Sáng kiến kinh nghiệm: Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ

Sự ra đời của phơng pháp toạ độ đã đơn giản hoá đợc phần lớn các bài toán trong hình học không gian.. Với học sinh lớp 12, các em đã đợc làm quen với phơng pháp toạ độ, vì thế có thể sử

ời thực hiện :Lê Trung Tín

Sở giáo dục & đào tạo hà tây

Trờng THPT Chuyên Nguyễn Hụê

Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam

Độc lập – Tự Do – Hạnh Phúc Tự Do – Tự Do – Hạnh Phúc Hạnh Phúc

đề tài sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2007 – Tự Do – Hạnh Phúc 2008

I – Tự Do – Hạnh Phúc Sơ yếu lý lịch:

- Họ và tên: Lê Trung Tín

- Ngày tháng năm sinh: 1/5/1976

- Năm vào ngành: 1998

- Chức vụ : Giáo viên , đơn vị công tác: Trờng THPT Chuyên Nguyễn Hụê

- Trình độ chuyên môn: Thạc sĩ ngành Toán , Hệ đào tạo: Chính quy tập trung

- Bộ môn giảng dạy: Toán Trình độ ngoại ngữ: Tiêng Anh trình độ C

II – Tự Do – Hạnh Phúc Nội dung đề tài:

1- Tên đề tài: Giải bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toạ độ

2 – Tự Do – Hạnh Phúc Lý do chọn đề tài:

Trong toán học nói chung và trong hình học nói riêng không có một

ph-ơng pháp nào chung để giải các bài toán Mỗi phph-ơng pháp đều có những u,

nh-ợc điểm riêng Với mỗi loại bài toán luôn đòi hỏi một phơng pháp cụ thể để giải quyết một cách đơn giản nhất Sự ra đời của phơng pháp toạ độ đã đơn giản hoá đợc phần lớn các bài toán trong hình học không gian Thông qua

ph-ơng pháp toạ độ và phph-ơng pháp vectơ có thể xây dựng thêm một công cụ giải toán, cho phép đại số hoá hình học, hình học hoá đại số

Với học sinh lớp 12, các em đã đợc làm quen với phơng pháp toạ độ, vì thế có thể sử dụng phơng pháp toạ độ trong không gian để giải quyết các bài toán hình học không gian một cách thuận tiện

3- Phạm vi , đối tợng, thời gian thực hiện:

- Khách thể: Học sinh lớp 12

- Đối tợng nghiên cứu: Một số bài toán hình học không gian - Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán sơ cấp về hình học không gian trong chơng trình PTTH

- Thực hiện đề tài trong các giờ bài tập của học sinh lớp 12 chuyên Tin, 12 chuyên Pháp, 12 A4 năm học 2007 – Tự Do – Hạnh Phúc 2008

III– Tự Do – Hạnh Phúc Quá trình thực hiện đề tài:

1 – Tự Do – Hạnh Phúc Tình trạng thực tế trớc khi thực hiện đề tài:

Trớc khi thực hiện đề tài , tôi đã khảo sát chất lợng của học sinh thông qua kiểm tra viết sử dụng phơng pháp toạ độ trong không gian để giải quyết các bài toán hình học không gian Tôi đã tiến hành kiểm tra qua bài toán sau: Tìm lời giải bằng phơng pháp toạ độ:

Cho hình lập ph

“Cho hình lập ph ơng ABCD A B C D cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai ’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai ’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai ’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai

mặt phẳng (AB D ) và’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai ’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai (C BD) ’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai ”

30% học sinh biết Dựa vào giả thiết để lựa chọn gốc toạ độ sao cho toạ độ các

điểm trong bài toán đợc thuận tiện

10% học sinh biết cách giải bài tập hoàn chỉnh tối u

Chất lợng bài giải của học sinh thấp, kĩ năng giải toán dạng này yếu

2- Các biện pháp thực hiện đề tài:

Bớc 1: Hệ thống hoá các kiến thức

Bớc 2: Đa ra một số ví dụ điển hình

Bớc 3: Rèn luyện kĩ năng giải các bài tập ứng cho học sinh thông qua một số

bài tập bổ sung nâng cao Gợi mở cho học sinh những hớng phát triển, mở rộng

3 – Tự Do – Hạnh Phúc Kết quả thực hiện đề tài:

Tôi đã tiến hành kiểm tra qua bài toán sau: Tìm lời giải bằng phơng pháp toạ

độ: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a Từ trung điểm H của cạnh AB dung

SH vuông góc với mp(ABCD) sao cho nhị diện cạnh AD của hình chóp S.ABCD có số đo bằng 60 0

a Tính SH và khoảng cách từ H đến mp(SCD)

b Gọi K là trung điểm của cạnh AD Chứng minh CKSD và tính số

đo nhị diện (A, SD, C)

c Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCK)

Kết quả :

100% học sinh biết Dựa vào giả thiết để lựa chọn gốc toạ độ sao cho toạ độ các điểm trong bài toán đợc thuận tiện

80% Phiên dịch đúng từ bài toán hình học không gian sang ngôn ngữ toạ độ 75% học sinh biết cách giải bài tập hoàn chỉnh tối u

III– Tự Do – Hạnh Phúc Những bài học kinh nghiệm và kiến nghị sau khi thực hiện đề tài

Qua kết quả điểu tra khảo sát thực tiễn ta thấy rằng khi giải các bài toán hình học không gian, học sinh thờng không chú ý đến phơng pháp toạ độ và tính u việt của nó hoặc rất lúng túng khi giải bằng phơng pháp toạ độ Do đó học sinh rất ngại khi giải các bài toán không gian

Vì vậy, để giúp học sinh có hứng thú học môn hình học không gian và thấy đợc tính u việt của phơng pháp toạ độ khi giải bài tập hình học không gian, thầy giáo cần đề ra giải pháp khi giải bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toạ độ

- Lựa chọn những bài toán có thể quy về toạ độ trong hệ toạ độ thích hợp

- Dựa vào giả thiết để lựa chọn gốc toạ độ sao cho toạ độ các điểm trong bài toán đợc thuận tiện

- Phiên dịch đúng từ bài toán hình học không gian sang ngôn ngữ toạ

độ và ngợc lại

Nhận xét, đánh giá , xếp loại của

Hội đồng khoa học cơ sở

(Chủ tịch HĐ ký, đóng dấu)

Hà Đông, ngày 1 tháng 6 năm 2008

Tác giả

êi thùc hiÖn :Lª Trung TÝn

Lª Trumg TÝn

Nội dung

- - -    - - -

Chơng I

Một số kiến thức cơ bản

1/ Hệ trục toạ độ

Cho ba trục toạ độ x’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa haiOx, yOy,

z’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa haiOz vuông góc với nhau từng đôi

một tại điểm O Gọi   i j k, , là các

véctơ đơn vị tơng ứng trên các trục

x’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa haiOx, yOy, zOz

Hệ ba trục toạ độ nh vậy gọi là

hệ trục toạ độ Đề các vuông góc

Oxyz hoặc đơn giản là toạ độ Oxyz

+ Trục Ox gọi là trục hoành

+ Trục Oy gọi là trục tung

+ Trục Oz gọi là trục cao

+ Điểm O gọi là gốc của hệ toạ độ

2/ Vectơ đối với hệ toạ độ

+ Cho hệ toạ độ Oxyz và một vectơ tuỳ ý v Vì ba vectơ   i j k, , không

đồng phẳng nên có duy nhất bộ ba số x, y, z sao cho: v xi y j zk   

Bộ ba số (x; y; z) gọi là toạ độ của vectơ v, kí hiệu là v x y z( ; ; ) hoặc

( ; ; )

v x y z



Số x gọi là hoành độ, số y gọi là tung độ và số z gọi là cao độ của vectơ v

+ Với hai điểm M x y z1 1 , , 1 1 và M x y z2 2 , , 2 2 thì:

1 2 2 1 , 2 1 , 2 1

M M  x  x y  y z  z

+ Nếu có hai vectơ v1 ( , , )x y z1 1 1



và v2  ( , , )x y z2 2 2



thì:

(i) v1 v2 x1 x y2 , 1 y z2 , 1 z2

 

(ii) v1  v2 x1  x y2 , 1  y z2 , 1  z2

 

(iii) kv1 (kx ky kz1, 1, 1)



(iv) v v1. 2 x x1. 2y y1. 2z z1. 2

 

(v) v              1              v2  x x1 2y y1 2z z1 2  0

x

O

y

z

j



k 

i



ời thực hiện :Lê Trung Tín

(vi) Tích có hớng của hai vectơ v 1  ( , , )x y z1 1 1

và v2  ( , , )x y z2 2 2



là một vectơ v đợc xác định bởi: 1 2 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

v v v

y z z x x y

  

3/ Khoảng cách giữa hai điểm

Cho hai điểm M x y z1 1 , , 1 1 và M x y z2 2 , , 2 2, thì khoảng cách d giữa M1

và M2 là độ dài của vectơ M M 1 2

:

d M M  x  x  y  y  z  z

4/ Chia một đoạn thẳng cho tr ớc theo một tỷ số cho tr ớc

Điểm M x y x , , chia đoạn thẳngM M1 2 theo tỉ số k: MM1k MM2

đợc xác định bởi công thức:

1 2

1 2

1 2

1

1

1

x kx x

k

y ky y

k

z kz z

k





























Đặc biệt nếu k= - 1, thì M là trung điểm của M M1 2, khi đó toạ độ của M là:

1 2

1 2

1 2

2

2

2

x x x

y y y

z z z





























5/ Góc giữa hai vectơ

Góc  giữa hai vectơ v1 ( , , )x y z1 1 1



và v2  ( , , )x y z2 2 2



xác định bởi:

1 2 1 2 1 2

1 1 1 2 2 2

1 1 1 2 2 2

cos

.

x x y y z z

x y z x y z

6/ Hai vectơ cùng ph ơng

Hai vectơ v1  ( , , ) 0x y z1 1 1 

và v2  ( , , ) 0x y z2 2 2 

cùng phơng với nhau khi

và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho:

2 1

v kv

 cả ba định thức sau đều bằng 0: 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

y z z x x y

y z z x x y .

7/ Ph ơng trình mặt phẳng

a Khái niệm

Một vectơ n  0 đợc gọi là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )  nếu nằm trên đờng thẳng vuông góc với ( ) 

Mặt phẳng ( )  hoàn toàn xác định nếu cho biết một điểm M0  ( )  và một vectơ pháp tuyến của nó

b Định lý

Mỗi mặt phẳng là tập hợp tất cả những điểm có toạ độ thoả mãn phơng trình dạng:

2 2 2

Ax By Cz D    A B C 

và ngợc lại mỗi phơng trình dạng đó là phơng trình của một mặt phẳng

8/ Ph ơng trình đ ờng thẳng

a Định nghĩa: Vectơ a là vectơ chỉ phơng của đờng thẳng (d)

0 //( )

a

a d

 



 



 



b Phơng trình tổng quát của đờng thẳng:

Vì đờng thẳng (d) trong không gian có thể xem là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) nào đó, nên phơng trình tổng quát của (d) có dạng:

 

 

( ) :

A x B y C z D

d

A x B y C z D







với điều kiện A B C1: 1: 1 A2:B C2: 2

trong đó (1), (2) theo thứ tự là phơng trình của hai mặt phẳng (P) và (Q)

9/ Ph ơng trình mặt cầu

Trong hệ toạ độ Oxyz tập hợp các điểm cách điểm I a b c( , , ) cho trớc một khoảng R>0 không đổi là một mặt cầu có phơng trình:

(x a )  (y b )  (z c ) R

ời thực hiện :Lê Trung Tín

Chơng II

Giải bài toán hình học không gian bằng

phơng pháp toạ độ

I/ H ớng dẫn học sinh sử dụng ph ơng pháp toạ độ

Để giải các bài toán hình học nói chung và hình học không gian nói riêng chúng ta hải dựa vào các yếu tố, các quan hệ về hình học, đồng phẳng, song song, vuông góc, bằng nhau Nếu ta chọn một hệ toạ độ thích hợp thì

ta có thể chuyển thể bài toán hình học sang bài toán đại số với những số, những chữ, vectơ với phép toán trên nó Với bài toán đại số này chúng ta có sự

định hớng rõ ràng hơn và khả năng tìm đợc lời giải nhanh hơn Để thực hiện

đợc điều đó, đòi hỏi học sinh phải có sự luyện tập, vận dụng các kiến thức và cần nắm đợc quy trình giải toán bằng phơng pháp toạ độ thích hợp

Bớc 1: Chọn hệ toạ độ thích hợp

Bớc 2: Phiên dịch bài toán từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ toạ độ Bớc 3: Dùng các kiến thức về toạ độ để giải toán

Bớc 4: Phiên dịch kết quả bài toán từ ngôn ngữ toạ độ sang ngôn ngữ hình học

Trong các bớc trên, bớc 2 và bớc 4 học sinh có thể hoàn toàn làm đợc nhờ các kiến thức liên hệ giữa hình học không gian và hệ toạ độ đã biết, ở bớc

3 học sinh có thể sử dụng các kiến thức trên hệ toạ độ một cách sáng tạo để giải các bài toán Buớc 1 học sinh gặp khó khăn hơn cả do không có phơng pháp cụ thể Để khắc phục khó khăn đó, học sinh phải tập luyện và phải biết dựa vào một số dặc điểm của bài toán này Chọn hệ toạ độ sao cho gốc trùng với điểm cố định đã biết, dựa vào các đờng thẳng vuông góc để gắn với các trục toạ độ, các điểm đã biết gắn với các toạ độ đơn giản, thuận lợi

II/Giải bài toán định l ợng trong hình học không gian

Đối với loại bài toán tính toán, nếu không chuyển về phơng pháp toạ độ thì rất khó khăn vì hầu hết sử dụng đến khoảng cách mà chỉ có phơng pháp toạ

độ ta mới biểu diễn đợc khoảng cách một cách đơn giản

phơng pháp chung

Ta thực hiện theo các bớc sau:

Bớc 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ đó suy ra toạ độ của các

điểm cần thiết

Bớc 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho giá trị cần xác định, thông thờng

bao gồm:

- Khoảng cách từ điểm đến đờng thẳng hoặc mặt phẳng

- Góc, khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau

- Tính độ dài đoạn thẳng

-Chú ý: Với hình hộp chữ nhật ABCDA B C D’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai ’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai ’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai ’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai ta thờng thết lập hệ trục

toạ độ dựa trên ba cạnh AB, AD và AA’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai tơng ứng với các trục Ox, Oy, Oz

Bài 1: Cho hình lập phơng ABCD A B C D’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai ’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai ’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai ’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa haicạnh bằng a

a Tính góc và khoảng cách giữa hai đờng thẳng A B ’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai và AC’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai

b Gọi K là trung điểm DD’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai Tính góc và khoảng cách giữa 2 đờng

thẳng CK và A D ’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai ’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai

c Mặt phẳng (P) qua BB’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai và hợp với hai đờng thẳng BC , B D’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai ’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai hai góc

bằng nhau Tính các góc này

Giải

Chọn hệ trục toạ độ Axyz với

,

B Ax D Ay  và AAz, khi đó:

0;0;0 ,  ;0;0 ,  ; ;0 , 0; ;0

0;0; ,  ;0; ,  ; ; , 0; ; 

A a B a a C a a a D  a a

a Ta có              A B a  ;0; a              &AC a a a ; ; 

Gọi  là góc tạo bở A B ’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai và AC’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai ta có:

.

2 ' '

A B AC

A B AC



 

Gọi d1 là khoảng cách giữa A B ’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai và AC’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai ta có:

1

' , ' '

6 ' , '

A B A C AA a d

A B A C

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

b Ta có: 0; ; , ;0; & ' 0; ; .

K a  KC a   A D a a

Gọi  là góc tạo bởi CK và A D’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai , ta có:

cos

10 '

KC A D

KC A D

 

Gọi d 2 là khoảng cách giữa CK và A D’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai , ta có:

2

, ' ,

3 , '

KC A D KD a d

KC A D

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

 

c Ta có BB’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABB A ’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai ’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai) và (BCC B’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai ’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai) nên:

0



Mặt phẳng (P) qua BB ’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai có dạng:

 P x a my:     0  P x my a:     0 vtpt n1; ;0m 

A’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai

C’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai

D’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai B’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai

x

y z

B A

C D

A B

C D

x

y

z

I

Ng

ời thực hiện :Lê Trung Tín

Vì (P) hợp với BC , B D’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai ’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai (có vtcp là u10;1;1 và u21; 1;1  



) hai góc bằng nhau ( giả sử là ) nên:

2

1

m

Với m  2 6 ta đợc:

 2  2

sin

5

Với m  2 6 ta đợc:

 2  2

sin

5

Bài 2 : Cho tứ diện ABCD có góc tam diện vuông đỉnh A, AB=a AC=b,

AD=c

a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

b) Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mp(ABCD)

Giải

Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho:

(0;0;0); ( ;0;0)

(0; ;0); (0;0; )

a/ Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp

tứ diện, giả sử toạ độ của I là I x y z( ; ; )

Tacó

2 2 2

a x b y c z





















 Toạ độ điểm I là: ( ; ; )

2 2 2

a b c

* Xác định bán kính R

1

R IA     a b c

Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện có tâm ( ; ; )

2 2 2

a b c

I 

2

R a b c

b Phơng trình mp(BCD):

a  b c   a b c  

Gọi khoảng cách từ A đến mp(BCD) là h ta có:

1

abc

a b c h

a b b c c a

Vậy khoảng cách từ A đến mp(BCD) là:

abc h

a b b c c a



Bài 3: Chứng minh rằng trong hình lập phơng ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa haiB’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa haiC’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa haiD’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai có AC’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai

vuông góc với mặt phẳng (B’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa haiCD’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai)

Giải

Chọn hệ toạ độ nh hình vẽ

Giả sử hình lập phơng có cạnh a

Ta có toạ độ các điểm là:

A(0;0;0); B’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai(a;0;a); C(a;a;0);

D’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai(0;a;a); C’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai(a;a;a)

Ta có:

 ; ; 

AC  a a a

; B C 0; ;a a 



D C a a

AC B C a   a a a a   AC B C

' '

AC B C (1)

AC D C a a a  a a   AC D C AC D C

(2)

Từ (1) và (2) suy ra AC' B CD' '

Vậy suy ra điều phải chứng minh

* Bài tập làm thêm

Bài 1: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCDA B C D ’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai ’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai ’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai ’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai đờng cao h Mặt phẳng

(A BD)’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai hợp với mặt bên (ABB A’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai ’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai) một góc  Tính thể tích và diện tích xung quanh hình lăng trụ

Bài 2: Cho hình hộp ABCDA B C D ’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai ’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai ’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai ’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh

bằng a, góc A 60 0, B O ’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai vuông góc với đáy ABCD, cho BB =a.’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai

a. Tính góc giữa cạnh bên và đáy

b Tính khoảng cách từ B, B’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai đến mp(ACD )’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai

Bài 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với đáy Tính độ dài đoạn SA biết rằng số đo góc nhị diện (B SC.

D) bằng 120 0

z

D’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai C’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai B’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai

A’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách giữa hai

y C

D

xB A O