Một số bài toán trong mặt phẳng oxy trọng anh

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG GV: HOÀNG TRỌNG ANH Trong các kì thi ĐH-CĐ của các năm gần đây thì dạng toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng luôn có trong

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

GV: HOÀNG TRỌNG ANH

Trong các kì thi ĐH-CĐ của các năm gần đây thì dạng toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng luôn

có trong đề thi, nó thường rơi vào câu điểm 7 – 8 (thang 10 điểm) Để giải được dạng toán này, các em phải có vốn kiến thức cơ bản liên quan đến tọa độ trong mặt phẳng và biết phân chia các dạng toán và nắm được phương pháp giải Trong chuyên đề, tôi sẽ đưa ra một số dạng toán chủ yếu liên quan đến phương trình đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy

1 – KIẾN THỨC CƠ BẢN:

1 Toạ độ điểm và vectơ

a) Toạ độ điểm: OM  xi y jM x y ;

Cho A x( A;y A), (B x B;y B), (C x C;y C) Khi đó:

+ ABx Bx A;y By A;       2 2

; ; ;

A x y B x y AB x x  y y

+ Công thức tọa độ trung điểm: I là trung điểm của AB thì ;

+ Công thức tọa độ trọng tâm: G là trọng tâm tam giác ABCthì: ;

b) Toạ độ vectơ: Định nghĩa : u xi y j u  x y;

Cho u x y; ; 'u x y'; ' Ta có:

+ Hai vecto bằng nhau : ' '

'

x x

u u

y y





+ Hai vecto cùng phương: , ' u u cùng phương ' ' '

'

x kx

xy x y

y ky





+ Các phép toán vecto: u u ' xx y'; y'; kukx ky; ;

+ Tích vô hướng 2 vecto : u u 'x x 'y y ', chú ý : u u' xx'yy'0

;

u x y  u  x y

' ' ' cos ; '

u u



2 Phương trình đường thẳng

a) Phương trình tổng quát

Đường thẳng  qua M x y và có vectơ pháp tuyến ( ;0 0) n( ; )a b thì : a x( x0)b y( y0)0

b) Phương trình tham số

Đường thẳng  qua M x y và có vectơ chỉ phương ( ;0 0) u( ; )a b thì :   

  



0 0

x x at

y y bt

Điểm M thuộc :   

  



0 0

x x at

y y bt thì M(x 0 + at; y 0 + bt).(Tham số hóa tọa độ điểm thuộc đthẳng)

c) Phương trình chính tắc

Đường thẳng  qua M x y và vectơ chỉ phương ( ;0 0) u( ; )a b , với ab0, thì : x x0 y y0

d) Phương trình đoạn chắn

Đường thẳng  qua A(a; 0) và B(b; 0), với ab0, thì : x y 1

a b

Chú ý: 1) Đường thẳng  cĩ hệ gĩc k thì  cĩ dạng: y = kx + b Do đĩ phương trình đường thẳng đi qua (x 0 ;

y 0 ) và có hệ số góc k: y = k(x - x 0 ) + y 0

2) Mối liên hệ giữa vec tơ chỉ phương và hệ số gĩc: 2

1

u k u

 , với uu u1; 2 là vec tơ chỉ phương

3) Hai đường thẳng  và ’ cĩ hệ số gĩc là k và k’ Khi đĩ:    / / ' k k';    ' k k ' 1.

3 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho : ax + by + c = 0 và ’ : a’x + b’y +c’ = 0 Xét hệ phương trình: 0

' ' ' 0

ax by c

a x b y c





- TH1: hệ có duy nhất một cặp nghiệm thì hai đường thẳng cắt nhau;

- TH2: hệ vô nghiệm thì hai đường thẳng song song;

- TH3: hệ có vô số nghiệm thì hai đường thẳng trùng nhau

Chú ý: Có thể xét các trường hợp sau: Nếu a’, b’, c’ khác 0 thì:

+ 1:

' '

TH

a b thì hai đường thẳng cắt nhau;

+ 2 :

' ' '

TH

a b  c thì hai đường thẳng song song;

' ' '

