De cuong on tap hoc ki 2 Toan 9

Giải bài toán bằng cách lập hệ PT - Toán tìm số Ví dụ: Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phơng trình: Tháng trớc mẹ bạn Linh đi chợ mua một quả trứng gà và một quả trứng vịt chỉ hết 50

đề cơng ôn tập học kì 2 – toán 9

A Phần Đại số

I Lý thuyết

1 Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn

- Giải hệ bằng PP thế: nắm vững quy tắc thế

Ví dụ: Giải hệ 









5 3 8

2 4

y x y x

Giải:

1

y 1

1

4











- Giải hệ bằng PP cộng đại số: nắm vững quy tắc cộng đại số









  





  







  





4 1 2 4 5 3 8 4 2 8 5 3 8 2 4

x y y y y x y x y x

- Giải hệ bằng PP đặt ẩn phụ

Ví dụ: Giải hệ























1 1 3 2

2

2 1 1 2

1

y x

y x

HD: Đặt















1 1 2 1

y v x u

2 Giải bài toán bằng cách lập hệ PT

- Toán tìm số

Ví dụ: Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phơng trình:

Tháng trớc mẹ bạn Linh đi chợ mua một quả trứng gà và một quả trứng vịt chỉ hết 5000 đồng Thời

điểm này mỗi quả trứng gà tăng thêm 1000 đồng còn mỗi quả trứng vịt tăng thêm 500 đồng nên mẹ bạn Linh mua 3 quả trứng gà và 4 quả trứng vịt hết 22000 đồng Hỏi số tiền mua mỗi quả trứng gà và mỗi quả trứng vịt trớc khi tăng giá là bao nhiêu?

Giải: Gọi x (đồng) là số tiền mua một quả trứng gà, y (đồng) là số tiền mua một quả trứng vịt trớc khi

tăng giá ĐK: x > 0, y > 0

Trớc khi tăng giá: x + y = 5000

Sau khi tăng giá: 3(x+1000) + 4(y+500) = 22000

Hay 3x + 4y = 17000

Theo bài ra ta có hệ phơng trình 









17000 4

3

5000

y x y x

Giải hệ ta đợc 



 2000 3000

y x

Vậy số tiền mua một quả trứng gà trớc khi tăng giá là 3000 đồng, số tiền mua một quả trứng vịt trớc khi tăng giá là 2000 đồng

Chú ý hai dạng toán cơ bản:

- Toán chuyển động

- Toán năng suất, làm chung-làm riêng

3 Hàm số y = ax 2 (a0)

- Tính chất

- Vẽ đồ thị số y = ax2 (a0)

Ví dụ: Đồ thị hàm số y = -1

2x

2

4 Phơng trình bậc hai một ẩn

- Dạng tổng quát, dạng khuyết của PT, xác định các hệ số a, b, c của PT

- Giải PT dạng ax2+ bx = 0; PT dạng ax2 + b = 0

5 Công thức nghiệm tổng quát và công thức nghiệm thu gọn

Cho PT bậc hai ax2 + bx + c = 0 (1) (a 0)

Công thức nghiệm tổng quát Công thức nghiệm thu gọn

Đặt (Delta)  = b2 – 4ac Đặt b = 2b’

' = b’2 – ac.

+ Nếu  > 0, PT (1) có hai nghiệm p.b :

x1 =

2

b

a

   ; x2 =

2

b a

   + Nếu  = 0, PT (1) có nghiệm kép :

x1 = x2 =

2

b a

 +Nếu  < 0, PT (1) vô nghiệm

*Nếu ' > 0, PT (1) có hai nghiệm p.b: x1 =

b a

   ; x2= b' '

a

*Nếu ' = 0, PT (1) có nghiệm kép :

x1 = x2 = b'

a



*Nếu ' < 0 thì phơng trình vô nghiệm

6 Hệ thức Vi-et ứng dụng

a Nếu PT bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0) có hai nghiệm x1 và x2 thì















a c x x

a b x

x

2 1

2 1

Nhẩm nghiệm PT bậc hai theo hệ thức Vi-et

Ví dụ: Cho PT x2 - 7x + 10 = 0 có hai nghiệm









 10

7 2

1 2 1

x x x x

nên x1 = 5; x2= 2

b Cho PT ax2 + bx + c = 0 (a 0)

+ Nếu a + b + c = 0 thì x1 = 1; x2 = c

a.

