C1 và C2 theo hai dây cung có độ dài bằng nhau.. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,cạnh SA = a và vuông góc với mặt phẳng ABCD.. a, Chứng minh rằng các mặt bên của
Trang 1Sở GDĐt thanh hoá Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 11 cấp trờng
Trờng THPT trần phú năm học 2012 -2013
Môn : Toán
Thời gian làm bài : 150 phút , không kể thời gian phát đề
-Câu 1 ( 2,0 điểm) Giải phơng trình sau:
x2+ x+2013 2013=
Câu 2 ( 3,0 điểm) Cho phơng trình
(2sinx−1)(2 s 2co x+2sinx m+ ) 1 2= − cos x2 ( Với m là tham số)
a, Giải phơng trình với m = 1
b, Tìm m để phơng trình có đúng 2 nghiệm thuộc [ ]0;π
Câu 3 (5,0 điểm).
a, Giải hệ phơng trình :
2 2
x y x y
x y x y
+ − + =
− − − =
b, Tìm hệ số của 4
x trong khai triển sau: 3 5
3
1 n
nx x
+
n
n
C +C =n − .
Câu 4 (4,0 điểm) Cho A, B, C là ba góc của tam giác ABC.
sin sin
B cosC A
+
=
+
b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M sin22A sin22B sin22C
cos A cos B cos C
=
Câu 5 (3,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho đờng tròn (C1) : x2+y2 =13,đờng tròn (C2) :
2 2
(x−6) +y =25
a, Tìm giao điểm của hai đờng tròn (C1) và (C2)
(C1) và (C2) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau
Câu 6 (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,cạnh SA = a và
vuông góc với mặt phẳng (ABCD)
a, Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông
b, M là điểm di động trên đoạn BC và BM =x ,K là hình chiếu của S trên DM Tính độ dài đoạn
SK theo a và x Tính giá trị nhỏ nhất của đoạn SK
……… Hết………
Họ và tên thí sinh: SBD:
Trang 2Sở GDĐt thanh hoá đáp án thi chọn học sinh giỏi lớp 11 cấp trờng Trờng THPT trần phú năm học 2012 -2013
Môn : Toán
C
Câ
u 1
2
2013 2013
Đặt t= x+2013 ( với t t≥ ⇒ = +0) t2 x 2013⇔ − =t2 x 2013 Ta có hệ PT:
2
2
2013 2013
x t
t x
+ =
− =
⇒ +(x t x t)( − + =1) 0
2
2
x= − +
là nghiệm
2
x= − , 1 8049
2
x= − +
0,25 0,5 0,5
0,25 0,25
0,25
Câ
u 2
(2sinx−1)(2 s 2co x+2sinx m+ ) 1 2= − cos x2
a , Với m =1 ta đợc phơng trình :
(2sinx−1)(2 s 2co x+2sinx+ = −1) 1 2cos x2 ⇔(2sinx−1).cos x2 =0
x= ⇔ = +x π k π∨ =x π +k π
co x= ⇔ = +x π kπ
b, Phơng trình đã cho tơng đơng với : (2sinx−1)(2 s 2co x m+ − =1) 0
x= ⇔ = ∨ =x π x π ∈ π
2
m cos x= −
vô
x=π x= π
.Từ đó ta đợc m <-1v m >3 v m =0
0,5 1,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
Câ
u 3
2 2
x y x y
x y x y
+ − + =
− − − =
3( 3 ) 2( 4 ) 3
x x y y
− + + =
2 2
3 1 0
4 0
x x
y y
− − =
⇔ + =
2
−
3 13
; 4 ; 2
−
3 13
;0 ; 2
+
3 13
; 4 ; 2
+
0,5 0,5 0,5 0,5 0,5
Trang 3u 4
, Tìm hệ số của x4trong khai triển sau: 3 5
3
1 n
nx x
+
thức 2C1n+C2n =n2−20.
Từ hệ thức 2C n1+C n2 =n2−20 Đk n≥2,n Z∈ ⇒n2− −3n 40 0= ⇔ = ∨ = −n 8 n 5
Ta đợc n= 8 thoả mãn
Ta có :
8
0
k k
k k k
−
=
−
=
+ = + =
40 14
3
k
k
−
Vậy hệ số của x4 là 2 6
8.2 1792
C =
0,5 0,5 0,5 0,5 0,5
Câ
u 5
sin sin
B cosC A
+
=
+
2
2
A
A
+
vuông.Vậy tam giác ABC vuông tại A
b,M sin22A sin22B sin22C
cos A cos B cos C
=
sin sin sin
M
cos A cos B cos C
1
1
1
cos C C cos A B
M
+
⇒ ∆ = − − − ữ≥ ⇔ − ữ≤ − ≤
M
+ 2
0
( ) 1
2
cos A B
C cos A B
Vậy MaxM = 3 khi tam giác ABC đều
0,5 0,5 0,5 0,5
0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
0,25
(C1) cú tõm O(0;0),bỏn kớnh R1= 13
(C2) cú tõm I(6;0),bỏn kớnh R2 =5
0,25 0,25
Trang 4Giao điểm của (C1) và (C2) là A (2;3) và B(2;-3).Vỡ A cú tung độ dương nờn A(2;3) 1,0
Vỡ A cú tung độ dương nờn A(2;3)
Đường thẳng d qua A cú pt:a(x-2)+b(y-3)=0 hay ax+by-2a-3b=0
Gọi d1 =d O d d( , ); 2 =d I d( , )
Yờu cầu bài toỏn trở thành:R22− d22 = R12 − d12 ⇒ d22− d12 = 12
2
0 (4 3 ) (2 3 )
3
b
=
= ⇒ =−
0,25 0,25 0,25
*b=0 ,chọ a=1,suy ra pt d là:x-2=0
*b=-3a ,chọ a=1,b=-3,suy ra pt d là:x-3y+7=0
0,25
a, SA vuông góc với mp(ABCD) nên
SA vuông góc với AB và AD Vậy các tam
giác SAB và SAD vuông tại A
Lại có SA vuông góc với (ABCD) và AB
Vuông góc với BC nến SB vuông góc với BC
Vởy tam giác SBC vuông tại C
Tơng tự tam giác SDC vuông tại D
b, Ta có BM =x nên CM = a- x
(vì có AKD DCMˆ = ˆ =90 ,0 DAK CDMˆ = ˆ )
AK DC
=
2
2 2 2 2
a
x ax a
SK SA AK a
x ax a
− +
− +
2
a
=
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
-Hết -Ghi chú: - Nêú học sinh làm theo cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa
- Chỉ chấm bài hình khi học sinh vẽ hình đầy đủ và chính xác
S
A
D
M
K