Kỹ thuật xử lý bài toán về tứ giác trong hình phẳng OXY

Kỹ thuật xử lý bài toán về tứ giác trong hình phẳng Oxy Các phương pháp thường được sử dụng + Định lý Talets: áp dụng với tứ giác có cặp cạnh đối song songHình bình hành, hình thoi, hình

Kỹ thuật xử lý bài toán về tứ giác trong hình phẳng Oxy Các phương pháp thường được sử dụng

+ Định lý Talets: áp dụng với tứ giác có cặp cạnh đối song song(Hình bình hành, hình thoi, hình vuông và hình chữ nhật)

+ Đối xứng qua tâm(hệ quả của Định lý Talets)

+ Góc giữa hai đường thẳng(thường cho điểm và 1 phương trình đường thẳng)

+ Độ dài cạnh hình vuông, hình chữ nhật(Nếu không nhận ra ngay các tính chất hình học ta có thể sử dụng cách này)

+ Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Bài 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có B(1;−2) và trọng tâm tam giác ABC nằm trên đường thẳng d:2x−y−2=0 Gọi N là trung điểm cạnh CD Tìm tọa độ các đỉnh A,C,D biết N(5;6)

Hướng dẫn giải:

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

Vì G∈d⇒G(t;2t−2) ta có

→BD=3→BG⇒{xD−1=3(t−1)yD+2=3(2t−2+2)⇔{xD=3t−2yD=6t−2⇒D(3t−2;6t−2)

Vì N(5;6) là trung điểm CD nên C(12−3t;14−6t)⇒→BC=(11−3t;16−6t),→NC=(7−3t;8−6t)

Ta có: BC⊥NC⇒→BC.→NC=0⇔(11−3t)(7−3t)+(16−6t)(8−6t)=0.

⇔45t2−198t+205=0⇔[t=53t=4115

Bài 2 Trong mặt phẳng Oxy cho hình chữ nhật ABCD có các cạnh AB;DA tiếp xúc với đường tròn (C):(x+2) 2 +

(y−3) 2 =4 Đường chéo AC giao với đường tròn (C) tại 2 điểm M(−165;235) và N∈Oy Biết rằng S ΔADNADN =10 và x A <0;x D >0 Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD

Bài 2:

Nhận xét: Bài toán sử dụng tính chất của 2 tiếp tuyến và tính chất đặc biệt của hình vuông ! Để ý kĩ ta thấy 2

cạnh tiếp xúc đường tròn của hình vuông có tính chất vuông góc Từ đây ta dễ dàng xử lí bài toán theo các bước sau :

 Khi xem xét bài toán; ta cần chú ý rằng có thể tìm được tọa độ điểm nào từ dữ kiện không? Ở bài toán

này dễ dàng nhận ra điểm N=0y∩(C) Từ đây biết tọa độ M và N

 Một việc nữa cần làm là viết phương trình cạnh cần thiết Ta có M;N∈AC nên suy ra phương trình AC thường theo mình để nhận ra điều cần thiết này là để ý x A<0 !

 Bám sát đê bài; có phương trình AC ; ta sẽ tham số hóa A Ta thấy không dễ để tìm tọa độ các đỉnh B;D;C Mặt khác AI=R√2 với I và R lần lượt là tâm vào bán kính của (C) Từ đây ta tìm được A.Để

ý x A<0

 Để ý tiếp đề bài còn S ΔADN=10 có liên quan đến D ? Ta suy nghĩ sử dụng việc đưa về những cái đã

biết là I và pt ADxem? Điều đó không khó khi ta đã biết tọa độ A !

⟹ Từ đó ta có lời giải cho bài toán như sau :

Bài giải:

Hình vẽ:

+) Đường tròn (C) có tâm I(−2;3); bán kính R=2

+) Tọa độ N là nghiệm của hệ{(x+2)2+(y−3)2=4x=0⟺N(0;3)

+) Phương trình AC đi qua M;N là : x+2y−6=0

+) Gọi A(6−2a;a)∈AC Do AB và AD là 2 tiếp tuyến của (C) và AB⊥AD suy ra AI=R√2⟹(8−2a)2+

(a−3)2=8⇔[a=5a=135⇒[A(−4;5)A(45;135)

+) Do xA<0 nên ta lấy A(−4;5)

+) Gọi phương trình AB có dạng : m(x+4)+n(y−5)=0

Do d(I;AB)=R⟹4m2+4n2=4m2+4n2−8mn⟺[m=0n=0⇒[AB:y−5=0AB:x+4=0

*) Với AB:y−5=0 Phương trình AD qua A vuông góc AB là : y−5=0

+) Gọi D(d;5)∈AD Ta có S ΔADN =12.AD.d(I;AD)⟺(d+4)2=100⇔[d=6d=−14⟹D(6;5)(Chú ý x D>0)

+) Phương trình DC đi qua D vuông góc AD là : x−6=0

+) Tọa độ C là nghiệm của hệ {x−6=0x+2y−6=0⇒C(6;0)

+) Gọi B(b;5)∈AB Ta có : →AB.→BC=0⇒B(−4;0)

*) Với AB:x+4=0 : Làm tương tự trường hợp trên Trường hợp này loại do không thỏa mãn xD>0

⟹ Chú ý: Khi gọi phương trình tổng quát của AB nên tránh dùng ẩn trùng tên đã dùng ở trên !

Bài toán giải quyết xong !

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho hình chữ nhật ABCD có E∈AB;F(2;1)∈AD sao cho EB=2EA ; FA=3FD và tam giác CEFvuông tại F Biết rằng phương trình CE:x−3y−9=0 và xC>0 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

Phân tích tìm lời giải:

Bài toán đã cho dạng hình chữ nhật có hai điểm trên cạnh tuy nhiên chỉ biết toạ độ một điểm(nên không sử dụng được Talets tìm điểm liên hệ như các đề trước) nhưng lại cho giả thiết phương trình đường thẳng CE Vì vậy nghĩ ngay đến việc sử dụng khoảng cách từ F đến CE muốn vậy ta cần biết tỷ lệ độ dài cạnh hình chữ nhật điều này khai thác từ giả thiết tam giác CEF vuông tại F Vậy trước tiên sử dụng Pitago để tìm tỷ số độ dài hai cạnh hình chữ nhật

Lời giải:

Hình vẽ:

Đặt AB=a,AD=b,(a,b>0)ta có

CE2=CB2+BE2=49a2+b2EF2=AE2+AF2=a2 9+916b2CF2=CD2+DF2=a2+b2 16

Tam giác CEF vuông tại F nên

CE2=EF2+CF2⇔49a2+b2=a2 9+916b2+a2+b2 16

⇔2a2 3=3b2 8⇔a=34b⇒EF=58b2;CF=58b2⇒ΔCEFvuông cân tại F

Gọi H là trung điểm của CE ta có FH⊥CE,FH=d(F;CE)=|2−3.1−9|√1 2 +(−3) 2=√10

Do đó EF=CF=b√104=FH√2=√20⇔b=4√2,a=3√2

Vì C∈CE⇒C(3c+9;c),xC>0⇒c>−3 ta có phương trình:

FC=√20⇔(3c+7)2+(c−1)2=20⇔[c=−1c=−3⇒C(6;−1)

Suy ra phương trình đường thẳng CF:x−24=y−1−2⇔CF:x+2y−4=0

Phương trình đường thẳng EF⊥CF⇒EF:2x−y−3=0

Toạ độ điểm E là nghiệm của hệ phương trình {2x−y−3=0x−3y−9=0⇔{x=0y=−3⇒E(0;−3)

Ta có AE=13AB=√2,AF=34AD=3√2 suy ra toạ độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình

{x2+(y+3)2=2(x−2)2+(y−1)2=18⇔[ {x=−1y=−2{x=75y=−165⇒[A(−1;−2)A(75;−165) Chú ý A và C khác phía với EF nên chỉ nhận điểm A(−1;−2)

Ta có →AB=3→AE⇒{xB+1=3yB+2=−3⇔{xB=2yB=−5⇒B(2;−5)

Tương tự →AD=43→AF⇒D(3;2).

Vậy toạ độ bốn điểm cần tìm là A(−1;−2),B(2;−5),C(6;−1),D(3;2)

Nhận xét Ta có thể tìm E bằng cách lấy đối xứng C qua H.

Bài 4 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD có A(1;1) Gọi M là trung điểm

cạnh BC, K(95;−35) là hình chiếu vuông góc của D lên AM Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông, biết B có hoành độ nhỏ hơn 2

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho hình chữ nhật ABCD có E∈AB;F(2;1)∈AD sao cho EB=2EA ; FA=3FD và tam giác CEFvuông tại F Biết rằng phương trình CE:x−3y−9=0 và xC>0 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

Bài giải:

Gọi C(3x+9;x)∈CE:x−3y+9=0

Do FA=3FD suy ra FD=14AD

EB=2EA suy ra EA=13AB

Ta có tam giác DFC đồng dạng với tam giác AEF (g.g) suy ra

DFAE=DCAF=FCEF

suy ra 14AD13AB=AB34AD⇒ADAB=43

Ta có CFEF=14AD13AB =1⇒CF=EF

d(F,CE)=|2−3.1−9|√(1 2 +(−3) 2 )=√10

Tam giác CFE vuông tại F có (1d(F,CE))2=1EF2+1CF2

Suy ra FC2=20⇔(3x+7)2+(x+2)2=20⇔x=−1 hoặc x=−3

Do x C>0 nên ta chọn x=−1⇒C(6;−1)

suy ra phương trình CF:x+2y−4

Phương trình EF qua E và vuông góc với CF suy ra EF:2x−y−3=0

suy ra E(0;−3)

Gọi vtn=(a;b) là vecto pháp tuyến của đường thẳng AD

suy ra phương trình AD:a(x−2)+b(y−1)=0

Phương trình đường thẳng AB qua E và vuông góc với AD là AB:bx−a(y+3)=0

d(C,AB)=43d(C,AD)⇔ a=3b hoặc 2a=−9b

*) a=3b Chọn a=1,b=3 suy ra AD:x+3y−5=0 và AB:3x−y−3=0⇒A(75;65)

vtAB=3vtAE suy ra B(0;−3)

Tương tự với 2a=−9b suy ra A(1817;−5517) và B(0;−3)

Bài 4 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD có A(1;1) Gọi M là trung điểm

cạnh BC, K(95;−35) là hình chiếu vuông góc của D lên AM Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông, biết B có hoành độ nhỏ hơn 2.

Bài 4

Phân tích:

 Bài toán cho ta 2 điểm Việc nghĩ ngay đến đó là tìm điểm hoặc viết phương trình Tất nhiên ta nhận ra

ngay để tìm điểm là rất khó, mà trong khi ta lại có KD⊥AM Từ đây ta viết được phương trình KD và AM

 Bước tiếp theo là tìm yếu tố đặc biệt ( vuông góc; trung điểm ; ) Để ý khi vẽ hình ta thấy

ngay N=KD∩AB là trung điểm AB Lợi dụng tính chất hình vuông; ta tính diện tích tam giác và suy ra cạnh hình vuông → tọa độ D

 Biết cạnh hình vuông Do ABCD là hình vuông nên ta dễ dàng tìm B (lưu ý hoành độ của B nhỏ hơn 2)

 Cuối cùng là tìm C; để ý M là trung điểm BC? Liệu ta có thể tìm được M?

Dựa vào những ý trên ta đi đến bài giải sau:

Bài giải

- Gọi N=KD∩AB Ta có ΔADN∼ΔBAM⇒ANAD=BMBA⇒AN=BM⇒N là trung điểm của AB

- Gọi cạnh hình vuông là 4x Ta có S AND =12.4x.2x=4x2=12√16x2+4x2.|1−2−3|√12+(−2)2⇔x=1⟹AD=4

- Gọi D(2d+3;d)∈(KD)⟹(2d+2)2+(d−1)2=16⇔5d2+6d−11=0⇔[d=1d=115⇒[D(5;1)D(375;115)

có {→AB.→AD=0AB=4⇔{4(1−x)=0(1−x)2+(1−y)2=16⇔{x=1[y=5y=−3⇒[B(1;5)(Loại)B(1;−3)

KL: Tọa độ A(1;1);B(1;−3);C(5;−3);D(5;1)

Bài 5 Trong mặt phẳng Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A và D có AB=AD<CD, điểm B(1;2), đương thẳng BD có

phương trình y=2 Biết rằng đường thẳng (d):7x−y−25=0 lần lượt cắt các đoạn thẳng AD và CD theo thứ tự tại M và N sao cho BM⊥BC và tia BN là phân giác của góc MBC TÌm tọa độ điểm D( với D có hoành độ đương).

Hình vẽ:

Ta có tam giác BMC vuông cân tại B => BM=BC.=> NB vuông góc MC =>BN là trung trực của MC

=>NM=NC

do đó:

^BMN=^BCN=^AMB => BM là tia phân giác góc AMN

Hạ BE vuông góc MN =>BE=BA (tính chất đường phân giác)

d(B,MN)=d(B,d)=BE=BA=2√2 => BD=4.

Mà BD có pt y=2 và D có hoành độ dương =>D(5, 2)