+ Nếu a - b + c = 0 thì x1 = -1; x2 = -c

a.

Ví dụ: 1 PT 2x2 - 7x + 5 = 0 có 2 + (-7) + 5 = 0 nên có x1 = 1; x2 =

2

5

2 PT x2 - 3x - 4 = 0 có 1 - (-3) - 4 = 0 nên có x1 = -1; x2 = 4

c Tìm hai số khi biết tổng và tích của nó

Nếu hai số u và v cần tìm có tổng u + v = S và tích u.v = P (với S2 - 4P  0)

thì chúng là nghiệm của PT x2 - Sx + P = 0

Ví dụ: Tìm hai số u và v biết u + v = -8 và tích u.v = 15

Giải: Hai số u và v là nghiệm của PT: x2 - (-8)x + 15 = 0

hay x2 + 8x + 15 = 0 Giải ra ta có x1 = -3, x2 = -5

7 Giải PT quy về PT bậc hai

a PT trùng phơng ax4 + bx2 + c = 0 (a 0)

PP giải: Đặt x2 = t (t  0) đa PT về ẩn t: at2 + bt + c = 0

Ví dụ: Giải pt: x4 - 13x2 + 36 = 0

Đặt x2 = t (t  0) Ta đợc pt: t2 – 13t + 36 = 0

 = (-13)2 – 4.1.36 = 25 nên  = 5

t1 = 13 5

2

 = 9 (TMĐK); t2 = 13 5

2

 = 4 (TMĐK) +) Với t1 = 9  x2= 9  x = 3

+) Với t2 = 4  x2 = 4  x = 2

Vậy pt đã cho có 4 nghiệm: x1 = - 2; x2 = 2; x3 = - 3; x4 = 3

8 Giải bài toán bằng cách lập PT

Nêu các bớc giải bài toán bằng cách lập PT?

Ví dụ: Chuẩn bị cho ôn tập học kì 2, bạn Nga lập kế hoạch làm 70 btập trong một số ngày nhất định

Để hoàn thành sớm hơn dự kiến, mỗi ngày bạn Nga làm thêm 2 btập nữa so với dự định nên trớc khi

đến hạn 2 ngày bạn đã làm đợc 60 btập Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày bạn Nga làm đợc bao nhiêu btập Giải: Gọi số btập bạn Nga làm trong một ngày theo kế hoạch là x (đk x > 0)

Thời gian để bạn Nga làm xong hết số btập theo kế hoạch là

x

70

(ngày) Trên thực tế mỗi ngày bạn Nga làm đợc x + 2 (btập)

Nên thời gian để bạn Nga làm xong 60 bài tập là

2

60



x (ngày)

Thời gian để bạn Nga làm xong 60 b.tập trớc thời gian đến hạn 2 ngày nên ta có PT

70

-

2

60



x = 2  x

2- 3x - 70 = 0

x1 = -7 (loại); x2 = 10 (TMĐK)

Vậy số btập bạn Nga làm trong một ngày theo kế hoạch là 10 bài

II Bài tập

Bài 1 : Giải các hệ PT sau :

a 









4 2

3 2

y

x

y

x

Ta có: 

























4 ) 3 2 ( 2 3 2 4

2

3

2

x x x y y

x

y

x



























2 3 2 4

6

5

3

2

x x y x

x

y











1 2

y

2

3

x

y







 









d

4

9 1

1 4

x y x







  



HD : Đặt











y v

x u

1 1

Bài 2: Một ngời đi xe máy từ Chu Lai đến phố cổ Hội An Nếu đi với vận tốc 45 km /h thì đến nơi

sớm hơn dự định 13phút 20giây Nếu đi với vận tốc 35km/h thì đến nơi chậm hơn so với dự định là 2/7

h Tính quảng đờng Chu Lai - Hội An và vận tốc dự định ?

