f Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất x ; y thì điểm Mx ; y luôn nằm trên một đờng thẳng cố định khi m nhận các giá trị khác nhau.. Sử dụng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm t
Trang 1ĐỀ CƯƠNG ễN TẬP HKII – TOÁN 9
ĐẠI SỐ Chủ đề: Hệ phơng trình.
A - Hệ hai ph ơng trình bậc nhất hai ẩn:
áp dụng phơng pháp cộng đại số hoặc phơng pháp thế sao cho phù hợp
Dạng 1: Giải hệ ph ơng trình cơ bản và đ a đ ợc về dạng cơ bản
Bài 1: Giải các hệ phơng trình
=
−
=
−
=
−
= +
= +
= +
−
= +
= +
=
−
=
−
= +
=
−
18 15y
10x
9 6y 4x
6)
; 14 2y
3x
3 5y 2x
5)
; 14 2y
5x
0 2 4y 3x
4)
10 6y
4x
5 3y 2x
3)
; 5 3y 6x
3 2y 4x
2)
; 5 y 2x
4 2y 3x
1)
Bài 2: Giải các hệ phơng trình sau:
= +
+
−
= +
+
−
= +
+
− +
= +
− +
=
− +
+
−
= +
=
− +
=
− +
5 6y
5x
10 3y -6x
8 3y
x
2 -5y 7x 4)
; 7
5x 6y y
3
1
x
2x 4
27 y 5 3
5x
-2y
3)
; 12 1
x 3y 3
3y 1 x
54 3
y 4x 4
2y 3 -2x 2)
; 4xy 5
y 5
4x
6xy 3
2y 2
3x
1)
Dạng 2: Giải hệ bằng ph ơng pháp đặt ẩn phụ
Giải các hệ phơng trình sau
+
Dạng 3: Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thoả
mãn điều kiện cho trớc
Bài 1: a) Định m và n để hệ phơng trình sau có nghiệm là (2 ; - 1).
−
= + +
−
= +
−
3 2m 3ny x 2 m
n m y 1 n 2mx
là x = 1 và x = -2
Bài 2: Định m để 3 đờng thẳng sau đồng quy:
Bài 3: Cho hệ phơng trình
)
số tham
là (m 4
my x
m 10 4y mx
= +
−
= +
b) Giải và biện luận hệ theo m
Trang 2c) Xác định các giá tri nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho x > 0, y > 0
d) Với giá trị nguyên nào của m thì hệ có nghiệm (x ; y) với x, y là các số nguyên dơng
giá trị nhỏ nhất (câu hỏi tơng tự với S = xy)
f) Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thì điểm
M(x ; y) luôn nằm trên một đờng thẳng cố định khi m nhận các giá trị khác nhau
Chủ đề: Phơng trình bậc hai và định lí Viét.
Dạng 1: Giải ph ơng trình bậc hai.
Sử dụng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn sao cho phù hợp
Bài 1: Giải các phơng trình
;
+ 1) ;
Bài 2: Giải các phơng trình sau bằng cách nhẩm nghiệm:
Sử dụng điều kiện a+b+c=0 hoặc a-b+c=0 Hoặc dùng tổng hai nghiệm, tích hai nghiệm
Dạng 2: Chứng minh ph ơng trình có nghiệm, vô nghiệm.
Sử dụng điều kiện có nghiệm, vô nghiệm của phơng trình bậc hai
Bài 1: Chứng minh rằng các phơng trình sau luôn có nghiệm.
1)x + m = 0 ;
+ 2)x – 4m – 12 = 0 ;
– (m – 1)(m – 3) = 0 ;
1)x – 3 + m = 0
Trang 39) ax2 + (ab + 1)x + b = 0.
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập ph ơng trình bậc hai nhờ nghiệm của ph ơng trình bậc hai cho tr ớc.
áp dụng định lý Vi-et thuận về tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm
Sử dụng định lý Vi-et đảo về hai số có tổng là S và có tích là P
Bài 1: Gọi x1 ; x2 là các nghiệm của phơng trình: x2 – 3x – 7 = 0 Tính:
4 2
4 1
3 2
3
1
1 2 2 1 2
1
2 1
2 2
2
1
x x F
x x E x 3x x 3x D
1 x 1 1 x 1 C x x B
x
x
A
+
= +
=
+ +
=
−
+
−
=
−
= +
=
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có
nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm Sử dụng điều kiện của
đen ta khi phơng trình có 2 nghiệm, nghiệm kép và vô
nghiệm
Bài 1: a) Cho phơng trình (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = 0 (ẩn x)
Xác định m để phơng trình có nghiệm kép Tính
nghiệm kép này.
Tìm m để phơng trình có nghiệm.
- Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm.
- Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó.
Tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 2: a Cho phơng trình: ( ) m m 6 0
1 x
x 1 2m 2 1 2x x
2 2
4
2
=
−
− + +
−
− +
Xác định m để phơng trình có ít nhất một nghiệm.
Xác định m để phơng trình có ít nhất một nghiệm
Dạng 5: Xác định tham số để các nghiệm của ph ơng trình bậc hai thoả mãn điều kiện cho tr ớc.
Sử dụng định lý Vi-et thuận kết hợp với điều kiệm bài cho
Bài 1: Cho phơng trình: x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0
1) Xác định m để phơng trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó
Trang 42) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 4 Tính nghiệm còn lại
3) Với điều kiện nào của m thì phơng trình có hai nghiệm cùng dấu (trái dấu)
4) Với điều kiện nào của m thì phơng trình có hai nghiệm cùng dơng (cùng âm)
5) Định m để phơng trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia
= - 2
+ 2x22 – x1x2 nhận giá trị nhỏ nhất
Bài 2: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ
ra:
+ 1) = 18
5x1x2
5x12x22
+ 7 = 0
Bài 3: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ
ra:
Bài 4:
điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
) x x 2(1 x
x
3 x 2x R
2 1
2 2
2 1
2 1 + + +
+
c) Định m để hiệu hai nghiệm của phơng trình sau đây bằng 2
Bài 5: Cho phơng trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phơng trình có hai
Trang 5=
x
F
E
O
B A
ã ã
ã ã
CDB CAB
CAB CFA
=
=
Bài 6: Cho phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp k lần nghiệm kia (k > 0) là
kb2 = (k + 1)2.ac
HèNH HỌC
Bài 1: Cho đường trũn tõm O đường kớnh AB cú bỏn kớnh R, tiếp tuyến Ax Trờn tiếp
tuyến Ax lấy điểm F sao cho BF cắt đường trũn tại C, tia phõn giỏc của gúc ABF cắt Ax tại E và cắt đường trũn tại D
1 Chứng minh OD // BC
2 Chứng minh hệ thức: BD.BE = BC.BF
3 Chứng minh tứ giỏc CDEF nội tiếp
4 Xỏc định số đo của gúc ABC để tứ giỏc AOCD là hỡnh thoi Tớnh diện tớch hỡnh thoi AOCD theo R
BÀI GIẢI CHI TIẾT
1 Chứng minh OD // BC
∆BODcõn ở O (vỡ OD = OB = R) ⇒OBD ODBã = ã
Mà OBD CBDã = ã (gt) nờn ODB CBDã = ã Do đú: OD // BC
2 Chứng minh hệ thức: BD.BE = BC.BF
ã 0
90
ã 0
90
∆EAB vuụng ở A (do Ax là tiếp tuyến ), cú AD ⊥ BE nờn:
AB2 = BD.BE (1)
∆FAB vuụng ở A (do Ax là tiếp tuyến ), cú AC ⊥ BF nờn:
AB2 = BC.BF (2) hỡnh 7
Từ (1) và (2) suy ra: BD.BE = BC.BF
3 Chứng minh tứ giỏc CDEF nội tiếp:
Ta cú:
(hai gúc nội tiếp cựng chắn cung BC)
Do đú tứ giỏc CDEF nội tiếp
Cỏch khỏc:
∆ ∆DBCvà ∆FBE cú : àBchung
và BD BC
Suy ra: CDBã = ãEFB Vậy tứ giỏc CDEF là tứ giỏc nội tiếp
Ta cú: ãABD CBD= ã (do BD là phõn giỏc ãABC) ⇒ ằAD CD= ằ
Trang 6F
C
B O
A
x
H
Q I N M
O
C
B A
⇔AD = DC = R ⇔ »AD DC= » = 60 0 ⇔»AC= 120 0
⇔ ·ABC = 60 0
60
Tính diện tích hình thoi AOCD theo R:
» 0
AC= ⇒ AC R=
Sthoi AOCD = 1 . 1 3 2 3
R
Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Từ điểm M trên tiếp tuyến Ax của
nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến thứ hai MC (C là tiếp điểm) Hạ CH vuông góc với
AB , đường thẳng MB cắt nửa đường tròn (O) tại Q và cắt CH tại N Gọi giao Điểm của MO và AC là I Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AMQI nội tiếp
b) ·AQI = ·ACO c) CN = NH
(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2009-2010 của sở GD&ĐT Tỉnh Bắc Ninh)
BÀI GIẢI CHI TIẾT
a) Chứng minh tứ giác AMQI nội tiếp:
Ta có: MA = MC (tính chất hai tếp tuyến cắt nhau)
OA = OC (bán kính đường tròn (O))
Do đó: MO ⊥ AC ⇒MIA· = 90 0
· 90 0
AQB= (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) ⇒MQA· = 90 0
Hai đỉnh I và Q cùng nhìn AM dưới một góc vuông nên tứ giác Hình 5
Trang 7K x
H
Q I N M
O
C
B A
AMQI nội tiếp được trong một đường tròn
b) Chứng minh:·AQI =·ACO
Tứ giác AMQI nội tiếp nên ·AQI = ·AMI (cùng chắn cung AI) (1)
· ·
AOC
∆ có OA = Oc nên cân ở O ⇒CAO ACO· =· (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra: ·AQI = ·ACO
c) Chứng minh CN = NH
Gọi K là giao điểm của BC và tia Ax
Ta có: ·ACB= 90 0(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn(O))
Tam giác ABK có: OA = OB , OM // BK ⇒MA = MK Hình 6
Áp dụng hệ quả định lí Ta let cho ∆ABM có NH // AM (cùng ⊥AB) ta được:
NH BN
Áp dụng hệ quả định lí Ta let cho ∆BKMcó CN // KM (cùng ⊥AB) ta được:
CN BN
KM = BM (5)
Mà KM = AM nên CN = NH (đpcm)
Bài 3: Cho đường tròn tâm O, đường kính AC Vẽ dây BD vuông góc với AC tại K ( K nằm giữa A và O) Lấy điểm E trên cung nhỏ CD (E không trùng C và D), AE cắt
BD tại H
a) Chứng minh tam giác CBD cân và tứ giác CEHK nội tiếp
c) Cho BD = 24cm; BC = 20cm Tính chu vi hình tròn (O)
Bài 4: làm bt 15, 16 17- tr.136 ôn tập cuối năm - sgk