TH

a b c thì hai đường thẳng trùng nhau

4 Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng

Cho : ax + by + c = 0 và M(x 0 ; y 0 ) Ta có:    



0 0

2 2

( , ) ax by c

d M

5 Gĩc giữa hai đường thẳng

Cho : ax + by + c = 0 và ’ : a’x + b’y +c’ = 0 Với n n, ' là các vectơ pháp tuyến của  và ’, gọi

 là góc giữa hai đường thẳng đĩ, ta có:    

2 2 2 2

' '

| ' | cos

| | | ' | ' '

a a b b

n n

Chú ý: Cĩ thể sử dụng cơng thức trên một cách tương tự với cặp vectơ chỉ phương của  và ’

6 Đường phân giác của hai đường thẳng

+ Cho : ax + by + c = 0 và ’ : a’x + b’y +c’ = 0 Phương trình các đường phân giác của các gĩc tạo

bởi 2 đường thẳng đĩ là:      

' ' ' '

ax by c a x b y c

* Lưu ý: Xét phía của hai điểm A x y( ; )A A và B x y( ; )B B đối với đường thẳng d: ax by c  0

+ Nếu ax Aby Ac ax Bby B c 0 thì A và B cùng một phía so với d;

+ Nếu ax Aby Ac ax Bby B c 0 thì A và B khác phía so với d

2 - MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP ỨNG DỤNG

Dạng 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG DẠNG CƠ BẢN

* Trường hợp 1: Viêt phương trình đường thẳng d đi qua 2 điểm M x y1( ;1 1) và M x y2( ;2 2)

Phương pháp: + VTCP u d M M1 2 (x2x y1; 2y1) Suy ra VTPT n d (y1y x2; 2x1)

Vậy phương trình tham số của d di qua M x y1( ;1 1) và cĩ véc tơ chỉ phương u là: d 1 2 1

1 2 1



   

Ptrình tổng quát của d qua M x y1( ;1 1) có véc tơ pháp tuyến n là: d (y1y2)(xx1) ( x2x1)(yy1)0

Ví dụ 1: Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua A(3;-2), B(5;1)

Giải: Đthẳng d qua A(3;-2) và nhận u d  AB(2;3) làm VTCP, suy ra d có phương trình tham số: 3 2

2 3

 



   

 VTCP u d  AB(2;3) VTPT n d (3; 2)

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua A(3;-2) là: 3(x-3)-2(y+2)=0 3x-2y-13=0

* Trường hợp 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M x y0( ;0 0) và có hệ số góc k

Phương pháp: Áp dụng công thức yy0k x( x0)kx y y0kx00 là phương trình tổng quát

Ví dụ 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua E(3;-4) và có hệ số góc 2

5

k 

Giải: Phương trình tổng quát của đường thẳng d là: 4 2( 3) 2 5 26 0

5

* Trường hợp 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M x y0( ;0 0) và song song với : axby c 0

Phương pháp: Đường thẳng  có VTPT n( ; )a b đường thẳng d đi qua M x y0( ;0 0) và song song  nên nhận véc tơ n( ; )a b làm véc tơ pháp tuyến Vậy ta có phương trình tổng quát là: a x( x0)b y( y0)0

Lưu ý: Hai đường thẳng song song có cùng vecto pháp tuyến và vecto chỉ phương

Ví dụ 3: Viết phương trình tổng quát của d đi qua M(1;3) và song song với đường thẳng : 2x-y 3 0

Giải: Phương trình của d có dạng 2x+y+c=0 Vì M(1;3)       d 2 3 c 0 c 5

Vậy d có phương trình tổng quát: 2x+y-5=0

* Trường hợp 4: Viết phương trình tổng quát của d qua M x y0( ;0 0) và vuông góc với : axby c 0

Phương pháp: Đường thẳng  có VTPT n( ; )a b đường thẳng d đi qua M x y0( ;0 0) và vuông góc  nên nhận véc tơ n( ; )a b làm véc tơ chỉ phương, suy ra n d ( ;b a )

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M x y0( ;0 0) là: b x( x0)a y( y0)0

Ví dụ 4: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M(13;4) và vuông góc với : 2x-5y 1 0