HD giải: Thông thờng các bài toán giải bằng cách lập hệ PT có hai điều kiện; mỗi đk giúp ta lập đợc

một PT Trong các bài toán về chuyển động cần nhớ công thức liên hệ giữa quảng đờng, vận tốc và thời gian là: s = v.t; chú ý đến đơn vị của mỗi đại lợng (thông thờng s tính bằng km, v là km/h còn t là giờ(h); ta cần phải đổi đơn vị cho phù hợp với bài toán).

Gọi x (km) là quảng đờng Chu Lai - Hội An (đk: x > 0)

y (km/h) là thời gian dự định (đk: y > 0)

Chú ý: Đổi 13phút 20giây =

9

2 3600

20 60 13





h

Các em có thể dựa vào bảng tóm tắt sau để lập hệ phơng trình

Điều kiện Quảng đờng Vận tốc Thời gian Quan hệ

45

x

9

2

y (Do đến sớm hơn)

35

x

7

2

Ta có hệ PT :

















7 2 35

9 2 45

x y

x y

Giải hệ ra ta đợc : y = 2 ; x = 80 (TMĐK)

Vậy quảng đờng Chu Lai - Hội An là 80 km; và thời gian dự định là 2 giờ

Bài 3: Nếu hai đội công nhân cùng làm chung sẽ hoàn hành công việc trong 8h; nếu đội thứ nhất chỉ

làm trong 3 h rồi đội thứ hai cùng làm tiếp trong 4 h nữa thì chỉ xong đợc

5

4

công việc Hỏi nếu mỗi

đội làm riêng thì sau bao lâu hoàn thành công việc ?

HD giải: GV hớng dẫn HS làm nh sau :

Gọi thời gian đội 1 làm một mình xong việc là x(h);

thời gian đội 2 làm một mình xong việc là y (h) (đk: x, y > 8 )

Mỗi giờ đội 1 làm đợc 1/x (công việc)

Mỗi giờ đội 2 làm đợc 1/y (công việc)

Mổi giờ cả hai đội làm đợc 1/8 (công việc) Ta có PT:

8

1 1 1





y x

Mặt khác đội 1 làm trong 3h; đội 2 đến cùng làm trong 4h nữa thì chỉ xong 0,8 (=4/5) công việc nên

ta có PT:

5

4 4 7 5

4 4 4 3

























y x y

x x

Ta có hệ PT:















5 4 4 7

8 1 1 1

y x

y x

Đặt











y b

x a

1

1

Ta có hệ mới :















8 , 0 2 1 3

8 1

a

b a

Giải ra ta có : a= 1/10; b= 1/40 Suy ra : x = 10; y = 40 (thoã mãn bài toán)

Vậy nếu đội 1 làm một mình thì sau 10 h mới xong công việc, đội 2 làm một mình thì sau 40 h mới xong công việc

Bài 4: Cho hai hàm sụ́ y = 2x + 4 và y = 2x2

a) Vẽ đụ̀ thị của hai hàm sụ́ này trong cùng mụ̣t mặt phẳng tọa đụ̣

b) Tìm tọa đụ̣ giao điờ̉m của hai đụ̀ thị

c) Gọi A và B là giao điờ̉m của hai đụ̀ thị Tính SAOB ?

