Gọi đồ thị của hàm số đã cho là C.. Viết phương trình tiếp tuyến của C tại tiếp điểm M, biết khoảng cách từ M đến trục tung bằng 2.. Tìm toạ độ đỉnh D với hoành độ của D là số dương.. 3
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NAM ĐỊNH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012-2013
Môn: Toán - lỚP 12 THPT
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1 (4 điểm) Cho hàm số 3 2
y x mx x (1) và đường thẳng ( ) : y2mx 2
(với m là tham số).
1) Khi m0 Gọi đồ thị của hàm số đã cho là (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại tiếp điểm M, biết khoảng cách từ M đến trục tung bằng 2
2) Tìm m để đường thẳng ( ) và đồ thị hàm số (1) cắt nhau tại ba điểm phân biệt A,
B, C sao cho diện tích tam giác OBC bằng 3 (với A là điểm có hoành độ không đổi và
O là gốc toạ độ)
Câu 2 (5 điểm)
1) Giải phương trình 2sin 3 2 2sin 2 3
4cos 4 cos
x x
2) Giải hệ phương trình
2
y x x x x x (với ; x y )
Câu 3 (3 điểm)
1) Trong mặt phẳng với toạ độ Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A và D có
AB AD CD, điểm B(1;2) , đường thẳng BD có phương trìnhy 2 Biết rằng
đường thẳng ( ) : 7d x y 25 0 lần lượt cắt các đoạn thẳng AD và CD theo thứ tự tại M và N sao cho BM BC và tia BN là tia phân giác của góc MBC Tìm toạ độ đỉnh D (với hoành độ của D là số dương)
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A 1;2;1 , B 1; 2;4 và mặt phẳng ( ) : 2P y z 0 Tìm toạ độ điểm C ( ) P sao cho tam giác ABC cân tại B và
có diện tích bằng 25
2 .
Câu 4 (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông với AB 2a Tam giác SAB vuông tại S, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Biết góc tạo bởi đường thẳng SD và mặt phẳng (SBC) bằng với sin 1
3
Tính thể tích khối
chóp S.ABCD và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) theo a
Câu 5 (3 điểm)
1) Tính tích phân 2 2 3 3
4 1
ln 1
2) Từ các chữ số 0;1;2;3;4;5;6 thành lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có 5 chữ
số khác nhau, trong đó luôn có mặt chữ số 6
Câu 6 (2 điểm) Cho các số thực x y z, , thay đổi thoả mãn điều kiện x2 y2 z2 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2
8 2
2
Họ và tên thí sinh :……… Chữ ký của Giám thị 1 : ………
Số báo danh : ……… Chữ ký của Giám thị 2 : ………
ĐỀ CHÍNH THỨC