Dạy học sinh sử dụng phương pháp vectơ để giải các bài toán về quan hệ song song trong hình học không gian

của học sinh... học sinh chưa thấy được mối quan hệ giữa phương pháp tổng hợp và phương pháp vectơ trong quá trình giải toán... Chứng minh rằng MN//EF... Cho hai hình

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài

Kỹ năng giải các bài tập của học sinh là một trong những vấn đề quan trọng hàng đầu trong quá trình dạy học Đối với bộ môn Toán điều đó lại càng phải được quan tâm hàng đầu đối với mỗi giáo viên khi giảng dạy Thực tiễn cho thấy rằng thông qua việc phát triển kỹ năng giải các bài toán sẽ giúp học sinh củng cố một cách sâu sắc nội dung lí thuyết, đồng thời phát triển năng lực tư duy sáng tạo, khả năng phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, tổng quát hóa, của học sinh

Trong việc thực hiện đổi mới phương pháp dạy học hiện nay, việc phát triển khả năng tự học của học sinh là một trong những yếu tố quyết định đến hiệu quả của quá trình dạy học Muốn phát triển khả năng tự học của học sinh đòi hỏi người giáo viên phải là người tạo động cơ, hướng dẫn và trang bị cho học sinh kiến thức và kỹ năng nhất định để học sinh có thể độc lập giải quyết

các yêu cầu và các bài tập Trên cơ sở đó tôi chọn đề tài: “Dạy học sinh sử dụng phương pháp vectơ để giải các bài toán về quan hệ song song trong hình học không gian” làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm, nhằm nâng cao hiệu

quả việc dạy học chủ đề: “Quan hệ song song trong không gian”

1.2 Mục đích nghiên cứu

Trong sáng kiến kinh nghiệm này, tôi sẽ hướng dẫn học sinh cách sử dụng vectơ để giải một lớp các bài toán về quan hệ song song trong không gian Khi sử dụng phương pháp này các em sẽ không còn có cảm giác sợ và ngại học hình học không gian vì tính trừu tượng và khái quát vốn có của hình học không gian Qua đề tài này tôi giúp các em học sinh thấy được rằng phương pháp sử dụng vectơ có đường lối rõ ràng, có các bước cụ thể, dễ áp dụng được nếu được luyện tập nhiều Từ đó tạo cho các em sự tự tin, hứng thú và tính độc lập suy nghĩ, tìm tòi lời giải các bài toán về quan hệ song song trong không gian nói riêng và các bài toán hình học không gian nói chung bằng phương pháp vectơ Từ đó nâng cao hiệu quả việc dạy và học chủ đề quan hệ song song trong không gian

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Chủ đề quan hệ song song trong hình học không gian là một chủ đề khó ở trường THPT Cụ thể đây là nội dung được đề cập ở chương II chương trình hình học lớp 11, ở cả chương trình nâng cao và chương trình cơ bản, với thời lượng 16 tiết ở chương trình nâng cao cả lí thuyết và bài tập Qua thực tế dạy học, tôi thấy rằng đa số học sinh thuộc tất cả các ban đều rất ngại học về hình học không gian nói chung và chủ đề quan hệ song song nói riêng, trong đó có cả những học sinh khá, có cả những học sinh được đánh giá có năng khiếu học ở môn toán Cụ thể là các em đều có một khó khăn chung đó là không giải được hoặc giải được rất ít các bài tập trong sách giáo khoa cũng như trong các tài liệu tham khảo khác Phần lớn học sinh đều lúng túng khi đi tìm lời giải của các bài toán về quan hệ song song trong không gian, chưa có những cách thức khác nhau để tiếp cận bài toán

Nội dung về vectơ trong không gian được đề cập ở đầu chương III với thời lượng rất ít (3 tiết) với những khái niệm trừu tượng, chưa có một quy trình và

học sinh chưa thấy được mối quan hệ giữa phương pháp tổng hợp và phương pháp vectơ trong quá trình giải toán Do đó học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi vận dụng để giải toán Học sinh cũng chỉ mới hình dung việc áp dụng vectơ thông qua một số ví dụ trong bài học hai đường thẳng vuông góc Trong khi đó nếu vận dụng được phương pháp vectơ học sinh sẽ có được những định hướng rõ ràng, giúp các em có thể giải được hầu hết các bài toán về quan hệ song song và có thể tìm được lời giải một cách nhanh chóng và chính xác Hơn nữa học sinh có thể đơn giản hóa lời giải một số bài toán phức tạp và tạo nền tảng vững chắc cho việc tiếp thu phương pháp tọa độ trong không gian sau này Bên cạnh đó học sinh rất khó tìm được các tài liệu về việc vận dụng phương pháp vectơ để giải các bài toán hình học phù hợp với bản thân

Từ thực trạng trên để giúp học sinh giải tốt hơn các bài toán hình học về quan hệ song song trong không gian, tôi mạnh dạn đưa ứng dụng phương pháp vectơ vào giải các bài toán về quan hệ song song giảng dạy cho học sinh lớp 11 ban khoa học tự nhiên

1.4 Phương pháp nghiên cứu

a) Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Nghiên cứu sách giáo khoa, những tài liệu về phương pháp dạy học toán, các tài liệu về tâm lý học, giáo dục học, các công trình nghiên cứu có liên quan đến đề tài của một số tác giả, các sách tham khảo,…

b) Phương pháp điều tra khảo sát thực tế: Tiến hành tìm hiểu về các số liệu thông qua giáo viên toán ở các trường phổ thông, qua bài kiểm tra học sinh trường THPT Vĩnh Lộc

c) Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Tiến hành dạy thực nghiệm một số buổi ở trường THPT Vĩnh Lộc

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.1.1 Xây dựng quan hệ giữa các yêu cầu hình học tổng hợp với các yêu cầu về vectơ

Để học sinh có thể hiểu được các yêu cầu tương đương cơ bản gi ữa hình học tổng hợp và vectơ, giáo viên cần xây dựng những mối quan hệ đó

1) AB//CD

2) AB// (P)

3) (P)//(Q)

1) AB,CD 

cùng phương (AB không trùng với CD) 2)+)AB không nằm trên (P) và AB song song với một đường thẳng nằm trong (P) (quy về trường hợp 1) +)AB không nằm trên (P),             AB ka lb                             

với a b , là hai vectơ không cùng phương nằm trong (P)

3) (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với (Q) (quy về TH2  quy về TH1)

4) I là trung điểm

của đoạn thẳng AB

5) Ba điểm A, B, C

thẳng hàng

4) MA MB  2MI

  

, M bất kì

5)              AB k AC              

2.1.2 Xây dựng quy trình giải toán bằng vectơ

Để học sinh có thể vận dụng được phương pháp vectơ giải các bài toán, tôi xây dựng quy trình gồm các bước sau

Bước 1: Chọn một hệ gồm ba vectơ không đồng phẳng.

Bước 2: Biểu diễn các giả thiết, kết luận của bài toán bằng vectơ và thực hiện

các phép biến đổi các hệ thức vectơ theo yêu cầu của bài toán

Bước 3: Chuyển kết luận từ vectơ ra ngôn ngữ hình học tổng hợp.

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

- Phần lớn các em học sinh có cảm giác sợ, ngại học và làm bài tập hình học không gian nói chung và chủ đề quan hệ song song nói riêng

- Phương pháp vectơ là một phương pháp có các bước cụ thể, dễ áp dụng, nhưng học sinh chưa được trang bị một cách kỹ lưỡng về phương pháp này

- Các em học sinh sẽ áp dụng được phương pháp này trong việc giải các bài toán nếu các em được trang bị kiến thức cơ bản về vectơ, biết chuyển đổi giữa ngôn ngữ hình học tổng hợp và ngôn ngữ vectơ, có hệ thống ví dụ và bài tập phong phú để các em được luyện tập và rèn luyện kỹ năng giải toán

Sau đây là một ví dụ minh họa cho những lập luận ở trên

Ví dụ 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 M là điểm nằm trên cạnh AD sao cho MD = 4MA, N là điểm nằm trên đoạn A 1 C sao cho 2NC = 3NA 1 Chứng

minh rằng MN//(BC 1 D).

Bài toán trên nếu giải bằng phương pháp hình học tổng hợp thì học sinh gặp rất nhiều khó khăn dù yêu cầu của bài toán khá cơ bản Cụ thể ta xét lời giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của MC và BD, J là giao điểm của A 1 C và C 1 O.

1 1 1

.

5

9

CJ CN

  (1)

IM MD MD   CM  (2)

Từ (1) và (2) suy ra : CJ CI

CN CM hay MN//IJ.

Mà IJ nằm trên mp(BC 1 D) và MN không nằm trên mp(BC 1 D), nên MN//(BC 1 D).

J I O

A

D

M N

Đối với đa số học sinh thì việc dựng được IJ như trong lời giải là rất khó khăn Nếu biết cách sử dụng vectơ thì việc tìm lời giải đúng sẽ đỡ phức tạp hơn Cụ thể:

A

D

M N

Bước 1: Đặt BA a

 

, BB1 b

 

, BC c

 

(ba vectơ không đồng phẳng)

Bước 2: Theo giả thiết ta có: 1

5

 

2 5

A N  A C

 

MN không nằm trên mp(BC 1 D), BD , BC 1 là hai vectơ không cùng phương nằm

trong mp(BC 1 D).

Để chứng minh MN//(BC 1 D), ta cần chứng minh MN m BD n BC  1

  

Ta có: BD a c 

  

, BC1  b c

  

1 1

2 3 1

5 5 5

MN BN BM BA AA A N BA AM   a b c

          

          

          

          

          

          

          

          

          

          

          

          

          

          

( ) ( )

5 a b 5 b c 5BD 5BC

       

 

Bước 3: Kết luận MN//(BC 1 D).

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Xây dựng hệ thống ví dụ và bài tập giúp học sinh so sánh cách tìm lời giải bằng phương pháp tổng hợp và phương pháp vectơ, rèn luyện kỹ năng giải bài toán bằng vectơ.

Để hình thành và củng cố kỹ năng vận dụng vectơ trong việc giải các bài toán về quan hệ song song trong không gian, cần xây dựng các ví dụ và hệ thống bài tập áp dụng Qua đó học sinh có thể phát triển kỹ năng sử dụng vectơ để giải toán

CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 2 (Chứng minh hai đường thẳng song song).

Cho lăng trụ tam giác ABC.A 1 B 1 C 1 Gọi M, N, E, F lần lượt là trọng tâm của các tam giác AA 1 B 1 , A 1 B 1 C 1 , ABC, BCC 1 Chứng minh rằng MN//EF.

B1

A1

A

B

C1

C

M

N

E F

 Giải bằng phương pháp vectơ

Đặt: AA1 a

 

, AB b

 

, AC c

 

Khi đó ta có:

1

3

MN AN AM AA A N AA AB

      

1 1 1 1

       

3

EF AF AE  a c

    

 MN EF

 

Mặt khác, MN không trùng với EF nên MN//EF.

 Giải bằng phương pháp hình học tổng hợp

A1

A I

J

M N

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của A 1 B 1 và BC.

Khi đó vì M, N, E, F lần lượt là trọng tâm các tam giác AA 1 B 1 , A 1 B 1 C 1 , ABC,

BCC 1 nên ta có:

+) Các điểm I, M, N, A, C 1 đồng phẳng và

1

2 3

IA  IC

 MN AC// 1

+) Tương tự các điểm J, E, F, A, C 1 đồng phẳng và

1

2 3

JA JC

 EF AC// 1

Mặt khác, MN không trùng với EF nên MN//EF.

Ví dụ 3 (Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng).

Cho hình hộp ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh

AA 1 và B 1 C 1 Chứng minh rằng MN song song với mặt phẳng (DA 1 C 1)

 Giải bằng phương pháp vectơ

A

D

M N

Đặt: DA a

 

, DC b

 

, DD1 c

 

Ta có: MN không nằm trên mp(DA 1 C 1); DC 1, DA1 là hai vectơ không cùng

phương nằm trong mp(DA 1 C 1)

DC1DD1DC b c 

    

, DA1DA DD 1 a c

    

1 1 1

            

      

           

1 1

1

2DA DC

 

Vậy MN// mp(DA 1 C 1)

 Giải bằng phương pháp hình học tổng hợp

I

A

B

A1

B1

C1

D1 M

N J

Gọi I là giao điểm của MD 1 và DA 1 , J là giao điểm của ND 1 và A 1 C 1

Khi đó ta có:

1 1

1

2

IM MA  (vì M là trung điểm của AA 1 , AA 1 //DD 1)

1 1 1

1

2

JN C N  (vì N là trung điểm của B 1 C 1 , A 1 D 1 //B 1 C 1)

ID1 JD1

Mà M, N, I, J, D 1 đồng phẳng ( theo cách xác định I và J) nên MN//IJ.

Mặt khác MN không nằm trên mp(DA 1 C 1 ), IJ nằm trên mp(DA 1 C 1)

Vậy MN//mp(DA 1 C 1)

Ví dụ 4 (Chứng minh hai mặt phẳng song song).

Cho hình lập phương ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 Trên các cạnh AB, DD 1 , C 1 B 1 lần lượt

lấy các điểm M, N, P sao cho AM = D 1 N = B 1 P Chứng minh rằng:

mp(MNP)//mp(AB 1 D 1)

 Giải bằng phương pháp vectơ

Đặt A A a1 

 

, A B1 1 b

 

, A D1 1 c

 

Ta giả thiết ta đặt: 1 1

,(0 1)

AM

Để chứng minh mp(MNP)//mp(AB1D1) ta chứng minh:

MN x AB1y AD1

  

và MP x AB 1 1y AD1 1

  

Ta có: AB1 AA1 A B1 1 a b

    

, AD1 AA1 A D1 1 a c

    

1

(1 )

         

      

       

  

Suy ra MN//mp(AB 1 D 1 ).

(1 ) (1 )( ) ( ) (1 )

         

      

Suy ra MP//mp(AB 1 D 1 ).

Mặt khác MN và MP cắt nhau và cùng nằm trong mp(MNP).

Vậy mp(MNP)//mp(AB 1 D 1 ).

D

C

A1

B1 M

P N

 Giải bằng phương pháp hình học tổng hợp

Từ giả thiết ta có: AB = B 1 C 1 , AM = B 1 P nên: 1

1

C P BM

MA PB

Do đó BC 1 , MP, AB 1 cùng song song với một mặt phẳng (định lý Ta-lét đảo).

Mà AB 1 nằm trong mp(AB 1 D 1 ), BC 1 //mp(AB 1 D 1 ) nên MP//mp(AB 1 D 1)

Lập luận tương tự ta cũng có: MN// mp(AB 1 D 1)

Mặt khác MN và MP cắt nhau và cùng nằm trong mp(MNP).

Vậy mp(MNP)//mp(AB 1 D 1)

Ví dụ 5 (Sử dụng kết quả quan hệ song song để suy ra một số tính chất khác).

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 Giả sử M thuộc đường chéo AC, N thuộc đường chéo C 1 D sao cho MN//BD 1 Chứng minh rằng BD 1 = 3MN.

 Giải bằng phương pháp vectơ

Đặt BA a

 

, BB1 b

 

, BC c

 

(ba vectơ không đồng phẳng)

Theo giả thiết M thuộc đường chéo AC, N thuộc đường chéo C 1 D nên ta có

MC x AC,

 

C N yC D

 

D

C

A1

B1 N

M

Vì MN//BD 1 nên MN k BD 1 k a b c(   )

    

(1)

Ta có: AC c a 

  

1

1

C D a b



 

 

  

Mặt khác: MN MC CC 1C N1  (y x a )  (1  y b xc) 

(2)

Từ (1) và (2) suy ra:

1 3 2 1

3 1 3

x

y x k

x k

k



 

   







1

3

 

, suy ra BD 1 = 3MN.

 Giải bằng phương pháp hình học tổng hợp

N D

C

A1

B1

I M

Vì MN//BD 1 nên nếu gọi I là giao điểm của BM và D 1 N Khi đó:

I BM  (ABCD) và ID N1  (CDD C1 1 )

Suy ra: I (ABCD) (  CDD C1 1 ) hay I CD

Ta có:

ND NC C D (vì CD//C 1 D 1)

IM CM CI

MB MA AB (vì CD//AB)

Mặt khác:

1

ND MB (vì MN//BD 1)

Nên suy ra:

1 1

ABC D

Do đó: DI = CI (vì AB = C 1 D 1 ) Hay I là trung điểm của CD.

Từ đó ta có:

1

Vậy BD 1 = 3MN.

BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1 (Bài tập 4, SGK hình học 11 nâng cao, trang 78).

Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng khác nhau Lấy các điểm M, N lần lượt thuộc các đường chéo AC, BF sao cho MC = 2AM,

NF = 2BN Qua M, N kẻ các đường thẳng song song với AB cắt các cạnh AD,

AF lần lượt tại M 1 , N 1 Chứng minh rằng:

a) MN // DE;

b) M 1 N 1 // mp(DEF);

c) mp(MNN 1 M 1 ) // mp(DEF).

Bài 2 (Bài tập 7, SGK hình học 11 nâng cao, trang 78).

Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Trªn ba c¹nh AB, DD', C B' ' lần lượt lấy ba

điểm M, N, P không trùng với các đỉnh sao cho ' '

' ' '

AB D D B C

Chứng minh rằng mp(MNP)//mp( AB D' ')

Bài 3 (Bài tập 8, SGK hình học 11 nâng cao, trang 78).

Cho hai tia Ax và By nằm trên hai đường thẳng chéo nhau Một điểm M chạy trên Ax và một điểm N chạy trên By sao cho AM = kAN (k > 0 cho trước).

Chứng minh rằng MN song song với một mặt phẳng cố định.

Bài 4 (Bài tập 47, SGK hình học 11 nâng cao, trang 75).

Cho hình hộp ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 Tìm điểm I trên đường chéo B 1 D và điểm J

trên đường chéo AC sao cho IJ//BC 1 Tính

1

ID

IB

Bài 5 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 Gọi E là giao điểm của AB 1 và

BA 1 , N và I lần lượt là trung điểm của CC 1 và CD Chứng minh rằng EN//AI.

Bài 6 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 Các điểm M, N lần lượt là các điểm chia các đoạn AD 1 và DB theo tỉ số k (k  0,k  1)