tam giác trong mặt phẳng Oxy

Trong chơng trình Hình học 10 các bài toán liên quan đến tọa độ và phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng Oxy là phần rất quan trọng.. Học sinh đợc làm quen với các bài tập về tọa độ và đờng

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trang bị những tri thức, phơng pháp và phát triển t duy, trí tuệ cho học sinh là mục tiêu đợc đặt lên hàng đầu trong các mục tiêu dạy học môn toán Trong chơng trình Hình học 10 các bài toán liên quan đến tọa độ và phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng Oxy là phần rất quan trọng Phần tọa độ trong mặt phẳng đóng vai trò cực kì quan trong trong toán học và cũng là phần không thể thiếu trong các đề thi Đại học trong những năm học gần đây Học sinh đợc làm quen với các bài tập về tọa độ và đờng thẳng trong Đại số từ khi học THCS, lên THPT các em lại gặp lại trong môn Đại số

10 và hình học 10, nhng các em vẫn hay gặp khó khăn khi cho rằng đây là toán hình

học Để học sinh thấy đợc cách nhất quán của dạng toán tìm đỉnh và cạnh của tam

giác tôi muốn làm nổi bật yếu tố giải tích trong việc giải quyết bài tập hình học

Trong quá trình dạy học tôi luôn tìm tòi các ví dụ điển hình tổng hợp thành các

ph-ơng pháp giải cụ thể cho học sinh, đồng thời hớng dẫn học sinh biết nhận dạng bài toán và phát triển thành các bài toán mới Đây cũng là vấn đề có thể phát triển đợc t duy toán học cho học sinh

Dới đây tôi xin trao đổi với quý đồng nghiệp và các em học sinh một chuyên đề

nhỏ trình bày vấn đề nhỏ về phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng: ”Tìm một số yếu tố

của tam giác trong mặt phẳng tọa độ Oxy.”

Phần 1: Lí thuyết về điểm đờng thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy

Phần 2: Điểm đờng thẳng đặc biệt trong tam giác

Phần 3: Bài tập tổng hợp

2 Mục đích nghiên cứu

Một vấn đề trong Hình học 10 mà học sinh thấy khó khăn khi gặp phải Giúp học sinh định hớng đợc bài toán tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy khi giải bài tập

GV: Hoàng Thương Thương THPT Hồng Thỏi

2

Bồi dỡng cho học sinh phơng pháp, kĩ năng giải toán hình học giải tích trong mặt phẳng Qua đó nhằm nâng cao khả năng t duy logic, tạo hứng thú học tập cho học sinh.

3 Đối tợng nghiên cứu

Các kiến thức về tọa độ điểm, đờng thẳng đặc biệt của tam giác và phơng trình ờng thẳng Nhằm tìm lời giải cho mỗi bài toán về phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng

đ-cụ thể

4 Giới hạn của đề tài

Là giáo viên trực tiếp giảng dạy học sinh khối 10 của trờng THPT Hồng Thái tôi thấy các em hay gặp khó khăn khi làm bài tập về tìm điểm và phơng trình đờng thẳng trong tam giác Nên tôi tập trung vào việc: “giúp học sinh tìm điểm đờng thẳng trong tam giác khi biết một số dữ kiện đặc biệt”, áp dụng giảng dạy trong các tiết học tự chọn bám sát cho học sinh lớp 10 tôi dạy

5 Nhiệm vụ của đề tài.

Kế hoạch giúp đỡ học sinh học tốt môn Hình học 10 phần phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng: giải đợc bài toán “tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng tọa độ Oxy ”

6 Phơng pháp nghiên cứu

6.1 Về lí luận:

“Phỏt triển tư duy khoa học” và “tăng cường ở cỏc em ý thức, năng lực vận dụng

một cỏch thụng minh những điều đó học”

Đổi mới trong phơng pháp dạy học hiện nay coi trọng việc: “lấy học trò làm

trung tâm ngời thầy chỉ đóng vai trò là ngời giúp các em đi đúng hớng, giúp các

em tiếp thu kiến thức một cách chủ động, sáng tạo”

6.2 Về thực tiễn

Phấn đấu để dạy tốt các môn học nói chung và môn Toán nói riêng là nguyện vọng tha thiết của đội ngũ giáo viên Toán học là môn khoa học suy diễn trừu tợng

nên là giáo viên Toán với tôi đây cũng là dịp để tôi học tập, nghiên cứu, trau dồi để rút ra những kinh nghiệm cho riêng mình Để mỗi tiết học toán trôi qua học sinh hình thành những kiến thức mới và kĩ năng mới, vận dụng một cách sáng tạo nhất, thông minh nhất trong việc học toán Các em thấy yêu thích môn toán hơn, hứng thú học tập hơn

