lượng giác ôn thi đại học

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCCHƯƠNG I: CÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC.. TRƯỜNG THPT TÂN AN TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN THI 4.. Công thức tính sinx, cosx, tanx theo t=tanx 2... TRƯỜNG THPT TÂN AN TÀI LIỆU

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

CHƯƠNG I: CÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC.

2 2

2 2

I Các công thức lượng giác cơ bản :

sin x + cos x = 1

sinx tanx = x +k

cosx cotx = x k , k

sinx

1 1 tan x x +k

2

cos

1 1 cot x sin x

π

≠ π, ∈

π

= +

¢

¢

¢

k

k

tanx.cotx=1

1 cotx=

tanx 1 tanx=

cotx

x k , k ≠ π ∈ ¢

( ) ( ) ( ) ( )

= −

− =

− = −

− = −

π

II Gia ùtrị lượng giác của các góc(cung) co ùliên quan đặc biệt :

1 Hai góc đối nhau : x và - x

sin -x sin x

cos x cos x

tan x tan x

cot x cotx

2 Hai góc bù nhau : x và - x

sin - x sin x tan x tan x

cos -x cosx cot x cotx

3 Hai góc Phụ nhau: x và x

2 sin x cos x tan x cot x

π −

TRƯỜNG THPT TÂN AN TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN THI

4 Hai góc hơn kém π: x và π+x

sin x s inx

cos x cosx

tan x t anx

cot x c otx

π + = −

π + = −

π + =

π + =

5 Hai góc hơn kém π

2 : x và

π

2+x

π

 +  =

π

 +  = −

π

 +  = −

π

 +  = −

sin x cosx

2 cos x s inx

2 tan x cotx

2 cot x tanx

2

III Các công thức lượng giác:

1 Công thức cộng:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=

=

=

=

=

−

= +

cos x+y cosx.cosy-sinx.siny

cos x-y cosx.cosy+sinx.siny

sinx x+y sinx.cosy+cosx.siny

sinx x-y sinx.cosy-cosx.siny

tanx+tany tan x+y

1 tanx.tany tanx-tany tan x-y

1 tanx.tany

2 Công thức nhân đôi:

=

2

1 sin 2x 2 s inx.cosx sinx.cosx= sin 2x

2 cos2x=cos x sin x 2cos x 1 1 2 sin x

2 t anx tan 2x

1-tan x

3 Công thức nhân ba:

−

3 3

sin 3x 3 s inx-4sin x cos3x=4cos x 3cosx

4 Công thức hạ bậc:

2

2

3

3

cos x 1 cos2x

sin x 1­cos2x

1 sin x 3 s inx-sin3x

4 1 cos x 3cosx+cos3x

4

+

=

=

5. Công thức tính sinx, cosx, tanx theo t=tanx

2.

+

2 2 2

2

2t

s inx=

1+t 1-t cosx=

1 t 2t tanx=

1-t

IV Công thức biến đổi tích thành tổng:

1 cosx.cosy= cos x y cos x-y

2 1

s inx.siny= cos x-y cos x+y

2 1

TRƯỜNG THPT TÂN AN TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN THI

V Công thức biến đổi tổng thành tích:

cosx+cosy=2cos cos sinx+siny=2sin cos

2 2 2 2

cosx-cosy=-2sin sin sinx-siny=2cos sin

VI Các kết quả thường áp dụng:

s inx+cosx= 2 sin x 2cos

s inx-cosx= 2 sin x 2cos x+

CHƯƠNG II: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.

1 Công thức nghiệm:



⇔  = π− + π ∈ 



⇔  = − + π ∈ 

¢

¢

¢

¢

¢

¢

x=y+k2 , k

s inx=siny

x y k2 , k x=y+k2 , k

cosx=cosy

x y k2 , k tanx=tany x=y+k2 , k cotx=coty x=y+k2 , k

2 Các phương trình đặc biệt:

π

π

¢

¢

¢

s inx=0 x=k , k

s inx=1 x= k2 , k

2

s inx=-1 x=- k2 , k

2

π

¢

¢

¢

cosx=0 x= +k , k

2 cosx=1 x=k2 , k cosx=-1 x= k2 , k

s inx=cosx sinx=sin x

2

π

t anx=1 x= k , k

4

t anx=0 x=k , k

cotx=1 x= k , k

cotx=0 x= k , k

2

π

π

π

¢

¢

¢

¢

3 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác :

a. Dạng:

+ + + +

2 2 2 2

a.sin x b.s inx+c=0 a.cos x b.cosx+c=0 a.tan x b.tanx+c=0 a.cot x b.cotx+c=0

b Cách giải: Đặt t=sinx, cosx, tanx, cotx.

c. Chú ý: Nếu đặt t=sinx hoặc t=cosx thì điều kiện là: − ≤ ≤ 1 t 1.

4 Phương trình bậc nhất theo sin cà cos có dạng: asinx+bcosx=c

Cách giải: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

 Điều kiện có nghiệm: a2+ ≥b2 c2

 Chia hai vế phương trình cho 2 2

a +b

a

c

⇔

 Do

b

1 a

a

 Nên đặt

os sin

a c

b

α α







(hoặc ngược lại)

 Pt trở thành: sinx.cos +cosx.sin = 2c 2 sin(x+ )= 2c 2

 Giải pt tìm x

TRƯỜNG THPT TÂN AN TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN THI

5 Phương trình đối xứng đối với cosx và sinx

 Dạng: a s inx+cosx ( ) + b.s inx.cosx+c=0.

Cách giải: Đặt

( 2 )

1 t=sinx+cosx= 2sin x+ (­ 2 t 2), suy ra sinx.cosx= t 1

π

Đưa pt đã cho về pt theo ẩn t.

 Dạng: a s inx-cosx ( ) + b.s inx.cosx+c=0

2 1

t=sinx-cosx= 2sin x- (- 2 t 2), suy ra sinx.cosx= 1 t

 Chú ý:

s inx+cosx= 2 sin x 2cos

s inx-cosx= 2 sin x 2cos x+

6 Phương trình đẳng cấp thuần nhất đối với sinx và cosx

Dạng: a.sin x b.sinx.cosx+c.cos x 0 (*)2 + 2 =

Cách giải:

¢

x kx(k )

2 có phải là nghiệm không.

¢

x kx(k )

2 , chia hai vế phương trình (*) cho cos 2 x, đưa

phương trình đã cho về pt bậc hai đối với tanx.

Chú ý:

 Phương trình (*) có thể đưa về phương trình bậc nhất đối với sin2x, cos2x

bằng cách thay:

2

2

1 cos x 1 cos2x

2 1 sin x 1 cos2x

2 1

s inx.cosx= sin2x

2

 Pt dạng a.sin x b.sinx.cosx+c.cos x d2 + 2 = có thể đưa về dạng (*) bằng cách thay d== d.1 d sin x cos x = ( 2 + 2 )

CHƯƠNG IV: CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Giải các phưong trình sau:

1/ cosx+ 3.s inx=-1

Giải

cosx+ 3.s inx=-1

cosx+tan sinx=-1

3 sin

3 cosx+ s inx=-1

cos

3 cosx.cos sinx.sin cos

2

2

, k

3

π

⇔

π

⇔  ÷= = π ÷=

π π

 − = + π



⇔ 

π π

 − = − + π



= π + π





 = − + π



¢

2/ sinx- 3cosx=1

Giải sinx- 3cosx=1 sinx-tan cosx=1

3 sin 3 sinx- cosx 1 cos

3 sinx.cos cosx.sin cos

3 6

3

7

6

π

⇔

π

⇔  − ÷= =  − ÷=

π π

 − = + π



⇔ 

π π

 − = π− + π

 π

 = + π



π

 + π



¢

Bài 2: Giải các pt sau:

1/ cos3x.cos x sin 3x.sin x3 3 2

4

Giải

cos3x.cos x sin 3x sin x

4

cos3x 3cosx+cos3x sin 3x 3 s inx-sin3x

cos3x 3cosx+cos3x sin 3x 3 s inx-sin3x 2

TRƯỜNG THPT TÂN AN TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN THI

( )

3

3

3.cos3x.cosx+cos 3x 3 sin 3x s inx-sin 3x 2

3 cos3x.cosx- sin 3x s inx cos 3x-sin 3x 2

3.cos 3x-x cos2.3x= 2

3.cos2x+cos6x= 2

3cos2x+cos3.2x= 2

3cos2x+4cos 2x 3cos2x= 2

4cos 2x 2 cos 2x cos x

cos

⇔

⇔

⇔ 2 = ± + π ⇔ = ± + π ∈ ¢

2/ 3 sin 4x − 3cos12x=1+4sin 4x3 Đại học Địa Chất.

Giải

3 3

3 sin 4x 3cos12x=1+4sin 4x

3 sin4x 4 sin 4x 3cos12x=1 sin3.4x- 3cos12x=1

sin12x- 3cos12x=1

1 sin12x 3 cos12x= 1

cos sin12x sin cos12x=sin

−

⇔

⇔

sin12xcos cos12x sin =sin

sin 12x sin

k

7 k

3/ 2 t anx+cotx= 3 2

3 + sin 2x Đại học ngoại thương.

Giải Điều kiện: sin 2x 0 ≠ (*).

2 t anx+cotx=

3 sin 2x

t anx+ tanx+cotx

3 sin 2x sinx cosx 3 2

t anx+

cosx sinx 3 sin 2x sin x cos x 3 2

t anx+

s inx.cosx 3 sin 2x

t anx+

sinx.cosx 3 sin 2x

t anx+

2sinxcossx 3 sin 2x

t anx+

sin2x 3 sin 2x 3

t anx=

3

t a

+

+

⇔

⇔ nx=tan

6

x k , k

6

π π

Nhận xét: x 5 k2 ,k

6

π

= m + π ∈ ¢ thỏa mãn điều kiện (*).

TRƯỜNG THPT TÂN AN TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN THI

4/ 3. tanx+sinx 4.cos2 x

tanx-sinx = 2 Cao đẳng hải quan.

Điều kiện: s inx 0

sin 2x 0 cosx 0

≠

tanx+sinx 1 x

3 4 1 cos2.

tanx-sinx 2 2

sinx sinx

cosx

sinx sinx

cosx

s inx+sinxcosx

cosx

3 sinx-sinxcosx 2 1 cosx

cosx

s inx 1+cosx

2 1 cosx sinx 1-cosx

1+cosx 2 1 cosx

1-cosx

1 cosx

3 2 1 cosx

3

+

−

−

⇔ 2 2cosx

1

cosx=-2

cosx=-cos

6 cosx=cos

-6

= −

⇔

π

⇔

π

5/

3 2

cos 2x 3 sin 4x

cos x

4

π

 + 

Điều kiện: cos x+ 0

4

π

  ≠

  (*).

3 2

3 2

3

2

3 2

2

cos 2x 3 sin 4x cos x

4 cos2x

3 sin 4x cos x

4 cos x-sin x

3 sin4x cosx-sinx

2 cosx-sinx cosx+sinx

3 sin4x cosx-sinx

2

2 cosx-sinx cosx+sinx

3 sin 4x cosx-sinx

2 cosx-sinx cosx+

π

 + 

  + π  

3

2

sinx 3 sin 4x

2 cosx-sinx cosx+sinx cosx+sinx 3 sin4x

2 cos x sin x cos x 2 s inx.cosx+sin x 3 sin 4x 2cos2x 1+sin2x 3 sin 4x

2cos2x+2cos2x.sin2x= 3 sin 4x

3 2cos2x= 3 cos2x= cos2x=cos

π

⇔ = ± + π ⇔ = ± + π ∈ ¢ π

TRƯỜNG THPT TÂN AN TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN THI 6/ s in2x cotx+tan2x ( ) = − 1 Cao đẳng sư phạm TPHCM.

Giải Điề kiện: cos2x 0

(*) sinx 0

≠





( )

s in2x cotx+tan2x 1

cosx sin 2x

sinx cos2x cos2x.cosx+sin2x.sinx

cos2x.sinx cos 2x-x

cos2x.sinx cosx

cos2x.sinx sin 2x cosx . 1 cos2x sinx tan 2x.cotx=-1

1 tan2x ­1

tanx tan

= −

⇔

⇔

( )

2x tanx tan2x=tan -x 2x x k

x k ,k

3 3

= −

⇔ = π − + π

Nhận xét: x k ,k

3 3

= + ∈ ¢ thỏa điều kiện (*).

7/ 1 3 8 s inx.

s inx cosx + = Cao Đẳng Hàng Hải.

Giải Điều kiện: sin 2x 0 ≠

cosx+ 3 s inx

( )

cosx+ 3 s inx=4.sinx.2.sinx.cosx

cosx+ 3 s inx=4sinx.sin2x=4.sin2x.sinx

1 cosx+ 3 s inx=4 cos(2x-x)-cos(2x+x)

2 cosx+ 3 s inx=2 cosx-cos3x 2cox-2cos3x

cosx­ 3.sinx=2cos3x

1 cosx­ 3 sinx=cos3x

cos cosx­sin s inx=cos

⇔

⇔

⇔

⇔

⇔

cos x+ cos3x

3 3x=x+ k2

3

3

6 ,k , thoa (*).

12 2

π

π





⇔

π



π

 = + π



 = − +



¢

8/ 4cos x.s inx­4sin x.cosx=sin x5 5 2 Đại hoc huế

Giải

Pt 4 s inxcossx cos x sin x sin 4x

sinxcosx cos x sin x sin 4x 2.2 sin xcosx cos x sin x cos x sin x sin 4x

2 sin 2x.cos2x=sin 4x sin4x sin 4x sin 4x sin4x 0

k x sin4x = 0 4 sin 4x sin 4x 1 0

π

=







∈

TRƯỜNG THPT TÂN AN TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN THI

5sinx-2=3tan (1 sinx)x −

Khối B năm 2004.