Bài 5: Giải phương trình sau:

a x2 - x - 6 = 0

b 3x2 + 2x - 8 = 0

c x2 x 2 2 0 

d 3x2 - 4x - 4 = 0

e 2x2 - x - 6 = 0

f x2 - 2x - 8 = 0

Bài 6: Giải phương trình sau:

a -3x2 + 14x – 8 = 0 b -7x2 + 4x = 3 c 9x2 + 6x +1 = 0

d 2x2 – 8 = 0 e 3x2 – 7x = 0

Bài 7: Nhõ̉m nghiợ̀m của các phương trình sau:

Bài 7.1

a 2x2 - 5x + 3 = 0

b x2 + 7x + 6 = 0

c 2x2 - 5x + 3 = 0

d x2 + 4x + 3 = 0

e x2 - 3x - 4 = 0

Bài 7.2

a 23x2 – 9x – 32 = 0

b 4x2 – 11x + 7 = 0

c x2 – 3x – 10 = 0

d x2 + 6x + 8 = 0

e x2 – 6x + 8 = 0

Bài 8: Tìm hai số u và v trong các trờng hợp sau:

a u + v = 8; u.v = 15

b u + v = -7; u.v = -18

c u + v = 5; u.v = -24

d u - v = 10; u.v = -21

Bài 9: Giải các phơng trình quy về phơng trình bậc hai sau đây

Bài 9.1: PT trùng phơng

a x4 – 9x2 + 8 = 0 b x4 - 29x2 + 100 = 0 c x4 - 7x2 - 18 = 0

Bài 9.2: PT chứa ẩn ở mẫu

a

   

2

x x



) 4 )(

2 (

8 8 4

2

2













x x

x x

x

Bài 9.3: PT tích

a 3x3 + 6x2 - 4x = 0 b x33x2 2x 6 0

c x3 – 7x2 + 6 = 0 d (4x-5)2 – 6(4x-5) + 8 = 0

Bài 10: Các bài toán có liên quan đến tham số m

Bài 10.1 Cho phơng trình 2 2 ( 1 ) 2 0







a. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt

b.Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x 1 và x 2 thoả mãn x1x2  9

Bài 10.2 Cho phương trình: x2 – 2x – m2 – 4 = 0

a Giải phương trình trờn khi m = 2

b Tìm điều kiợ̀n của m đờ̉ phương trình trờn cú nghiợ̀m kộp, vụ nghiợ̀m

c Tìm m sao cho phương trình cú hai nghiợ̀m x1, x2 thỏa món:

x1 + x2 = 20

x1 - x2 =10

Bài 10.3 Cho phương trình: (m -1)x2 – 2m2x – 3(m+1) = 0

a Tìm m biết phương tình cú nghiợ̀m x = -1

b Khi đú hóy tìm nghiợ̀m cũn lại của phương trình

Bài tập tơng tự

BT1: Cho phương trình: 5x2 + 2x – 2m – 1 = 0

1 Giải phương trình khi m = 1

2 Tìm m đờ̉ phương trình cú nghiợ̀m kộp Tính nghiợ̀m kộp đú?

BT 2: Cho phương trình: x2 + mx + 3 = 0

1 Tìm m đờ̉ phương trình cú nghiợ̀m?

2 Tìm m đờ̉ phương trình cú nghiợ̀m bằng 3 Tính nghiợ̀m cũn lại?

BT 3: Cho phương trình: x2 – 2(k – 1)x + k – 3 = 0

1 Giải phương trình khi k = 2

2 Chứng minh rằng phương trình luụn cú nghiợ̀m với mọi k

BT 4: Cho phương trình: x2 – 2x + m = 0

Tìm m biết rằng phương trình cú nghiợ̀m bằng 3 Tính nghiợ̀m cũn lại

BT 5: Cho phương trình: x2 + (m – 1)x – 2m – 3 = 0

1.Giải phương trình khi m = - 3

2.Chứng tỏ phương trình luụn cú nghiợ̀m với mọi m

BT 6: Cho phơng trình : x2 + 4mx + 4m - 1 = 0

1 Giải phơng trình với m = -2

2 Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt

3 Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x 1 và x 2 thoả mãn x12x22 4

BT 7: Cho phơng trình : 2x2 - 6x + (m +7) = 0

1 Giải phơng trình với m = -3

2 Với giá trị nào của m thì phơng trình có một nghiệm x = - 4

3 Với giá trị nào của m thì phơng trình đã cho vô nghiệm

BT 8: Cho phơng trình : x2 - 2(m - 1 ) x + m + 1 = 0

1 Giải phơng trình với m = - 4

2 Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt

BT 9: Biết rằng phơng trình : x2 - 2(m + 1 )x + m2 + 5m - 2 = 0 (với m là tham số ) có một nghiệm x

= 1 Tìm nghiệm còn lại

BT 10: Biết rằng phơng trình : x2 - 2(3m + 1 )x + 2m2 - 2m - 5 = 0 (với m là tham số) có một nghiệm

x = -1 Tìm nghiệm còn lại

BT 11: Cho phơng trình: x2 - mx + 2m - 3 = 0

a) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu

BT 12: Cho phơng trình: x2 - 2(m- 1)x + m2 - 3m = 0

Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = - 2 Tìm nghiệm còn lại

BT 13: Cho phơng trình bậc hai (m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0

a) Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = - 2

b) Khi phơng trình có một nghiệm x = -1 tìm giá trị của m và tìm nghiệm còn lại

Bài 11 Giải các Bài toán sau bằng cách lập PT

Các bớc giải bài toán bằng cách lập phơng trình

B1: Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn

B2: Lập phơng trình

B3: Giải phơng trình

B4: Kết luận: đối chiếu nghiệm vừa tìm đợc với đk ban đầu rồi rút ra kết luận

Bài 11.0 Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng 5m, diện tích hình chữ nhật

300m2 Tính chiều dài và chiều rộng

ĐS: 15m và 20m

Bài 11.1 Lớp 9A được phõn cụng trụ̀ng 120 cõy xanh Lớp dự định chia đều cho sụ́ học sinh, nhưng khi lao đụ̣ng cú 6 bạn vắng nờn mỗi bạn cú mặt phải trụ̀ng thờm mụ̣t cõy mới xong Tính sụ́ học sinh lớp 9A?

6

120 120







x x

Giải PT ta đợc x = -24 (loại) và x = 30 (TMĐK)

Bài 11.2 Tích của hai sụ́ tự nhiờn liờn tiếp lớn hơn tổng của chỳng là 89 Tìm 2 sụ́ đú.

Hớng dẫn: PT x(x+1) – (x+x+1) = 89

ĐS: 10 và 11

Bài 11.3 Mụ̣t tam giác vuụng cú chu vi 30cm, cạnh huyền 13cm Tính mỗi cạnh gúc vuụng

Hớng dẫn: áp dụng đlí Pitago cho tam giác vuông

ĐS: 5cm, 12cm, 13cm

Bài 11.4 Mụ̣t khu vườn hình chữ nhật cú diợ̀n tích 54m2, nếu tăng chiều dài 2m và giảm chiều rụ̣ng đi 2m thì diợ̀n tích giảm 10m2 Tính chiều dài và chiều rụ̣ng của khu vườn

Hớng dẫn: Bài này quá dễ, tự làm đi nhé.

Bài 11.5 Hai đụ̣i cụng nhõn cùng làm mụ̣t quóng đường thì 12 ngày xong viợ̀c Nếu đụ̣i thứ nhất làm

mụ̣t mình hết nửa cụng viợ̀c, rụ̀i đụ̣i thứ hai làm nụ́t phần viợ̀c cũn lại thì hết tất cả 25 ngày Hỏi mỗi

đụ̣i làm mụ̣t mình thì bao lõu xong cụng viợ̀c

Hớng dẫn : Bài này có thể giải bằng cách lập hệ PT hoặc lập PT bậc hai đều đợc

OI CD  IC = ID

CD không đi qua tâm

(CD không là đờng kính)

IC = ID  OI CD

Gọi thời gian để đội I làm một mình xong việc là x (ngày), 12 < x < 50.

Đội I làm một mình hết nữa công việc trong x/2 ngày, đội II làm một mình hết nữa công việc trong 25 - x/2 ngày => cả công việc là 2(50-x/2)

Mỗi ngày đội I làm đợc

x

1

công việc còn đội II làm đợc

) 2 25 ( 2

1

x

 công việc Vì hai đội cùng làm trong 12 ngày thì xong việc nên trong một ngày hai đội làm đợc 1/12 công việc

Ta có pt:

x

1

+

) 2 25 ( 2

1

x

12

1

12

1 50

1 1









x

) 50 ( 12 ) 50 ( 12 :

2

















x x

x x x x ra

Suy

Giải ra ta có: x = 20, x = 30 (TMĐK)

Bài 11.6: Khoảng cách giữa hai bến sụng A và B là 30km Mụ̣t ca nụ đi từ bến A đến bến B, nghỉ 40

phỳt ở bến B rụ̀i quay lại bến A Kờ̉ từ lỳc khởi hành đến khi về tới bến A hết tất cả 6 giờ Tìm vận tụ́c của ca nụ lỳc nước yờn lặng, biết vận tụ́c dũng nước là 3km/h

3

2 3

30 3

30









x Giải ra đợc vận tốc v = 12 km/h

B Phần Hình học

I Lý thuyết

1 Đờng kính vuông góc với dây

I

I

C

D

C

D

2 Tiếp tuyến của đờng tròn

x

I

B

C

Ax là tiếp tuyến  Ax  OA tại A Các t/c của hai tiếp tuyến cắt nhau

AB và AC là hai tiếp tuyến của (O) + AB = AC

+ OAB = OAC + AOB = AOC + OA là đờng trung trực của BC

3 Vị trí tơng đối của hai đờng tròn

Cho hai đờng tròn (O; R) và (O’; R’)

a Hai đtròn cắt nhau

+ ĐN: Là gúc cú đỉnh trùng với tõm của đường trũn

+ TC: Sụ́ đo cung nhỏ bằng sụ́ đo gúc ở tõm chắn cung đú

Sụ́ đo cung lớn bằng 3600 trừ đi sụ́ đo cung nhỏ

(cú chung hai điờ̉m mỳt)

A

B



A

O O'

+ OO’ là đờng trung trực

của AB

+ R – R’ < OO’ < R + R’

B

A

B

A

O O'

b Hai đtròn tiếp xúc nhau

+ OO’ đi qua A

+ Tiếp xúc trong

OO’ = R – R’

+ Tiếp xúc ngoài

OO’ = R + R’

c Hai đtròn không giao nhau

4 Góc ở tâm

5 Gúc nội tiếp:

+ ĐN: Là gúc cú đỉnh nằm trờn đ.trũn và hai cạnh chứa hai dõy cung của đ.trũn đú

+ TC: Trong mụ̣t đ.trũn, sụ́ đo của gúc nụ̣i tiếp bằng nửa sụ́ đo của cung bị chắn

+ Hệ quả: Trong mụ̣t đường trũn

- Các gúc nụ̣i tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau

- Các gúc nụ̣i tiếp cùng chắn mụ̣t cung

B

O

B A

hoặc hai cung bằng nhau thì bằng nhau

- Các góc nội tiếp không quá 900 có số đo bằng

nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung

- Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông

6 Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung:

+ TC: Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

bằng nửa số đo của cung bị chắn

+ Hệ quả: Trong một đường tròn,

góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp

cùng chắn một cung thì bằng nhau

7 Góc có đỉnh ở trong và ngoài đường tròn:

+ Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đ.tròn bằng nửa tổng số đo của hai cung bị chắn

+ S o c a góc có ỉnh ở bên ngoài đ.tròn bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị nh bên ngo i tròn b ng n a hi u s o c a hai cung b ở bên ngoài đ.tròn bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị ài đ.tròn bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị ằng nửa hiệu số đo của hai cung bị ửa hiệu số đo của hai cung bị ệu số đo của hai cung bị ị

ch n ắn.

E O D

C

B

A

D C

O E

A

B

8 Tứ giác nội tiếp

+ Định nghĩa: Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đ.tròn thì được gọi là tứ giác nội tiếp đường

tròn (đường tròn đó gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác).

Tứ giác ABCD nội tiếp (O)

 A + C =1800 (B + D =180 0 )

+ Định lý: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai gúc đối diện bằng 1800

+ Định lý đảo: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp được một đường tròn

+ Các cách chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp:

- Cách1: Chứng minh 4 điểm A, B, C, D cách đều một điểm O nào đó

OA = OB = OC = OD

- Cách 2: * Chứng minh tổng hai góc đối diện của tứ giác bằng 1800

AˆCˆ 1800 hoặc Bˆ Dˆ 1800

* Chứng minh góc trong bằng góc ngoài của đỉnh đối diện

- Cách 3: Chứng minh 2 đỉnh liên tiếp của tứ giác cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau

(Trường hợp đặc biệt: hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới một góc vuông thì cạnh đó

chính là đường kính của đường tròn).

9 Độ dài đường tròn, cung tròn Diện tích hình tròn, hình quạt tròn

a) Công thức tính độ dài đường tròn: C = 2R (R: bán kính đường tròn)

Công thức tính diện tích hình tròn: S = R2

b) Công thức tính độ dài cung tròn n 0 :

180

n R

l  (R: bán kính đường tròn)

Công thức tính diện tích quạt tròn n 0:

2

360

R n l R

S q  

c) Công thức tính diện tích hình viên phân: S VP = S quat - S

10 Hình không gian

a) Hình trụ:

+ Diện tích: Sxq= 2rh Stp = Sxq + 2 Sd = 2rh + 2r2

+ Thể tích hình trụ : V = Sđ.h = r2h

(Trong đó: r là bán kính đáy; h là chiều cao hình trụ; S đ là diện tích đáy)

b) Hình nón:

+ Diện tích: Sxq = rl Stp = Sxq + Sd = rl + r2

+ Thể tích hình nón : V =

3

1

Sđ.h =

3

1

r2h

(Trong đó: r là bán kính đáy; h là chiều cao hình nón; l là độ dài đường sinh)

c) Hình cầu:

+ Diện tích mặt cầu: S = d2 = 4R2

+ Thể tích hình cầu : V= 3

3

4

R



(Trong đó: R là bán kính; d là đường kính hình cầu)

11 Một số công thức liên quan đến tam giác và đường tròn.

a) Bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác đều cạnh a

+ Đường cao của tam giác đều h

3

3

a



+ Bán kính đường tròn ngoại tiếp: R =

3

a

+ Bán kính đường tròn nội tiếp: r =

3 2

a

b) Độ dài cạnh của các đa giác đều nội tiếp đường tròn (có bán kính R):

+ Cạnh tam giác đều: a = R 3

+ Cạnh hình vuông: a = R 2

+ Cạnh lục giác đều: a = R

c) Công thức tính diện tích tam giác:

+ Diện tích tam giác thường : S =(a.h):2( a là độ dài cạnh, h là chiều cao tương ứng).

+ Diện tích tam giác vuông: S = a.b (a, b là độ dài 2 cạnh góc vuông)

+ Diện tích tam giác đều : S =

4

3

2

a

(a là độ dài cạnh tam giác đều)

II Bài tập

Phần bài tập Trắc nghiệm - củng cố kiến thức

CHƯƠNG II ĐƯỜNG TRÒN

1.Cho tam giác MNP và hai đường cao MH, NK Gọi (O) là đường tròn nhận MN làm đường kính Khẳng định nào sau đây không đúng ?