NỘI DUNG

Phần 1: LÍ THUYẾT VỀ ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG

1 VẫC TƠ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG

2 PHƯƠNG TRèNH ĐƯỜNG THẲNG

),(u1 u2

t u x x

2 0

1 0

Nhận xột: VTCP u(u1,u2)⇒VTPT n(u2,−u1)

),(u1 u2

2

0 1

0

u

y y u

1 1

2

1

y y

y y x x

x x

x

GV: Hoàng Thương Thương THPT Hồng Thỏi

4

(∆1):a1x+b1y+c1=0, (∆2):a2x+b2y+c2 =0 với I =(∆1)∩(∆2)thì đường thẳng (∆)qua I là p(a1x+b1y+c1)+q(a2x+b2y+c2)=0 với p2 +q2 >0

3 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

3.1 Dạng tham số: (∆1)đi qua M1(x1,y1):

t a x x

1 1

1 1

t a x x

''

'

2 2

2 2

=++

0

0

2 2 2

1 1 1

c y b x a

c y b x a

- Nếu hệ có 1 nghiệm (x0,y0)thì(∆1)∩(∆2)=I(x0,y0)

4 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

2 1 2

1

1tan:1

a a

a a a

:)(

)

;(0

:)(

2 2 2 2

2 2 2

1 1 1 1

1 1 1

b a n VTPT c

y b x a

b a n VTPT c

y b x a

=++

∆

=++

∆

2

2 2

2 1

2 1

2 1 2 1 2

1

2 1

.cos

b a b a

b b a a n

n

n n

++

c by ax M

d

+

++

=

∆

0:

)(

0:

)(

2 2 2 2

1 1 1 1

=++

∆

=++

∆

c y b x a

c y b x a

cắt nhau thì phương trình 2 đường phân giác:

2

2 2

2 2 2 2

1

2 1

1 1 1

b a

c y b x a b

a

c y b x a

+

++

±

=+

++

Dấu hiệu Phân giác gĩc nhọn Phân giác gĩc tù

2 2

2 2 2 2

1

2 1

1 1 1

b a

c y b x a b

a

c y b x a

+

++

=+

++

2 2

2 2

2 2 2 2

1

2 1

1 1 1

b a

c y b x a b

a

c y b x a

+

++

−

=+

++

2 2

2 2 2 2

1

2 1

1 1 1

b a

c y b x a b

a

c y b x a

+

++

−

=+

++

2 2

2 2

2 2 2 2

1

2 1

1 1 1

b a

c y b x a b

a

c y b x a

+

++

=+

++

Phần 2: ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG ĐẶC BIỆT TRONG TAM GIÁC

Loại 1: Xác định các yếu tố của tam giác khi biết trước tọa độ một đỉnh và phương trình của 2 đường cĩ cùng tính chất.

Dạng 1: Viết phương trình các cạnh của tam giác khi biết 1 đỉnh và 2 đường cao xuất phát từ 2 đỉnh cịn lại.

Cách giải:

* Viết phương trình AB, AC

* Tìm toạ độ của B,C

* Viết phương trình BC

Bài tập 1.1: Cho ABC∆ biết A(-1;-3) và phương trình 2 đường cao BH: 5x+3y−25=0

5

0138

B y

x

y x

01253

C y

x

y x

42

4

2

=

−+

Lập phương trình hai cạnh AC, BC và đường cao thứ ba

GV: Hồng Thương Thương THPT Hồng Thái

6

Bài tập 1.4: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(-4;-5) và hai đường cao có phương trình : 5x+3y – 4=0 , 3x +8y +13=0

Bài tập 1.5: Cho tam giác ABC với đỉnh A(1;1) Các đường cao hạ từ B và C lần lượt nằm trên các đường thẳng : -2x +y -8 = 0; 2x +3y-6=0

Hãy viết phương trình đường thẳng chứa đường cao hạ từ A và xác định toạ độ các

đỉnh B,C (ĐHSP HN 2000)

Bài tập 1.6: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC cĩ A(1;0)và 2 đường thẳng lần

Tính diện tích tam giác ABC

Dạng 2: Viết phương trình các cạnh của tam giác khi biết 1 đỉnh và 2 trung tuyến xuất phát từ 2 đỉnh cịn lại.

* Tìm B, C

* Viết phương trình các cạnh của tam giác

Bài tập 2.1: Cho ABC∆ biết A(1;3) và phương trình 2 đường trung tuyến BM:

01

012

G y

t y

t x y

y

t x y

A

MN

Vì I là trung điểm của BC nên:

=+

−

)1

;5(5

'

)1

;3(1

021

12

'12

C t

B t

t

t t

31

31

31

13

+

=+

Bài tập 2.4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(4; 1)− và phương trình

của tam giác

Dạng 3: Viết phương trình các cạnh của tam giác khi biết 1 đỉnh và 2 phân giác trong xuất phát từ 2 đỉnh còn lại.

Cách giải:

Cách giải

* Viết phương trình AB, AC

Bài tập 3.1: Cho ABC∆ biết A(2;-1) và phương trình 2 đường phân giác trong của góc

3

03

=

−

−

I y

x y

x

y x

BM

2

AA qua A(2;-1) nên ⇒m=−3: AA2: 2x+ y−3=0

GV: Hoàng Thương Thương THPT Hồng

032

K y

x y

x

y x

−

=

−+

Đường thẳng BC qua A1A2 nên phương trình dạng: 4 3 0

53

52

5(7

1

750

12

034

−

=+

−

B y

x y

x

y x

Đường thẳng AB có VTCP ( 19;8) (8;19)

7

1)7

8

;7

6(59

560

3

034

=+

−

C y

x y

x

y x

Đường thẳng AC có VTCP (4;1) (1; 4)

5

4)5

4

;5

b Viết phương trình các cạnh của tam giác

Loại 2:Xác định các yếu tố của tam giác khi biết trước tọa độ một đỉnh và phương trình của 2 đường có tính chất khác nhau.

Dạng 4: Viết phương trình các cạnh của tam giác khi biết 1 đỉnh B và 1 đường cao

AH và 1 phân giác trong góc C.

Cách giải:

* Lập phương trình BC

* Tìm C giao của BC và phân giác

* Tìm B’ đối xứng với B qua phân giác góc C

D

Bài tập 4.1: Cho ABC∆ biết B(2;-1) và đường cao AH 3x−4y+27=0và phân giác

52

0534

=

−+

C y

x y

x

y x

52

052

I y

x y

x

y x

274

3

03

−

=

−

A y

x y

x y

31

35

2

5

=

−+

x

Bài tập tương tự:

Bài tập 4.2 (ĐH KTHN 98) Cho tam giác ABC có đỉnh A(−1;3), đường cao BH nằm

Viết phương trình cạnh BC

Bài tập 4.3: Cho tam giác ABC có B(1;5) và phương trình đường cao AH:

02

Dạng 5:Viết phương trình các cạnh của tam giác khi biết 1 đỉnh, 1 đường cao và trung tuyến xuất phát từ 2 đỉnh khác nhau.

Cách giải:

* Kiểm tra điểm A không thuộc 2 đường đã cho.

* Lập phương trình cạnh AC ( vuông góc với đường cao)

* Tìm tọa độ C.

* B thuộc BH ( tham số hóa B) tìm trung điểm M của AB theo tham số.

* Vì M thuộc CM nên tìm được tham số đó Tìm được B.

* Lập phương trình AB,BC

Bài tập 5.1: Cho ABC∆ biết A(2;-7) và đường cao BH 3x+y+11=0và trung tuyến

H

M

7

2

023

x

y

x

R t t

y

t x y

1130

113

:

)113

;2

2

M

)1

;4(40

72

18322

14

2

4

=++

14

5

4

=++

x

Bài tập tương tự

Bài tập 5.2: Cho tam giác ABC có B(-4;0) , đường cao kẻ từ A: −4x+3y+2=0 và

a Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC

Bài tập 5.3: Cho tam giác ABC cĩ đỉnh A(2;1) đường cao qua B: x−3y−7=0 và trung

Bài tập 5.4: Cho tam giác ABC cĩ đỉnh A(13) đường cao qua B: y−1=0 và trung

Bài tập 5.4: Cho tam giác ABC có C(4;-1) , đường cao và đường trung tuyến kẻ từ

Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC

Dạng 6:Viết phương trình các cạnh của tam giác khi biết 1 đỉnh, 1 trung tuyến và 1 phân giác trong xuất phát từ 2 đỉnh khác nhau.

Cách giải:

* Kiểm tra điểm A khơng thuộc 2 đường đã cho

* Tìm K đối xứng với A qua phân giác

* C thuộc CK (tham số hĩa C), tìm trung điểm M của AC theo tham số

* Vì M thuộc BM nên tìm được tham số đĩ Tìm được C.

* Lập phương trìnhAC, BC

* Tìm B lập phương trình AB.

Bài tập 6.1:Cho ABC∆ biết A(1;2), đường trung tuyến BM : 2x+ y+1=0và phân giác

1

)8

;7(70

12

32

1

⇒

M

010

)2(

01

I y

x

y x

=+

−

I là trung điểm của AK nên K(-1;0)

817

1

=++

⇔

=+

21

7

1

=

−+

012

=++

B y

x

y x

giác

Bài tập 6.3: Cho ABC∆ biết C(4;3), Phân giác trong và đường trung tuyến kẻ từ một

các cạnh của tam giác

Loại 3 Xác định các yếu tố của tam giác khi biết trước tọa độ một số điểm đặc biệt nào đó của tam giác.

Dạng 7: Tìm phương trình đường thẳng cạnh còn lại của tam giác khi biết 2 cạnh và tọa độ trọng tâm.

* Tìm được 1 đỉnh của tam giác A

0154

=++

A y

x

y x

)154

;(1540

154

t y

t x y

x

AB

B

)'21

;'54('

21

'540

352

t y

t x

y x

=

++

=

3

17'325

33

13'24

43

8'5

3

3

t

t t

t

t t y

y y y

x x x x

C B A G

C B A G

),3

86

;3

Bài tập 7.3: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G(−2;0) Biết

các đỉnh của tam giác

Dạng 8: Tìm phương trình đường thẳng cạnh còn lại của tam giác khi biết 2 cạnh và tọa độ trực tâm.

H

* Viết phương trình đường thẳng CH, tìm C.

* Viết phương trình BC

Bài tập 8.1: Lập phương trình cạnh BC của tam giác ABC biết trực tâm H(1;1) và

062

0625

−

B y

x

y x

28(0

752

0217

=

−+

C y

x

y x

)2

;1()

1

;2(6

43)6

2)5

4

Dạng 9: Tìm phương trình đường thẳng cạnh còn lại của tam giác khi biết 2 cạnh và tọa độ trung điểm cạnh còn lại

Cách giải:

* B thuộc AB ( tham số hóa B)

* C thuộc AC ( tham số hóa C)

* M là trung điểm của BC

043

Vì M là trung điểm của BC nên

=

++

c b

y

c b

x

M M

Theo bài ra M(−2;2) nên:

−

=++

767

180

3

62

22

34

22

22

c

b c

b

c b c

b

c b

)7

32

;7

* Tham số hóa tọa độ đỉnh đã cho

* Cho thỏa mãn điều kiện đầu bài

Bài tập 10.1: Cho tam giác ABC biết A(-1;3), B(1;1) và ∆:2x−y =0

;4(4

:

giác ABC vuông cân tại A

Dạng 11: Cho 1 đỉnh của tam giác, 2 đỉnh còn lại thuộc 2 đường thẳng khác Tìm 2 đỉnh (đường thẳng) thỏa mãn điều kiện cho trước.

Cách giải:

* Tham số hóa tọa độ 2 đỉnh thuộc 2 đường thẳng.

* Cho 2 điểm thỏa mãn điều kiện đầu bài

( hoặc sử dụng phương pháp khác tùy vào bài toán)

Bài tập 11.1:Cho d1:2x−3y+1=0; d2 :4x+ y−5=0 và điểm A là giao của d1, d2

Giải:

)21

;31()

(21

310

132

:

b y

b x

y x

−

∈

)45

;(0

54

=+

54

0132

2

y

x y

x

y x d

−

=++

=

++

=

53

742

33

23

3

3

c b

c b y

y y y

x x x x

C B A G

C B A G

55

;7

5(7

5

)7

43

;7

61(7

18

C c

B b

Bài tập 11.2: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(2;−2) Viết phương trình đường

(*)1

13

=+

⇒

∈

b a

6,24

a b

a b b

⇔

=+

021

22:

0631

26:

2

1

y x y

x d

y x y

x d

Bài tập tương tự

Bài tập 11.2: Cho d1:x+y+5=0; d2:x+2y−7=0 và điểm A(2;3) Tìm B∈d1và

2

d

GV: Hoàng Thương Thương THPT Hồng Thái

16

Phần 3 BÀI TẬP TỔNG HỢP.