Giải: Đường thẳng  có VTPT n(2; 5) đường thẳng d đi qua M(13;4) và   nên nhận véc tơ n(2; 5)

làm VTCP vậy VTPT n(5; 2) Phương trình tổng quát là: 5x2y770

Bài 1: Cho đường thẳng d: x3y 1 0 và điểm M(1; -2)

a) Tìm một vecto pháp tuyến của đường thẳng?

b) Điểm M có thuộc d không? Hai điểm N và P thuộc d

c) Viết phương trình tham số đường thẳng qua M và song song với d

d) Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua M và vuông góc với d

Bài 2: Viết phương trình đường thẳng  biết rằng:

a) Đi qua A(1; 0) và B(0; -3);

b) Đi qua M(3; 4) và có hệ số góc là k = 2;

c) Đi qua N(2; 3) và song song với 1: 1

2

d

 



 

d) Đi qua P(1; -3) và vuông góc với d2: 2x3y 1 0 ;

e) Đi qua giao điểm của 1: 1

2

d

 



 

 và d2: 2x3y 1 0 và vuông góc với d y:   5x 4 Bài 3: Chuyển các phương trình tổng quát sau về dạng tham số

a) x y  1 0; b) 2x y  5 0; c) 3x4y 1 0; d) 2x3y 4 0

Bài 4: Viết phương trình đường thẳng qua A(-1; 0) và điểm B(0; 5)

Bài 5: Viết phương trình đường thẳng qua M(4; 1) và cắt các tia Ox tại A, cắt tia Oy tại B sao cho:

a) Diện tích OAB nhỏ nhất; b) Tổng OA + 4OB nhỏ nhất;

c) Tổng OA + OB nhỏ nhất; d) Tổng 92 42

OA OB nhỏ nhất

Hướng dẫn: Giả sử A(a; 0) và B(0; b) Câu a, sử dụng BĐT Cauchy

Câu b, sử dụng 2 lần BĐT Cauchy

Câu c, rút b theo a và sử dụng BĐT Cauchy

Câu d, sử dụng BĐT Bunhiakopxki

******************************************************************************************* Dạng 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG VÀ GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG

PP: Xem các vị trí tương đối của hai đường thẳng và cách xét góc giữa hai đường thẳng

Bài 6: Hãy xét vị trí tương đối, tìm tọa độ giao điểm (nếu có) và tính cosin góc giữa các cặp đường thẳng sau:

a) d: x2y 1 0 và d’: 5x4y 1 0; b) d: x  y 3 0 và d’: 1

2

 



  

c) d: 1 2

2 3

  



  

 và d’:

5 1

 



  

x t





   

 và d’: x  y 2 0

Bài 7: Cho ba điểm A(-4; 1); B(0; 2) và C(3; -1)

a) Chứng minh ba điểm lập thành một tam giác Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC

b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB và AC

c) Tính cosin góc ABC và cosin góc tạo bởi 2 đường thẳng AB và BC

d) Gọi M là trung điểm của BC Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AM

e) Viết phương trình tham số đường trung tr c của đoạn BC

f) Viết phương trình đường cao kẻ từ A của tam giác ABC Tìm tọa độ chân đường cao kẻ từ A, từ đó suy

ra diện tích tam giác ABC

Hướng dẫn:

AB AC

AB AC

e) Đường trung trực của BC là đường qua trung điểm BC và nhận BC là vecto pháp tuyến

Bài 8: Trong hệ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình các cạnh AB: x + 3y – 7 = 0, BC: 4x + 5y – 7 = 0, CA:

3x + 2y – 7 = 0 Viết phương trình đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC (CĐ-2011)

Bình luận: Trong một số đề thi, việc viết một phương trình đường thẳng d biết đường thẳng d qua một điểm và

tạo với một đường thẳng  một góc  (hoặc biết cos ) là bài toán phụ rất quan trọng Muốn giải được các bài toán phức tạp hơn, các em phải nắm chắc phương pháp dạng này

PP: - Gọi vecto pháp tuyến của  là n( ; )a b

- Áp dụng công thức góc giữa hai đường thẳng thông qua cos  cos , ' n n

- Từ đó suy ra phương trình đẳng cấp bậc hai theo a, b Do đó ta được nghiệm a/b nên ta có thể chọn được n( ; )a b và viết được phương trình d

Bài 9: Cho đường thẳng d: 2x – y + 3 = 0 Viết phương trình d’ qua A(2; -1) và tạo với đường thẳng d một góc 

sao cho cos 1

10



Giải: Gọi vecto pháp tuyến của d’ là n( ; )a b Do d có vecto pháp tuyến n'(2;-1) và tạo với d’ một góc  nên

2 2

1

1 | 2 |

1

10 5.

7



 







a

a

b

- Với a 1

b , chọn a = b = 1 Suy ra d’: 1.(x – 2) + 1.(y + 1) = 0 x + y – 1 = 0

- Với 1

7

a

b , chọn a = 1 và b = 7 Suy ra d’: 1.(x 2) 7(y   1) 0 x 7y 5 0

Bài 10: Cho đường thẳng d: 2x + 3y + 4 = 0 và điểm M(2; 1) Viết phương trình d’ qua M và tạo với đường

thẳng d một góc 450

Bài 11: Cho đường thẳng d: x + y + 3 = 0 Viết phương trình đường thẳng đi qua A(2; -4) và tạo với d một góc

450 (CĐ KA – 2011) ĐS: y + 4 = 0 và x – 2 = 0

Bài 12: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường BC có phương trình: x7y31 0 , điểm 1;5

2

N 

  thuộc đường AC, điểm M2; 3  thuộc đường thẳng AB Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết điểm A có

hoành độ âm

Hướng dẫn: Cho tam giác ABC vuông cân thì ta tính được cos 2

2

ABC , do đó ta viết được phương trình

đường thẳng AB Từ đó suy ra tọa độ A, lưu ý A có hoành độ âm

Bài 13: Cho hình thoi ABCD có BD = 2AC, điểm H(2; -1), phương trình đường BD là: x – y = 0 Gọi M là trung

điểm của CD Giả sử H là hình chiếu của A lên đường thẳng BM Viết phương trình đường thẳng AH

Bài 14: Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình các đường thẳng AC: x3y0, AD: x y  4 0, điểm 1;1

3

M 

  thuộc đường thẳng BD Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật (ĐH KD 2012)

Bài 15: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB: x – 2y + 1 =

0, phương trình đường thẳng BD: x – 7y + 14 = 0, đường thẳng AC đi qua M(2; 1) Tìm toạ độ các đỉnh của hình

chữ nhật, biết hoành độ A dương

Hướng dẫn:

- Dễ nhận thấy B là giao của BD với AB cho nên tọa dộ B là nghiệm của hệ : 2 1 0 21 13;

7 14 0 5 5

B





- Đường thẳng (BC) qua B(7;3) và vuông góc với (AB) cho nên có véc tơ chỉ phương:

21 5

13 2 5

BC

  



  



a b



 2 2 2 2 2

2 2

2

1

7

10 5

a b

 

; 7 / / ' 1; 7 : 2 7 1 0 7 5 0





AC

AC

+ Có AC, tìm tọa độ A (lưu ý hoành độ A dương)

+ Tìm tọa độ điểm C

+ Gọi I là tâm, tìm tọa độ I, có A và I suy ra điểm D

Lưu ý: Nếu biết tọa độ hai trong ba điểm và biết tỉ lệ vecto giữa các điểm (kể cả tỉ lệ độ dài đoạn trong trường hợp thẳng hàng) thì ta sẽ tìm được tọa độ của điểm còn lại Chẳng hạn:

Bài 16: Cho A(2; -5) và M(-1; 3) Tìm tọa độ điểm B sao cho:

a) MB 3MA; b) AB3MA; c) MA = 3MB và A, B, M thẳng hàng

Bài 17: Cho hai đường thẳng d: x y  1 0, d’: 2x y  1 0 Viết phương trình đường thẳng qua M(1; -1) và cắt d, d’ lần lượt tại A và B sao cho MB 2MA

Hướng dẫn: Tham số hóa tọa độ điểm A, B thuộc d và d’ Suy ra hệ phương trình từ giả thiết MB 2MA

Bài 18: Cho hình chữ nhật ABCD, có AD: 2x y  1 0, điểm I(-3; 2) thuộc BD sao cho IB 2ID, điểm D

có hoành độ dương và AD = 2AB Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD

Hướng dẫn:

- Có phương trình AD và cos ADB , BD qua I nên ta có thể viết được phương trình BD;

- Có AD và BD, suy ra tọa độ D

- Có tọa độ I, D và tỉ lệ vecto IB 2ID nên suy ra B

- Viết phương trình AB qua B vuông góc với AD, suy ra tọa độ A và từ đó suy ra tọa độ điểm C

Bài 19: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của AB và M là trung điểm của đoạn

AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN = 3NC Viết phương trình đường thẳng CD biết M(1; 2) và N(2; -1)

(ĐH KA – 2014)

Hướng dẫn: Ta sẽ sử dụng bài toán trên để giải (cách khác đáp án của Bộ)

- Gọi P là giao điểm của MN và CD Sử dụng tỉ lệ vecto tìm được tọa độ P;

- Vì DN vuông góc với MN nên ta viết được DN;

- Ta tính được cos NDC và dựa vào bài toán trên ta sẽ viết được phương trình của CD

Bài 20: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 3), tr c tâm H(9; 7) và trọng tâm là 11;1

3

G 

  Tìm tọa độ các đỉnh B và C của tam giác ABC

Bài 21: Trong mp Oxy cho tam giác ABC có A(3; -7), tr c tâm H(3; -1), tâm đường tròn ngoại tiếp là I(-2; 0)

Xác định toạ độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương (ĐH KD – 2010) ĐS: C( 2  65;3)

****************************************************************************************** Dạng 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH

Phương pháp:

1 Khoảng cách giữa hai điểm

; ; ;

A x y B x y  AB x x  y y

2 Khoảng cách từ điểm M(x 0 ; y 0 ) đến đường thẳng

- Chuyển phương trình đường thẳng về dạng tổng quát : ax + by + c = 0

 



0 0

2 2

( , ) ax by c

d M

Lưu ý dạng toán: Cho A x A;y A ;B x B;y B và d: ax + by + c = 0 Tìm điểm M thuộc d sao cho:

2.1: Độ lớn: h.MA 2 + k.MB 2 nhỏ nhất (lớn nhất), trong đó h, k là các số cho trước

PP:

- Tham số hóa điểm M thuộc d bằng cách viết phương trình tham số của d;

- Tính h.MA2 + k.MB2, ta được một biểu thức hai theo t giả sử như h.MA2

+ k.MB2= at2 + bt + c, nó đạt GTNN khi t = -b/2a (nếu a > 0) và GTLN khi t = -b/2a (nếu a < 0) Suy ra t, do đó ta có M

2.2: Độ lớn MA + MB nhỏ nhất

PP: Xét phía của A và B đối với d, ta có hai trường hợp:

TH1: Nếu A và B khác phía so với d thì M là điểm sao cho A, B, M thẳng hàng là điểm cần tìm

TH2: Nếu A và B cùng phía với d thì ta sẽ làm các bước sau:

+ Tìm A’ đối xứng với A qua d

+ Điêm M cần tìm thỏa A’, M, B thẳng hàng

2.3: Độ lớn: | MA – MB | lớn nhất

PP: Xét phía của A và B đối với d, ta có hai trường hợp:

TH1: Nếu A và B cùng phía so với d thì M là điểm sao cho A, B, M thẳng hàng là điểm cần tìm

TH2: Nếu A và B khác phía với d thì ta sẽ làm các bước sau:

+ Tìm A’ đối xứng với A qua d

+ Điêm M cần tìm thỏa A’, M, B thẳng hàng

Ví dụ: Cho d: 1 2

1

 



  

 và M(1; -3) Tính d(M,d)=?

Giải: Phương trình tổng quát của d là: x + 2y – 3 = 0 Suy ra:

2 2

1.1 2.( 3) 3 8 8 5 ( , )

5 5

1 2



d M d

Bài 22: Tìm trên Ox điểm M cách đường thẳng d: 2x + y – 7 = 0 một khoảng là 2 5

Hướng dẫn: Gọi M(x; 0) thuộc Ox Khi đó ( ; ) 2 5 | 2 7 | 10 17 / 2

3/ 2

x

x

 



Bài 23: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm cạnh BC là M(3,2), trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt là G(2 2,

3 3) và I(1,-2) Xác định tọa độ đỉnh C

Giải: (2;4), 7 4;

3 3

Gọi A(x A ; y A ) Có AG2GM A(-4; -2) (Sử dụng tỉ lệ vecto)

Đường thẳng BC đi qua M nhận vec tơ IM làm vec tơ pháp tuyến nên có PT:

2(x - 3) + 4(y - 2) = 0  x + 2y - 7 = 0 Gọi C(x; y) Có C  BC  x + 2y - 7 = 0

(x1)  (y 2)  25(x1)  (y 2) 25 Tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình: 2 2 7 0 2

( 1) ( 2) 25







Giải hệ phương trình ta tìm được 5

1

x y





 

 và

1 3

x y





 

Vậy có 2 điểm C thỏa mãn là C(5; 1) và C(1; 3)

Bài 24: Cho điểm A(0; 6), B(2; 5) và d: x – 2y +2 = 0 Tìm điểm M thuộc d sao cho:

a) MA2 + 5MB2 nhỏ nhất

b) MA + MB nhỏ nhất

c) | MA – MB | lớn nhất

Bài 25: Trên mặt phẳng Oxy, tìm điểm M thoả mãn:

a) M thuộc d: 3x – y + 1 = 0 và cách đều hai điểm A(1; -2) và B(3; 1);

b) M thuộc đường thẳng : 3 2

2

d

 



  

 sao cho M cách N(1 ; -5) một khoảng ngắn nhất;

c) M đối xứng với N(2; -3) qua đường thẳng :3x4y 5 0;

d) M thuộc : 1

2

 



   

 sao cho M tạo với hai điểm N(-1; 2) và P(3; 1) một tam giác cân tại P

Bài 26: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(1; 2) và B(5; -1) Viết phương trình đường thẳng qua M(3; 5) và cách đều hai điểm A và B

Bài 27: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(1; 4) và N(6; 2) Viết phương trình đường thẳng qua M sao cho:

a) Khoảng cách từ N đến đường thẳng đó bằng 5

b) Khoảng cách từ N đến đường thẳng đó lớn nhất

Bài 28: Trong mp Oxy, cho các đường thẳng d1: x – 2y – 3 = 0 và d2: x + y + 1 = 0 Tìm toạ độ điểm M thuộc

đường thẳng d1 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d2 là 1

2 (CĐ– 2009)

Bài 29: Trong mp Oxy cho hai điểm A(1; 1), B(4; -3) Tìm điểm C thuộc đường thẳng d: x – 2y – 1=0 sao cho

khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6 (ĐH KB – 2004) ĐS: C(7; 3) hoặc C(-43/11; -27/11)

Bài 30: Cho ba đường thẳng: d1: x + y + 3 = 0; d2: x – y – 4 = 0; d3: x – 2y = 0 Tìm toạ độ điểm M nằm trên d3

sao cho khoảng cách từ M đến dường thẳng d1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến d2 (ĐH KA – 2006)

Bài 31: Cho A(-1 ; 4), B và C thuộc đường thẳng d : x – y – 4 = 0, tam giác ABC cân tại A Xác định B và C sao

cho diện tích tam giác ABC bằng 18 (ĐH KB – 2009) ĐS: B(11/2; 3/2), C(3/2; -5/2)

Bài 32: Trong mp Oxy cho điểm A(0; 2) và đường thẳng d qua O Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d

Viết phương trình đường thẳng d, biết rằng khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH (ĐH KD – 2010)

Bài 33: Trong mp Oxy, cho hai đường thẳng : x – y – 4 = 0 và d: 2x – y – 2 = 0 Tìm tọa độ của N thuộc d sao

cho ON cắt  tại M thỏa OM.ON = 8 (ĐH KB-2011) ĐS: N(0; -2) hoặc 6 2;