A.Ba điểm M, N, H cùng nằm trên đường tròn (O)

B.Ba điểm M, N, K cùng nằm trên đường tròn (O)

C.Bốn điểm M, N, H, K không cìng nằm trên đường tròn (O)

D.Bốn điểm M, N, H, K cùng nằm trên đường tròn (O)

2 Đường tròn là hình: ng tròn l hình: ài đ.tròn bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị

A.không có trục đối xứng B.có một trục đối xứng

C.có hai trục đối xứng D.có vô số trục đối xứng.

3.Khi nào không xác định duy nhất một đường tròn ?

A.Biết ba điểm không thẳng hàng B.Biết một đoạn thẳng là đường kính

C.Biết ba điểm thẳng hàng D.Biết tâm và bán kính

4.Cho đường thẳng a và điểm O cách a một khoảng 2,5 cm Vẽ đường tròn tâm O, đường kính 5 cm Khi đó đường thẳng a

A.không cắt đường tròn (O) B.tiếp xúc với đường tròn (O)

5.Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông nằm ở

A.đỉnh góc vuông B.trong tam giác C.trung điểm cạnh huyền D.ngoài tam giác

6.Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 18; AC = 24 Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó bằng

7.Cho (O; 1 cm) và dây AB = 1 cm Khoảng cách từ tâm O đến AB bằng

A 1

2 cm.

B 3 cm

C 3

2 cm. D

1

3 cm.

8.Cho đường tròn (O; 5) Dây cung MN cách tâm O một khoảng bằng 3 Khi đó:

9.Nếu hai đường tròn (O); (O’) có bán kính lần lượt là 5 cm và 3 cm và khoảng cách hai tâm là 7 cm thì hai đường tròn

C.không có điểm chung D.cắt nhau tại hai điểm

10.Trong các câu sau, câu n o sai ? ài đ.tròn bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị

A.Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của nó

B.Đường thẳng a là tiếp tuyến của (O) khi và chỉ khi đường thẳng a đi qua O

C.Đường kính vuông góc với dây cung thì chia dây cung ấy thành hai phần bằng nhau

D.Bất kỳ đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn

11.Cho ∆ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) Phát biểu nào sau đây đúng ?

Tiếp tuyến với đường tròn tại A là đường thẳng

A.đi qua A và vuông góc với AB B.đi qua A và vuông góc với AC

C.đi qua A và song song với BC D.cả A, B, C đều sai

12.Cho (O; 6 cm), M là một điểm cách điểm O một khoảng 10 cm Qua M kẻ tiếp tuyến với (O) Khi đó khoảng cách từ M đến tiếp điểm l : ài đ.tròn bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị

13.Cho hình vuông MNPQ có cạnh bằng 4 cm Khi đó bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó bằng

14.Đường tròn l hình có ài đ.tròn bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị

A.vô số tâm đối xứng B.có hai tâm đối xứng

15.Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) Trung tuyến AM cắt đường tròn tại D Trong các khẳng định sau khẳng định n o sai ? ài đ.tròn bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị

16.Cho (O; 25cm) Hai dây MN và PQ song song với nhau và có độ dài theo thứ tự bằng 40 cm, 48

cm Khi đó:

16.1.Khoảng cách từ tâm O đến dây MN là:

16.2.Khoảng cách từ tâm O đến dây PQ bằng:

16.3.Khoảng cách giữa hai dây MN và PQ là:

A 22 cm B 8 cm C 22 cm hoặc 8 cm D kết quả khác

17.Cho (O; 6 cm) và dây MN Khi đó khoảng cách từ tâm O đến dây MN có thể l : ài đ.tròn bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị