Luận văn RÈN LUYỆN NĂNG LỰC SUY LUẬN CHỨNG MINH CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11

MỞ ĐẦU I. Lý do chọn đề tài 1. Xuất phát từ mục tiêu giáo dục THPT, Luật Giáo dục năm 2005 đã xác định “các phẩm chất và năng lực phát triển cho HS nhằm trước hết đáp ứng được yêu cầu đào tạo nguồn nhân lực trong giai đoạn phát triển kinh tế xã hội mới của đất nước, giai đoạn công nghiệp hoá, hiện đại hoá để đến năm 2020 đưa nước ta trở thành một nước công nghiệp trong bối cảnh toàn cầu hoá, mở rộng giao lưu hội nhập quốc tế với sự hình thành và phát triển của nền kinh tế tri thức, đồng thời đáp ứng yêu cầu phát triển đa dạng của mỗi cá nhân”. Điều 24 của Luật Giáo dục năm 2005 cũng đã yêu cầu về đổi mới nội dung, phương pháp giáo dục THPT là “nhu cầu đổi mới phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực tự giác chủ động sáng tạo của HS, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”. 2. Môn Toán có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển năng lực và các phẩm chất trí tuệ. Do tính chất trừu tượng cao độ của Toán học, môn Toán có thể giúp ích rất nhiều cho việc rèn luyện cho học sinh tư duy trừu tượng. Do tính chính xác cao, suy luận lôgic chặt chẽ, là “môn thể thao của trí tuệ” nên Toán học có nhiều thuận lợi trong việc rèn luyện cho học sinh tư duy chính xác, tư duy hợp với lôgic. Việc tìm kiếm phép chứng minh một định lý, tìm lời giải của một bài toán có tác dụng lớn trong việc rèn luyện cho học sinh tính khoa học trong suy nghĩ, trong suy luận, trong học tập, trong giải quyết các vấn đề: biết quan sát, thí nghiệm, mò mẫm, dự đoán, dùng quy nạp, tương tự, chứng minh…và qua đó có tác dụng lớn trong việc rèn luyện cho học sinh trí thông minh sáng tạo. 3. Suy luận là một hình thức của tư duy, cho nên trong quá trình dạy học toán, giáo viên cần quan tâm vận dụng các quy tắc, quy luật suy luận để giúp cho học sinh rèn luyện được khả năng chứng minh trong quá trình giải toán, qua đó rèn luyện khả năng tư duy. Mặc dù chương trình, sách giáo khoa thực hiện giảm tải, trong đó hạn chế các chứng minh định lí, giáo viên nên dành cho học sinh cơ hội được chứng minh một định lí, một bài toán khi cần thiết. Hiện nay đã có nhiều công trình khoa học trong và ngoài nước nghiên cứu về suy luận như: “Toán học và những suy luận có lý” của G. Polya; luận án Tiến sĩ của Trần Luận: “Vận dụng tư tưởng sư phạm của G. Polya xây dựng nội dung và phương pháp trên cơ sở hệ thống các bài tập theo chủ đề nhằm phát huy năng lực sáng tạo của học sinh chuyên Toán cấp II”; luận án Tiến sĩ của Nguyễn Văn Thuận: “Góp phần phát triển năng lực tư duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho học sinh đầu cấp trung học phổ thông trong dạy học Đại số”… và một số luận văn thạc sĩ giáo dục học liên quan đến suy luận khác. 4. Hình học không gian là một chủ đề hay và khó ở trường phổ thông và thời lượng dành cho chủ đề này là tương đối lớn. Mặc dù thời lượng lớn như vậy, các em cũng gặp nhiều khó khăn và mắc sai lầm khi học chủ đề này. Khó khăn đó có một phần nguyên nhân là tính trừu tượng cao của các khái niệm và quan hệ hình học không gian. Vì các hình hình học không gian (3 chiều) được biểu diễn trong mặt phẳng (2 chiều) nên điểm tựa trực quan cho các chứng minh bài toán không gian không còn đóng vai trò quan trọng như trong hình học phẳng, thay vào đó là trí tưởng tượng không gian và suy luận lôgic chặt chẽ. Đến nay, tuy đã có nhiều tài liệu viết về chủ đề này, nhưng chưa có một tài liệu nào thực sự nghiên cứu sâu sắc và đầy đủ về rèn luyện năng lực chứng minh cho học sinh khi dạy học chủ đề này. Vì những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài : “Rèn luyện năng lực suy luận chứng minh cho học sinh thông qua dạy học chủ đề hình học không gian lớp 11 ”. II. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu về suy luận chứng minh trong dạy học Toán và từ đó đề xuất một số biện pháp sư phạm góp phần rèn luyện khả năng suy luận chứng minh cho học sinh và vận dụng vào dạy học chủ đề Hình học không gian ở lớp 11. III. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của đề tài là nghiên cứu về khoa học giáo dục học môn Toán về một hình thức tư duy đó là suy luận chứng minh, nghiên cứu quá trình dạy học về chủ đề Hình học không gian lớp 11. IV. Giả thuyết khoa học Nếu giáo viên quan tâm nghiên cứu đặc điểm của Hình học không gian ở trường phổ thông và vận dụng đúng mức các kết quả của khoa học giáo dục học môn Toán về suy luận chứng minh vào dạy học chủ đề này thì sẽ góp phần rèn luyện cho học sinh năng lực suy luận chứng minh bởi vì hình học không gian đòi hỏi ở học sinh khả năng tư duy và suy luận nhiều hơn trực quan. V. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu về hình thức tư duy suy luận chứng minh; Nghiên cứu nội dung dạy học về chủ đề hình học không gian; Xây dựng các biện pháp đề xuất nhằm nâng cao khả năng suy luận chứng minh vào giải toán hình học không gian. VI. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý luận. + Thông qua việc nghiên cứu tài liệu sách tham khảo, Luận án Tiến sỹ, Luận văn liên quan đến đề tài nghiên cứu. + Nghiên cứu chương trình sách giáo khoa Hình học 11. Mục đích yêu cầu dạy học hình học không gian ở trường phổ thông. Phương pháp điều tra thực tiễn nhằm xác định những thuận lợi, khó khăn của học sinh trong việc áp dụng suy luận chứng minh vào giải toán HHKG. Phương pháp thực nghiệm sư phạm. + Quan sát kiểm tra hoạt động của HS. + So sánh lớp thực nghiệm với lớp đối chứng, kết hợp trao đổi ý kiến với các GV giảng dạy. VII. Cấu trúc của Luận văn Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Phụ lục và Tài liệu tham khảo, luận văn gồm những nội dung chính sau đây: Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN VẾ NĂNG LỰC SUY LUẬN CHỨNG MINH. Chương 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN NĂNG LỰC SUY LUẬN CHỨNG MINH CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN. Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM. Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Năng lực Toán học 1.1.1. Khái niệm về năng lực và năng lực Toán học 1.1.1.1. Khái niệm về năng lực Theo quan điểm của nhà tâm lý học Nga V. A. Cruchetxki thì: Năng lực được hiểu như là: “Một phức hợp các đặc điểm tâm lý cá nhân của con người đáp ứng những yêu cầu của một hoạt động nào đó và là điều kiện để thực hiện thành công hoạt động đó (15, tr. 15). Thông thường, một người được gọi là có năng lực nếu người đó nắm vững tri thức, kĩ năng, kĩ xảo của một loại hoạt động nào đó và đạt được kết quả tốt hơn, cao hơn so với trình độ trung bình của những người khác cùng tiến hành hoạt động đó trong những điều kiện và hoàn cảnh tương đương. Vì thế người ta đánh giá trình độ năng lực của mỗi người thông qua kết quả của hoạt động đó. Ta thường phân biệt ba trình độ của năng lực: • Năng lực là tổng hòa các kĩ năng, kĩ xảo. • Tài năng là một tổ hợp các năng lực tạo nên tiền đề thuận lợi cho hoạt động có kết quả cao, những thành tích đạt được này vẫn nằm trong khuôn khổ của những thành tựu đạt được của xã hội loài người. • Thiên tài là một tổ hợp đặc biệt các năng lực, nó cho phép đạt được những thành tựu sáng tạo mà có ý nghĩa lịch sử vô song. Khi nói đến năng lực phải nói đến năng lực trong loại hoạt động nhất định của con người. Năng lực chỉ nảy sinh và quan sát được trong hoạt động giải quyết những yêu cầu đặt ra. Năng lực góp phần làm cho quá trình lĩnh hội tri thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực hoạt động nhất định được nhanh chóng, thuận lợi và dễ dàng hơn. 1.1.1.2. Năng lực Toán học Theo V. A. Cruchetxki: “Năng lực Toán học được hiểu là những đặc điểm tâm lý cá nhân (trước hết là những đặc điểm trí tuệ) đáp ứng được những yêu cầu nhiệm vụ học tập Toán học, và trong những điều kiện vững chắc như nhau thì là những nguyên nhân của sự thành công trong việc nắm vững một cách sáng tạo Toán học với tư cách là môn học, đặc biệt nắm vững tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc những kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực Toán học”. Dựa trên kết luận nghiên cứu của V. A. Cruchetxki, Trần Luận ( 16, tr. 87) đã quan niệm về năng lực Toán học của học sinh như sau: a) Năng lực là những đặc điểm tâm lý cá nhân của con người đáp ứng được yêu cầu của một loại hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết để hoàn thành có kết quả tốt đẹp loại hoạt động đó. b) Năng lực Toán học được hiểu dưới hai khía cạnh sau: Là năng lực sáng tạo – năng lực hoạt động khoa học Toán học mà hoạt động này tạo ra được những kết quả, thành tựu mới có ý nghĩa khách quan đối với loài người, sản phẩm quý giá trong quan hệ xã hội. Là năng lực Toán học là những đặc điểm tâm lý đáp ứng được yêu cầu của hoạt động học toán và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kỹ năng trong lĩnh vực Toán học tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc trong những điều kiện như nhau. Như vậy, năng lực Toán học là những đặc điểm tâm lý của học sinh nhằm đáp ứng những yêu cầu của các hoạt động Toán học thông qua tính linh hoạt, sáng tạo để có thể giải quyết các vấn đề đặt ra của tri thức Toán học mà chúng đang hướng tới. Khi nói đến học sinh có năng lực Toán học, đó là những học sinh có đủ khả năng tiếp thu và vận dụng được các kiến thức toán mà mình thu nhận được để từ đó có thể giải quyết cũng như phát triển kiến thức đó. Mỗi học sinh có năng lực Toán học khác nhau; biểu hiện trong lớp có người học giỏi, khá kể cả học sinh học yếu kém. Về vấn đề này nhà Toán học Xô viết nổi tiếng, Viện sĩ A. N. Kolmogorov, cho rằng: “Năng lực bình thường của học sinh trung học đủ để cho các em đó tiếp thu, nắm được Toán học trong trường trung học với sự hướng dẫn tốt của thầy giáo hay với sách tốt”.

TRẦN THỊ HƯƠNG

RÈN LUYỆN NĂNG LỰC SUY LUẬN CHỨNG MINH CHO

HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11

Chuyên ngành : Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số : 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SỸ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN CHIẾN THẮNG

NGHỆ AN, 2013

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Thầy giáo TS Nguyễn Chiến Thắng đã trực tiếp giảng dạy và hướng dẫn khoa học để tác giả

hoàn thành Luận văn.

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong chuyên ngành

Lý luận và phương pháp giảng dạy bộ môn Toán, trường Đại học Vinh, đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và thực hiện Luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban chủ nhiệm cùng các thầy cô khoa Toán, Đại học Vinh; Ban giám hiệu cùng các thầy cô Trường THPT Trần Phú

đã tạo điều kiện giúp đỡ trong quá trình học tập và nghiên cứu

Tác giả xin gửi tới tất cả người thân và bạn bè lòng biết ơn sâu sắc.

Xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ quý báu đó!

Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được và biết ơn các ý kiến đóng góp của thầy cô giáo và các bạn.

Vinh, tháng 10 năm 2013

Tác giả

QUY ƯỚC VỀ CÁC CHỮ VIẾT TẮT

SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 1

MỞ ĐẦU 5

I Lý do chọn đề tài: 5

II Mục đích nghiên cứu: 7

III Đối tượng nghiên cứu: 7

IV Giả thuyết khoa học: 7

V Nhiệm vụ nghiên cứu: 7

VI Phương pháp nghiên cứu: 8

VII Cấu trúc của Luận văn 8

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 9

1.1 Năng lực Toán học 9

1.1.1 Khái niệm về năng lực và năng lực Toán học 9

1.1.2 Cấu trúc năng lực Toán học của học sinh 11

1.2 Suy luận 14

1.2.1 Khái niệm suy luận 14

1.2.2 Các quy luật suy luận 16

1.2.3 Các quy tắc suy luận 19

1.3 Chứng minh 32

1.3.1 Khái niệm chứng minh 32

1.3.2 Các quy tắc chứng minh 32

1.3.3 Các kiểu chứng minh 33

1.4 Suy luận chứng minh và năng lực suy luận chứng minh 36

1.4.1 Quan niệm về suy luận chứng minh 36

1.4.2 Các kiểu suy luận chứng minh 36

1.4.3 Năng lực suy luận chứng minh 37

1.5 Một số khó khăn và sai lầm khi dạy học chủ đề hình học không gian 37

1.6 Thực tiễn của việc dạy học chương trình hình học không gian có sử dụng các phép suy luận chứng minh ở một số trường phổ thông hiện nay 40

Kết luận Chương 1 43

Chương 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN NĂNG LỰC SUY LUẬN CHỨNG MINH CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 44

2.1 Khái quát nội dung chương trình hình học không gian lớp 11 44

2.2 Một số biện pháp rèn luyện năng lực suy luận chứng minh vào dạy học chủ đề hình học không gian ở lớp 11 45

2.2.1 Một số nguyên tắc đề ra các biện pháp nhằm rèn luyện năng lực suy luận chứng minh thông qua chủ đề hình học không gian lớp 11 45

2.2.2 Một số biện pháp nhằm rèn luyện năng lực suy luận chứng minh thông qua chủ đề hình học không gian ở lớp 11 46

Kết luận Chương 2 115

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 116

3.1 MỤC ĐÍCH THỰC NGHIỆM 116

3.2 TỔ CHỨC VÀ NỘI DUNG THỰC NGHIỆM 116

3.2.1 Tổ chức thực nghiệm 116

3.2.2 Nội dung thực nghiệm 116

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm 125

3.3.1 Phân tích định tính 125

3.3.2 Đánh giá định lượng 126

3.4 Kết luận chung về thực nghiệm 129

TÀI LIỆU THAM KHẢO……… 131

Phụ lục 133

GIÁO ÁN DẠY THỰC NGHIỆM 133

MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài

1 Xuất phát từ mục tiêu giáo dục THPT, Luật Giáo dục năm 2005 đã xác

định “các phẩm chất và năng lực phát triển cho HS nhằm trước hết đáp ứng đượcyêu cầu đào tạo nguồn nhân lực trong giai đoạn phát triển kinh tế xã hội mới củađất nước, giai đoạn công nghiệp hoá, hiện đại hoá để đến năm 2020 đưa nước tatrở thành một nước công nghiệp trong bối cảnh toàn cầu hoá, mở rộng giao lưuhội nhập quốc tế với sự hình thành và phát triển của nền kinh tế tri thức, đồngthời đáp ứng yêu cầu phát triển đa dạng của mỗi cá nhân”

Điều 24 của Luật Giáo dục năm 2005 cũng đã yêu cầu về đổi mới nộidung, phương pháp giáo dục THPT là “nhu cầu đổi mới phương pháp giáo dụcphổ thông phải phát huy tính tích cực tự giác chủ động sáng tạo của HS, phù hợpvới đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rènluyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lạiniềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”

2 Môn Toán có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển năng lực và các

phẩm chất trí tuệ Do tính chất trừu tượng cao độ của Toán học, môn Toán có thểgiúp ích rất nhiều cho việc rèn luyện cho học sinh tư duy trừu tượng Do tính

chính xác cao, suy luận lôgic chặt chẽ, là “môn thể thao của trí tuệ” nên Toán

học có nhiều thuận lợi trong việc rèn luyện cho học sinh tư duy chính xác, tư duyhợp với lôgic Việc tìm kiếm phép chứng minh một định lý, tìm lời giải của mộtbài toán có tác dụng lớn trong việc rèn luyện cho học sinh tính khoa học trongsuy nghĩ, trong suy luận, trong học tập, trong giải quyết các vấn đề: biết quan sát,

thí nghiệm, mò mẫm, dự đoán, dùng quy nạp, tương tự, chứng minh…và qua đó

có tác dụng lớn trong việc rèn luyện cho học sinh trí thông minh sáng tạo

3 Suy luận là một hình thức của tư duy, cho nên trong quá trình dạy học

toán, giáo viên cần quan tâm vận dụng các quy tắc, quy luật suy luận để giúp chohọc sinh rèn luyện được khả năng chứng minh trong quá trình giải toán, qua đórèn luyện khả năng tư duy Mặc dù chương trình, sách giáo khoa thực hiện giảmtải, trong đó hạn chế các chứng minh định lí, giáo viên nên dành cho học sinh cơhội được chứng minh một định lí, một bài toán khi cần thiết Hiện nay đã cónhiều công trình khoa học trong và ngoài nước nghiên cứu về suy luận như:

“Toán học và những suy luận có lý” của G Polya; luận án Tiến sĩ của Trần Luận: “Vận dụng tư tưởng sư phạm của G Polya xây dựng nội dung và phương

pháp trên cơ sở hệ thống các bài tập theo chủ đề nhằm phát huy năng lực sáng tạo của học sinh chuyên Toán cấp II”; luận án Tiến sĩ của Nguyễn Văn Thuận:

“Góp phần phát triển năng lực tư duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán

học cho học sinh đầu cấp trung học phổ thông trong dạy học Đại số”… và một

số luận văn thạc sĩ giáo dục học liên quan đến suy luận khác

4 Hình học không gian là một chủ đề hay và khó ở trường phổ thông và thời

lượng dành cho chủ đề này là tương đối lớn Mặc dù thời lượng lớn như vậy, các

em cũng gặp nhiều khó khăn và mắc sai lầm khi học chủ đề này Khó khăn đó cómột phần nguyên nhân là tính trừu tượng cao của các khái niệm và quan hệ hìnhhọc không gian Vì các hình hình học không gian (3- chiều) được biểu diễn trongmặt phẳng (2- chiều) nên điểm tựa trực quan cho các chứng minh bài toán khônggian không còn đóng vai trò quan trọng như trong hình học phẳng, thay vào đó làtrí tưởng tượng không gian và suy luận lôgic chặt chẽ Đến nay, tuy đã có nhiềutài liệu viết về chủ đề này, nhưng chưa có một tài liệu nào thực sự nghiên cứu

sâu sắc và đầy đủ về rèn luyện năng lực chứng minh cho học sinh khi dạy họcchủ đề này.

Vì những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài : “ Rèn luyện năng lực suy luận chứng minh cho học sinh thông qua dạy học chủ đề hình học không gian lớp

11 ”.

II Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu về suy luận chứng minh trong dạy học Toán và từ đó đề xuất một

số biện pháp sư phạm góp phần rèn luyện khả năng suy luận chứng minh chohọc sinh và vận dụng vào dạy học chủ đề Hình học không gian ở lớp 11

III Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là nghiên cứu về khoa học giáo dục họcmôn Toán về một hình thức tư duy đó là suy luận chứng minh, nghiên cứu quátrình dạy học về chủ đề Hình học không gian lớp 11

IV Giả thuyết khoa học

Nếu giáo viên quan tâm nghiên cứu đặc điểm của Hình học không gian ởtrường phổ thông và vận dụng đúng mức các kết quả của khoa học giáo dục họcmôn Toán về suy luận chứng minh vào dạy học chủ đề này thì sẽ góp phần rènluyện cho học sinh năng lực suy luận chứng minh bởi vì hình học không gian đòihỏi ở học sinh khả năng tư duy và suy luận nhiều hơn trực quan

V Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu về hình thức tư duy suy luận chứng minh;

- Nghiên cứu nội dung dạy học về chủ đề hình học không gian;

- Xây dựng các biện pháp đề xuất nhằm nâng cao khả năng suy luận chứngminh vào giải toán hình học không gian

VI Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận

+ Thông qua việc nghiên cứu tài liệu sách tham khảo, Luận án Tiến sỹ,Luận văn liên quan đến đề tài nghiên cứu

+ Nghiên cứu chương trình sách giáo khoa Hình học 11 Mục đích yêu cầudạy học hình học không gian ở trường phổ thông

- Phương pháp điều tra thực tiễn nhằm xác định những thuận lợi, khó khăncủa học sinh trong việc áp dụng suy luận chứng minh vào giải toán HHKG

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm

+ Quan sát kiểm tra hoạt động của HS

+ So sánh lớp thực nghiệm với lớp đối chứng, kết hợp trao đổi ý kiến vớicác GV giảng dạy

VII Cấu trúc của Luận văn

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Phụ lục và Tài liệu tham khảo, luận văngồm những nội dung chính sau đây:

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN VẾ NĂNG LỰC SUY LUẬNCHỨNG MINH

Chương 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN NĂNG LỰC SUY LUẬNCHỨNG MINH CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ HÌNHHỌC KHÔNG GIAN

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Năng lực Toán học

1.1.1 Khái niệm về năng lực và năng lực Toán học

1.1.1.1 Khái niệm về năng lực

Theo quan điểm của nhà tâm lý học Nga V A Cruchetxki thì: Năng lực đượchiểu như là: “Một phức hợp các đặc điểm tâm lý cá nhân của con người đáp ứngnhững yêu cầu của một hoạt động nào đó và là điều kiện để thực hiện thành cônghoạt động đó" ([15], tr 15)

Thông thường, một người được gọi là có năng lực nếu người đó nắm vững trithức, kĩ năng, kĩ xảo của một loại hoạt động nào đó và đạt được kết quả tốt hơn,cao hơn so với trình độ trung bình của những người khác cùng tiến hành hoạtđộng đó trong những điều kiện và hoàn cảnh tương đương Vì thế người ta đánhgiá trình độ năng lực của mỗi người thông qua kết quả của hoạt động đó

Ta thường phân biệt ba trình độ của năng lực:

 Năng lực là tổng hòa các kĩ năng, kĩ xảo.

 Tài năng là một tổ hợp các năng lực tạo nên tiền đề thuận lợi cho hoạt

động có kết quả cao, những thành tích đạt được này vẫn nằm trong khuôn khổcủa những thành tựu đạt được của xã hội loài người

 Thiên tài là một tổ hợp đặc biệt các năng lực, nó cho phép đạt được những

thành tựu sáng tạo mà có ý nghĩa lịch sử vô song

Khi nói đến năng lực phải nói đến năng lực trong loại hoạt động nhất định củacon người Năng lực chỉ nảy sinh và quan sát được trong hoạt động giải quyếtnhững yêu cầu đặt ra Năng lực góp phần làm cho quá trình lĩnh hội tri thức, kỹ

năng, kỹ xảo trong lĩnh vực hoạt động nhất định được nhanh chóng, thuận lợi và

dễ dàng hơn

1.1.1.2 Năng lực Toán học

Theo V A Cruchetxki: “Năng lực Toán học được hiểu là những đặc điểm tâm

lý cá nhân (trước hết là những đặc điểm trí tuệ) đáp ứng được những yêu cầunhiệm vụ học tập Toán học, và trong những điều kiện vững chắc như nhau thì lànhững nguyên nhân của sự thành công trong việc nắm vững một cách sáng tạoToán học với tư cách là môn học, đặc biệt nắm vững tương đối nhanh, dễ dàng,sâu sắc những kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực Toán học” Dựa trên kếtluận nghiên cứu của V A Cruchetxki, Trần Luận ( [16], tr 87) đã quan niệm vềnăng lực Toán học của học sinh như sau:

a) Năng lực là những đặc điểm tâm lý cá nhân của con người đáp ứng đượcyêu cầu của một loại hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết để hoàn thành

có kết quả tốt đẹp loại hoạt động đó

b) Năng lực Toán học được hiểu dưới hai khía cạnh sau:

- Là năng lực sáng tạo – năng lực hoạt động khoa học Toán học mà hoạt độngnày tạo ra được những kết quả, thành tựu mới có ý nghĩa khách quan đối với loàingười, sản phẩm quý giá trong quan hệ xã hội

- Là năng lực Toán học là những đặc điểm tâm lý đáp ứng được yêu cầu củahoạt động học toán và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kỹ năng trong lĩnhvực Toán học tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc trong những điều kiện nhưnhau

Như vậy, năng lực Toán học là những đặc điểm tâm lý của học sinh nhằm đápứng những yêu cầu của các hoạt động Toán học thông qua tính linh hoạt, sángtạo để có thể giải quyết các vấn đề đặt ra của tri thức Toán học mà chúng đanghướng tới Khi nói đến học sinh có năng lực Toán học, đó là những học sinh có

đủ khả năng tiếp thu và vận dụng được các kiến thức toán mà mình thu nhậnđược để từ đó có thể giải quyết cũng như phát triển kiến thức đó Mỗi học sinh

có năng lực Toán học khác nhau; biểu hiện trong lớp có người học giỏi, khá kể

cả học sinh học yếu kém Về vấn đề này nhà Toán học Xô- viết nổi tiếng, Viện sĩ

A N Kolmogorov, cho rằng: “Năng lực bình thường của học sinh trung học đủ

để cho các em đó tiếp thu, nắm được Toán học trong trường trung học với sựhướng dẫn tốt của thầy giáo hay với sách tốt”

1.1.2 Cấu trúc năng lực Toán học của học sinh

Một trong những công trình nghiên cứu về tâm lý năng lực Toán học của học

sinh quy mô nhất là: “Tâm lý năng lực Toán học của học sinh” năm 1967 của V.

A Cruchetxki Trong chương: “Giả thuyết các thành phần của năng lực toán

học với tư cách là cơ sở của nghiên cứu thực nghiệm”, tác giả nêu ra các thành

phần sau đây:

1) Năng lực hình thức hóa tư liệu Toán học, năng lực tách hình thức ra khỏinội dung, năng lực trừu tượng hóa từ các quan hệ số lượng cụ thể và các hìnhdạng không gian và sử dụng cấu trúc hình thức, các cấu trúc của các quan hệ vàcác liên hệ;

2) Năng lực khái quát hóa tư liệu Toán học, tách những cái chính và bỏ quanhững cái không cơ bản, nhìn thấy cái chung trong sự khác nhau bên ngoài;3) Năng lực sử dụng hệ thống dấu và số;

4) Năng lực suy luận lôgic, được phân nhỏ hợp lý, tuần tự (A N.Kolmogorov), có liên quan với nhu cầu chứng minh, biện chứng, kết luận;

5) Năng lực rút gọn quá trình suy luận, tư duy bằng các cấu trúc thu gọn;

6) Năng lực tư duy thuận nghịch (năng lực chuyển từ quá trình thuận sang đảocủa tư duy);

7) Tính linh hoạt của tư duy, năng lực chuyển từ thao tác trí tuệ này sang thaotác trí tuệ khác, thoát được sự ràng buộc vào các khuôn mẫu, công thức;

8) Trí nhớ Toán học;

9) Năng lực của biểu tượng không gian

Trên cơ sở nghiên cứu về các thành phần của năng lực Toán học của học sinh,trong tổng kết công trình nghiên cứu của mình, ông đã đi đến sơ đồ tổng quát vềcấu trúc năng lực Toán học của học sinh như sau:

1 Thu nhận thông tin Toán học: Năng lực tri giác hình thức hóa tài liệu Toánhọc, năng lực nắm cấu trúc hình thức của bài toán;

2 Chế biến thông tin Toán học:

a) Năng lực tư duy lôgic trong các quan hệ số lượng và hình dạng khônggian, hệ thống ký hiệu số và dấu Năng lực tư duy bằng các ký hiệu Toán học;b) Năng lực khái quát hóa nhanh và rộng các đối tượng, quan hệ Toán học vàcác phép toán;

c) Năng lực rút gọn quá trình suy luận Toán học và hệ thống các phép toántương ứng Năng lực tư duy bằng các cấu trúc rút gọn;

d) Tính linh hoạt của quá trình tư duy trong hoạt động Toán học;

e) Năng lực nhanh chóng và dễ dàng sửa lại phương hướng của tiến trình tưduy thuận sang tiến trình tư duy đảo (trong suy luận Toán học)

3 Lưu trữ thông tin Toán học: Trí nhớ Toán (trí nhớ khái quát về các quan

hệ Toán học; đặc điểm về loại; sơ đồ suy luận và chứng minh; phương pháp giảitoán; nguyên tắc và đường lối giải toán)

4 Thành phần tổng hợp khái quát: Khuynh hướng Toán học của trí tuệ

Còn theo Viện sĩ A N Kolmogorov cho rằng trong thành phần của nănglực Toán học có:

(1) Năng lực biến đổi khéo léo những biểu thức chữ phức tạp, năng lực tìmcon đường giải các phương trình không theo quy tắc chuẩn, hoặc như các nhàToán học quen gọi là năng lực tính toán hay năng lực “angoritmic”;

(2) Trí tưởng tượng hình học hay là “năng lực trực giác”;

(3) Nghệ thuật suy luận lôgic theo các bước được phân chia một cách đúngđắn Đặc biệt, có kỹ năng vận dụng đúng đắn nguyên lý quy nạp Toán học

Chúng ta có thể nhận thấy các sơ đồ nói trên của các tác giả gần giống như các

kỹ năng giải toán của học sinh Sự liên quan của việc giải toán với năng lực Toánhọc, B V Gơ-nhe-đen-cô đã khẳng định: “Ý nghĩa của các Olympic Toán là rấtlớn Nhưng chúng chỉ có vai trò hạn chế trong sự phát triển hứng thú Toán họccủa học sinh Chúng phát triển chủ yếu là thiên về việc giải các bài toán khôngchuẩn mực Các năng lực Toán học có thể bộc lộ không chỉ trong việc đó, mànhiều nhà Toán học bằng các phát minh của mình mà họ đã có đóng góp to lớncho khoa học nhưng có thể trong thời trẻ không dành được giải thưởng nàotrong kỳ thi Họ có những năng lực đặc thù khác: Trong hoàn cảnh yên tĩnh,không vội vã, họ đã khai phá được những con đường giải quyết các vấn đề lớnđặt ra trước khoa học Sự không thành đạt trong các kỳ thi Olympic hoàn toànkhông có nghĩa là thiếu tài năng Toán học…” Chúng ta không phủ nhận nhữnghọc sinh giỏi toán trong các kỳ thi học sinh giỏi là những học sinh có năng lựcToán học đặc biệt Các em đã được phát hiện và bồi dưỡng một cách tích cựcnhằm phát huy hết năng lực vốn có Nhưng đó chỉ rất ít trong số hàng triệu họcsinh của nước ta Vấn đề đặt ra cho giáo dục nước nhà là làm sao để có nhiều vànhiều hơn nữa những học sinh như vậy Dạy học như thế nào, để phần lớn họcsinh có thể hoàn thiện những năng lực Toán học như đã nêu ở trên, để từ đó mỗihọc sinh có thể độc lập giải toán cũng như giải quyết một công việc học tậpkhác? Đó đang là vấn đề mà các nhà sư phạm, các nhà giáo dục phải đi tìm câu

trả lời Việc nghiên cứu các thành phần cấu trúc năng lực Toán học của học sinh,

từ đó tìm ra những phương pháp góp phần phát triển tư duy cho học sinh sẽ phầnnào giải đáp được câu hỏi trên

1.2 Suy luận

1.2.1 Khái niệm suy luận

Theo Hoàng Chúng: “Suy luận là rút ra phán đoán mới từ một hay nhiều phán

đoán đã có Phán đoán đã có được gọi là tiền đề, phán đoán mới được gọi là kết

luận của suy luận” ([17], tr 56).

Cùng trên quan điểm về suy luận, các tác giả Nguyễn Đức Đồng, Nguyễn VănVĩnh cho rằng: “Suy luận là quá trình suy nghĩ để rút ra một mệnh đề mới từ một hoặc nhiều mệnh đề đã có trước Các mệnh đề có trước gọi là tiền đề của suy luận Mệnh đề mới rút ra được gọi là hệ quả hay là kết luận ” ([18], tr 140).

Còn theo Phạm Văn Hoàn và các cộng sự thì: “Suy luận là nhận thức hiệnthực một cách gián tiếp Đó là một quá trình tư duy, xuất phát từ một hay nhiềuđiều đã biết, người ta đi đến những phán đoán mới” ([1], tr 85)

Một quan niệm tương tự mà theo Nguyễn Hữu Lương gọi là “hoạt động suy

nghĩ” Theo ông: “Để suy nghĩ, trước hết chúng ta phải huy động các ảnh liên

quan đến vấn đề đặt ra đã và đang tồn tại trong đầu chúng ta, gợi lại (tái hiện) đểnhận ra đâu là giả thiết, đâu là kết luận, nghĩa là ta đã biết trước những gì và phảitìm ra cái gì, hay chứng minh cái gì Ta hình dung ra giữa hai “địa điểm” giảthiết và kết luận còn có những chướng ngại như những con sông chưa thể vượtqua được Suy nghĩ tức là phải tìm ra chiếc cầu, những con đường có thể vượtqua những chướng ngại này để nối liền hai địa điểm đó” ([19], tr 91)

Như vậy, suy luận là một hình thức tư duy của con người mà khi gặp một tìnhhuống buộc chúng ta phải suy nghĩ, phải tìm cách để giải quyết nó Trong dạyhọc Toán, suy luận không được thể hiện một cách tường minh, nó được thể hiện

dưới dạng ẩn tàng và thường xuyên được sử dụng như một phương thức kiểmchứng năng lực Toán học của học sinh.

 Cấu trúc của suy luận: Mỗi suy luận gồm có ba thành phần:

- Tiền đề: là những phán đoán xuất phát, tức là những tri thức đã biết, đã

xác định tính chân thực của nó, để từ đó tìm ra được những phán đoán mới,những tri thức mới mà tính chân thực của nó phụ thuộc vào tính chân thực củacác tri thức xuất phát

- Lập luận: là các quy luật lôgic cơ bản kết hợp với các hình thức lôgic của

phán đoán và các quy tắc lôgic xác định, cho phép người ta rút ra được nhữngkết luận nhất định từ những tiền đề

- Kết luận: là những phán đoán mới được rút ra từ những tiền đề bằng các

phép lập luận

 Phân loại:

Suy luận gồm có hai loại: suy luận suy diễn và suy luận có lí

- Suy luận diễn dịch (Suy diễn): Là suy luận tuân theo những quy tắc lôgic

nhất định để bảo đảm rằng nếu tiền đề đúng thì kết luận rút ra cũng đúng Trongcác hoạt động giải toán nhất là hoạt động chứng minh, suy luận diễn dịch thườngxuyên được sử dụng như là một công cụ hữu ích trong các bài toán Suy luậndiễn dịch là suy luận có cơ sở, đáng tin cậy và không thể chối cãi

- Suy luận có lí: Cho đến nay cũng chưa có một định nghĩa thống nhất về suy

luận có lí Suy luận có lí có thể tạm hiểu là những suy luận mà giữa tiền đề vàkết luận đang có một sự khập khiểng, chưa có độ tin cậy hay những phán đoán tarút ra từ suy luận có lí cần được chứng minh, thực nghiệm, kiểm chứng tính đúngđắn của nó Theo G Polya: “Suy luận có lí là suy luận còn bấp bênh, phải tranhcãi và có điều kiện… Mọi cái mới mà chúng ta hiểu biết được về thế giới đều có

liên hệ với các suy luận có lí, là suy luận duy nhất mà ta quan tâm trong côngviệc hàng ngày” ([5], tr 4).

Khác với suy diễn, suy luận có lí không tuân theo một quy tắc tổng quát nào

để từ những tiền đề đã có, rút ra được một kết luận xác định Cũng theo G Polyathì hai loại suy luận nói trên không hề mâu thuẫn với nhau, mà trái lại bổ sungcho nhau “Toán học hoàn chỉnh, được trình bày dưới hình thức hoàn chỉnh,được xem như chứng minh thuần túy, chỉ bao gồm các chứng minh Nhưng Toánhọc gợi lại mọi kiến thức khác của nhân loại trong quá trình hình thành Bạn phải

dự đoán một định lý Toán học trước khi bạn chứng minh nó Bạn phải dự đoán ýcủa chứng minh trước khi tiến hành chứng minh chi tiết Bạn phải đối chiếu cáckết quả quan sát được và suy ra những điều tương tự, bạn phải thử đi thử lại Kếtquả sáng tạo của nhà Toán học là suy luận chứng minh, là chứng minh; nhưngngười ta tìm ra cách chứng minh nhờ suy luận có lí và dự đoán”([5], tr 5) Hailoại suy luận không những không mâu thuẫn với nhau mà có mối quan hệ mậtthiết trong dạy học môn Toán

1.2.2 Các quy luật suy luận

Trong quá trình lập luận tức là từ tiền đề đến kết luận của phép suy luận cầnđảm bảo một số quy luật suy luận như: quy luật đồng nhất, quy luật không mâuthuẫn, quy luật bài trung, quy luật phản đảo, quy luật phủ định của phủ định, quyluật có lí do đầy đủ… Sau đây, chúng ta sẽ tìm hiểu một số quy luật thường gặptrong quá trình suy luận

1.2.2.1 Quy luật đồng nhất

Trong quá trình lập luận, tư tưởng nào cũng phải được diễn đạt một cáchchính xác, phải có nội dung xác định và vững chắc tức là mọi tư tưởng đưa raphải đồng nhất với chính nó Ví dụ như hình vuông là hình vuông, hình bìnhhành là hình bình hành chứ không đồng nhất hình vuông với hình bình hành Tuy

nhiên, điều này chỉ đúng trong mặt tĩnh của không gian Nhưng khi chúng ta xétđến mặt động nghĩa là chúng ta đang xét nó trong không gian afin thì hai kháiniệm trên lại đồng nhất với nhau Do đó, trong quá trình dạy học thì khi đưa ra

một phán đoán nào thì cũng phải xét nó trong một “môi trường” xác định để

tránh những hiểu lầm hoặc không chính xác trong tư duy

1.2.2.2 Quy luật không mâu thuẫn

Hai phán đoán khẳng định và phủ định về cùng một đối tượng thì không thểđồng thời là đúng đắn

Quy luật không mâu thuẫn được biểu thị: “A không thể là không A” hay được

biểu diễn dạng công thức A A Ví dụ như đường thẳng không thể là đườngkhông thẳng Cũng giống như trong quy luật đồng nhất, luật không mâu thuẫncũng chỉ đúng hoàn toàn khi đối tượng chúng ta đang xét phải cùng nằm trongmột “quan hệ” nhất định

Chẳng hạn, Newtơn - người phát minh ra phép tính vi phân đã nói rằng: “Tôi coi những phần đường cong rất nhỏ là những đường thẳng” Rõ ràng khẳng định

trên vi phạm cả luật đồng nhất cũng như luật không mâu thuẫn Nhưng nó lạiphản ánh chân thực hơn hiện thực, nó giúp ta hiểu sâu về một dạng vận động củavật chất Tất nhiên điều trên chỉ được con người hiểu và vận dụng nó trong điều

kiện có “vốn” Toán học nhất định Không thể ép học sinh nhỏ tuổi tưởng tượng

điều trên và vận dụng nó thông qua các phép toán như vi tích phân được Tưtưởng trên đã được các nhà sư phạm nghiên cứu để tạo ra những sản phẩm phùhợp với trình độ phát triển của loài người Người thầy cũng nên tập dượt cho họcsinh những thói quen sử dụng quy luật trên trong suy luận cũng như nghiên cứu

1.2.2.3 Quy luật bài trung

Nội dung của quy luật bài trung là hai phán đoán mâu thuẫn với nhau khôngthể cùng giá trị cùng đúng hoặc cùng sai được

Quy luật bài trung được thể hiện qua công thức A A

Quy luật này cũng chỉ đúng trong trạng thái tĩnh và tách rời khỏi những mốiliên hệ với các sự vật khác Nhưng nếu xem xét trong trạng thái động và trongmối quan hệ với sự vật khác thì nó không còn đúng nữa Ví dụ như ta xét haiđường tròn có bán kính khác nhau (C1) và (C2) Rõ ràng nếu ta chỉ xét trong quan

hệ mêtric thì (C1) “không là” (C2) (chứ không thể vừa là (C2) vừa không là (C2)).Tuy nhiên, nếu chúng ta chỉ xét trong quan hệ đồng dạng thì (C1) là (C2) (chứkhông thể vừa (C2) vừa không thể là (C2)) Nếu chú ý đến cả quan hệ đồng dạng

và mêtric thì (C1) vừa là (C2) vừa không là (C2)

Luật bài trung có ý nghĩa vô cùng to lớn Nó giúp ta lựa chọn tư tưởng, tìnhcảm, hành động trong quá trình hoạt động Nó chỉ rõ con đường suy nghĩ chínhxác, thoát khỏi trạng thái mâu thuẫn hỗn loạn của tư tưởng Nó đưa ra chỗ dựavững chắc, quả quyết để tư tưởng tìm ra kết quả chính xác

Quy luật bài trung cũng là cơ sở của một trong những phương pháp chứng minh

trong Toán học, đó là phương pháp chứng minh bằng phản chứng.

1.2.2.4 Quy luật phản đảo

Công thức của quy luật phản đảo là (A B)  (B A)

Trong Toán học, việc giải một số bài toán thuận rất khó chẳng hạn như chứngminh các định lý hình học bằng sử dụng hệ tiên đề thì phép suy luận đảo lạithường xuyên được sử dụng Trong chương trình Toán phổ thông ở đầu cấp, họcsinh đã được trang bị phương pháp chứng minh này Tất nhiên, cơ sở của phépchứng minh này vẫn là quy luật phản đảo trong phép suy luận

1.2.2.5 Quy luật có lý do đầy đủ

Một phán đoán được xem là đúng đắn hay là chứng minh được nếu nó có đầy

đủ luận cứ Nghĩa là, bất kỳ một phán đoán nào đã được chứng minh hay kiểmnghiệm đều là cơ sở cho việc chứng minh các phán đoán khác Mỗi phán đoánmuốn trở thành cơ sở của những phán đoán khác đều phải được chứng minh vớiđầy đủ luận cứ

Theo Phạm Văn Hoàn và các đồng nghiệp: “Quy luật có lý do đầy đủ đòi hỏirằng mọi tư tưởng phải có căn cứ lôgic và chỉ với điều kiện ấy nó mới có được lí

lẽ đúng đắn” ([1], tr 72)

Như vậy, trong quá trình suy luận mà không tuân theo quy luật có lí do đầy đủthì không thể đi đến kết luận chính xác trong phán đoán của mình Do đó trướckhi đưa ra một kết luận nào thì cũng phải suy xét hết tất cả các lý do có căn cứ vàbằng các phép lập luận lôgic Điều này là cần thiết trong quá trình tập luyện cho

học sinh suy luận để loại trừ các khả năng học sinh cho rằng “thừa hay thiếu giả

thiết”.

Trên đây là năm quy luật thường được vận dụng vào trong quá trình suyluận, việc vận dụng linh hoạt và sáng tạo các quy luật nói trên vào quá trình dạyhọc là hết sức quan trọng bởi nó sẽ đảm bảo được tính chính xác của khoa họcToán học nói chung cũng như các suy luận trong đời thường nói riêng

1.2.3 Các quy tắc suy luận

1.2.3.1 Suy luận diễn dịch

a) Suy diễn trực tiếp

Suy diễn trực tiếp là suy diễn trong đó kết luận được rút ra từ một tiền đề do

đó phép suy diễn này người ta còn gọi là phép suy diễn từ một tiền đề Tronglôgic học thì phép suy diễn trực tiếp bao gồm: phép chuyển hóa, phép đảongược, phép đối lập vị ngữ và suy luận theo “hình vuông lôgic” Trong Toán học

thì phép suy luận trực tiếp chủ yếu là những mệnh đề đơn giản, hay chỉ là cácphép suy ra từ mệnh đề này sang mệnh đề khác

Xét hai mệnh đề phức hợp A và B Nếu ta phát biểu mệnh đề (A B) (Từ Asuy ra B hay nếu có A thì có B) Người ta viết suy luận này dưới dạng: A/B.Trong trường hợp (A B) là hằng đúng thì ta có một phép suy diễn và ta gọi B

là kết luận của A

Trong thực tế dạy học, phép suy luận trực tiếp như trên được sử dụng rấtnhiều Điều quan trọng là giáo viên cho học sinh tiếp cận bài toán như thế nào,nghệ thuật đặt câu hỏi ra làm sao để học sinh có thể rèn được kỹ năng suy diễntrực tiếp, cũng từ đó rèn cho học sinh cả quá trình suy luận Mặt khác, chúng tarèn luyện cho học sinh phép suy luận trực tiếp là đang tập dượt cho học sinhphép suy diễn từ nhiều tiền đề

Sau đây, ta sẽ đi xét một số quy tắc suy diễn từ một tiền đề trong Toán học:

 Nếu A=B (A và B luôn cùng giá trị chân lí) thì A B và B A luônđúng Và ta có hai quy tắc suy diễn: A/B và B/A

Ta xét định lý ba đường vuông góc sau: “Hai đường thẳng a và b trongkhông gian vuông góc với nhau khi và chỉ khi đường thẳng a vuông góc với hìnhchiếu vuông góc b’ của b xuống một mặt phẳng (α) chứa a” Nghĩa là chúng ta) chứa a” Nghĩa là chúng ta

có hai cách suy diễn là : “Nếu hai đường thẳng a và b trong không gian mà avuông góc với b thì đường thẳng a vuông góc với hình chiếu vuông góc b’ của bxuống một mặt phẳng (α) chứa a” Nghĩa là chúng ta) chứa a ” và “Nếu đường thẳng a vuông góc với hìnhchiếu vuông góc b’ của b xuống một mặt phẳng (α) chứa a” Nghĩa là chúng ta) chứa a thì a vuông góc vớib”

 Quy tắc phản đảo: Công thức của quy luật này là ( A B) = (B A ).Đây cũng là một quy tắc suy luận thường được sử dụng trong quá trình suy luận

Nó có tác dụng rèn luyện kỹ năng lật ngược vấn đề, tính linh động trong tư duycũng như phương pháp chứng minh phản chứng

Ví dụ 1: Cho d1,d2 là hai đường thẳng chéo nhau Trên d1 lấy hai điểm phânbiệt A và B; trên d2 lấy hai điểm phân biệt C và D Chứng minh rằng AC và BDchéo nhau

Ở ví dụ này học sinh có thể chứng minh bằng phương pháp phản chứng.Giả sử AC và BD không chéo nhau thì ta sẽ suy ra được d1 và d2 cùng nằm trongmột mặt phẳng ( Trái với giả thiết d1 và d2 chéo nhau)

b) Suy diễn từ nhiều tiền đề

i Quy tắc modus ponens

Quy tắc suy luận modus ponens thường được sử dụng trong chứng minh một

mệnh đề Toán học bằng cách đi từ các mệnh đề đúng đã biết, suy diễn tới mệnh

đề cần chứng minh

Quy tắc này còn được gọi là quy tắc “Tam đoạn luận khẳng định”.

Công thức của quy tắc là

Để chứng minh bài toán ta có thể hướng dẫn học sinh sử dụng các đẳng thức

Đối với bài toán trên ta hướng học sinh đi từ các đẳng thức vectơ đã biết để

suy ra điều phải chứng minh

ii Quy tắc modus tollens

Quy tắc modus tollens còn gọi là quy tắc tam đoạn luận phủ định Đây là

cơ sở của phương pháp chứng minh phản chứng

Hình 1

Sơ đồ của quy tắc này là

A

B B

Ví dụ 3: Cho n điểm trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng Chứng

minh rằng không có ba điểm nào trong chúng đồng phẳng

Kết luận của bài toán trên làm cho học sinh khó định hướng trong việctìm lời giải Ta lấy bất kỳ 4 điểm A, B, C, D từ n điểm đã cho Giả sử A, B, C là

3 điểm thẳng hàng Khi đó, gọi d là đường thẳng đi qua A, B và C Khi đó bằngcác suy diễn từ các tính chất đã biết ta suy ra được điều mâu thuẫn với giả thiết(A, B, C, D đồng phẳng)

iii Quy tắc lựa chọn

Quy tắc này có ý nghĩa tập cho học sinh khả năng suy luận để loại trừ nhữngtrường hợp không xảy ra, từ đó có bước giải quyết bài toán gọn hơn

Sơ đồ của quy tắc là A  B, A

iv Quy tắc bắc cầu của phép kéo theo

Sơ đồ của quy tắc là  



A B, B C

A CQuy tắc bắc cầu của phép kéo theo là một chuỗi các phép suy diễn từ một tiền

đề để đi đến kết luận Điều quan trọng là biết định hướng và lựa chọn những tiền

đề trung gian để con đường đi đến kết luận là ngắn nhất Do đó, cần luyện tậpcho học sinh phép suy diễn nào là ngắn gọn

N H

Ví dụ 4: Cho tứ diện đều cạnh a Gọi M là trung điểm của AB, N là trung

điểm cạnh CD Hãy tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng BN và CM

Đây là bài toán tương đối khó vì vận dụng quy trình giải thông thường sẽgặp rất

nhiều khó khăn Nhờ hoạt động phân tích và tổng hợp

ta có thể giải bài toán bằng một cách khác như sau:

Phân tích từ giả thiết bài toán ta thấy các yếu tố cho trong bài toán chứađựng các bất biến của phép chiếu vuông góc như: trung điểm của đoạn thẳng,khoảng cách, tỉ số của hai đoạn cùng phương, góc vuông Hoạt động phân tíchnày được tiến hành trên cơ sở tổng hợp như vậy bài toán có thể được giải bằngcách sử dụng phép chiếu vuông góc

Hoạt động này được tiến hành như sau: Sử dụng phép chiếu lên mặt phẳng(P) vuông góc với BN tại N

Vì ABCD là tứ diện đều, nên từ giả thiết BN  CD và CD  (P) Gọi H làchân đường cao kẻ từ A đến mặt phẳng (BCD), (H  BN) Khi đó ảnh của A, B,

M, C, D, H qua phép chiếu vuông góc nói trên là A1, N, M1, C, D, N Từ giả thiết

suy ra A1C = A1D, A1N  CD, M1A1 = M1N và ta có NA1 = HA = a 2

3 , d(MC, NB) = d(N, CM1) Dẫn đến bài toán trong phẳng là:

Bài toán phẳng: “Cho tam giác cân A1CD tại A1, có CD = a, A1N = a 2

3 Gọi M, N1 lần lượt là trung điểm của CD và A1N Tính khoảng cách từ N đến

CM1”

Từ đây, ta dễ dàng tính được d(MC, NB) = a 10

10

Hình 2

Như vậy ta đã thực hiện phép kéo theo như sau: Từ giả thiết bài toán  bài toán

phẳng Từ bài toán phẳng  d(MC, NB) = a 10

10

1.2.3.2 Suy luận quy nạp

Theo G Polya: “Suy luận quy nạp là trường hợp riêng của suy luận có lí” ([5],

tr 9) Do đó, khi nghiên cứu về suy luận có lí, người ta thường quan tâm đến suyluận quy nạp là chủ yếu

Theo Phạm Văn Hoàn thì có bốn hình thức của suy luận quy nạp Đó là:

- Quy nạp hoàn toàn;

- Quy nạp Toán học;

- Quy nạp không hoàn toàn;

- Phép tương tự

a) Quy nạp hoàn toàn

Quy nạp hoàn toàn là quy nạp trong đó ta rút ra kết luận nói rằng thuộc tính

A có ở tất cả các phần tử của tập hợp đang xét, trên cơ sở biết rằng thuộc tính A

Quy nạp hoàn toàn được sử dụng rộng rãi để chứng minh các định lý và giảitoán Trong phương pháp quy nạp hoàn toàn, khẳng định chung được chứng

minh là đúng trong mỗi trường hợp riêng có thể xảy ra Để thực hiện được quy

nạp hoàn toàn cần:

+ Biết chính xác số đối tượng và từng đối tượng để tránh bỏ sót hay trùng lặp + Số đối tượng không lớn

+ Dấu hiệu của đối tượng có thể xem xét được

Mặc dù, quy nạp hoàn toàn là một hình thức quy nạp nhưng xét tính đúng đắncủa suy luận thì ta có thể xem quy nạp hoàn toàn là suy luận chứng minh ([18],

H C

CH H B

BH H A

3

'

' '

' '

' '

' '

a S

S S

S S

S

H C

CC H B

BB H A

AA H C

CH H B

BH H A AH

AHB

ABC AHC

ABC BHC

AHC ABC

BHC AHB

ABC AHC

S S

S S

S S

    9

AHB

ABC AHC

CH H B

BH H

A

AH

Bài toán 1.2: Ba đường trung tuyến đồng qui.

Cho tam giác ABC và G là trọng tâm Gọi A', B', C' lần lượt là các chânđường trung tuyến của tam giác ABC hạ từ A, B, C

Chứng minh rằng: '  '  '  6

G C

CG G B

BG G A AG

Bài toán 1.3: Ba đường phân giác đồng qui

Cho tam giác ABC và các đường phân giác AA',

BB' cắt nhau tại I Chứng minh rằng:

6

' '

I C

CI I B

BI I A

Bài toán 1.4: Cho tam giác ABC, O là một điểm bất kì trong tam giác Kéo dài

AO, BO, CO cắt các cạnh đối diện tại A', B', C' Khi đó ta có:

6

' '

O C

CO O B

BO O A

AO

AI

A'

B' A

Hình 3

Hình 4

' '

OBC

ABC

S S

OBC

ABC

S S

CO O B

BO O

A

AO

' ' '

AOC ABC

BOC AOB

ABC AOC

ABC BOC

ABC

S

S S

S S

S S

S S

S S

S

(**)

Từ (*) và (**) ta có '  '  '  6

O C

CO O B

BO O A

AO

Đến đây bằng phép tương tự ta có thể mở rộng bài toán sang Hình học khônggian Ta có bài toán sau:

Bài toán 1.5: Cho tứ diện

ABCD, O là một điểm trong

tứ diện Các đường thẳng AO,

O1

B1 D1

H1

O

Hình 6

BO, CO, DO cắt các mặt đối diện với các đỉnh A, B, C, D lần lượt tại A', B', C',

D'

Khi đó ta có:

'  '  '  '  12

O D

DO O C

CO O

4

1

DO O C

CO O B

BO O A

AO

.Trong việc quy nạp bài toán theo quy trình các bài toán đã nêu ở trên đãhướng học sinh đi từ các bài toán cụ thể đến bài toán tổng quát hơn

b) Quy nạp Toán học

Trong trường hợp số phần tử đang xét là vô hạn, ta không thể kiểm tra phánđoán đối với mọi phần tử được nên phải sử dụng phương pháp quy nạp Toánhọc Theo G Polya, “Quy nạp Toán học là phương pháp chứng minh, phươngpháp này thường có ích để khẳng định các mệnh đề Toán học mà ta đi tới nhờmột quá trình nào đó” ([5], tr 131) Như vậy, quy nạp Toán học thường xuấthiện như bước kết thúc hay giai đoạn cuối cùng của sự nghiên cứu quy nạp

Hình 7

Quy nạp Toán học tuân theo sơ đồ A(1) A(k) A(k1).

A(n)Quy nạp Toán học được thực hiện qua hai giai đoạn, đó là giai đoạn quy nạp

và giai đoạn chứng minh Cho no là một số nguyên dương và P(n) là mệnh đề cónghĩa với mọi số tự nhiên n  no, sao cho:

i) P(no) đúng;

ii) Với mỗi số tự nhiên k  n0, nếu P(k) đúng thì P(k+1) cũng đúng

Khi đó mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên n  no

Ví dụ 6: Cho hệ n điểm A A1 , 2 , ,A n Chứng minh rằng tồn tại và duy

nhất điểm G sao cho :

1

0

n i i

GA





  Bài toán sẽ được chứng minh bằng phương pháp quy nạp Toán học

Với n =1, thì trọng tâm A1 là chính nó              A A 1 1               0

Suy ra đúng với n=1

Giả sử mệnh đề đúng với k = n-1 Khi đó tồn tại Gi sao cho

1 1

n

i i i

Trên G A1 n ta chọn điểm G sao cho GA              n  (n               1)GG1

Do đó, bài toán đúng với mọi n 1

Quy nạp hoàn toàn và quy nạp Toán học thường được sử dụng trong suy luận

chứng minh Kết luận rút ra trong hai loại quy nạp này bao giờ cũng chắc chắnđúng, rõ ràng

c) Quy nạp không hoàn toàn: Là phép đi từ cái đúng riêng đến kết luận cho cái

chung, đi từ một hiện tượng đơn nhất cho các hiện tượng phổ biến ([18], tr 145)

Ta có sơ đồ: A1 A2   A k  A n, trong đó k<n

Theo Phạm Văn Hoàn thì “quy nạp không hoàn toàn để dự đoán những phátminh mới, chứ kết luận qua quy nạp không hoàn toàn mới chỉ có tính chất giảthuyết mà thôi” ([1], tr.88)

Chúng ta quan tâm đến quy nạp không hoàn toàn và gọi tắt nó là quy nạp với đúng nghĩa là “trường hợp riêng của suy luận có lí”, “quy nạp chỉ cho một kết luận

có lí mà không phải một kết luận đã được chứng minh” như G Pôlya đã nói đến

Quy nạp đóng vai trò quan trọng trong quá trình dự đoán, sáng tạo cái mới

d) Phép tương tự

Tương tự cũng được xem như là một dạng suy luận quy nạp Cũng như quynạp không hoàn toàn, kết luận rút ra từ phép tương tự chỉ mang tính chất giảthuyết Tuy nhiên, nó cũng đóng một vai trò hết sức quan trọng trong quá trìnhgiải toán và sáng tạo Toán học Đặc biệt trong quá trình tự học, mọi “phát minh”của học sinh đều dựa trên một sự tương tự những kết quả đã có nào đó Do đó,giáo viên nên khuyến khích học sinh phát huy hết khả năng bắt chước này Nhưthế, không những giúp các em có thể giải quyết được bài toán hiện tại, mà còn cóthể các em bắt chước để tìm ra những phát minh táo bạo hơn, và cao hơn là tậpcho các em phong cách nghiên cứu Toán học một cách độc lập và sáng tạo

Ví dụ 7: Cho ABC vuông tại A, M là một điểm bất kì trên BC AM tạovới AB, AC các góc theo thứ tự là  và Chứng minh cos2 + cos2  = 1

Giải:

Qua M dựng đường thẳng vuông góc với AM, cắt AB, AC lần lượt tại B’ vàC’

Khi đó: cos = AM AB' ; cos = AM AC'

 cos2 + cos2  =

) AC'

1 AB'

AM 2 2

= 1 (Do AB’C’ vuông tại A, AM là

đường cao)

Bài toán 1’ : Cho hình chóp tam diện vuông SABC đỉnh S, M là điểm thuộc miền

trong ABC SM hợp với các

cạnh SA, SB, SC các góc theo thứ

tự:  , , Chứng minh cos2 +

cos2  + cos2  = 1

Giải: Sử dụng cách giải tương tự

cách giải với bài toán trong mặt

SC'

SM cos  

Nên: cos 2   cos 2   cos 2 = 2

Vậy cos2 + cos2  + cos2  = 1.

Tóm lại, quy nạp không thể thiếu trong mọi suy luận Toán học, học sinh cầnđược tập luyện thường xuyên để hoàn thiện năng lực suy luận của mình

1.3 Chứng minh

1.3.1 Khái niệm chứng minh

Chứng minh là thao tác lôgic dùng để lập luận tính chân thực của phán đoánnào đó nhờ các phán đoán chân thực khác có mối liên hệ hữu cơ với các phánđoán ấy

1.3.2 Các quy tắc chứng minh

1.3.2.1 Quy tắc đối với luận đề

Luận đề là luận điểm đã được định hình, phát biểu rõ ràng bằng ngôn từ

nhưng tính chân thực của nó còn cần được xác minh

Mỗi luận đề trong chứng minh cần đảm bảo các quy tắc sau:

 Luận đề phải chân thực

 Luận đề phải được phát biểu rõ ràng, chính xác, chặt chẽ

 Phải giữ nguyên luận đề trong suốt quá trình chứng minh

1.3.2.2 Quy tắc đối với luận cứ

Luận cứ là những luận điểm mà từ đó rút ra tính chân thực hay giả dối của

luận đề Luận cứ lại bao gồm: dữ kiện, định nghĩa, tiên đề và định đề, các luật đãđược chứng minh từ trước

Mỗi luận cứ trong chứng minh cần đảm bảo các quy tắc sau:

 Các luận cứ phải chân thực

 Tính chân thực của các luận cứ phải có cơ sở độc lập với luận đề

 Các luận cứ không được mâu thuẫn nhau

 Mỗi luận cứ là cần, còn tất cả chúng cùng nhau thì phải đủ để luận chứngcho luận đề.

1.3.2.3 Quy tắc đối với luận chứng

Luận chứng là quá trình sắp xếp các luận cứ theo mạch lôgic xác định.

Xương sống lôgic của luận chứng là quan hệ kéo theo Nếu luận đề được rút ramột cách lôgic từ các luận cứ thì điều đó có nghĩa là có cơ sở đầy đủ cho nó, cònngược lại nếu các luận cứ là cần và đủ thì tất yếu lôgic rút ra luận đề từ chúng Luận chứng trong chứng minh phải đảm bảo các quy tắc sau:

 Luận đề cần phải được tất suy lôgic từ các luận cứ

 Không được chứng minh vòng quanh

1.3.3 Các kiểu chứng minh

1.3.3.1 Chứng minh phản chứng

Chứng minh phản chứng là cách chứng minh mà bước đầu tìm cách chứng

minh tính giả dối của phản đề mâu thuẫn với luận đề cần chứng minh; sau đó dẫnphản đề giả sử ấy đến mâu thuẫn với chân lý đã được xác lập; và cuối cùng từtính giả dối của phản đề rút ra kết luận về tính chân thực của luận đề cần chứngminh Nói riêng, trong chứng minh phản chứng có một cách gọi là dẫn đến philý

Trong nhiều bài toán ta sử dụng phép chứng minh phản chứng sẽ dễ hơn làchứng minh trực tiếp

Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD có mỗi cặp cạnh đối tạo với nhau những góc

bằng nhau Chứng minh rằng các cặp cạnh

đối của tứ diện vuông góc với nhau

Ta có :                            AB CD                             AC DB                            AD BC.

AC CB CD AC DB AD BC                                             

                            AC CD DB                                                                        CB CD AD BC 

AC CB CB CD DA    

Khi đó các góc giữa các cặp vectơ                            AB CD,                             , AC DB                            ,  , AD BC, 

hoặc bằngnhau, hoặc bù nhau và khác 90 Do đó, từ (*) suy ra trong ba biểu thức AB.CD,AC.DB, AD.BC có một biểu thức bằng tổng của hai biểu thức còn lại Khôngmất tính tổng quát giả sử :

AC.BD = AB.CD + AD.BC (**)

Khi đó, xét mặt phẳng   song song với AC và BD Gọi các điểm A’, B’, C’,D’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của các điểm A, B, C, D lên mặt phẳng  

Ta có AC = A’C’, BD = B’D’, AB > A’B’, CD > C’D’, AD > A’D’, BC >B’C’ Mặt khác, áp dụng Định lý Ptô-lê-mê cho bốn điểm đồng phẳng A’, B’,C’, D’ ta có:

A’C’.B’D’  A’B’.C’D’ + A’D’.B’C’

Do vậy AC.BD < AB.CD + AD.BC

Điều này mâu thuẫn với (**) do đó mỗi cặp cạnh đối của tứ diện ABCD tạo vớinhau góc 90

1.3.3.2 Chứng minh quy nạp

Hình 10

Phương pháp chứng minh quy nạp cũng giống như phép quy nạp Toán học

trong suy luận

1.3.3.3 Chứng minh trực tiếp

Chứng minh trực tiếp là phương pháp chứng minh mà trong đó người ta tổ

chức các luận cứ để trực tiếp dẫn đến tính chân thực hay giả dối của luận đề.Trong chứng minh trực tiếp nhiệm vụ đặt ra là tìm kiếm những luận cứ đượcthừa nhận có tính thuyết phục cao; thiết lập mối liên hệ lôgic tìm được giữa cácluận cứ tìm được với luận đề

1.3.3.4 Chứng minh gián tiếp

Chứng minh gián tiếp là chứng minh trong đó các luận cứ được tổ chức để

luận chứng cho tính chân thực của luận đề bằng cách luận chứng cho tính giả dốicủa phản đề Theo luật bài trung thì một trong hai luận điểm mâu thuẫn nhau làgiả dối thì luận điểm kia là chân thực Phản đề giả dối có nghĩa là luận đề chânthực Như vậy chứng minh gián tiếp trải qua các quá trình sau:

+ Nêu phản đề và từ đó rút ra các hệ quả để mong tìm trong số chúng ít nhất

1.4 Suy luận chứng minh và năng lực suy luận chứng minh

1.4.1 Quan niệm về suy luận chứng minh

Từ những phân tích ở trên chúng tôi quan niệm rằng: Suy luận chứng minh là

kiểu suy luận dựa trên quá trình vận dụng các thao tác lôgic để lập luận tính chân

thực của phán đoán nào đó nhờ các phán đoán chân thực khác có mối liên hệ hữu

cơ với các phán đoán ấy Suy luận chứng minh là suy luận đáng tin cậy, khôngchối cãi được và dứt khoát Suy luận chứng minh khác với suy luận có lý, suydiễn Suy luận chứng minh có những tiêu chuẩn chặt chẽ được ghi lại thành luật

và được giải thích bằng lôgic (lôgic hình thức hay lôgic chứng minh), lôgic này

là thuyết của các suy luận chứng minh

1.4.2 Các kiểu suy luận chứng minh

1.4.2.1 Suy ngược

Phép suy ngược có hai trường hợp là suy ngược tiến và suy ngược lùi.

a) Suy ngược tiến

Giả sử ta cần chứng minh B Từ B ta suy ra B1, từ B1 suy ra B2 ,…, từ Bn-1

suy ra Bn Có hai khả năng xảy ra:

* Nếu Bn sai ta kết luận B sai Trong trường hợp này phép suy ngược tiến

có tác dụng bác bỏ

* Nếu Bn đúng ta chưa có thể kết luận gì được về B Muốn kết luận đúng

ta phải đi ngược lại từ Bn đúng suy ra Bn-1 suy ra B Trong trường hợp này ta cóphép chứng minh tổng hợp và phép suy ngược tiến có tác dụng giúp ta tìmđường lối chứng minh, tức là tìm ra mệnh đề đúng Bn làm điểm xuất phát Sơ đồcấu trúc lôgic của phép suy ngược tiến:

B B 0  B1   B n A

b) Suy ngược lùi

Giả sử muốn chứng minh B ta phải chứng minh B1, muốn chứng minh B1 taphải chứng minh B2, , muốn chứng minh Bn-1 ta phải chứng minh Bn Có nghĩalà: Muốn có B phải có B1, muốn có B1 phải có B2, …, muốn có Bn-1 phải có Bn

Bn là điều đã được khẳng định nên ta dừng lại Vì Bn đúng nên X đúng theo quytắc suy luận bắc cầu Sơ đồ cấu trúc lôgic của phép suy ngược lùi là:

1.4.3 Năng lực suy luận chứng minh

Trên cơ sở các phân tích ở trên, chúng tôi quan niệm rằng: Năng lực suy luận

chứng minh là một tổ hợp những đặc điểm tâm lý của con người đáp ứng việc

thực hiện tốt suy luận chứng minh khi giải toán

1.5 Một số khó khăn và sai lầm khi dạy học chủ đề hình học không

* Các chứng minh trong hình học bằng con đường lập luận lôgic, chứng minhsuy diễn trong khi chứng minh lại dựa trên hình vẽ trực quan.

Khi chứng minh một bài toán hình học hoặc giải các dạng toán khác nhau,trong giả thiết là tổ hợp nhiều điều kiện khác nhau, đặc trưng cho các đối tượnghình học khác nhau; chúng ta vẽ một hình nào đó ứng với một trường hợp trongnhiều trường hợp xảy ra để làm điểm tựa trực quan cho chứng minh, cho giảitoán; nhiều khi hình vẽ đó không bao quát cho nhiều trường hợp xảy ra dẫn tớitrong lập luận chứng minh bỏ sót các trường hợp khác nhau

Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là một tam giác đều cạnh a Một

mặt bên của hình chóp vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại tạo với đáynhững góc bằng nhau và bằng . Tính diện tích xung quanh của hình chóp

- HS sẽ vẽ hình mà không thể hiện được:

Mặt phẳng SAC  ABC, chưa vận dụng giả thiết hai mặt bên hợp với đáynhững góc bằng nhau

- HS không phân biệt được khái niệm hình chóp đa giác đều với hình chóp

có đáy là một đa giác đều: hình chóp đa giác đều thì chân đường cao của hìnhchóp trùng với tâm hình tròn ngoại tiếp đa giác đáy, còn hình chóp có đáy là đagiác đều thì chưa chính xác, nên nhầm lẫn tính chất xác định chân đường cao củahình chóp

Từ những sai lầm đó mà dẫn đến việc xác định chân đường cao H của hìnhchóp không đúng, dẫn đến những tính toán thiếu chính xác

- Kẻ SH ABC

Vì ABC đều nên H trùng với tâm

của đường tròn ngoại tiếp ABC

- Ta có: HIAB HJ; BC HK; AC