BÀI GIẢNG HỌC PHẦN: TOÁN CHUYÊN NGÀNH

Định nghĩa. Số phức là một biểu thức có dạng , trong đó và là những số thực, và kí hiệu gọi là đơn vị ảo. Ta gọi là phần thức và là phần ảo của số phức . Ta thường kí hiệu: Ta kí hiệu tập số phức là .Vậy , trong đó là tập hợp tất cả các số thực.Nếu thì , khi đó là số thực.Nếu thì , khi đó được gọi là số thuần ảo.Chú ý. .Ví dụ. Cho số phức . Khi đó .Định nghĩa. Số phức được gọi là số phức liên hợp của số phức và được kí hiệu là .

BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG CAO ĐẲNG CÔNG NGHIỆP TUY HÒA

KHOA GIÁO DỤC ĐẠI CƯƠNG



-BÀI GIẢNG

HỌC PHẦN: TOÁN CHUYÊN NGÀNH

(DÀNH CHO HỆ TÍN CHỈ)

Chương I

SỐ PHỨC

1.1 Định nghĩa

và kí hiệu i gọi là đơn vị ảo Ta gọi x là phần thức và ylà phần ảo của số phức x iy Tathường kí hiệu:

phần thực bằng nhau và phần ảo bằng nhau, nghĩa là x1 x y2; 1y2, khi đó ta viết z1z2

1.2.3 Phép nhân

a Định nghĩa Cho hai số phức z1x1iy1 và z2 x2iy2

Ta gọi số phức zx x1 2 y y1 2i x y 1 2x y2 1 là tích của số phức z1 với số phức z2 Khi đó ta viết z z z 1 2

thương của hai số phức z1 và z2 nếu z1z z 2 và kí hiệu là 1

0x: trục thực

0y: trục ảo

Vậy x iy x y,  2

1.4 Môđun và argument của số phức

1.4.1 Mô đun của số phức z

Giả sử z x iy  Ta gọi x2y2 là môđun của số phức z x iy  Kí hiệu: z

Trong số các trị của Argz với z 0 luôn luôn có một trị thuộc  ,  mà ta kí hiệu là

arg z Vậy  arg z và Argzargz k 2 , k 

Để tìm arg z, ta dựa vào công thức sau:

x y

2

y z

dạng lượng giác của số phức z

* Vậy để tìm dạng lượng giác của

1.6.1 Phép lũy thừa của số phức

b Nếu z 0 thì n z có n giá trị

* Cho z r cosisin Tìm n z

Giả sử n z w, tức là w n z với wcos +isin  Khi đó

1.7.Tập con và miền trong mặt phẳng phức

1.7.1 Đường cong trong .

Đường cong không Jordan Đường cong Jordan

Ví dụ: đường tròn là đường cong kín.

1.7.2 Tập liên thông và miền trong 

trọn trong D

nối z z1, 2

5 Giải các phương trình sau trên :

Chương II.

HÀM SỐ BIẾN SỐ PHỨC

2.1 Hàm biến phức

2.1.1 Khái niệm hàm biến phức

số phức  Khi đó, tập      được gọi là tập số phức mở rộng

Một ánh xạ

:w

f D z

 



được gọi là một hàm số phức xác định trên D

D: miền xác định của f , f D : miền giá trị của f

Vì w và zlà những số phức nên ta có thể biểu diễn như sau:

,

z x iy w u iv   Khi đó hàm số wf z  trở thành

Định nghĩa f được gọi là liên tục trên D nếu f liên tục tại mọi z D

Vậy f liên tục trên 

2.3 Hàm khả vi và điều kiện Cauchy-Riemann

2.3.1 Đạo hàm

được gọi là -khả vi (hay khả vi theo nghĩa phức) tại z0 nếu tồn tại giới hạn

2.3.3 Điều kiện Cauchy – Rieman

Giả sử f D:  ,f z  u x y , iv x y ,  và z0 x0iy0D

 -khả vi (hay khả vi theo nghĩa thực) tại z0 nếu cáchàm số u x y v x y ,  , ,  khả vi tại x y0, 0

Định lí (Điều kiện Cauchy – Rieman)

f là -khả vi tại z0 x0iy0 khi và chỉ khi f là 2

 -khả vi tại z0 và f thỏa mãn điềukiện Cauchy – Rieman

osyosy

Suy ra f thỏa mãn điều kiện Cauchy – Rieman tại mọi z  0

Vậy f z  e z khả vi tại mọi z  0 ( f khả vi trên )

sao cho f là -khả vi tại mọi z B z r  0, 

f được gọi là chỉnh hình trên D nếu f chỉnh hình tại mọi z D

z  và không khả vi trong bất kì lân cận nào của z 0 Suy ra f không chỉnh hình tại0

2 1 3 5 0

2 2 4 0

k k k

Nếu tồn tại lim0S n

  hữu hạn mà không phụ thuộc vào cách chia đoạn a b,  và cách chọnđiểm k thì giới hạn trên được gọi là tích phân của hàm f z  trên 

it it

Cho  là đường cong, kí hiệu 

là đường cong  với hướng dương cho trước (thườngngười ta cho theo chiều tăng của tham số), 

là đường cong  với hướng ngược lại

3.2 Công thức Newton - Leibnitz

F z f z  z D

Nếu F z  là nguyên hàm của f z  thì F z C C,   cũng là nguyên hàm của f z 

Định lý Nếu F z  là nguyên hàm của f z  trên D và  t x t iy t t ; a b,  làđường cong trơn trongD và  a z1, b z2 thì

3.3.1 Định lý Cauchy cho miền đơn liên

3.3.2 Định lý Cauchy cho miền đa liên

3.4 Công thức tích phân Cauchy

Chương IV

PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE

4.1 Khái niệm phép biến đổi Laplace

4.1.1 Các định nghĩa

kiện sau:

s được gọi là số mũ tăng của f t  Với hàm bị chặn, rõ ràng s 0 0.

c f t   0 khi t 0 Điều kiện này được đặt ra vì trong các ứng dụng thực tế biến t

thường là thời gian

Ví dụ Hàm

t t

+ khi t0, f t 1 là hàm liên tục  điều kiện (a) được thoả mãn;

+ vì  t 1 nên điều kiện (b) được thoả mãn nếu chọn M 1, s0 0;

+ Rõ ràng điều kiện (c) là thoả mãn

+ khi t0, f t sint là hàm liên tục  điều kiện (a) được thoả mãn;

+ vì  t sint 1 nên điều kiện (b) được thoả mãn nếu chọn M 1, s0 0;

+ Rõ ràng điều kiện (c) là thoả mãn

Tổng quát, nếu hàm g t  thoả mãn tính chất (a) và (b) thì hàm f t     t g t là hàmgốc

cả các hàm đang xét đều triệt tiêu khi t 0 Chẳng hạn, đáng lẽ viết

 t ,  t sin ,at  t t n

   ta chỉ viết 1, sin , n

at t (ta viết g t  thay cho    t g t )

Định lý (Điều kiện để tồn tại ảnh)

Nếu f t  là hàm gốc với số mũ tăng s0 thì F p  hội tụ trong miền Re p s 0 (nửa mặtphẳng phức bên phải đường thẳng s s 0)

F p p không thể là ảnh của một hàm gốc nào vì plim F p   Điều này mâu thuẫnvới định lí trên

4.1.2 Biến đổi Laplace của một số hàm quan trọng

Chú ý Sau này ta chỉ quan tâm tới sự tồn tại ảnh trong một miền nào đó, mà không để ý

tới bản thân miền đó, nên bên cạnh công thức ảnh của một hàm gốc, ta sẽ không viết miền

có nghĩa của công thức ảnh

4 2 Các tính chất của phép biến đổi Laplace

L p

1cos

2 2

(tức là hàm gốc hoãn lại  tương ứng với hàm ảnh nhân với ep)

Định lí hoãn được dùng để tính ảnh khi gốc cho bởi nhiều công thức trên những khoảngkhác nhau

được xác định và kí hiệu như sau:

0

t

f g f u g t u du Tích chập có tính giao hoán: f g  g f

Định lí Nếu F p  L f t    và G p  L g t    thì L f g   F p G p   

Từ đó suy ra L 1F p G p     f g

L p



* Phương pháp tìm gốc của một phân thức hữu tỉ

Để tìm gốc của một hàm hữu tỉ thực sự với hệ số thực ta phân tích nó thành các phân thứctối giản loại I và loại II

Các phân thức tối giản loại I có dạng p a1

Đối với các phân thức tối giản loại II, ta làm như sau:

Ta đưa tam thức ở mẫu về dạng chính tắc

4 3 Ứng dụng của phép biến đổi Laplace

Trong phần này, ta chỉ xét ứng dụng của phép biến đổi Laplace để giải các phương trình

vi phân tuyến tính không thuần nhất với hệ số hằng số

Giả sử cần tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng số:

* So với phương pháp cổ điển giải PTVP tuyến tính hệ số hằng ta thấy phương pháp toán

tử có những ưu điểm sau:

- Dù n lớn bao nhiêu ta chỉ cần giải một phương trình đại số bậc nhất đối với Y p 

- Khối lượng tính toán nói chung ít hơn so với phương pháp biến thiên hằng số Lagrange

- Cho ngay nghiệm riêng không cần thông qua nghiệm tổng quát Trong trường hợp muốn

2.2 Giới hạn và tính liên tục của hàm biến phức 8

4.3 Ứng dụng phép biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân 31