos x tan x−1 +2sin x=0

4

x

+

=

x+ x+ x−π  x−π=

2

x



Bµi 3: §−a vÒ ph−¬ng tr×nh tÝch

1) 1 sin+ x+cosx+sin 2x+cos 2x=0 2) 4 sin3 x+4 sin2x+3sin 2x+6 cosx=0

−

=

x

+

= +

−

x



2

6 6 13 2

8

3

1 tan

1 tan

x

x x

−

= + +

2

2

x

15) tan

cos

x x

x

+

2

10 10

+

x π

2

x

−

+

x

= +

x

π

x

=

1 cot

x

= +

29) 2sin 1 cos 2x + x +sin 2x= +1 cos 2x 30) tanx=cotx+4 cos 22 x

3

2

x x

x

π π





33) 1 sin+ x cosx+ 1 cos+ x sinx= +1 sin 2x

( )( )

34) 2 cosxư1 2sinx+cosx =sin 2xưsinx

35) 2cos 2x+sin xcosx+sin cosx x=2(sinx+cos )x

36) sinx+sin x+sin x+sin x=cosx+cos x+cos x+cos x

Phương trình lượng giác với tham số Bài 1: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm

3

m

+

=

2

2

cos cos

x x



5 6sin x+msin cosx xưcos x= +2 m 6 cos sin 2 cos 4x x x=m

Bài 2: Cho phương trình (2sinxư1 2 cos 2)( x+2sinx+m)= ư3 4 cos2 x Với m nào thì phương trình có đúng hai nghiệm thuộc [0; π]

Bài 3: Giải và biện luận phương trình cos 2 sin2 0

6

  trên [0;2π]

Bài 4: Cho phương trình 2sin cos 1 ( )1

a

=

ư + (a là tham số) Tìm a để phương trình (1) có nghiệm