5 5

Bài 34: Cho tam giác ABC có trung điểm của AB là 9 3;

2 2

M 

 , chân đường cao từ B là H(-2; 4), tâm đường

tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I(-1; 1) Tìm tọa độ điểm C (ĐH KD-2013)

*************************************************************************************** Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN KHAI THÁC TÍNH CHẤT CỦA TAM GIÁC VUÔNG

Chú ý: Độ dài đường trung tuyến từ đỉnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền

Bài 35: Cho tam giác ABC vuông tại A, có A(2; -1), trung điểm M(1; 3) của cạnh BC, AB : x y  1 0 Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của tam giác ABC

Hướng dẫn: - Tham số hóa tọa độ điểm B theo t

- Vì tam giác ABC vuông tại A nên ta có AM = MB, suy ra t

- Vì M là trung điểm của BC nên suy ra tọa độ C

Bài 36: Cho tam giác ABC vuông tại A(3; 2), tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 1;3

2

I 

 , điểm C thuộc d: x2y 1 0 Tìm tọa độ B và C

Bài 37: Cho tam giác ABC có M(2; 1) là trung điểm của AC, điểm H(0; -3) là chân đường cao từ A của tam giác, điểm E(23; -2) thuộc đường trung tuyến từ đỉnh C, A thuộc d: 2x3y 5 0 và C có hoành độ dương

Bài 38: Cho hình chữ nhật ABCD có A(-4; 8), điểm C thuộc d: 2x y  5 0 Điểm M đối xứng với B qua C,

gọi N là hình chiếu của B lên DM, N(5; -4) Tìm tọa độ điểm B và C (ĐH KA 2013)

****************************************************************************************** Dạng 5: BÀI TOÁN KẾT HỢP PHƯƠNG TRÌNH CÁC ĐƯỜNG CAO, ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN,

ĐƯỜNG TRUNG TRỰC TRONG TAM GIÁC

Lưu ý:

- Nếu giả thiết cho đường cao thì phải khai thác đường trung tuyến

- Nếu thiết thiết cho đường trung tuyến thì ta sẽ khai thác tính chất trọng tâm, trung điểm thông qua tỉ lệ vecto Giao hai đường trung tuyến trong tam giác là trọng tâm của tam giác

- Nếu giả thiết cho đường trung trực thì ta khai thác tính chất trung điểm (tỉ lệ vecto) và vecto pháp tuyến của đường trung tuyến đó

Bài 39: Cho tam giác ABC có M(2; 0) là trung điểm của AB Đường trung tuyến và đường cao từ A lần lượt có

phương trình: 7x – 2y – 3 = 0 và 6x – y – 4 = 0 Viết phương trình đường thẳng AC (ĐH KD- 2009)

Giải: + Tọa đọ A thỏa mãn : 7 2 3 0  1; 2

A

x y

   

 + Vì M là trung điểm AB suy ra B=(3;-2)

+ Đường thẳng BC qua B(3;-2) vuông góc với đường cao AH : x 3 6 y2  0 x 6y 9 0

+ (BC) cắt đường trung tuyến (AN) tại N thỏa mãn hệ :

0;

N

 Vì C đối xứng với B qua N suy ra C=(-3;-1)

Vậy (AC) qua A(1;2) có       1 2

Bài 40: Viết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC , biết A 2; 2 và hai đường cao thuộc các đường thẳng d1:x  y 2 0 và d2: 9x3y 4 0

Bài 41: Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A 3;1 và hai đường trung tuyến có phương trình

1: 2 1 0

d x  y và d2:x 1 0

Bài 42: Cho tam giác ABC có phương trình hai đường trung tuyến AM và BN lần lượt là: 2x – y + 1 = 0 và

2

1 2

 



  

 , đường thẳng AB có phương trình 5x – 3y + 2 = 0 Viết phương trình đường thẳng AC và BC

Bài 43: Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1; -3), phương trình đường trung tr c của cạnh AB là 3x2y 4 0 và

trọng tâm G(4; -2) Tìm tọa độ các đỉnh B và C

Bài 44: Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết rằng C(-4; -5) và hai đường cao của tam giác ABC có phương trình d1: 5x3y 4 0 và d2: 3x8y130

Bài 45: Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;2), đường trung tuyến CM: 5x + 7y – 20 = 0 và

đường cao BK: 5x – 2y – 4 = 0 Viết phương trình các cạnh AC và BC

Bài 46: Trong mp Oxy, cho tam giác ABC có C(-1; -2), đường trung tuyến từ A và đường cao kẻ từ B lần lượt

có phương trình 5x + y – 9 = 0 và x + 3y – 5 = 0 Tìm toạ độ các đỉnh A và B (CĐ-2009)

Bài 47: Trong mp Oxy cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6), đường thẳng đi qua trung điểm của cạnh

AB và AC có phương trình x + y – 4 = 0 Tìm toạ độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1; -3) nằm trên đường cao đi

qua đỉnh C của tam giác đó (ĐH KA-2010) ĐS: B(0; -4), C(-4; 0) hoặc B(-6; 2), C(2; -6)

Bài 48: Cho tam giác ABC có đường cao BH: x3 18 0y  , đường trung tr c của BC: 3x19y279 0 , đỉnh C thuộc d: 2x y  5 0 Tìm tọa độ đỉnh A biết góc BAC1350

****************************************************************************************** Dạng 6: BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG TAM GIÁC

Lưu ý:

- Muốn viết phương trình 2 đường phân của góc A trong tam giác ABC thì ta làm các bước sau:

+ Viết phương trình tổng quát của AB và AC

+ Áp dụng phần kiến thức cơ bản (mục 6)

- Muốn viết phương trình đường phân trong của góc A trong tam giác ABC thì ta làm các bước sau: + Viết phương trình tổng quát của AB và AC

+ Áp dụng phần kiến thức cơ bản (mục 6), ta được 2 đường phân giác góc A là d 1 và d 2

+ Xét phía điểm B và C so với d 1 và d 2 và kết luận (Đường cần tìm là B và C phả nằm khác phía)

- Tính chất đường phân giác góc A: Cho d là đường phân giác trong góc A của tam giác ABC, giả sử M

là điểm bất kì thuộc AB, M’ là điểm đối xứng với M qua d Khi đó M’ sẽ thuộc AC

Bài 49: Trong mp Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(-4; 1), trọng tâm G(1; 1) và đường thẳng chứa phân giác

trong của góc A có phương trình x – y – 1 = 0 Tìm tọa độ A và C (ĐH KD–2011)

Giải: Gọi M là trung điểm của AC và E là điểm đối xứng với B qua phân giác (AD) Với G là trọng tâm

2

+ Ta có : M(x;y) GM x1;y1 BG 5;0 suy ra (1) ta có hệ :  

7

;1 2

2

0 2 1

1

M y

y



2 2

  ( I là trung điểm của BE ) Với u 1;1 Nếu E đối xứng với B qua (AD): x-y-1=0 thì :

4 1 1 1 0

0

2; 5

1 0

BEu

E

I d



; 6 // ' 1; 4 :

5 4 2

 



  

         

+ C đối xứng với A qua M cho nên C : 2.72 4 3 3; 1

2.1 3 1

C

C

x

C y





Bài 50: Trong mp Oxy cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C(-4; 1), phân giác trong góc A có phương trình

x + y – 5 =0 Viết phương trình đường thẳng BC biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ

dương (ĐH KB-2010)

Giải: + Gọi C' là điểm đối xớng của C qua phân giác d thì C' phải nằm trên AB và tam giác AC'C vuông cân tại

A Gọi d' là đường thẳng qua C(-4;1) và vuông góc với d : d' 4 5 0

1

x y

  



   

  

C' đói xứng với C qua H suy ra C'=(4;9) Vì A nằm trên d suy ra A(t;5-t ) Do hoành đọ A dương cho nên t>0

Xét tam giác vuông cân AHC : ACHC 2 2 t216 2 32 t2 1632 t2 16 t 4( vì t>0) Với t=4 suy ra A(4;1)

Đường thẳng (BC') qua A(4;1) có '  0;8 //   0;1 ' : 4

1

x





B thuộc (AC') suy ra B(4;1+t) 2 2

0

    Và AC 8202 8