Hỏi cần mấy loại ống?. Câu 4 7 điểm: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB.. Vẽ nửa đường tròn tâm O’, đường kính OA trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB với nửa đường trong tâm O.. Vẽ cá
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN TIÊN YÊN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012-203
ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC LỚP 9 (Thời gian làm bài: 150 phút) (Ngày thi: 15/01/2013)
Câu 1(5 điểm): Cho: 2 2 2
3 3 3
x + y + z=1
x + y + z =1
x + y + z =1
Chứng minh rằng: x +y2 + z3 = 1
Câu 2 (4 điểm): Chứng minh các số sau đều là số nguyên:
a, (5 2 6)(49 20 6) 5 2 6
9 3 11 2
;
b, B ( 3 1) 6 2 2 3 2 12 18 128
Câu 3 (4 điểm) :
Cần lắp một đường ống nước dài 21m bằng hai loại ống: ống dài 2m và ống dài 3m Hỏi cần mấy loại ống?
Câu 4 (7 điểm):
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ nửa đường tròn tâm O’, đường kính OA trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB với nửa đường trong tâm O Vẽ cát tuyến AC của nửa đường tròn tâm O, nó cắt nửa đường tròn tâm O’ tại D
a, Chứng minh: DA = DC
b, Vẽ tiếp tuyến Dx với nửa đường trong tâm O’ và tiếp tuyến Cy với nửa đường trong tâm O Chứng minh: Dx // Cy
c, Từ C, hạ CH vuông góc với AB tại H Giả sử: OH = 1
3OB Chứng minh: BD là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O’
====Hết====
Trang 2PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN TIÊN YÊN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012-203
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN HỌC LỚP 9 (Thời gian làm bài: 150 phút) (Ngày thi: 15/01/2013)
1 Ta có: x + y + z = 1
=> (x+y+z)3 = 1
mà: (x+y+z)3 = x3+y3+z3 +3(x+y)(y+z)(x+z)
=> x3+y3+z3 +3(x+y)(y+z)(x+z) = 1
mà: x3+y3+z3 = 1
=> 3(x+y)(y+z)(x+z) = 0
Xẩy ra 3 trường hợp:
x+y = 0 hay x = -y , mà x2+y2+z2 => x = y = 0 và z = 1
hoặc y+z = 0 hay z = -y , mà x2+y2+z2 => z = y = 0 và x = 1
hoặc x+z = 0 hay z = -x , mà x2+y2+z2 => z = x = 0 và y = 1
ở cả 3 trường hợp trên khi thay vào biểu thức: x + y2+z3 = 1 (ĐPCM)
5đ
2 a, Trình bày đúng các bước biến đổi được:
(5 2 6)(49 20 6) 5 2 6
1
9 3 11 2
b, Trình bày đúng các bước biến đổi được:
2đ
2đ
3 Gọi số ống 2m là x (x thuộc Z+), số ống 3m là y (y thuộc Z+)
Ta có phương trình: 2x + 3y =21
Giải phương trình tìm nghiệm nguyên dương ta được các kết quả:
(0;7) ; (3;5) ; (6;3) ; (9;1)
4đ
4 a, Xét trong nửa đường tròn tâm O’:
góc ADO = 900 (nội tiếp chắn nửa
đường tròn)
=> OD AD hay OD AC
Xét trong đường tròn (O):
OD là đường kính
2đ
x
y
D
A
C
Trang 3OD AC
=> OD là trung trực của AC
hay: DA = DC
b, Ta có: OA = OC ( bán kính của (O)) => AOC cân tại O
=> ACO CAO
Trong đường tròn (O): 1
2
CAO COB (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung BC)
Trong đường tròn (O’): 1
' 2
CAO DAO DO O (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung DO)
=> DO O COB ' , mà hai góc này ở vị trí đồng vị => O’D // OC
Mà O’D Dx và OC Cy => Dx // Cy
c, Ta có: OB = OC ( bán kính đường tròn (O))
O’D = O’O = 1
2OB => O’D = 1
3O’B
Xét hai tam giác: O’DB và OHC có:
'
DO B COB (đồng vị và O’D // OC)
=> hai tam giác O’DB và OHC đồng dạng với nhau
mà tam giác OHC vuông tại H => tam giác O’DB vuông tại D
hay BD là tiếp tuyến của đường tròn (O’)
2,5đ
2,5đ
Học sinh giải theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa