SKKN phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học giải bài tập hình học không gian bằng phương pháp trải hình trên mặt phẳng

Lý do chọn đề tài Trong chương trình Hình học trung học phổ thông, bên cạnh các dạngtoán quen thuộc ta còn gặp các bài toán mà trong yêu cầu của nó có yếu tố liênquan đến tổng các

MỤC LỤC

Trang

1 Mở đầu……… 1

1.1 Lý do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu 1

2 Nội dung 1

2.1 Cơ sở lý luận 1

2.2 Thực trạng trước khi áp dụng đề tài 2

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm áp dụng để giải quyết vấn đề ……… 2

2.3.1 Phương pháp trải hình trên mặt phẳng đối với hình chóp và lăng trụ liên quan đến góc……… ………… 2

2.3.2 Phương pháp trải hình trên mặt phẳng đối với hình chóp và lăng trụ liên quan đến độ dài đoạn thẳng……… ……… … 5

2.3.3 Phương pháp trải hình trên mặt phẳng đối khối tròn xoay…… … ….12

2.4 Hiệu quả áp dụng của sáng kiến kinh nghiệm………… .16

3 Kết luận, kiến nghị 17

Kết luận 17

Kiến nghị……… ……… … 17

Tài liệu tham khảo 18

Danh mục các đề tài sáng kiến kinh nghiệm đã được công nhận……… 19

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Trong chương trình Hình học trung học phổ thông, bên cạnh các dạngtoán quen thuộc ta còn gặp các bài toán mà trong yêu cầu của nó có yếu tố liênquan đến tổng các cạnh, hoặc tổng các góc phẳng …thì việc trải phẳng hìnhkhông gian đó sao cho phù hợp sẽ cho ta một lời giải gọn gàng và dễ hiểu

Đây là lớp các bài toán mà ít tài liệu tham khảo đề cập đến hoặc có đề cậpnhưng chưa thực sự dễ dàng tiếp nhận đối với học sinh do cách viết của nhiều tàiliệu không mang tới tri thức phương pháp, kĩ năng nhận dạng

Rõ ràng chúng ta đều thấy rằng đây là lớp các bài toán mà học sinh khóđịnh hướng về lời giải, do nó tương đối lạ lẫm với học sinh, cùng với đó là tâm

lý e ngại khi gặp yêu cầu có yếu tố lớn nhất, nhỏ nhất về tổng độ dài các cạnh,chu vi một đa giác, thể tích một khối đa diện, khối tròn xoay Một số bài toánthuộc dạng này thường gắn yếu tố thực tế tạo cảm giác gần gũi với cuộc sống

Để giải được lớp các bài toán này, chúng ta cần một kiến thức tương đối tổnghợp về véc tơ, lượng giác, hình học không gian, bất đẳng thức,hàm số…

Với những lý do trên, nhằm giúp học sinh hứng thú hơn với môn Toán vàđặc biệt là hình học, góp phần hình thành tư duy quy lạ về quen, vận dụng linhhoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho học sinh tự học, tự nghiên

cứu tìm tòi và sáng tạo, tôi trình bày chuyên đề “ Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học giải bài tập hình học không gian bằng phương pháp trải hình trên mặt phẳng ”

1.2 Mục đích nghiên cứu

Giúp học sinh lớp 12 hình thành kĩ năng, rèn luyện tư duy sáng tạo khigiải một số giải bài toán hình học không gian liên quan tới khối chóp, lăng trụ,khối tròn xoay bằng phương pháp trải hình trên mặt phẳng

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Phạm vi nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm này chủ yếu xoay quanhcác dạng toán hình học không gian như: tìm hoặc xác định các yếu tố của khốichóp, lăng trụ, tròn xoay để tổng độ dài các đoạn thẳng, chu vi đa giác, thể tíchkhối chóp……lớn nhất, nhỏ nhất

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này, tôi sử dụng các phương pháp sauđây:

- Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Phương pháp khảo sát thực tiễn

- Phương pháp phân tích

- Phương pháp tổng hợp

- Phương pháp khái quát hóa

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

2.NỘI DUNG

2.1 Cơ sở lý luận

Cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả tri thức về phươngpháp, khả năng tư duy, khả năng quy lạ về quen, đưa những vấn đề phức tạp trởthành những vấn đề tương đối nhẹ nhàng nhờ việc hiểu rõ cốt lõi của dạng toán

Từ những kiến thức cơ bản phải dẫn dắt học sinh có được những kiến thức nângcao một cách tự nhiên (chứ không áp đặt ngay kiến thức nâng cao).

Chuyên đề này, đa phần các ví dụ minh họa được trình bày dưới dạng câuhỏi trắc nghiệm nhằm giúp học sinh được tiếp cận với hình thức thi tốt nghiệpTHPT quen thuộc Chuyên đề đưa ra các bài toán hình học không gian giảiđược bằng phương pháp trải hình trên mặt phẳng Nhiều ví dụ có tính thực tiễn

2.2.Thực trạng trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

- Giáo viên mất nhiều thời gian để chuẩn bị kiến thức, bài tập minh họa.

- Nhiều học sinh đã quên kiến thức cơ bản trong hình học không gian,

không biết vận dụng các kiến thức về véc tơ, lượng giác,bất đẳng thức, hàm số

- Đa số học sinh e ngại khi làm quen với các bài toán có yêu cầu về giá trị

lớn nhất, nhỏ nhất, yếu tố thực tế

2.3.Các sáng kiến kinh nghiệm áp dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Phương pháp trải hình trên mặt phẳng đối với hình chóp và lăng trụ liên quan đến góc

Khi giải một bài toán về hình chóp, lăng trụ mà các dữ kiện của nó liên quan đến tổng các cạnh, hoặc tổng các góc phẳng …thì việc phẳng hoá hình chóp, lăng trụ (tức là trải phẳng hình đó lên một mặt phẳng) sao cho phù hợp

sẽ cho ta một lời giải gọn gàng và dễ hiểu.

Ví dụ 1 Cho tứ diện ABCD có các góc ở đỉnh A bằng 90 và AB AC AD  Tổng các góc phẳng ở đỉnh B là

Dựng KLMN là hình vuông cạnh AB LMN 90 Trên LM lấy P

sao cho:MP AD  LP ML MP AB AD AC    

Trên MN lấy Q sao cho: MQ AC  NQ MN MQ AB AC    ADXét hai tam giác ACD và MQP có:

Ta cắt hình chóp theo các cạnh SA rồi trải i

các mặt bên như sau lên cùng một mặt

phẳng chứa mặt SA A Như vậy, ta sẽ được1 2

đa giác A A A A 1 2 n 1 (SA1SA1)

Do tổng các góc ở đỉnh lớn hơn 180 nên

đỉnh S nằm trong đa giác, và A S kéo dài1

cắt một cạnh nào đó của đa giác ở B

Gọi a là độ dài đường gấp khúc A A B ; 1 2 b là độ dài đường gấp khúc

Một cách tương tự ta suy ra mỗi cạnh bên của hình chóp đều nhỏ hơn một

nửa chu vi đáy Chọn A.

Ví dụ 3 Cho tứ diện ABCD có tổng các góc phẳng ở đỉnh A bằng tổng các gócphẳng ở đỉnh B và bằng 180 , ACD BCD 180 ; ACB  ;AC CB k  Khi đó diện tích toàn phần của tứ diện đã cho là

Sau khi trải các mặt của tứ diện

xuống mặt phẳng ABD, ta được tứ giác

nội tiếp C C DC , và diện tích toàn phần1 2 3

của tứ diện ABCD bằng diện tích tứ giác

Ví dụ 4 Cho tứ diện SABC có các mặt SAB SBC SCA, , có diện tích bằng nhau

và tổng các góc phẳng ở đỉnh S bằng 180 Khi đó tứ diện SABC

A là tứ diện đều B có các cặp cạnh đối bằng nhau

C có ba cạnh đôi một vuông góc D là hình chóp tam giác đều [1].

SAB SA B SAC SA C

Vậy tứ diện SABC có SA BC SC , AB SB AC,  Chọn B.

2.3.2 Phương pháp trải hình trên mặt phẳng đối với hình chóp và lăng trụ liên quan đến độ dài đoạn thẳng

Ở dạng toán này, xin được nhắc lại nguyên tắc cốt lõi: Độ dài đường gấp

khúc AB B1 2 B C đạt giá trị nhỏ nhất bằng độ dài đoạn thẳng n AC khi tất cả các điểm A B B, , , , ,1 2 B C thẳng hàng n

Khi trải hình trên mặt phẳng cần lưu ý là các tam giác thuộc mặt bên của khối chóp được “biến” thành tam giác bằng nó ở trên cùng một mặt phẳng.

Ví dụ 1 Cho hình chóp đều S ABC có AB=1, ·ASB=300 Lấy hai điểm,

B C¢ ¢lần lượt thuộcSB SC, sao cho chu vi tam giác AB C¢ ¢nhỏ nhất Chu vi tamgiác AB C¢ ¢ khi đó là

ABS  A BS ACS1 ;  A CS2 ;

Chu vi tam giác AB C' ' làAB'+B C' '+C A' =A B1 '+B C' '+C A' 2³ A A1 2 Chu vi tam giác AB C' ' nhỏ nhất bằng A A1 2Û A B C A thẳng hàng.1, ', ', 2Khi đó, ta có:    

A SA A SB BSC CSA     

Do đó A A1 2=SA 2=a 2= 2+ 3 2= +1 3.Chọn D.

Nhận xét: Ở bài toán này, học sinh sẽ có các khó khăn là chọn mặt phẳng nào

để trải hình và cần trải các đa giác nào, đặt tên các điểm sau khi trải hình ra sao để thuận lợi cho việc giải toán.

Thay đổi “hình thức” của ví dụ 1, gắn thêm yếu tố thực tế, ta có bài toán

rất “hấp dẫn” sau đây

Ví dụ 2 Người ta cần trang trí một kim tự tháp hình chóp tứ giác đều S ABCD.cạnh bên bằng 200m, góc ·ASB=150bằng đường gấp khúc dây đèn led vòng

B A

quanh kim tự tháp AEFGHIJKLS.Trong đó điểm L cố định và LS=40m

(tham khảo hình vẽ)

Hỏi khi đó cần dùng ít nhất bao nhiêu mét dây đèn led để trang trí?

A 40 67+40 mét B 20 111 40+ mét

C 40 31 40+ mét D 40 111 40+ mét [2]

Giải.

Cắt hình chóp theo cạnh bên SA rồi trải ra mặt phẳng hai lần, ta có hình vẽ sau

Từ đó suy ra chiều dài dây đèn led ngắn nhất là bằng AL+LS.Từ giả thiết

về hình chóp đều S ABCD ,ta có ·ASL=1200.Ta có:

Vậy chiều dài dây đèn led cần ít nhất là 40 31 40+ mét Chọn C.

Nhận xét: đường gấp khúc dây đèn led vòng quanh kim tự tháp hai lần nên ta

trải hình chóp trên mặt phẳng hai lần.Các tam giác mặt bên được trải thành các tam giác bằng nó trên mặt phẳng.

Ví dụ 3 Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy ABC vuông tại A ,

SA^ ABC và SA=h; hai điểm B C, thay đổi sao cho AB+AC=h.Gọi I J,

là các điểm lần lượt di động trên các cạnh SB và SC Tìm giá trị nhỏ nhất củachu vi tam giác AIJ

điểmA A', '' sao cho AA'=AA''=SA=h.

Gọi S¢ là đỉnh thứ 4 của hình bình hành

Như vậy mặt xung quanh của hình chóp

đã được trải ra trên mặt phẳng chứa đáy

thành các tam giác bằng với chúng

Gọi I J', ' là các điểm lần lượt thuộc các đoạn thẳng S C' và S B' sao cho' '

S I =SI ,S J' '=SJ Khi đó chu vi tam giác AIJ bằng độ dài đường gấp khúc' ' ' ' ' ''

Ví dụ 4 Cho hình chóp tam giác O ABC có các cạnh OA OB OC đôi một, ,

uông góc với nhau và OC= không đổi c OA=a OB, = thay đổi sao chob

a b+ = Tính thể tích lớn nhất của khối cầu nội tiếp hình chóp c O ABC ?

Như vậy tất cả các mặt của hình chóp O ABC đã được trải phẳng thành hình vuông ODFE Do đó diện tích toàn phần của hình chóp bằng diện tích hình vuông ODFE và bằng c2

SB=SB = điểm N thành điểm N Khi đó 1 PM +PN=PM +PN1³ MN1.

Do đó giá trị nhỏ nhất của PM +PN bằng độ dài đoạn thẳngMN , xảy ra khi1

2

CN SCN

M A

B S

Một con kiến ở vị trí A muốn đi đến vị trí B Biết rằng con kiến chỉ có thể bòtrên bề mặt của hình hộp đã cho Gọi xcm là quãng đường ngắn nhất của conkiến đi từ Ađến B Khẳng định nào sau đây là đúng?

Trải các mặtAPSTvà PNBScho cùng kết quả giống như trên

Trường hợp 2:Trải các mặtAMRT và MNBR ta được hình sau

M

R T

Trường hợp 3:Trải các mặtAPNM và MNBR ta được hình sau

B3

R M

N P

Vậyx»13,45 (13;14).Î Chọn B.

Ví dụ 7 Cho hình lập phương ABCD A B C D ¢ ¢ ¢ ¢ có cạnh bằng 1, M là trungđiểm của AB Một con kiến đi từ M đến điểm N thuộc cạnh BC, từ điểm Nđithẳng tới điểm P thuộc cạnh CC¢, từ điểm Pđi thẳng tới điểmD¢ (các điểm N,

P thay đổi tùy hướng đi của con kiến

M

B' A'

C D

N P

Quãng đường ngắn nhất để con kiến đi từ điểm M đến điểm D¢là

cùng một mặt phẳng

Ta có: MN +NP+PD¢³ MD¢

Do đó Quảng đường ngắn nhất để con

kiến đi từ điểm M đến điểm D¢bằng MD¢

Điều này xảy ra khi các điểm

Nhận xét: Ví dụ 9 tương tự ví dụ 3.Thay đổi giả thiết đã gây khó khăn cho việc

nhận dạng của học sinh và tạo cảm giác “khó” khi đáp án viết dưới dạng bất đẳng thức

2.3.3 Phương pháp trải hình trên mặt phẳng đối khối tròn xoay

Phương pháp này đòi hỏi học sinh phải biết cách trải phẳng một hình trụ thành hình chữ nhật, một hình nón thành hình quạt và có thể trải một hoặc nhiều lần lên mặt phẳng.

Một vài yêu cầu để làm học sinh làm được dạng toán này là nắm vững các công thức về khối tròn xoay, kiến thức lượng giác.

Ví dụ 1 Để chào mừng 20 năm thành lập thành phố A, Ban tổ chức quyết định

trang trí cho cổng chào có hai cột hình trụ Các kĩ thuật viên đưa ra phương ánquấn xoắn từ chân cột lên đỉnh cột đúng 20 vòng đèn Led cho mỗi cột Biết bánkính trụ cổng là 30cm và chiều cao cổng là 5 ( ) m Tính chiều dài dây đèn Ledtối thiểu để trang trí hai cột trụ cổng

A 24 ( ).p m B 20 ( ).p m C 30 ( ).p m D 26 ( ).p m [4].

Giải

Với cách trang trí quấn xoắn từ chân cột lên đỉnh cột đúng 20 vòng đèn, ta cóthể trải phẳng cổng chào hình trụ đó 20 lần để được một hình chữ nhật có chiềucao 5 ( ) m và chiều ngang là 20.2.0,3 12 ( ) m

B

B C

Nhận xét: Ở bài tập trên việc cho giả thiết trang trí quấn xoắn từ chân cột lên

đỉnh cột đúng 20 vòng đèn dẫn tới trải phẳng hình trụ 20 lần.

Ví dụ 2 Một cái bánh kem hình trụ cao 15cm, đường kính 24cm Người tamuốn trang trí hai đường viền bằng socola như hình vẽ Để tiết kiệm nguyên liệulàm bánh thì tổng chiều dài của hai đường viền socola gần nhất với số nào?

đoạn thẳng AC Đường viền socola ngắn

nhất từ Bđến D là đoạn thẳng BD

Nhận xét: Đây là bài tập tương đối nhẹ nhàng Nhờ tính đối xứng của hình trụ

nên học sinh dễ dàng nhận ra “chỉ cần” trải phẳng nửa hình trụ ta được hình chữ nhật

Ví dụ 3 Có một cái cốc úp ngược như hình vẽ Chiều cao của cốc là30cm, bánkính đáy cốc 3cm, bán kính miệng cốc 5cm Một con nhện xuất phát từ điểm A

của miệng cốc và bò ba vòng quanh thân cốc rồi dừng lại tại điểmB ở đáy cốcnhư hình vẽ Quãng đường ngắn nhất con nhện đó phải đi là

A B

A l» 76cm B l» 75,94cm

C l» 74cm D l» 74,64. [2].

Giải

Gọi r r h lần lượt là bán kính đáy cốc,1, ,2

miệng cốc và chiều cao của cốc Ta trải ba

lần mặt xung quanh của cái cốc lên mặt

phẳng sẽ được một hình là bộ phận của

hình quạt

Cung nhỏ có độ dài l BB( 3) 3.2   r118

Cung lớn có độ dài l AA( 3) 3.2   r2 30

Độ dài đường đi ngắn nhất của con nhện là

độ dài đoạn thẳng AB 3

ĐặtAOA 1  , ta có

Thay vào công thức (1) ta có kết quả l» 74,64. Chọn D.

Ví dụ 4 Một con kiến bò lên đều quanh hình trụ (từ mặt đáy dưới lên mặt đáy

trên), bán kính mặt đáy hình trụ 3

Ta trải phẳng hình vẽ bài toán bằng cách cắt hình trụ bởi một đường thẳng đi

qua “điểm bắt đầu” và “điểm kết thúc” Ta ký hiệu các điểm như hình vẽ

h=4

Vòng 1 Vòng 2 Vòng n

Chu vi đường tròn Bắt đầu

Kết thúc

Gọi “điểm bắt đầu” là vị trí ở mặt đáy dưới của hình trụ mà kiến xuấtphát; “điểm kết thúc” là vị trí ở mặt đáy trên của hình trụ mà kiến kết thúc hànhtrình di chuyển

Gọi n n   * là số vòng mà con kiến bò được trong suốt hành trình di

   Khi đó độ dài đoạn đường mỗi vòng

kiến đi được:

2 2

Yêu cầu bài toán 

là một số nguyên

Chọn A.

Ví dụ 5 Tại trung tâm thành phố người ta tạo điểm nhấn bằng cột trang trí hình

nón có kích thước như sau: chiều dài đường sinh l 10m, bán kính đáy R 5m Biết rằng tam giác SAB là thiết diện qua trục của hình nón và C là trung điểm

của SB Trang trí một hệ thống đèn điện tử chạy từ A đến C trên mặt nón Xác

định giá trị ngắn nhất của chiều dài dây đèn điện tử

C S

A 15 m B 10 m C 5 3 m D 5 5 m [2].

Giải

Cắt hình nón theo hai đường sinh SA, SB rồi

trải ra ta được hình bên

Khi đó, chiều dài dây đèn ngắn nhất là độ dài

đoạn thẳng AC.

Chu vi cung tròn AB : 1.2 5 5

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Đề tài này bản thân tôi áp dụng trọng việc dạy và luyện cho học sinh ônthi THPT quốc gia và học sinh giỏi cấp trường, cấp tỉnh Đa số học sinh có hứngthú, vận dụng tốt và phần nào tự tin khi gặp dạng toán này