Bài tập 1:Trong mặt phẳng Oxy cho 2 điểm A(0;2)và B(− 3;−1) Tìm tọa độ trực tâm

và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác OAB (ĐH-A2004)

Giải:

Cách 1: (Viết phương trình 2 trong 3 đường cao và tìm giao điểm)

H y

y x

+ (Viết phương trình 2 trong 3 đường trung trực và tìm giao điểm)

1

023

3

I y

;3(1

30

1

023

=

−+

y x OA

632

044)

1()3(

)2(

2 2

2 2

2 2

2 2

=+

=+

−+

=+

b

a a

a b

a b

a

b a b a

Bài tập 2:Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có AB=AC và góc BAC=900 biết

C.(ĐH-B2003)

Giải:

)2

;0()3

;1(

−x+3y+4=0

=++

−

=++

−

22

40

10)1(1

043

2 2

x y

x y

y x

y x

;10(),1

=

−

−+

−

−

⇔

062

0)7)(

1()10)(

2

(

y x

y y

x x

−

0,3

4,12

6

01520

y x

y x x

y

x x

=

=

AB

S h

Khoảng cách từ G tới AB bằng h

3

1

Theo công thức khoảng cách ta có

2

5832

3.3

1)

;

AB G d

;1(1

)2

;2(2

132

1321

G t

2)2.(

3

232.33

x y

y y y

x x x x

c

c c

c B

A G c

B A G c

GV: Hoàng Thương Thương THPT Hồng Thái

18

A

C

BG

Với G1(1;−5)thì

10

23

2)5.(

3

231.33

x y

y y y

x x x x

c

c c

c B

A G c

B A G c

Vậy có 2 điểm C thỏa mãn: C(1;−1),C(−2;−10).

Bài tập 5: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2;2) và các đường thẳng d1:x+ y−2=0

−

=+

−

=

−

−+

2

)2(

0)6)(

()2)(

2(0

c c

b b

c b

c b

AC AB

AC AB

−

−

⇔

3)4()1(

2)4)(

1(18

82

024

2 2

2

c b c

c b

b

c b bc

3,11

,2

1,23

2

2

c b

y x

y x

y

x

xy

Vậy B(-1;3), C(3;5) hoặc B(3;-1), C(5;3)

Bài tập 6: Trong mặt phẳng Oxy xác định tọa dộ đỉnh C của tam giác ABC biết hình

chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H(-1,-1), đường phân giác trong

01

Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ :

)0

;2()1(

1

02

42

b

x a

Đường thẳng AC qua H’(-3;1) và ⊥ d2: 4x+3y−1=0 nên AC có hệ số góc bằng

3)

3(4

0

2

A x

=+

−

)4

3

;3

10(0

743

0134

3

C y

x

y x

Bài tập 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A và có đỉnh

điểm B và C, biết diện tích tam giác ABC bằng 18 (ĐH-B2009)

441),

11()

;(

0

97)

4()

y x

y x

2

5

;2

3(),2

3

;2

11(),2

5

;2

3

Bài tập 8: Xác định tọa độ đỉnh B của tam giác ABC, biết C(4;3), ác đường phân giác

010

Vì AD⊥CH ⇒CH.u AD =0

)1

;3(1

0)3(1)

2

'

' '

x y

y y

x x x

C

C C

H C

C H C

=

−+

)2

;9(2

90

103

4

052

A y

x y

29

1013

(0

1013

4

:

)

;57(0

57:

m

m M

y x AM

M

b b B y

−

−

2

13

2

1213

142

1013

.24

5

7

m

b m

b

m b

m b

m b

Vậy: B(−12;1).

Bài tập 9: Cho tam giác ABC có cả 3 góc nhọn Viết phương trình đường thẳng chứa

, B1(2;2),C1(−1;2)

Giải:

Gọi H là trực tâm tam giác ABC thì:

Từ tính chất của tứ giác nội tiếp, ta chứng minh được

∆

=+

)(022)

2(5

y x y

−

−

>

=+

−

−

−

0322.21

052)2(21

1

1,C

A

thẳng BC, AB của tam giác ABC).

C1

đồng khoa học nhà trờng THPT Hồng Thái – Đan Phợng – Hà Nội, Hội đồng khoa học

Sở GD & ĐT Hà Nội Tôi xin chân thành cảm ơn

KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM

1 Kết quả thu được

Đề tài đó được tụi ỏp dụng trong quỏ trỡnh giảng dạy tự chọn bỏm sỏt lớp 10, được học sinh đồng tỡnh và đạt được kết quả, nõng cao khả năng tỡm điểm và phương trỡnh đường thẳng trong tam giỏc khi biết một số yếu tố liờn quan

Cỏc em hứng thỳ học tập hơn, khi đó quy bài toỏn hỡnh học về cỏc yếu tố giải tớch

Ở những lớp đó được giảng dạy và phõn loại bài toỏn cỏc em biết định hướng khi giải bài tập dạng này Học sinh với mức học trung bỡnh khỏ trở lờn đó cú kỹ năng giải bài tập Học sinh biết ỏp dụng tăng rừ rệt Kết quả thu được cụ thể như sau :