Giải

2 2 2 2 2

sin

os x 3sin

1 sin 3sin

(1 sinx)(1 sinx)

x Pt

c x x x

−

2

2

2

3sin 5sinx-2=

1 sinx (5sinx-2)(1 sinx) 3sin

1

sinx=

sinx=sin 2

6 sinx=-2 (vo nghiem)

5 2

6

x

x

x

⇔

+







π



, 2 6

k k





∈

 π



¢

10/ (2 osx-1)(2sinx+cosx) sin 2c = x−sinx

KD- 2004

Giải

(2 osx-1)(2sinx+cosx) 2sinx.cosx sinx (2 osx-1)(2sinx+cosx)=sinx(2cosx-1)

(2 osx-1)(2sinx+cosx)-sinx(2cosx-1)=0

(2 osx-1)(sinx+cosx) 0

c c c

⇔

⇔

1

2

osx=cos

3

2 3

t anx=tan(- )

4 2

c x

k



π





⇔

= −

 π

 = ± + π







π

 = ± + π



π

 = − + π

 4

¢

- Hướng dẫn:

3 2





−

- Giải

2

2

osx=0

4 os x=0

c

c c

12/ (1 sinx sin− ) 2x= +(1 cosx os)c 2x Khối D - 2003



Giải

(1

4

−

2 2 2

os3x-cosx+cos2x-1=0

sinx(sin2x+sinx)=0

sinx=0

sin2x+sinx=0

x=k

sin2x=-sinx=sin(-x)

2

2

c

x

x k

x k

x k

⇔

⇔



⇔ 

π



⇔ 

= π





⇔ = − + π

 = π + + π



= π

π

3

= π +

, k









¢

Chú ý: Biến đổi hiệu thành tích.

14/ 1 s inx+cosx+sin2x+cos2x=0 + Khối B năm 2005.

2

1+sinx+cosx+2sinxcosx+2cos x-1=0

(sinx+cosx)(1+2cosx)=0 sinx+cosx=0

1+2cosx=0 sinx=-cosx

1

cosx=-2

t anx=-1 cosx=-cos

3

t anx=t

⇔

⇔



⇔ 





⇔











⇔

an(- ) 4

2 cosx=cos( - )=cos

k

π







π

 = − + π



TRƯỜNG THPT TÂN AN TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN THI

15/ (2cosx-1 sinx+cosx) ( ) =1

Giải

2

2cosx-1 sinx+cosx 1

2 sinxcosx+2cos x sinx­cosx=1 sin2x+1+cos2x­ sinx+cosx 1 sin 2x cos2x=sinx+cosx

2 sin 2x 2 sin x

x

=

⇔  + ÷=  + ÷

   

⇔  + ÷=  + ÷

   

π π

 + = + + π





⇔

π  π

 + = π  + ÷+ π



⇔

k2

,k 2

= π



 π π ∈

 = +



¢

16/ sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x 2 − 2 = 2 − 2 (Đại học – Cao đẳng khối B năm 2002).

Giải

sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x

1 cos6x 1 cos8x 1 cos10x 1 cos12x

cos6x+cos8x=cos10x+cos15x

2cos7xcosx=2cos11xcosx

cosx cos7x-cos11x 0

cosxsin9xsin12x=0

sin9x=0 9x k

sin2x=0 2x k

⇔

⇔

⇔

π

 = + π









⇔  ⇔  = π





9

2

x k 2

π

 = + π

 π  =



⇔  = ⇔  ∈

π



 π



¢

17/ s inx+ s in2x+ s in3x+s in4x+ s in5x+ s in6x=0 Đại học sư phạm vinh 97.

Giải

s inx+ s in2x+ s in3x+ s in4x+ s in5x+ s in6x=0

=

π

¢

18/ sin x.cos3x+cos x sin 3x sin 4x 3 3 = 3 Đại học nghoại thương TPHCM 1999

Giải

sin x.cos3x+cos x sin 3x sin 4x

sin x 4cos x 3cosx cos x 3s inx-4sin x sin 4x

4.sin x.cos x 3 sin xcosx+3cos x sinx-4sin x.cos x sin 4x

3cos x s inx 3 sin xcosx=sin 4x

3s inxcosx cos x sin x sin 4x

1

3 .2 s inx.cos

2

=

3

3 3

x.cos2x=sin 4x

3 sin2x.cos2x=sin 4x

2

3 sin4x sin 4x

4

3sin4x 4sin 4x 0

sin 3.4x 0

sin12x 0

12x k

⇔

⇔ = π

π

TRƯỜNG THPT TÂN AN TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN THI